स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी: Difference between revisions

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'''प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल'''<ref name=":02">{{Cite journal|last=Fishburn|first=Peter C.|date=November 1973|title=Binary choice probabilities: on the varieties of stochastic transitivity|journal=Journal of Mathematical Psychology|volume=10|issue=4|pages=327–352|doi=10.1016/0022-2496(73)90021-7|issn=0022-2496}}</ref><ref name=":12">{{Cite journal|last=Clark|first=Stephen A.|date=March 1990|title=यादृच्छिक उपयोगिता मॉडल के लिए स्टोकेस्टिक परिवर्तनशीलता की एक अवधारणा|journal=Journal of Mathematical Psychology|volume=34|issue=1|pages=95–108|doi=10.1016/0022-2496(90)90015-2}}</ref><ref name=":22">{{Cite journal|last=Ryan|first=Matthew|date=2017-01-21|title=अनिश्चितता और द्विआधारी स्टोकेस्टिक विकल्प|journal=Economic Theory|volume=65|issue=3|pages=629–662|doi=10.1007/s00199-017-1033-4|s2cid=125420775|issn=0938-2259}}</ref><ref name=":32">{{Cite journal|last1=Oliveira|first1=I.F.D.|last2=Zehavi|first2=S.|last3=Davidov|first3=O.|date=August 2018|title=Stochastic transitivity: Axioms and models|journal=Journal of Mathematical Psychology|volume=85|pages=25–35|doi=10.1016/j.jmp.2018.06.002|issn=0022-2496}}</ref> अध्ययन किए गए द्विआधारी संबंधों की पारगमनता गुणधर्म के प्रसंभाव्य संस्करण हैं। प्रसंभाव्य पारगमनता के कई मॉडल होते हैं और युग्मित तुलनाओं के प्रयोगों में सम्मिलित संभावनाओं का वर्णन करने के लिए उनका उपयोग किया गया है, विशेषतः उन परिदृश्यों में जहां पारगमनता अपेक्षित है, यद्यपि, द्विआधारी संबंध का अनुभवजन्य अवलोकन संभाव्य है। उदाहरण के लिए, किसी खेल में खिलाड़ियों का कौशल पारगमन होने की अपेक्षा की जा सकती है, अर्थात "यदि खिलाड़ी A, B से उत्तम है और B, C से उत्तम है, तो खिलाड़ी A को C से उत्तम होना चाहिए"; यद्यपि किसी भी मैच में एक दुर्बल खिलाड़ी भी सकारात्मक संभावना के साथ विजय प्राप्त कर सकता है। दृढ़ता से सुमेलित खिलाड़ी को इस व्युत्क्रम के अवलोकन की अधिक संभावना हो सकती है, जबकि कौशल में विशाल अंतर वाले खिलाड़ी इन व्युत्क्रम को संभवतः प्रेक्षित कर पाएंगे। प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल संभावनाओं (उदाहरण के लिए, किसी खेल का निष्कर्ष) और अंतर्निहित पारगमन संबंध (उदाहरण के लिए खिलाड़ियों के कौशल) के बीच ऐसे संबंधों को औपचारिक बनाते हैं।
'''स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी''' (प्रसंभाव्य पारगमनता) '''मॉडल'''<ref name=":02">{{Cite journal|last=Fishburn|first=Peter C.|date=November 1973|title=Binary choice probabilities: on the varieties of stochastic transitivity|journal=Journal of Mathematical Psychology|volume=10|issue=4|pages=327–352|doi=10.1016/0022-2496(73)90021-7|issn=0022-2496}}</ref><ref name=":12">{{Cite journal|last=Clark|first=Stephen A.|date=March 1990|title=यादृच्छिक उपयोगिता मॉडल के लिए स्टोकेस्टिक परिवर्तनशीलता की एक अवधारणा|journal=Journal of Mathematical Psychology|volume=34|issue=1|pages=95–108|doi=10.1016/0022-2496(90)90015-2}}</ref><ref name=":22">{{Cite journal|last=Ryan|first=Matthew|date=2017-01-21|title=अनिश्चितता और द्विआधारी स्टोकेस्टिक विकल्प|journal=Economic Theory|volume=65|issue=3|pages=629–662|doi=10.1007/s00199-017-1033-4|s2cid=125420775|issn=0938-2259}}</ref><ref name=":32">{{Cite journal|last1=Oliveira|first1=I.F.D.|last2=Zehavi|first2=S.|last3=Davidov|first3=O.|date=August 2018|title=Stochastic transitivity: Axioms and models|journal=Journal of Mathematical Psychology|volume=85|pages=25–35|doi=10.1016/j.jmp.2018.06.002|issn=0022-2496}}</ref> अध्ययन किए गए द्विआधारी संबंधों की ट्रांसिटिविटी गुणधर्म के स्टोकेस्टिक संस्करण हैं। स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी के कई मॉडल होते हैं और युग्मित तुलनाओं के प्रयोगों में सम्मिलित संभावनाओं का वर्णन करने के लिए उनका उपयोग किया गया है, विशेषतः उन परिदृश्यों में जहां ट्रांसिटिविटी अपेक्षित है, यद्यपि, द्विआधारी संबंध का अनुभवजन्य अवलोकन संभाव्य है। उदाहरण के लिए, किसी खेल में खिलाड़ियों का कौशल पारगमन होने की अपेक्षा की जा सकती है, अर्थात "यदि खिलाड़ी A, B से उत्तम है और B, C से उत्तम है, तो खिलाड़ी A को C से उत्तम होना चाहिए"; यद्यपि किसी भी मैच में एक दुर्बल खिलाड़ी भी सकारात्मक संभावना के साथ विजय प्राप्त कर सकता है। दृढ़ता से सुमेलित खिलाड़ी को इस व्युत्क्रम के अवलोकन की अधिक संभावना हो सकती है, जबकि कौशल में विशाल अंतर वाले खिलाड़ी इन व्युत्क्रम को संभवतः प्रेक्षित कर पाएंगे। स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी मॉडल संभावनाओं (उदाहरण के लिए, किसी खेल का निष्कर्ष) और अंतर्निहित पारगमन संबंध (उदाहरण के लिए खिलाड़ियों के कौशल) के बीच ऐसे संबंधों को औपचारिक बनाते हैं।


समुच्चय <math>\mathcal{A}</math> पर द्विआधारी संबंध <math display="inline">\succsim</math> को मानक गैर-प्रसंभाव्य अर्थ में पारगमन कहा जाता है, यदि <math>\mathcal{A}</math> के सभी सदस्यों <math>a,b,c</math> के लिए <math>a \succsim b</math> और <math>b \succsim c</math> तात्पर्य <math>a \succsim c</math> हैं।.
समुच्चय <math>\mathcal{A}</math> पर द्विआधारी संबंध <math display="inline">\succsim</math> को मानक गैर-स्टोकेस्टिक अर्थ में पारगमन कहा जाता है, यदि <math>\mathcal{A}</math> के सभी सदस्यों <math>a,b,c</math> के लिए <math>a \succsim b</math> और <math>b \succsim c</math> तात्पर्य <math>a \succsim c</math> हैं।.


