ऋणात्मक बहुपद वितरण: Difference between revisions
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संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, ऋणात्मक बहुपद वितरण दो से अधिक परिणामों के लिए ऋणात्मक | संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, ऋणात्मक बहुपद वितरण दो से अधिक परिणामों के लिए '''ऋणात्मक बहुपद वितरण''' (NB(''x''<sub>0</sub>, ''p'')) का एक सामान्यीकरण है।<ref name="LeGall">Le Gall, F. The modes of a negative multinomial distribution, Statistics & Probability Letters, Volume 76, Issue 6, 15 March 2006, Pages 619-624, ISSN 0167-7152, [http://www.sciencedirect.com/science/article/B6V1D-4H7T8P0-1/2/54b376fc96fdd6ad4331325a822df997 10.1016/j.spl.2005.09.009].</ref> | ||
अविभाज्य ऋणात्मक | इस प्रकार अविभाज्य ऋणात्मक बहुपद वितरण के साथ, यदि पैरामीटर <math>x_0</math> एक धनात्मक पूर्णांक है, तो ऋणात्मक बहुपद वितरण में एक कलश मॉडल व्याख्या होती है। मान लीजिए कि हमारे पास एक प्रयोग है जो ''m''+1≥2 संभावित परिणाम, {''X''<sub>0</sub>,...,''X<sub>m</sub>''} उत्पन्न करता है, प्रत्येक क्रमशः गैर-ऋणात्मक संभावनाओं {''p''<sub>0</sub>,...,''p<sub>m</sub>''} के साथ होता है। यदि नमूनाकरण n अवलोकन किए जाने तक जारी रहता, तो {''X''<sub>0</sub>,...,''X<sub>m</sub>''} को बहुपद रूप से वितरित किया गया होता। चूँकि , यदि ''X''<sub>0</sub> पूर्व निर्धारित मान ''X''<sub>0</sub> पर पहुँच जाता है (यह मानते हुए कि ''X''<sub>0</sub> एक धनात्मक पूर्णांक है) तो प्रयोग रोक दिया जाता है, तो m-tuple {''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>m</sub>''} का वितरण ऋणात्मक बहुपद है। ये चर बहुपद रूप से वितरित नहीं हैं क्योंकि उनका योग ''X''<sub>1</sub>+...+''X<sub>m</sub>'' निश्चित नहीं है, जो एक ऋणात्मक बहुपद वितरण से लिया गया है। | ||
==गुण | ==गुण == | ||
===सीमांत वितरण=== | ===सीमांत वितरण === | ||
यदि m-आयामी 'x' को निम्नानुसार विभाजित किया गया है | यदि m-आयामी 'x' को निम्नानुसार विभाजित किया गया है | ||
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\mathbf{X} | \mathbf{X} | ||
= | = | ||
\begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
\mathbf{X}^{(1)} \\ | \mathbf{X}^{(1)} \\ | ||
\mathbf{X}^{(2)} | \mathbf{X}^{(2)} | ||
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
\text{ with sizes }\begin{bmatrix} n \times 1 \\ (m-n) \times 1 \end{bmatrix}</math> | \text{ with sizes }\begin{bmatrix} n \times 1 \\ (m-n) \times 1 \end{bmatrix} </math> | ||
और इसलिए <math>\boldsymbol{p}</math> | और इसलिए <math>\boldsymbol{p}</math> | ||
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\boldsymbol p | \boldsymbol p | ||
= | = | ||
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\boldsymbol p^{(1)} \\ | \boldsymbol p^{(1)} \\ | ||
\boldsymbol p^{(2)} | \boldsymbol p^{(2)} | ||
