ऋणात्मक बहुपद वितरण

Notation	${\textrm {NM}}(x_{0},\,\mathbf {p} )$
Parameters	$x_{0}>0$ — the number of failures before the experiment is stopped, $\mathbf {p}$ ∈ Rm — m-vector of "success" probabilities, p0 = 1 − (p1+…+pm) — the probability of a "failure".
Support	$x_{i}\in \{0,1,2,\ldots \},1\leq i\leq m$
PMF	$\Gamma \!\left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right){\frac {p_{0}^{x_{0}}}{\Gamma (x_{0})}}\prod _{i=1}^{m}{\frac {p_{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}},$ where Γ(x) is the Gamma function.
Mean	${\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\mathbf {p}$
Variance	${\tfrac {x_{0}}{p_{0}^{2}}}\,\mathbf {pp} '+{\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\operatorname {diag} (\mathbf {p} )$
MGF	${\bigg (}{\frac {p_{0}}{1-\sum _{j=1}^{m}p_{j}e^{t_{j}}}}{\bigg )}^{\!x_{0}}$
CF	${\bigg (}{\frac {p_{0}}{1-\sum _{j=1}^{m}p_{j}e^{it_{j}}}}{\bigg )}^{\!x_{0}}$

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, ऋणात्मक बहुपद वितरण दो से अधिक परिणामों के लिए ऋणात्मक बहुपद वितरण (NB(x₀, p)) का एक सामान्यीकरण है।

इस प्रकार अविभाज्य ऋणात्मक बहुपद वितरण के साथ, यदि पैरामीटर $x_{0}$ एक धनात्मक पूर्णांक है, तो ऋणात्मक बहुपद वितरण में एक कलश मॉडल व्याख्या होती है। मान लीजिए कि हमारे पास एक प्रयोग है जो m+1≥2 संभावित परिणाम, {X₀,...,X_m} उत्पन्न करता है, प्रत्येक क्रमशः गैर-ऋणात्मक संभावनाओं {p₀,...,p_m} के साथ होता है। यदि नमूनाकरण n अवलोकन किए जाने तक जारी रहता, तो {X₀,...,X_m} को बहुपद रूप से वितरित किया गया होता। चूँकि , यदि X₀ पूर्व निर्धारित मान X₀ पर पहुँच जाता है (यह मानते हुए कि X₀ एक धनात्मक पूर्णांक है) तो प्रयोग रोक दिया जाता है, तो m-tuple {X₁,...,X_m} का वितरण ऋणात्मक बहुपद है। ये चर बहुपद रूप से वितरित नहीं हैं क्योंकि उनका योग X₁+...+X_m निश्चित नहीं है, जो एक ऋणात्मक बहुपद वितरण से लिया गया है।

गुण

सीमांत वितरण

यदि m-आयामी 'x' को निम्नानुसार विभाजित किया गया है

$$\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\mathbf {X} ^{(1)}\\\mathbf {X} ^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ with sizes }}{\begin{bmatrix}n\times 1\\(m-n)\times 1\end{bmatrix}}$$

और इसलिए ${\boldsymbol {p}}$

$${\boldsymbol {p}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {p}}^{(1)}\\{\boldsymbol {p}}^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ with sizes }}{\begin{bmatrix}n\times 1\\(m-n)\times 1\end{bmatrix}}$$

और जाने

$$q=1-\sum _{i}p_{i}^{(2)}=p_{0}+\sum _{i}p_{i}^{(1)}$$

${\boldsymbol {X}}^{(1)}$ का सीमांत वितरण $\mathrm {NM} (x_{0},p_{0}/q,{\boldsymbol {p}}^{(1)}/q)$ है। अथार्त सीमांत वितरण भी ऋणात्मक बहुपद है तथा जिसमें ${\boldsymbol {p}}^{(2)}$ को हटा दिया गया है और शेष पी को उचित रूप से स्केल किया गया है जिससे एक में जोड़ा जा सकता है।

कहा जाता है कि अविभाज्य सीमांत $m=1$ का ऋणात्मक बहुपद वितरण होता है।

नियमित वितरण

नियमित _संभावना_वितरण $\mathbf {X} ^{(1)}$ दिया गया $\mathbf {X} ^{(2)}=\mathbf {x} ^{(2)}$ है ${\textstyle \mathrm {NM} (x_{0}+\sum {x_{i}^{(2)}},\mathbf {p} ^{(1)})}$. है,

$$\Pr(\mathbf {x} ^{(1)}\mid \mathbf {x} ^{(2)},x_{0},\mathbf {p} )=\Gamma \!\left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right){\frac {(1-\sum _{i=1}^{n}{p_{i}^{(1)}})^{x_{0}+\sum _{i=1}^{m-n}x_{i}^{(2)}}}{\Gamma (x_{0}+\sum _{i=1}^{m-n}x_{i}^{(2)})}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {(p_{i}^{(1)})^{x_{i}}}{(x_{i}^{(1)})!}}.$$