पारगमनता के प्रसंभाव्य संस्करणों में सम्मिलित हैं:
ट्रांसिटिविटी के स्टोकेस्टिक संस्करणों में सम्मिलित हैं:
# '''अशक्त प्रसंभाव्य पारगमनता (डबल्यूएसटी):''' ' <math>\mathbb{P}(a\succsim b)\geq \tfrac{1}{2}</math> और <math>\mathbb{P}(b\succsim c)\geq \tfrac{1}{2}</math> का तात्पर्य सभी <math>a,b,c \in \mathcal{A}</math> के लिए  <math>\mathbb{P}(a\succsim c)\geq \tfrac{1}{2}</math> से है।<ref name="Davidson.Marschak.1958">{{cite report | url=https://web.stanford.edu/group/csli-suppes/techreports/IMSSS_17.pdf | author=Donald Davidson and Jacob Marschak | title=स्टोकेस्टिक निर्णय सिद्धांत के प्रायोगिक परीक्षण| institution=Stanford University | type=Technical Report | number=17 | date=Jul 1958 }}</ref>{{rp|12}}<ref>{{cite journal | url=https://www.chapman.edu/research/institutes-and-centers/economic-science-institute/_files/ifree-papers-and-photos/michel-regenwetter1.pdf | author=Michel Regenwetter and Jason Dana and Clintin P. Davis-Stober | title=प्राथमिकताओं की परिवर्तनशीलता| journal=Psychological Review | volume=118 | number=1 | pages=42&ndash;56 | year=2011 | doi=10.1037/a0021150 | pmid=21244185 }}</ref>{{rp|43rg}}
# '''अशक्त स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी (डबल्यूएसटी):''' ' <math>\mathbb{P}(a\succsim b)\geq \tfrac{1}{2}</math> और <math>\mathbb{P}(b\succsim c)\geq \tfrac{1}{2}</math> का तात्पर्य सभी <math>a,b,c \in \mathcal{A}</math> के लिए  <math>\mathbb{P}(a\succsim c)\geq \tfrac{1}{2}</math> से है।<ref name="Davidson.Marschak.1958">{{cite report | url=https://web.stanford.edu/group/csli-suppes/techreports/IMSSS_17.pdf | author=Donald Davidson and Jacob Marschak | title=स्टोकेस्टिक निर्णय सिद्धांत के प्रायोगिक परीक्षण| institution=Stanford University | type=Technical Report | number=17 | date=Jul 1958 }}</ref>{{rp|12}}<ref>{{cite journal | url=https://www.chapman.edu/research/institutes-and-centers/economic-science-institute/_files/ifree-papers-and-photos/michel-regenwetter1.pdf | author=Michel Regenwetter and Jason Dana and Clintin P. Davis-Stober | title=प्राथमिकताओं की परिवर्तनशीलता| journal=Psychological Review | volume=118 | number=1 | pages=42&ndash;56 | year=2011 | doi=10.1037/a0021150 | pmid=21244185 }}</ref>{{rp|43rg}}
# '''दृढ़ प्रसंभाव्य पारगमनता (एसएसटी):'''  <math>\mathbb{P}(a\succsim b)\geq \tfrac{1}{2}</math> और <math>\mathbb{P}(b\succsim c)\geq \tfrac{1}{2}</math> का तात्पर्य सभी <math>a,b,c \in \mathcal{A}</math> के लिए <math>\mathbb{P}(a\succsim c)\geq \max \{\mathbb{P}(a\succsim b),\mathbb{P}(b\succsim c)\}</math>से है।<ref name="Davidson.Marschak.1958"/>{{rp|12}}
# '''दृढ़ स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी (एसएसटी):'''  <math>\mathbb{P}(a\succsim b)\geq \tfrac{1}{2}</math> और <math>\mathbb{P}(b\succsim c)\geq \tfrac{1}{2}</math> का तात्पर्य सभी <math>a,b,c \in \mathcal{A}</math> के लिए <math>\mathbb{P}(a\succsim c)\geq \max \{\mathbb{P}(a\succsim b),\mathbb{P}(b\succsim c)\}</math>से है।<ref name="Davidson.Marschak.1958"/>{{rp|12}}
# '''रैखिक प्रसंभाव्य पारगमनता (एलएसटी):''' <math>\mathbb{P}(a\succsim b) = F(\mu(a) - \mu(b))</math>, सभी के लिए <math>a,b \in \mathcal{A}</math>, कहाँ <math>F:\mathbb{R} \to [0,1]</math> कुछ बढ़ता हुआ कार्य है और {{clarify span|symmetric|reason=The meaning here apparently deviates from that of the 'Symmetric function' article.|date=February 2020}} फ़ंक्शन (तुलना फ़ंक्शन कहा जाता है), और <math>\mu: \mathcal{A}\to \mathbb{R}</math> सेट से कुछ मैपिंग है <math>\mathcal{A}</math> वास्तविक रेखा के विकल्पों का (जिसे योग्यता फलन कहा जाता है)।
# '''रैखिक स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी (एलएसटी):''' सभी <math>a,b \in \mathcal{A}</math> के लिए <math>\mathbb{P}(a\succsim b) = F(\mu(a) - \mu(b))</math>, जहाँ <math>F:\mathbb{R} \to [0,1]</math> कुछ वर्धमान और {{clarify span|सममित|reason=The meaning here apparently deviates from that of the 'Symmetric function' article.|date=February 2020}}फलन है (तुलना फलन कहा जाता है) और <math>\mu: \mathcal{A}\to \mathbb{R}</math> विकल्पों के समुच्चय <math>\mathcal{A}</math> से वास्तविक रेखा तक कुछ मैपिंग है (जिसे योग्यता फलन कहा जाता है )।


== एक खिलौने का उदाहरण ==
== एक खिलौने का उदाहरण ==
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<math>\mathbb{P}(\text{Billy} \succsim \text{Gabriela}) = \frac{B}{B+G} = \frac{e^{\ln(B)}}{e^{\ln(B)}+e^{\ln(G)}} = \frac{1}{1+e^{\ln(G)-\ln(B)}}</math>.
<math>\mathbb{P}(\text{Billy} \succsim \text{Gabriela}) = \frac{B}{B+G} = \frac{e^{\ln(B)}}{e^{\ln(B)}+e^{\ln(G)}} = \frac{1}{1+e^{\ln(G)-\ln(B)}}</math>.


