स्थानीय संबद्ध समष्टि: Difference between revisions

Latest revision as of 10:13, 24 July 2023

इस टोपोलॉजिकल समष्टि में, V, p का प्रतिवेश है और इसमें एक संबद्ध ओपन समुच्चय (गहरे हरे रंग की डिस्क) है जिसमें p सामान्यतः है।

गणित की टोपोलॉजी और अन्य शाखाओं में, टोपोलॉजिकल समष्टि X स्थानीय संबद्ध होता है यदि हर बिंदु आसन्न आधार को स्वीकार करता है जिसमें पूरी तरह से विवृत, संयुक्त समुच्चय होता है।

पृष्ठभूमि

टोपोलॉजी के पूरे इतिहास में, संयोजकता और संहतता सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए गए दो टोपोलॉजिकल गुण रहे हैं। वास्तव में, यूक्लिडियन समष्टि के उपसमुच्चय के बीच भी इन गुणों का अध्ययन, और यूक्लिडियन मीट्रिक के विशेष रूप से उनकी स्वतंत्रता की मान्यता ने टोपोलॉजिकल गुण और इस प्रकार टोपोलॉजिकल समष्टि की धारणा को स्पष्ट करने में बड़ी भूमिका निभाई है। हालाँकि, जबकि यूक्लिडियन समष्टि के सघन उपसमुच्चय की संरचना को हेइन-बोरेल प्रमेय के माध्यम से काफी पहले ही समझ लिया गया था, $\mathbb {R} ^{n}$ के संयुक्त उपसमुच्चय (n>1 के लिए) बहुत अधिक जटिल साबित हुए। दरअसल, जबकि कोई भी सघन हॉसडॉर्फ समष्टि स्थानीय सघन होता है, संबद्ध समष्टि - और यहां तक कि यूक्लिडियन प्लेन का संयुक्त उपसमुच्चय - स्थानीय संबद्ध होने की आवश्यकता नहीं है (नीचे देखें)।

इससे बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्ध में अनुसंधान की समृद्ध श्रृंखला प्रारम्भ हुई, जिसमें टोपोलॉजिस्ट ने स्थानीय संबद्ध समष्टि की धारणा पर तेजी से सूक्ष्म और जटिल विविधताओं के बीच निहितार्थ का अध्ययन किया। उदाहरण के तौर पर, एक बिंदु पर अशक्त स्थानीय संयोजकता की धारणा और स्थानीय संयोजकता से इसके संबंध पर लेख में बाद में विचार किया जाएगा।

बीसवीं सदी के उत्तरार्ध में, अनुसंधान की प्रवृत्ति मैनिफोल्ड्स जैसे स्थानों के अधिक गहन अध्ययन की ओर स्थानांतरित हो गई, जो स्थानीय अच्छी तरह से समझे जाते हैं (यूक्लिडियन समष्टि के लिए स्थानीय समरूपी होने के कारण) लेकिन जटिल वैश्विक व्यवहार वाले हैं। इसका तात्पर्य यह है कि यद्यपि मैनिफोल्ड्स की मूल बिंदु-समुच्चय टोपोलॉजी अपेक्षाकृत सरल है (क्योंकि अवधारणा की अधिकांश परिभाषाओं के अनुसार मैनिफोल्ड्स अनिवार्य रूप से मेट्रिज़ेबल हैं), उनकी बीजगणितीय टोपोलॉजी कहीं अधिक जटिल है। इस आधुनिक दृष्टिकोण से, स्थानीय पथ संयोजकता की पर्याप्त गुण अधिक महत्वपूर्ण हो जाती है: उदाहरण के लिए, किसी समष्टि को सार्वभौमिक कवर स्वीकार करने के लिए इसे संबद्ध किया जाना चाहिए और स्थानीय पथ से संबद्ध होना चाहिए। स्थानीय पथ संयोजकता पर भी चर्चा की जाएगी।

समष्टि स्थानीय तभी संबद्ध होता है जब प्रत्येक विवृत समुच्चय U के लिए, U के संबद्ध घटक (सबसमष्टि टोपोलॉजी में) विवृत हों। उदाहरण के लिए, यह निम्नानुसार है कि स्थानीय संबद्ध समष्टि से पूरी तरह से वियोजित किए गए समष्टि तक निरंतर कार्य स्थानीय स्थिर होना चाहिए। वास्तव में, घटकों का खुलापन इतना स्वाभाविक है कि किसी को यह ध्यान में रखना चाहिए कि यह सामान्य रूप से सच नहीं है: उदाहरण के लिए, कैंटर समष्टि पूरी तरह से अलग है लेकिन अलग नहीं है।