स्वतंत्र योग

यदि $\mathbf {X} _{1}\sim \mathrm {NM} (r_{1},\mathbf {p} )$ और यदि $\mathbf {X} _{2}\sim \mathrm {NM} (r_{2},\mathbf {p} )$ तो स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) हैं जो की $\mathbf {X} _{1}+\mathbf {X} _{2}\sim \mathrm {NM} (r_{1}+r_{2},\mathbf {p} )$. इसी तरह और इसके विपरीत, विशेषता फलन से यह देखना आसान है कि ऋणात्मक बहुपद अनंत विभाज्यता (संभावना) है।

एकत्रीकरण

यदि

$$\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {NM} (x_{0},(p_{1},\ldots ,p_{m}))$$

फिर, यदि सबस्क्रिप्ट i और j वाले यादृच्छिक चर को वेक्टर से हटा दिया जाता है और उनके योग से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है,

$$\mathbf {X} '=(X_{1},\ldots ,X_{i}+X_{j},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {NM} (x_{0},(p_{1},\ldots ,p_{i}+p_{j},\ldots ,p_{m})).$$

इस एकत्रीकरण गुण का उपयोग ऊपर उल्लिखित $X_{i}$ के सीमांत वितरण को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

सहसंबंध आव्यूह

सहसंबंध आव्यूह या सहसंबंध आव्यूह की प्रविष्टियाँ हैं

$$\rho (X_{i},X_{i})=1.$$

$$\rho (X_{i},X_{j})={\frac {\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}{\sqrt {\operatorname {var} (X_{i})\operatorname {var} (X_{j})}}}={\sqrt {\frac {p_{i}p_{j}}{(p_{0}+p_{i})(p_{0}+p_{j})}}}.$$

पैरामीटर अनुमान

क्षणों की विधि

यदि हम ऋणात्मक बहुपद का माध्य सदिश होने दें

$${\boldsymbol {\mu }}={\frac {x_{0}}{p_{0}}}\mathbf {p}$$

और सहप्रसरण आव्यूह

$${\boldsymbol {\Sigma }}={\tfrac {x_{0}}{p_{0}^{2}}}\,\mathbf {p} \mathbf {p} '+{\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\operatorname {diag} (\mathbf {p} ),$$

फिर निर्धारकों के गुणों के माध्यम से यह दिखाना आसान है ${\textstyle |{\boldsymbol {\Sigma }}|={\frac {1}{p_{0}}}\prod _{i=1}^{m}{\mu _{i}}}$. इससे तो यही पता चलता है

$$x_{0}={\frac {\sum {\mu _{i}}\prod {\mu _{i}}}{|{\boldsymbol {\Sigma }}|-\prod {\mu _{i}}}}$$

और

$$\mathbf {p} ={\frac {|{\boldsymbol {\Sigma }}|-\prod {\mu _{i}}}{|{\boldsymbol {\Sigma }}|\sum {\mu _{i}}}}{\boldsymbol {\mu }}.$$

नमूना क्षणों को प्रतिस्थापित करने से क्षणों (सांख्यिकी) अनुमान की विधि प्राप्त होती है

$${\hat {x}}_{0}={\frac {(\sum _{i=1}^{m}{{\bar {x_{i}}})}\prod _{i=1}^{m}{\bar {x_{i}}}}{|\mathbf {S} |-\prod _{i=1}^{m}{\bar {x_{i}}}}}$$

और

$${\hat {\mathbf {p} }}=\left({\frac {|{\boldsymbol {S}}|-\prod _{i=1}^{m}{{\bar {x}}_{i}}}{|{\boldsymbol {S}}|\sum _{i=1}^{m}{{\bar {x}}_{i}}}}\right){\boldsymbol {\bar {x}}}$$

संबंधित वितरण

• ऋणात्मक बहुपद वितरण
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• व्युत्क्रम डिरिक्लेट वितरण, ऋणात्मक बहुपद के लिए एक संयुग्म पूर्व
• डिरिचलेट ऋणात्मक बहुपद वितरण

संदर्भ

Waller LA and Zelterman D. (1997). Log-linear modeling with the negative multi- nomial distribution. Biometrics 53: 971–82.

अग्रिम पठन

Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1997). "Chapter 36: Negative Multinomial and Other Multinomial-Related Distributions". Discrete Multivariate Distributions. Wiley. ISBN 978-0-471-12844-1.