इस उदाहरण में, संगमरमर का खेल रैखिक प्रसंभाव्य पारगमनता को संतुष्ट करता है, जहाँ तुलना फलन <math>F:\mathbb{R} \to [0,1]</math> द्वारा दिया गया है <math>F(x) = \frac{1}{1+e^{-x
इस उदाहरण में, संगमरमर का खेल रैखिक स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी को संतुष्ट करता है, जहाँ तुलना फलन <math>F:\mathbb{R} \to [0,1]</math> द्वारा दिया गया है <math>F(x) = \frac{1}{1+e^{-x
}}</math> और योग्यता फलन <math>\mu: \mathcal{A}\to \mathbb{R}</math> , <math>\mu(M) = \ln(M)</math>,द्वारा दिया गया है, जहाँ <math>M</math> खिलाड़ी के मार्बल की संख्या है। यह खेल ब्रैडली-टेरी मॉडल का एक उदाहरण है।<ref>{{Cite journal|last1=Bradley|first1=Ralph Allan|last2=Terry|first2=Milton E.|date=December 1952|title=Rank Analysis of Incomplete Block Designs: I. The Method of Paired Comparisons|journal=Biometrika|volume=39|issue=3/4|pages=324|doi=10.2307/2334029|jstor=2334029}}</ref>
}}</math> और योग्यता फलन <math>\mu: \mathcal{A}\to \mathbb{R}</math> , <math>\mu(M) = \ln(M)</math>,द्वारा दिया गया है, जहाँ <math>M</math> खिलाड़ी के मार्बल की संख्या है। यह खेल ब्रैडली-टेरी मॉडल का एक उदाहरण है।<ref>{{Cite journal|last1=Bradley|first1=Ralph Allan|last2=Terry|first2=Milton E.|date=December 1952|title=Rank Analysis of Incomplete Block Designs: I. The Method of Paired Comparisons|journal=Biometrika|volume=39|issue=3/4|pages=324|doi=10.2307/2334029|jstor=2334029}}</ref>




