सशर्त निर्भरता

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सशर्त निर्भरता को दर्शाने वाला बायेसियन नेटवर्क का चित्र।

संभाव्यता सिद्धांत में, सशर्त निर्भरता दो या दो से अधिक घटनाओं (संभावना सिद्धांत) के बीच संबंध होता है जो तीसरी घटना के होने पर निर्भरता (संभावना सिद्धांत) होती है। उदाहरण के लिए, $A$ और $B$ दो घटनाएँ हैं जो व्यक्तिगत रूप से तीसरी घटना $C,$ की संभावना को अलग-अलग रूप से बढ़ाती हैं और एक दूसरे पर सीधा प्रभाव नहीं डालती हैं, तो प्रारंभिक रूप में (जब देखा नहीं गया हो कि क्या घटना $C$ हो रही है या नहीं)

$$\operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A)\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {P} (B\mid A)=\operatorname {P} (B)$$

($A{\text{ and }}B$ स्वतंत्र हैं)।

किन्तु अब मान लीजिये $C$ घटित होता देखा गया है। यदि घटना $B$ होती है तो घटना $A$ की होने की संभावना कम हो जाएगी क्योंकि $C$ के होने का व्याख्यान के रूप में इसकी सकारात्मक संबंधता उत्पन्न होने की जरूरत कम हो जाएगी (इसी प्रकार, घटना $A$ होने से घटना $B$ की होने की संभावना कम होगी)। इसलिए, अब दो घटनाएं $A$ और $B$ एक-दूसरे पर शर्तानुसार नकारात्मक आपेक्षिक हैं क्योंकि हर घटना की होने की संभावना नकारात्मक रूप से देखी जा सकती है यदि दूसरी घटना होती है। अपने पास

$$\operatorname {P} (A\mid C{\text{ and }}B)<\operatorname {P} (A\mid C).$$

A और B की सशर्त निर्भरता, C दी गई, सशर्त स्वतंत्रता का तार्किक निषेध है $((A\perp \!\!\!\perp B)\mid C)$ सशर्त स्वतंत्रता में दो घटनाएँ (जो निर्भर हो सकती हैं या नहीं) तीसरी घटना के घटित होने पर स्वतंत्र हो जाती हैं।

उदाहरण

संक्षेप में संभाव्यता किसी घटना की संभावित घटना के बारे में किसी व्यक्ति की जानकारी से प्रभावित होती है। उदाहरण के लिए, यदि घटना $A$ मेरे पास एक नया फोन है' हो, घटना $B$ मेरे पास एक नयी घड़ी है' हो, और घटना $C$ 'मैं खुश हूँ' हो, और सोचें कि नए फोन या नई घड़ी होने से मेरी खुशी की संभावना बढ़ जाती है। हम यह मान लेते हैं कि घटना $C$ घहो चुकी है - अर्थात् 'मैं खुश हूँ'। अब यदि कोई दूसरा व्यक्ति मेरी नई घड़ी देखता है, तो उसका यही तर्क होगा कि मेरी खुशी की संभावना मेरी नई घड़ी द्वारा बढ़ी है, इसलिए मेरी खुशी को नए फोन के लिए जोड़ने की कम आवश्यकता होगी।

उदाहरण को अंकीय रूप में स्पष्ट करने के लिए, मान लीजिए कि चार संभावित स्थितियाँ हैं $\Omega =\left\{s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}\right\},$ जो निम्नलिखित तालिका की मध्यवर्ती चार स्तंभों में दी गई हैं, जहां घटना $A$ के होने का संकेत क्रमांक $1$ है और इसके होने की अवस्था का संकेत क्रमांक $0,$ है, और इसी तरह घटना $B$ और $C.$ अर्थात्,$A=\left\{s_{2},s_{4}\right\},B=\left\{s_{3},s_{4}\right\},$ और $C=\left\{s_{2},s_{3},s_{4}\right\}.$ के लिए $s_{i}$ की प्रायिकता $1/4$ है।

घटना	$\operatorname {P} (s_{1})=1/4$	$\operatorname {P} (s_{2})=1/4$	$\operatorname {P} (s_{3})=1/4$	$\operatorname {P} (s_{4})=1/4$	घटना की संभावना
$A$	0	1	0	1	${\tfrac {1}{2}}$
$B$	0	0	1	1	${\tfrac {1}{2}}$
$C$	0	1	1	1	${\tfrac {3}{4}}$

इसलिए

घटना	$s_{1}$	$s_{2}$	$s_{3}$	$s_{4}$	घटना की संभावना
$A\cap B$	0	0	0	1	${\tfrac {1}{4}}$
$A\cap C$	0	1	0	1	${\tfrac {1}{2}}$
$B\cap C$	0	0	1	1	${\tfrac {1}{2}}$
$A\cap B\cap C$	0	0	0	1	${\tfrac {1}{4}}$

इस उदाहरण में, $C$ तभी होती है जब कम से कम एक घटना $A,B$ घटित होती है। शर्ताधीन (यानी $C$ के संदर्भ में न होते हुए), घटना $A$ और $B$ एक दूसरे की स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) हैं क्योंकि $\operatorname {P} (A)$ - घटनाएं $A$ के साथ संबंधित संभावनाओं का योग - $1$ ${\tfrac {1}{2}},$है, जबकि

$$\operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}B)/\operatorname {P} (B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}=\operatorname {P} (A).$$

किन्तु सशर्त $C$ घटित होने पर (तालिका में अंतिम तीन कॉलम), हमारे पास है

$$\operatorname {P} (A\mid C)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}C)/\operatorname {P} (C)={\tfrac {1/2}{3/4}}={\tfrac {2}{3}}$$

जबकि

$$\operatorname {P} (A\mid C{\text{ and }}B)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}C{\text{ and }}B)/\operatorname {P} (C{\text{ and }}B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}<\operatorname {P} (A\mid C).$$

जब $C$ की उपस्थिति में $A$ की संभावना $C.$ की मौजूदगी या अनुपस्थिति के द्वारा प्रभावित होती है, तो $B,A$ और $B$ सशर्त रूप से परस्पर निर्भर होते हैं।

यह भी देखें

• सशर्त स्वतंत्रता – Probability theory concept
• डी फिनेटी का प्रमेय
• सशर्त अपेक्षा – Expected value of a random variable given that certain conditions are known to occur