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\text{ with sizes }\begin{bmatrix} n \times 1 \\ (m-n) \times 1 \end{bmatrix}</math> | \text{ with sizes }\begin{bmatrix} n \times 1 \\ (m-n) \times 1 \end{bmatrix} </math> | ||
और जाने | और जाने | ||
<math display="block">q = 1-\sum_i p_i^{(2)} = p_0+\sum_i p_i^{(1)}</math><math>\boldsymbol X^{(1)}</math> का सीमांत वितरण <math>\mathrm{NM}(x_0,p_0/q, \boldsymbol p^{(1)}/q )</math> है। अथार्त सीमांत वितरण भी ऋणात्मक बहुपद है जिसमें <math>\boldsymbol p^{(2)}</math> को हटा दिया गया है और शेष पी को उचित रूप से स्केल किया गया है जिससे एक में जोड़ा जा सकता | <math display="block">q = 1-\sum_i p_i^{(2)} = p_0+\sum_i p_i^{(1)}</math><math>\boldsymbol X^{(1)}</math> का सीमांत वितरण <math>\mathrm{NM}(x_0,p_0/q, \boldsymbol p^{(1)}/q )</math> है। अथार्त सीमांत वितरण भी ऋणात्मक बहुपद है तथा जिसमें <math>\boldsymbol p^{(2)}</math> को हटा दिया गया है और शेष पी को उचित रूप से स्केल किया गया है जिससे एक में जोड़ा जा सकता है। | ||
कहा जाता है कि अविभाज्य सीमांत <math>m=1</math> का ऋणात्मक | कहा जाता है कि अविभाज्य सीमांत <math>m=1</math> का ऋणात्मक बहुपद वितरण होता है। | ||
===नियमित वितरण=== | ===नियमित वितरण === | ||
नियमित _संभावना_वितरण <math>\mathbf{X}^{(1)}</math> दिया गया <math>\mathbf{X}^{(2)}=\mathbf{x}^{(2)}</math> है <math display="inline">\mathrm{NM}(x_0+\sum{x_i^{(2)}},\mathbf{p}^{(1)}) </math>. | नियमित _संभावना_वितरण <math>\mathbf{X}^{(1)}</math> दिया गया <math>\mathbf{X}^{(2)}=\mathbf{x}^{(2)}</math> है <math display="inline">\mathrm{NM}(x_0+\sum{x_i^{(2)}},\mathbf{p}^{(1)}) </math>. है, | ||
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\Pr(\mathbf{x}^{(1)}\mid \mathbf{x}^{(2)}, x_0, \mathbf{p} )= \Gamma\!\left(\sum_{i=0}^m{x_i}\right)\frac{(1-\sum_{i=1}^n{p_i^{(1)}})^{x_0+\sum_{i=1}^{m-n}x_i^{(2)}}}{\Gamma(x_0+\sum_{i=1}^{m-n}x_i^{(2)})}\prod_{i=1}^n{\frac{(p_i^{(1)})^{x_i}}{(x_i^{(1)})!}}. | \Pr(\mathbf{x}^{(1)}\mid \mathbf{x}^{(2)}, x_0, \mathbf{p} )= \Gamma\!\left(\sum_{i=0}^m{x_i}\right)\frac{(1-\sum_{i=1}^n{p_i^{(1)}})^{x_0+\sum_{i=1}^{m-n}x_i^{(2)}}}{\Gamma(x_0+\sum_{i=1}^{m-n}x_i^{(2)})}\prod_{i=1}^n{\frac{(p_i^{(1)})^{x_i}}{(x_i^{(1)})!}}. | ||
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===स्वतंत्र योग=== | ===स्वतंत्र योग === | ||