== अनुप्रयोग ==
== अनुप्रयोग ==
* '''श्रेणीकरण और सन्‍निर्धारण''' - प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल का उपयोग कई श्रेणीकरण और सन्‍निर्धारण प्रणालियों के आधार के रूप में किया गया है। उदाहरणों में शतरंज, गो और अन्य शास्त्रीय खेलों में उपयोग की जाने वाली [[एलो रेटिंग प्रणाली]] के साथ-साथ एक्सबॉक्स गेमिंग प्लेटफ़ॉर्म के लिए उपयोग की जाने वाली माइक्रोसॉफ्ट की [[ सच्चा कौशल |ट्रूस्किल]] सम्मिलित है।
* '''श्रेणीकरण और सन्‍निर्धारण''' - स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी मॉडल का उपयोग कई श्रेणीकरण और सन्‍निर्धारण प्रणालियों के आधार के रूप में किया गया है। उदाहरणों में शतरंज, गो और अन्य शास्त्रीय खेलों में उपयोग की जाने वाली [[एलो रेटिंग प्रणाली]] के साथ-साथ एक्सबॉक्स गेमिंग प्लेटफ़ॉर्म के लिए उपयोग की जाने वाली माइक्रोसॉफ्ट की [[ सच्चा कौशल |ट्रूस्किल]] सम्मिलित है।
* '''मनोविज्ञान और तर्कसंगतता के मॉडल''' - [[थर्स्टोनियन मॉडल]]<ref>{{Cite journal|last=Thurstone|first=L. L.|date=1994|title=तुलनात्मक निर्णय का एक नियम.|journal=Psychological Review|volume=101|issue=2|pages=266–270|doi=10.1037/0033-295X.101.2.266|issn=0033-295X}}</ref> (तुलनात्मक निर्णय के नियम में केस 5 देखें), फेचनेरियन मॉडल<ref name=":22" />और लूस की वरण सिद्धांत ऐसे सिद्धांत हैं<ref>{{Cite book|title=Individual choice behavior : a theoretical analysis|last=Luce, R. Duncan (Robert Duncan)|date=2005|publisher=Dover Publications|isbn=0486441369|location=Mineola, N.Y.|oclc=874031603}}</ref> जिनका आधार प्रसंभाव्य पारगमनता के गणित पर है। इसके अतिरिक्त, [[तर्कसंगत विकल्प सिद्धांत|तर्कसंगत वरण सिद्धांत]] के मॉडल प्राथमिकताओं की पारगमनता की अवधारणा पर आधारित हैं (वॉन न्यूमैन की उपयोगिता और डेब्रू के प्रमेय देखें), यद्यपि, ये प्राथमिकताएं प्रायः प्रसंभाव्य तरीके से रव के साथ प्रत्यक्ष होती हैं।<ref>{{Cite journal|last=Debreu|first=Gerard|date=July 1958|title=स्टोकेस्टिक चॉइस और कार्डिनल यूटिलिटी|journal=Econometrica|volume=26|issue=3|pages=440–444|doi=10.2307/1907622|issn=0012-9682|jstor=1907622|url=http://cowles.yale.edu/sites/default/files/files/pub/d00/d0039.pdf}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Regenwetter|first1=Michel|last2=Dana|first2=Jason|last3=Davis-Stober|first3=Clintin P.|date=2011|title=प्राथमिकताओं की परिवर्तनशीलता.|journal=Psychological Review|volume=118|issue=1|pages=42–56|doi=10.1037/a0021150|pmid=21244185|issn=1939-1471}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Cavagnaro|first1=Daniel R.|last2=Davis-Stober|first2=Clintin P.|date=2014|title=Transitive in our preferences, but transitive in different ways: An analysis of choice variability.|journal=Decision|volume=1|issue=2|pages=102–122|doi=10.1037/dec0000011|issn=2325-9973}}</ref>
* '''मनोविज्ञान और तर्कसंगतता के मॉडल''' - [[थर्स्टोनियन मॉडल]]<ref>{{Cite journal|last=Thurstone|first=L. L.|date=1994|title=तुलनात्मक निर्णय का एक नियम.|journal=Psychological Review|volume=101|issue=2|pages=266–270|doi=10.1037/0033-295X.101.2.266|issn=0033-295X}}</ref> (तुलनात्मक निर्णय के नियम में केस 5 देखें), फेचनेरियन मॉडल<ref name=":22" />और लूस की वरण सिद्धांत ऐसे सिद्धांत हैं<ref>{{Cite book|title=Individual choice behavior : a theoretical analysis|last=Luce, R. Duncan (Robert Duncan)|date=2005|publisher=Dover Publications|isbn=0486441369|location=Mineola, N.Y.|oclc=874031603}}</ref> जिनका आधार स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी के गणित पर है। इसके अतिरिक्त, [[तर्कसंगत विकल्प सिद्धांत|तर्कसंगत वरण सिद्धांत]] के मॉडल प्राथमिकताओं की ट्रांसिटिविटी की अवधारणा पर आधारित हैं (वॉन न्यूमैन की उपयोगिता और डेब्रू के प्रमेय देखें), यद्यपि, ये प्राथमिकताएं प्रायः स्टोकेस्टिक तरीके से रव के साथ प्रत्यक्ष होती हैं।<ref>{{Cite journal|last=Debreu|first=Gerard|date=July 1958|title=स्टोकेस्टिक चॉइस और कार्डिनल यूटिलिटी|journal=Econometrica|volume=26|issue=3|pages=440–444|doi=10.2307/1907622|issn=0012-9682|jstor=1907622|url=http://cowles.yale.edu/sites/default/files/files/pub/d00/d0039.pdf}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Regenwetter|first1=Michel|last2=Dana|first2=Jason|last3=Davis-Stober|first3=Clintin P.|date=2011|title=प्राथमिकताओं की परिवर्तनशीलता.|journal=Psychological Review|volume=118|issue=1|pages=42–56|doi=10.1037/a0021150|pmid=21244185|issn=1939-1471}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Cavagnaro|first1=Daniel R.|last2=Davis-Stober|first2=Clintin P.|date=2014|title=Transitive in our preferences, but transitive in different ways: An analysis of choice variability.|journal=Decision|volume=1|issue=2|pages=102–122|doi=10.1037/dec0000011|issn=2325-9973}}</ref>
* '''यंत्र अधिगम और कृत्रिम बुद्धि (श्रेणीकरण करना सीखें देखें)''' - जबकि एलो और ट्रूस्किल विशिष्ट एलएसटी मॉडल पर निर्भर करते हैं, यंत्र अधिगम मॉडल को अंतर्निहित प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल के पूर्व ज्ञान के बिना या प्रसंभाव्य पारगमनता पर सामान्य अवधारणाओं से अशक्त के अंतर्गत श्रेणीकरण करने के लिए विकसित किया गया है।<ref name=":42">{{Cite journal|last1=Shah|first1=Nihar B.|last2=Balakrishnan|first2=Sivaraman|last3=Guntuboyina|first3=Adityanand|last4=Wainwright|first4=Martin J.|date=February 2017|title=Stochastically Transitive Models for Pairwise Comparisons: Statistical and Computational Issues|journal=IEEE Transactions on Information Theory|volume=63|issue=2|pages=934–959|doi=10.1109/tit.2016.2634418|issn=0018-9448|doi-access=free}}</ref><ref name=":52">{{Cite journal|last1=Chatterjee|first1=Sabyasachi|last2=Mukherjee|first2=Sumit|date=June 2019|title=मोनोटोनिसिटी बाधाओं के तहत टूर्नामेंट और ग्राफ़ में अनुमान|journal=IEEE Transactions on Information Theory|volume=65|issue=6|pages=3525–3539|doi=10.1109/tit.2019.2893911|issn=0018-9448|arxiv=1603.04556|s2cid=54740089}}</ref><ref name=":62">{{Cite journal|last1=Oliveira|first1=Ivo F.D.|last2=Ailon|first2=Nir|last3=Davidov|first3=Ori|year=2018|title=युग्मित तुलना डेटा के विश्लेषण के लिए एक नया और लचीला दृष्टिकोण|url=http://www.jmlr.org/papers/v19/17-179.html|journal=Journal of Machine Learning Research|volume=19|pages=1–29}}</ref>  युग्मित तुलनाओं से अधिगम भी अभिरूचि में है क्योंकि यह एआई एजेंट को अन्य एजेंट की अंतर्निहित प्राथमिकताओं के ज्ञात की अनुमति देता है।
* '''यंत्र अधिगम और कृत्रिम बुद्धि (श्रेणीकरण करना सीखें देखें)''' - जबकि एलो और ट्रूस्किल विशिष्ट एलएसटी मॉडल पर निर्भर करते हैं, यंत्र अधिगम मॉडल को अंतर्निहित स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी मॉडल के पूर्व ज्ञान के बिना या स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी पर सामान्य अवधारणाओं से अशक्त के अंतर्गत श्रेणीकरण करने के लिए विकसित किया गया है।<ref name=":42">{{Cite journal|last1=Shah|first1=Nihar B.|last2=Balakrishnan|first2=Sivaraman|last3=Guntuboyina|first3=Adityanand|last4=Wainwright|first4=Martin J.|date=February 2017|title=Stochastically Transitive Models for Pairwise Comparisons: Statistical and Computational Issues|journal=IEEE Transactions on Information Theory|volume=63|issue=2|pages=934–959|doi=10.1109/tit.2016.2634418|issn=0018-9448|doi-access=free}}</ref><ref name=":52">{{Cite journal|last1=Chatterjee|first1=Sabyasachi|last2=Mukherjee|first2=Sumit|date=June 2019|title=मोनोटोनिसिटी बाधाओं के तहत टूर्नामेंट और ग्राफ़ में अनुमान|journal=IEEE Transactions on Information Theory|volume=65|issue=6|pages=3525–3539|doi=10.1109/tit.2019.2893911|issn=0018-9448|arxiv=1603.04556|s2cid=54740089}}</ref><ref name=":62">{{Cite journal|last1=Oliveira|first1=Ivo F.D.|last2=Ailon|first2=Nir|last3=Davidov|first3=Ori|year=2018|title=युग्मित तुलना डेटा के विश्लेषण के लिए एक नया और लचीला दृष्टिकोण|url=http://www.jmlr.org/papers/v19/17-179.html|journal=Journal of Machine Learning Research|volume=19|pages=1–29}}</ref>  युग्मित तुलनाओं से अधिगम भी अभिरूचि में है क्योंकि यह एआई एजेंट को अन्य एजेंट की अंतर्निहित प्राथमिकताओं के ज्ञात की अनुमति देता है।
* '''गेम थ्योरी''' - यादृच्छिक नॉकआउट टूर्नामेंट की निष्पक्षता अंतर्निहित प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल पर दृढ़ता से निर्भर है।<ref>{{Cite journal|last=Israel|first=Robert B.|date=December 1981|title=मजबूत खिलाड़ियों को अधिक नॉकआउट टूर्नामेंट जीतने की आवश्यकता नहीं है|journal=Journal of the American Statistical Association|volume=76|issue=376|pages=950–951|doi=10.2307/2287594|issn=0162-1459|jstor=2287594}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Chen|first1=Robert|last2=Hwang|first2=F. K.|date=December 1988|title=मजबूत खिलाड़ी अधिक संतुलित नॉकआउट टूर्नामेंट जीतते हैं|journal=Graphs and Combinatorics|volume=4|issue=1|pages=95–99|doi=10.1007/bf01864157|s2cid=44602228|issn=0911-0119}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Adler|first1=Ilan|last2=Cao|first2=Yang|last3=Karp|first3=Richard|last4=Peköz|first4=Erol A.|last5=Ross|first5=Sheldon M.|date=December 2017|title=रैंडम नॉकआउट टूर्नामेंट|journal=Operations Research|volume=65|issue=6|pages=1589–1596|doi=10.1287/opre.2017.1657|issn=0030-364X|arxiv=1612.04448|s2cid=1041539}}</ref>  सामाजिक वरण सिद्धांत का आधार भी प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल पर निर्भर करती है।<ref>{{Cite journal|last=Sen|first=Amartya|date=January 1977|title=Social Choice Theory: A Re-Examination|journal=Econometrica|volume=45|issue=1|pages=53–89|doi=10.2307/1913287|issn=0012-9682|jstor=1913287}}</ref>
* '''गेम थ्योरी''' - यादृच्छिक नॉकआउट टूर्नामेंट की निष्पक्षता अंतर्निहित स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी मॉडल पर दृढ़ता से निर्भर है।<ref>{{Cite journal|last=Israel|first=Robert B.|date=December 1981|title=मजबूत खिलाड़ियों को अधिक नॉकआउट टूर्नामेंट जीतने की आवश्यकता नहीं है|journal=Journal of the American Statistical Association|volume=76|issue=376|pages=950–951|doi=10.2307/2287594|issn=0162-1459|jstor=2287594}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Chen|first1=Robert|last2=Hwang|first2=F. K.|date=December 1988|title=मजबूत खिलाड़ी अधिक संतुलित नॉकआउट टूर्नामेंट जीतते हैं|journal=Graphs and Combinatorics|volume=4|issue=1|pages=95–99|doi=10.1007/bf01864157|s2cid=44602228|issn=0911-0119}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Adler|first1=Ilan|last2=Cao|first2=Yang|last3=Karp|first3=Richard|last4=Peköz|first4=Erol A.|last5=Ross|first5=Sheldon M.|date=December 2017|title=रैंडम नॉकआउट टूर्नामेंट|journal=Operations Research|volume=65|issue=6|pages=1589–1596|doi=10.1287/opre.2017.1657|issn=0030-364X|arxiv=1612.04448|s2cid=1041539}}</ref>  सामाजिक वरण सिद्धांत का आधार भी स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी मॉडल पर निर्भर करती है।<ref>{{Cite journal|last=Sen|first=Amartya|date=January 1977|title=Social Choice Theory: A Re-Examination|journal=Econometrica|volume=45|issue=1|pages=53–89|doi=10.2307/1913287|issn=0012-9682|jstor=1913287}}</ref>
== मॉडलों के मध्य संबंध ==
== मॉडलों के मध्य संबंध ==
'''सकारात्मक परिणाम:'''
'''सकारात्मक परिणाम:'''