परिभाषाएँ

माना कि $X$ टोपोलॉजिकल समष्टि है और मान लीजिए कि $x$ , $X.$ का एक बिंदु है।

समष्टि $X$ को स्थानीय $x$ ^[1] से जोड़ा जाता है, यदि $x$ के प्रत्येक प्रतिवेश में $x$ से संयुक्त विवृत प्रतिवेश है, यदि बिंदु $x$ में प्रतिवेश का आधार है जो संबद्ध हुए विवृत समुच्चयों से युक्त है। स्थानीय संबद्ध समष्टि^[2]^[1] एक ऐसा समष्टि है जो स्थानीय अपने प्रत्येक बिंदु पर संयुक्त है।

स्थानीय संयोजकता का तात्पर्य संयोजकता नहीं है (उदाहरण के लिए $\mathbb {R}$ में दो असंयुक्त विवृत अंतराल पर विचार करें); और संयोजकता का तात्पर्य स्थानीय संयोजकता नहीं है (टोपोलॉजिस्ट की साइन वक्र देखें)।

समष्टि $X$ को $x$ ^[1] से संबद्ध स्थानीय पथ कहा जाता है, यदि $x$ के प्रत्येक प्रतिवेश में $x$ का पथ-संबद्ध विवृत प्रतिवेश होता है, यदि बिंदु $x$ में पथ-संबद्ध विवृत समुच्चयों से मिलकर प्रतिवेश आधार है. स्थानीय पथ-संबद्ध समष्टि ^[3]^[1] एक ऐसा समष्टि है जो स्थानीय अपने प्रत्येक बिंदु पर संयुक्त है।

स्थानीय पथ से संबद्ध समष्टि स्थानीय संबद्ध हुए हैं। इसके विपरीत ( (इकाई वर्ग पर लेक्सिकोग्राफ़िक ऑर्डर टोपोलॉजी देखें)

संयुक्तता आईएम क्लेनन

समष्टि $X$ को $x$ ^[4]^[5] या अशक्त रूप से स्थानीय $x$ ^[6] से संयुक्त आईएम क्लेनन कहा जाता है यदि $x$ के प्रत्येक प्रतिवेश में $x$ का संयुक्त प्रतिवेश होता है, यदि बिंदु $x$ में प्रतिवेश आधार है जो संबद्ध हुए समुच्चयों से मिलकर बना है। समष्टि को अशक्त रूप से स्थानीय संबद्ध कहा जाता है यदि यह अपने प्रत्येक बिंदु पर स्थानीय संबद्ध है; जैसा कि नीचे बताया गया है, यह अवधारणा वास्तव में स्थानीय संबद्ध होने के समान है.

समष्टि जो स्थानीय $x$ से संयुक्त है, वह $x.$ पर आईएम क्लेनन से संयुक्त है। शंकु धारण नहीं करता है, जैसा कि उदाहरण के लिए दिखाया गया है कि ब्रूम समष्टि के एक निश्चित अनंत संघ द्वारा, जो एक विशेष बिंदु पर इम क्लेन से संयुक्त है, लेकिन उस बिंदु पर स्थानीय संबद्ध नहीं है।^[7]^[8]^[9] हालाँकि, यदि कोई समष्टि अपने प्रत्येक बिंदु पर इम क्लेन से संबद्ध है, तो यह स्थानीय संबद्ध है।^[10]

समष्टि $X$ को $x$ ^[5] पर पथ से संबद्ध आईएम क्लेनन कहा जाता है, यदि $x$ के प्रत्येक प्रतिवेश में $x$ का पथ-संबद्ध प्रतिवेश होता है, यदि बिंदु $x$ में पथ-संबद्ध समुच्चयों से मिलकर एक प्रतिवेश आधार है।

समष्टि जो स्थानीय $x$ पर पथ से संबद्ध है, वह $x.$ पर संयुक्त पथ है। जैसा कि उपरोक्त घटते ब्रूम समष्टि के समान अनंत संघ द्वारा दिखाया गया है, इसका उलटा असर नहीं करता है। हालाँकि, यदि कोई समष्टि अपने प्रत्येक बिंदु पर आईएम क्लेनन पथ से संयुक्त है, तो यह स्थानीय पथ से संयुक्त है।^[11]