यदि <math>\mathbf{X}_1 \sim \mathrm{NM}(r_1, \mathbf{p})</math> और यदि <math>\mathbf{X}_2 \sim \mathrm{NM}(r_2, \mathbf{p})</math> तो [[स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत)]] हैं जो की <math>\mathbf{X}_1+\mathbf{X}_2 \sim \mathrm{NM}(r_1+r_2, \mathbf{p})</math>. इसी तरह और इसके विपरीत, विशेषता फलन से यह देखना आसान है कि ऋणात्मक बहुपद [[अनंत विभाज्यता (संभावना)]] है। | यदि <math>\mathbf{X}_1 \sim \mathrm{NM}(r_1, \mathbf{p})</math> और यदि <math>\mathbf{X}_2 \sim \mathrm{NM}(r_2, \mathbf{p})</math> तो [[स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत)]] हैं जो की <math>\mathbf{X}_1+\mathbf{X}_2 \sim \mathrm{NM}(r_1+r_2, \mathbf{p})</math>. इसी तरह और इसके विपरीत, विशेषता फलन से यह देखना आसान है कि ऋणात्मक बहुपद [[अनंत विभाज्यता (संभावना)]] है। | ||
===एकत्रीकरण=== | ===एकत्रीकरण === | ||
यदि | यदि | ||
<math display="block">\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_m)\sim\operatorname{NM}(x_0, (p_1,\ldots,p_m))</math> | <math display="block">\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_m)\sim\operatorname{NM}(x_0, (p_1,\ldots,p_m))</math> | ||
फिर, यदि सबस्क्रिप्ट i और j वाले यादृच्छिक चर को वेक्टर से हटा दिया जाता है और उनके योग से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है, | फिर, यदि सबस्क्रिप्ट i और j वाले यादृच्छिक चर को वेक्टर से हटा दिया जाता है और उनके योग से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है, | ||
<math display="block">\mathbf{X}' = (X_1, \ldots, X_i + X_j, \ldots, X_m)\sim\operatorname{NM} (x_0, (p_1, \ldots, p_i + p_j, \ldots, p_m)).</math> | <math display="block">\mathbf{X}' = (X_1, \ldots, X_i + X_j, \ldots, X_m)\sim\operatorname{NM} (x_0, (p_1, \ldots, p_i + p_j, \ldots, p_m)).</math> | ||
इस एकत्रीकरण गुण का उपयोग ऊपर उल्लिखित <math>X_i</math> के सीमांत वितरण को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। | इस एकत्रीकरण गुण का उपयोग ऊपर उल्लिखित <math>X_i</math> के सीमांत वितरण को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। | ||
===सहसंबंध आव्यूह === | ===सहसंबंध आव्यूह === | ||
सहसंबंध आव्यूह या सहसंबंध आव्यूह की प्रविष्टियाँ हैं | सहसंबंध आव्यूह या सहसंबंध आव्यूह की प्रविष्टियाँ हैं | ||
<math display="block">\rho(X_i,X_i) = 1.</math> | <math display="block">\rho(X_i,X_i) = 1.</math><math display="block">\rho(X_i,X_j) = \frac{\operatorname{cov}(X_i,X_j)}{\sqrt{\operatorname{var}(X_i)\operatorname{var}(X_j)}} = \sqrt{\frac{p_i p_j}{(p_0+p_i)(p_0+p_j)}}.</math> | ||
<math display="block">\rho(X_i,X_j) = \frac{\operatorname{cov}(X_i,X_j)}{\sqrt{\operatorname{var}(X_i)\operatorname{var}(X_j)}} = \sqrt{\frac{p_i p_j}{(p_0+p_i)(p_0+p_j)}}.</math> | |||
==पैरामीटर अनुमान== | ==पैरामीटर अनुमान == | ||
===क्षणों की विधि=== | ===क्षणों की विधि === | ||
यदि हम ऋणात्मक बहुपद का माध्य सदिश होने दें | यदि हम ऋणात्मक बहुपद का माध्य सदिश होने दें | ||
<math display="block">\boldsymbol{\mu}=\frac{x_0}{p_0}\mathbf{p}</math> | <math display="block">\boldsymbol{\mu}=\frac{x_0}{p_0}\mathbf{p}</math> | ||
और सहप्रसरण आव्यूह | और सहप्रसरण आव्यूह | ||