# प्रत्येक मॉडल जो रैखिक प्रसंभाव्य पारगमनता को संतुष्ट करता है उसे दृढ़ प्रसंभाव्य पारगमनता को भी संतुष्ट करना चाहिए, जिसे परिणामस्वरूप अशक्त प्रसंभाव्य पारगमनता को संतुष्ट करना चाहिए। इसे इस प्रकार दर्शाया गया है: एलएसटी <math>\implies</math> एसएसटी<math>\implies</math>डब्ल्यूएसटी;
# प्रत्येक मॉडल जो रैखिक स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी को संतुष्ट करता है उसे दृढ़ स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी को भी संतुष्ट करना चाहिए, जिसे परिणामस्वरूप अशक्त स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी को संतुष्ट करना चाहिए। इसे इस प्रकार दर्शाया गया है: एलएसटी <math>\implies</math> एसएसटी<math>\implies</math>डब्ल्यूएसटी;
# चूंकि ब्रैडली-टेरी मॉडल और थर्स्टन का केस V मॉडल एलएसटी मॉडल हैं,<ref>{{Cite journal|last=Thurstone|first=L. L.|date=1994|title=तुलनात्मक निर्णय का एक नियम.|journal=Psychological Review|volume=101|issue=2|pages=266–270|doi=10.1037/0033-295X.101.2.266|issn=0033-295X}}</ref> वे एसएसटी और डब्लूएसटी को भी संतुष्ट करते हैं;
# चूंकि ब्रैडली-टेरी मॉडल और थर्स्टन का केस V मॉडल एलएसटी मॉडल हैं,<ref>{{Cite journal|last=Thurstone|first=L. L.|date=1994|title=तुलनात्मक निर्णय का एक नियम.|journal=Psychological Review|volume=101|issue=2|pages=266–270|doi=10.1037/0033-295X.101.2.266|issn=0033-295X}}</ref> वे एसएसटी और डब्लूएसटी को भी संतुष्ट करते हैं;
# {{clarify span|अधिक संरचित मॉडल|reason=Which of the mentioned models are meant here?|date=February 2020}} की सुविधा के कारण, कुछ लेखकों <ref name=":02" /><ref name=":12" /><ref name=":22" /><ref name=":32" /><ref>{{Cite book|title=स्टोकेस्टिक उपयोगिता प्रमेय|last=Blavatskyy, Pavlo R.|date=2007|publisher=Inst. for Empirical Research in Economics|oclc=255736997}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Dagsvik|first=John K.|date=October 2015|title=Stochastic models for risky choices: A comparison of different axiomatizations|journal=Journal of Mathematical Economics|volume=60|pages=81–88|doi=10.1016/j.jmateco.2015.06.013|issn=0304-4068}}</ref> ने रैखिक प्रसंभाव्य पारगमनता (और अन्य मॉडल) के स्वतःसिद्ध {{clarify span|प्रामाणिकता|reason=Axioms aren't intended to justify anything. Possibly, 'definition' is meant here?|date=February 2020}}निर्धारित की है, विशेष रूप से जेरार्ड डेब्रू ने प्रदर्शित किया है कि:<ref>{{Cite journal|last=Debreu|first=Gerard|date=July 1958|title=स्टोकेस्टिक चॉइस और कार्डिनल यूटिलिटी|journal=Econometrica|volume=26|issue=3|pages=440–444|doi=10.2307/1907622|issn=0012-9682|jstor=1907622|url=http://cowles.yale.edu/sites/default/files/files/pub/d00/d0039.pdf}}</ref> {{clarify span| चतुः स्थिति|reason=This notion should be explained, or omitted ('... gave a sufficient condition for LST').|date=February 2020}} + {{clarify span|निरंतरता|reason=Ditto.|date=February 2020}}  <math>\implies</math> एलएसटी ([[डेब्रू प्रमेय]] भी देखें);
# {{clarify span|अधिक संरचित मॉडल|reason=Which of the mentioned models are meant here?|date=February 2020}} की सुविधा के कारण, कुछ लेखकों <ref name=":02" /><ref name=":12" /><ref name=":22" /><ref name=":32" /><ref>{{Cite book|title=स्टोकेस्टिक उपयोगिता प्रमेय|last=Blavatskyy, Pavlo R.|date=2007|publisher=Inst. for Empirical Research in Economics|oclc=255736997}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Dagsvik|first=John K.|date=October 2015|title=Stochastic models for risky choices: A comparison of different axiomatizations|journal=Journal of Mathematical Economics|volume=60|pages=81–88|doi=10.1016/j.jmateco.2015.06.013|issn=0304-4068}}</ref> ने रैखिक स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी (और अन्य मॉडल) के स्वतःसिद्ध {{clarify span|प्रामाणिकता|reason=Axioms aren't intended to justify anything. Possibly, 'definition' is meant here?|date=February 2020}}निर्धारित की है, विशेष रूप से जेरार्ड डेब्रू ने प्रदर्शित किया है कि:<ref>{{Cite journal|last=Debreu|first=Gerard|date=July 1958|title=स्टोकेस्टिक चॉइस और कार्डिनल यूटिलिटी|journal=Econometrica|volume=26|issue=3|pages=440–444|doi=10.2307/1907622|issn=0012-9682|jstor=1907622|url=http://cowles.yale.edu/sites/default/files/files/pub/d00/d0039.pdf}}</ref> {{clarify span| चतुः स्थिति|reason=This notion should be explained, or omitted ('... gave a sufficient condition for LST').|date=February 2020}} + {{clarify span|निरंतरता|reason=Ditto.|date=February 2020}}  <math>\implies</math> एलएसटी ([[डेब्रू प्रमेय]] भी देखें);
# व्युत्क्रमणीय तुलना फलन <math>F(x)</math> और  <math>G(x)</math> द्वारा दिए गए दो LST मॉडल {{clarify span|समतुल्य|Give a definition, in particular, if it involves something like 'almost everywhere'.|date=February 2020}} हैं, यदि और केवल यदि कुछ <math>\kappa \geq 0.</math>  के लिए <math>F(x) = G(\kappa x)</math> है। <ref>{{Cite journal|last=Yellott|first=John I.|date=April 1977|title=लूस की चॉइस एक्सिओम, थर्स्टन की तुलनात्मक निर्णय के सिद्धांत और दोहरे घातीय वितरण के बीच संबंध|journal=Journal of Mathematical Psychology|volume=15|issue=2|pages=109–144|doi=10.1016/0022-2496(77)90026-8|issn=0022-2496|url=https://escholarship.org/uc/item/7z91732x}}</ref>
# व्युत्क्रमणीय तुलना फलन <math>F(x)</math> और  <math>G(x)</math> द्वारा दिए गए दो LST मॉडल {{clarify span|समतुल्य|Give a definition, in particular, if it involves something like 'almost everywhere'.|date=February 2020}} हैं, यदि और केवल यदि कुछ <math>\kappa \geq 0.</math>  के लिए <math>F(x) = G(\kappa x)</math> है। <ref>{{Cite journal|last=Yellott|first=John I.|date=April 1977|title=लूस की चॉइस एक्सिओम, थर्स्टन की तुलनात्मक निर्णय के सिद्धांत और दोहरे घातीय वितरण के बीच संबंध|journal=Journal of Mathematical Psychology|volume=15|issue=2|pages=109–144|doi=10.1016/0022-2496(77)90026-8|issn=0022-2496|url=https://escholarship.org/uc/item/7z91732x}}</ref>
'''नकारात्मक परिणाम:'''
'''नकारात्मक परिणाम:'''