<math display="block">\boldsymbol{\Sigma}=\tfrac{x_0}{p_0^2}\,\mathbf{p}\mathbf{p}' + \tfrac{x_0}{p_0}\,\operatorname{diag}(\mathbf{p}),</math> | <math display="block">\boldsymbol{\Sigma}=\tfrac{x_0}{p_0^2}\,\mathbf{p}\mathbf{p}' + \tfrac{x_0}{p_0}\,\operatorname{diag}(\mathbf{p}),</math> | ||
फिर [[निर्धारकों]] के गुणों के माध्यम से यह दिखाना आसान है <math display="inline"> |\boldsymbol{\Sigma}| = \frac{1}{p_0}\prod_{i=1}^m{\mu_i}</math>. इससे तो यही पता चलता है | फिर [[निर्धारकों]] के गुणों के माध्यम से यह दिखाना आसान है <math display="inline"> |\boldsymbol{\Sigma}| = \frac{1}{p_0}\prod_{i=1}^m{\mu_i}</math>. इससे तो यही पता चलता है | ||
<math display="block">x_0=\frac{\sum{\mu_i}\prod{\mu_i}}{|\boldsymbol{\Sigma}|-\prod{\mu_i}}</math> | <math display="block">x_0=\frac{\sum{\mu_i}\prod{\mu_i}}{|\boldsymbol{\Sigma}|-\prod{\mu_i}}</math> | ||
और | और | ||
<math display="block"> \mathbf{p}= \frac{|\boldsymbol{\Sigma}|-\prod{\mu_i}}{|\boldsymbol{\Sigma}|\sum{\mu_i}}\boldsymbol{\mu}. </math> | <math display="block"> \mathbf{p}= \frac{|\boldsymbol{\Sigma}|-\prod{\mu_i}}{|\boldsymbol{\Sigma}|\sum{\mu_i}}\boldsymbol{\mu}. </math> | ||
नमूना क्षणों को प्रतिस्थापित करने से क्षणों (सांख्यिकी) अनुमान की विधि प्राप्त होती है | नमूना क्षणों को प्रतिस्थापित करने से क्षणों (सांख्यिकी) अनुमान की विधि प्राप्त होती है | ||
<math display="block">\hat{x}_0=\frac{(\sum_{i=1}^{m}{\bar{x_i})}\prod_{i=1}^{m}{\bar{x_i}}}{|\mathbf{S}|-\prod_{i=1}^{m}{\bar{x_i}}}</math> | <math display="block">\hat{x}_0=\frac{(\sum_{i=1}^{m}{\bar{x_i})}\prod_{i=1}^{m}{\bar{x_i}}}{|\mathbf{S}|-\prod_{i=1}^{m}{\bar{x_i}}}</math> | ||
और | और | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\hat{\mathbf{p}}=\left(\frac{|\boldsymbol{S}|-\prod_{i=1}^{m}{\bar{x}_i}}{|\boldsymbol{S}|\sum_{i=1}^{m}{\bar{x}_i}}\right)\boldsymbol{\bar{x}} | \hat{\mathbf{p}}=\left(\frac{|\boldsymbol{S}|-\prod_{i=1}^{m}{\bar{x}_i}}{|\boldsymbol{S}|\sum_{i=1}^{m}{\bar{x}_i}}\right)\boldsymbol{\bar{x}} | ||
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==संबंधित वितरण== | ==संबंधित वितरण == | ||
* ऋणात्मक | * ऋणात्मक बहुपद वितरण | ||
* बहुपद वितरण | * बहुपद वितरण | ||
* व्युत्क्रम डिरिक्लेट वितरण, ऋणात्मक बहुपद के लिए एक संयुग्म पूर्व | * व्युत्क्रम डिरिक्लेट वितरण, ऋणात्मक बहुपद के लिए एक संयुग्म पूर्व | ||
* [[डिरिचलेट नकारात्मक बहुपद वितरण|डिरिचलेट ऋणात्मक बहुपद वितरण]] | * [[डिरिचलेट नकारात्मक बहुपद वितरण|डिरिचलेट ऋणात्मक बहुपद वितरण]] | ||
==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
<references /> | <references /> | ||
Waller LA and Zelterman D. (1997). Log-linear modeling with the negative multi- | Waller LA and Zelterman D. (1997). Log-linear modeling with the negative multi- | ||