# प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल अनुभवतः {{clarify span|असत्यापनीय|reason=In which sense, and for what reason? E.g. non-stochastic transitivity can be verified if, and only if, the domain A is finite; it can be falsified for any A, given sufficient luck.|date=February 2020}}<ref name=":32" /> हैं, यद्यपि वे मिथ्याकरणीय हो सकते हैं;
# स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी मॉडल अनुभवतः {{clarify span|असत्यापनीय|reason=In which sense, and for what reason? E.g. non-stochastic transitivity can be verified if, and only if, the domain A is finite; it can be falsified for any A, given sufficient luck.|date=February 2020}}<ref name=":32" /> हैं, यद्यपि वे मिथ्याकरणीय हो सकते हैं;
# एलएसटी तुलना फलन <math>F(x)</math> और  <math>G(x)</math> के मध्य {{clarify span|अंतर करना|reason=Elaborate on the setting. What is given? What is asked for? Is there a notion of 'algorithm' (or a generalization to infinite input) involved?|date=February 2020}} है, यद्यपि सीमित {{clarify span|संख्या|reason=Are these members of A, or what else?|date=February 2020}} में डेटा की अनंत मात्रा प्रदान की गई हो;<ref>{{Cite journal|last1=Rockwell|first1=Christina|last2=Yellott|first2=John I.|date=February 1979|title=समतुल्य थर्स्टन मॉडल पर एक नोट|journal=Journal of Mathematical Psychology|volume=19|issue=1|pages=65–71|doi=10.1016/0022-2496(79)90006-3|issn=0022-2496|url=http://www.escholarship.org/uc/item/3c86p1kc}}</ref>
# एलएसटी तुलना फलन <math>F(x)</math> और  <math>G(x)</math> के मध्य {{clarify span|अंतर करना|reason=Elaborate on the setting. What is given? What is asked for? Is there a notion of 'algorithm' (or a generalization to infinite input) involved?|date=February 2020}} है, यद्यपि सीमित {{clarify span|संख्या|reason=Are these members of A, or what else?|date=February 2020}} में डेटा की अनंत मात्रा प्रदान की गई हो;<ref>{{Cite journal|last1=Rockwell|first1=Christina|last2=Yellott|first2=John I.|date=February 1979|title=समतुल्य थर्स्टन मॉडल पर एक नोट|journal=Journal of Mathematical Psychology|volume=19|issue=1|pages=65–71|doi=10.1016/0022-2496(79)90006-3|issn=0022-2496|url=http://www.escholarship.org/uc/item/3c86p1kc}}</ref>
# डब्लूएसटी, एसएसटी और एलएसटी मॉडल के लिए {{clarify span|अनुमानित समस्या|date=}}सामान्य रूप से एनपी-हार्ड है,<ref>{{Cite journal|last=deCani|first=John S.|date=December 1969|title=रैखिक प्रोग्रामिंग द्वारा अधिकतम संभावना युग्मित तुलना रैंकिंग|journal=Biometrika|volume=56|issue=3|pages=537–545|doi=10.2307/2334661|issn=0006-3444|jstor=2334661}}</ref> हालांकि एसएसटी और एलएसटी मॉडल के लिए इष्टतम बहुपद रूप से गणना योग्य अनुमान प्रक्रियाएं ज्ञात हैं।<ref name=":42" /><ref name=":52" /><ref name=":62" />
# डब्लूएसटी, एसएसटी और एलएसटी मॉडल के लिए {{clarify span|अनुमानित समस्या|date=}}सामान्य रूप से एनपी-हार्ड है,<ref>{{Cite journal|last=deCani|first=John S.|date=December 1969|title=रैखिक प्रोग्रामिंग द्वारा अधिकतम संभावना युग्मित तुलना रैंकिंग|journal=Biometrika|volume=56|issue=3|pages=537–545|doi=10.2307/2334661|issn=0006-3444|jstor=2334661}}</ref> हालांकि एसएसटी और एलएसटी मॉडल के लिए इष्टतम बहुपद रूप से गणना योग्य अनुमान प्रक्रियाएं ज्ञात हैं।<ref name=":42" /><ref name=":52" /><ref name=":62" />
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== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
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Latest revision as of 15:13, 5 September 2023

स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी (प्रसंभाव्य पारगमनता) मॉडल[1][2][3][4] अध्ययन किए गए द्विआधारी संबंधों की ट्रांसिटिविटी गुणधर्म के स्टोकेस्टिक संस्करण हैं। स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी के कई मॉडल होते हैं और युग्मित तुलनाओं के प्रयोगों में सम्मिलित संभावनाओं का वर्णन करने के लिए उनका उपयोग किया गया है, विशेषतः उन परिदृश्यों में जहां ट्रांसिटिविटी अपेक्षित है, यद्यपि, द्विआधारी संबंध का अनुभवजन्य अवलोकन संभाव्य है। उदाहरण के लिए, किसी खेल में खिलाड़ियों का कौशल पारगमन होने की अपेक्षा की जा सकती है, अर्थात "यदि खिलाड़ी A, B से उत्तम है और B, C से उत्तम है, तो खिलाड़ी A को C से उत्तम होना चाहिए"; यद्यपि किसी भी मैच में एक दुर्बल खिलाड़ी भी सकारात्मक संभावना के साथ विजय प्राप्त कर सकता है। दृढ़ता से सुमेलित खिलाड़ी को इस व्युत्क्रम के अवलोकन की अधिक संभावना हो सकती है, जबकि कौशल में विशाल अंतर वाले खिलाड़ी इन व्युत्क्रम को संभवतः प्रेक्षित कर पाएंगे। स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी मॉडल संभावनाओं (उदाहरण के लिए, किसी खेल का निष्कर्ष) और अंतर्निहित पारगमन संबंध (उदाहरण के लिए खिलाड़ियों के कौशल) के बीच ऐसे संबंधों को औपचारिक बनाते हैं।

समुच्चय पर द्विआधारी संबंध को मानक गैर-स्टोकेस्टिक अर्थ में पारगमन कहा जाता है, यदि के सभी सदस्यों के लिए और तात्पर्य हैं।.