nomial distribution. Biometrics 53: 971–82. | nomial distribution. Biometrics 53: 971–82. | ||
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Latest revision as of 10:31, 15 July 2023
Notation | |||
---|---|---|---|
Parameters |
— the number of failures before the experiment is stopped, ∈ Rm — m-vector of "success" probabilities, p0 = 1 − (p1+…+pm) — the probability of a "failure". | ||
Support | |||
PMF |
where Γ(x) is the Gamma function. | ||
Mean | |||
Variance | |||
MGF | |||
CF |
संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, ऋणात्मक बहुपद वितरण दो से अधिक परिणामों के लिए ऋणात्मक बहुपद वितरण (NB(x0, p)) का एक सामान्यीकरण है।[1]
इस प्रकार अविभाज्य ऋणात्मक बहुपद वितरण के साथ, यदि पैरामीटर एक धनात्मक पूर्णांक है, तो ऋणात्मक बहुपद वितरण में एक कलश मॉडल व्याख्या होती है। मान लीजिए कि हमारे पास एक प्रयोग है जो m+1≥2 संभावित परिणाम, {X0,...,Xm} उत्पन्न करता है, प्रत्येक क्रमशः गैर-ऋणात्मक संभावनाओं {p0,...,pm} के साथ होता है। यदि नमूनाकरण n अवलोकन किए जाने तक जारी रहता, तो {X0,...,Xm} को बहुपद रूप से वितरित किया गया होता। चूँकि , यदि X0 पूर्व निर्धारित मान X0 पर पहुँच जाता है (यह मानते हुए कि X0 एक धनात्मक पूर्णांक है) तो प्रयोग रोक दिया जाता है, तो m-tuple {X1,...,Xm} का वितरण ऋणात्मक बहुपद है। ये चर बहुपद रूप से वितरित नहीं हैं क्योंकि उनका योग X1+...+Xm निश्चित नहीं है, जो एक ऋणात्मक बहुपद वितरण से लिया गया है।
गुण
सीमांत वितरण
यदि m-आयामी 'x' को निम्नानुसार विभाजित किया गया है
कहा जाता है कि अविभाज्य सीमांत का ऋणात्मक बहुपद वितरण होता है।
नियमित वितरण
नियमित _संभावना_वितरण दिया गया है . है,
स्वतंत्र योग
यदि और यदि तो स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) हैं जो की . इसी तरह और इसके विपरीत, विशेषता फलन से यह देखना आसान है कि ऋणात्मक बहुपद अनंत विभाज्यता (संभावना) है।
एकत्रीकरण
यदि
सहसंबंध आव्यूह
सहसंबंध आव्यूह या सहसंबंध आव्यूह की प्रविष्टियाँ हैं
पैरामीटर अनुमान
क्षणों की विधि
यदि हम ऋणात्मक बहुपद का माध्य सदिश होने दें
संबंधित वितरण
- ऋणात्मक बहुपद वितरण
- बहुपद वितरण
- व्युत्क्रम डिरिक्लेट वितरण, ऋणात्मक बहुपद के लिए एक संयुग्म पूर्व
- डिरिचलेट ऋणात्मक बहुपद वितरण
संदर्भ
- ↑ Le Gall, F. The modes of a negative multinomial distribution, Statistics & Probability Letters, Volume 76, Issue 6, 15 March 2006, Pages 619-624, ISSN 0167-7152, 10.1016/j.spl.2005.09.009.
Waller LA and Zelterman D. (1997). Log-linear modeling with the negative multi- nomial distribution. Biometrics 53: 971–82.
अग्रिम पठन
Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1997). "Chapter 36: Negative Multinomial and Other Multinomial-Related Distributions". Discrete Multivariate Distributions. Wiley. ISBN 978-0-471-12844-1.