ट्रांसिटिविटी के स्टोकेस्टिक संस्करणों में सम्मिलित हैं:

  1. अशक्त स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी (डबल्यूएसटी): ' और का तात्पर्य सभी के लिए से है।[5]: 12 [6]: 43rg 
  2. दृढ़ स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी (एसएसटी): और का तात्पर्य सभी के लिए से है।[5]: 12 
  3. रैखिक स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी (एलएसटी): सभी के लिए , जहाँ कुछ वर्धमान और सममित[clarify]फलन है (तुलना फलन कहा जाता है) और विकल्पों के समुच्चय से वास्तविक रेखा तक कुछ मैपिंग है (जिसे योग्यता फलन कहा जाता है )।

एक खिलौने का उदाहरण

संगमरमर का खेल - मान लें कि दो बच्चे, बिली और गैब्रिएला मार्बल एकत्रित करते हैं। बिली नीले मार्बल और गैब्रिएला हरे मार्बल एकत्र करता है। वे एकत्र होकर एक खेल खेलते हैं जहां वे अपने सभी मार्बल को एक थैले में मिश्रित करते हैं और यादृच्छिक रूप से एक का नमूना लेते हैं। यदि नमूना लिया गया मार्बल हरा है तो गैब्रिएला विजयी होती है और यदि नीला है, तो बिली विजय होता है। यदि थैली में नीले मार्बल की संख्या है और हरे मार्बल की संख्या है, तो गैब्रिएला के विरुद्ध बिली के विजयी की प्रायिकता है

.

इस उदाहरण में, संगमरमर का खेल रैखिक स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी को संतुष्ट करता है, जहाँ तुलना फलन द्वारा दिया गया है और योग्यता फलन , ,द्वारा दिया गया है, जहाँ खिलाड़ी के मार्बल की संख्या है। यह खेल ब्रैडली-टेरी मॉडल का एक उदाहरण है।[7]


अनुप्रयोग

  • श्रेणीकरण और सन्‍निर्धारण - स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी मॉडल का उपयोग कई श्रेणीकरण और सन्‍निर्धारण प्रणालियों के आधार के रूप में किया गया है। उदाहरणों में शतरंज, गो और अन्य शास्त्रीय खेलों में उपयोग की जाने वाली एलो रेटिंग प्रणाली के साथ-साथ एक्सबॉक्स गेमिंग प्लेटफ़ॉर्म के लिए उपयोग की जाने वाली माइक्रोसॉफ्ट की ट्रूस्किल सम्मिलित है।
  • मनोविज्ञान और तर्कसंगतता के मॉडल - थर्स्टोनियन मॉडल[8] (तुलनात्मक निर्णय के नियम में केस 5 देखें), फेचनेरियन मॉडल[3]और लूस की वरण सिद्धांत ऐसे सिद्धांत हैं[9] जिनका आधार स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी के गणित पर है। इसके अतिरिक्त, तर्कसंगत वरण सिद्धांत के मॉडल प्राथमिकताओं की ट्रांसिटिविटी की अवधारणा पर आधारित हैं (वॉन न्यूमैन की उपयोगिता और डेब्रू के प्रमेय देखें), यद्यपि, ये प्राथमिकताएं प्रायः स्टोकेस्टिक तरीके से रव के साथ प्रत्यक्ष होती हैं।[10][11][12]
  • यंत्र अधिगम और कृत्रिम बुद्धि (श्रेणीकरण करना सीखें देखें) - जबकि एलो और ट्रूस्किल विशिष्ट एलएसटी मॉडल पर निर्भर करते हैं, यंत्र अधिगम मॉडल को अंतर्निहित स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी मॉडल के पूर्व ज्ञान के बिना या स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी पर सामान्य अवधारणाओं से अशक्त के अंतर्गत श्रेणीकरण करने के लिए विकसित किया गया है।[13][14][15] युग्मित तुलनाओं से अधिगम भी अभिरूचि में है क्योंकि यह एआई एजेंट को अन्य एजेंट की अंतर्निहित प्राथमिकताओं के ज्ञात की अनुमति देता है।
  • गेम थ्योरी - यादृच्छिक नॉकआउट टूर्नामेंट की निष्पक्षता अंतर्निहित स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी मॉडल पर दृढ़ता से निर्भर है।[16][17][18] सामाजिक वरण सिद्धांत का आधार भी स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी मॉडल पर निर्भर करती है।[19]

मॉडलों के मध्य संबंध

सकारात्मक परिणाम:

  1. प्रत्येक मॉडल जो रैखिक स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी को संतुष्ट करता है उसे दृढ़ स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी को भी संतुष्ट करना चाहिए, जिसे परिणामस्वरूप अशक्त स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी को संतुष्ट करना चाहिए। इसे इस प्रकार दर्शाया गया है: एलएसटी एसएसटीडब्ल्यूएसटी;
  2. चूंकि ब्रैडली-टेरी मॉडल और थर्स्टन का केस V मॉडल एलएसटी मॉडल हैं,[20] वे एसएसटी और डब्लूएसटी को भी संतुष्ट करते हैं;
  3. अधिक संरचित मॉडल[clarify] की सुविधा के कारण, कुछ लेखकों [1][2][3][4][21][22] ने रैखिक स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी (और अन्य मॉडल) के स्वतःसिद्ध प्रामाणिकता[clarify]निर्धारित की है, विशेष रूप से जेरार्ड डेब्रू ने प्रदर्शित किया है कि:[23] चतुः स्थिति[clarify] + निरंतरता[clarify] एलएसटी (डेब्रू प्रमेय भी देखें);
  4. व्युत्क्रमणीय तुलना फलन और द्वारा दिए गए दो LST मॉडल समतुल्य[clarify] हैं, यदि और केवल यदि कुछ के लिए है। [24]

नकारात्मक परिणाम:

  1. स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी मॉडल अनुभवतः असत्यापनीय[clarify][4] हैं, यद्यपि वे मिथ्याकरणीय हो सकते हैं;
  2. एलएसटी तुलना फलन और के मध्य अंतर करना[clarify] है, यद्यपि सीमित संख्या[clarify] में डेटा की अनंत मात्रा प्रदान की गई हो;[25]
  3. डब्लूएसटी, एसएसटी और एलएसटी मॉडल के लिए अनुमानित समस्या[clarify]सामान्य रूप से एनपी-हार्ड है,[26] हालांकि एसएसटी और एलएसटी मॉडल के लिए इष्टतम बहुपद रूप से गणना योग्य अनुमान प्रक्रियाएं ज्ञात हैं।[13][14][15]

यह भी देखें

संदर्भ

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  2. ↑ 2.0 2.1 Clark, Stephen A. (March 1990). "यादृच्छिक उपयोगिता मॉडल के लिए स्टोकेस्टिक परिवर्तनशीलता की एक अवधारणा". Journal of Mathematical Psychology. 34 (1): 95–108. doi:10.1016/0022-2496(90)90015-2.
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