प्रथम उदाहरण

किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए, यूक्लिडियन समष्टि $\mathbb {R} ^{n}$ स्थानीय पथ से, इस प्रकार स्थानीय स्तर पर जुड़ा हुआ; यह भी संयुक्त है।
अधिक सामान्यतः, प्रत्येक स्थानीय उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि स्थानीय जुड़ा होता है, क्योंकि प्रत्येक बिंदु पर उत्तल (और इसलिए संयुक्त हुआ) प्रतिवेश का एक स्थानीय आधार होता है।
उपस्थान $S=[0,1]\cup [2,3]$ असली लाइन का $\mathbb {R} ^{1}$ स्थानीय पथ जुड़ा है लेकिन संयुक्त नहीं है.
टोपोलॉजिस्ट का साइन वक्र यूक्लिडियन प्लेन का एक उपस्थान है जो जुड़ा हुआ है, लेकिन स्थानीय संबद्ध नहीं है।^[12]
समष्टि $\mathbb {Q}$ मानक यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संपन्न परिमेय संख्याएँ, न तो जुड़ी हुई हैं और न ही स्थानीय जुड़ी हुई हैं।
कंघी समष्टि पथ से जुड़ा है लेकिन स्थानीय पथ से संयुक्त नहीं है, और स्थानीय भी संयुक्त नहीं है।
सहपरिमित टोपोलॉजी से संपन्न एक अनगिनत अनंत समुच्चय स्थानीय जुड़ा हुआ है (वास्तव में, हाइपरसंबद्ध) लेकिन स्थानीय पथ से संयुक्तनहीं है।^[13]
यूनिट स्क्वायर पर लेक्सिकोग्राफ़िक ऑर्डर टोपोलॉजी संयुक्त और स्थानीय संबद्ध है, लेकिन पथ संयुक्त नहीं है, न ही स्थानीय पथ संयुक्त है।^[14]
किर्च समष्टि जुड़ा हुआ है और स्थानीय जुड़ा हुआ है, लेकिन पथ से संयुक्त नहीं है, और किसी भी बिंदु पर पथ से जुड़ा नहीं है। वास्तव में यह पूरी तरह से पथ विच्छेदित है।

प्रथम-गणनीय हॉसडॉर्फ़ समष्टि ( $(X,\tau )$ स्थानीय पथ से जुड़ा हुआ है यदि और केवल यदि $\tau$ सभी निरंतर पथों $[0,1]\to (X,\tau ).$ के समुच्चय $C([0,1];X)$ से प्रेरित $X$ पर अंतिम टोपोलॉजी के बराबर है।

गुण

प्रमेय - एक स्थान स्थानीय तभी जुड़ा होता है जब वह स्थानीय कमजोर रूप से संयुक्त होता है।

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प्रमाण

असतहीय दिशा के लिए, मान लें $X$ स्थानीय रूप से अशक्त रूप से जुड़ा हुआ है। यह दिखाने के लिए कि यह स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है, यह दिखाना पर्याप्त है कि विवृत समुच्चय के जुड़े घटक (टोपोलॉजी) विवृत हैं।

होने देना $U$ में खुले रहो $X$ और जाने $C$ का एक जुड़ा हुआ घटक बनें $U.$ होने देना $x$ का एक तत्व बनें $C.$ तब $U$ का पड़ोस है $x$ ताकि एक जुड़ा हुआ पड़ोस हो $V$ का $x$ में निहित $U.$ तब से $V$ जुड़ा हुआ है और शामिल है $x,$ $V$ का एक उपसमुच्चय होना चाहिए $C$ (जुड़ा हुआ घटक युक्त $x$ ). इसलिए $x$ का एक आंतरिक बिंदु है $C.$ तब से $x$ का एक मनमाना बिंदु था $C,$ $C$ में खुला है $X.$ इसलिए, $X$ स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है।

स्थानीय संयोजकता, परिभाषा के अनुसार, टोपोलॉजिकल समष्टि की एक स्थानीय गुण है, अर्थात्,., टोपोलॉजिकल गुण P जैसे कि समष्टि X के पास गुण P होती है यदि और केवल अगर X में प्रत्येक पॉइंट x समुच्चय के प्रतिवेश के आधार को स्वीकार करता है जिसमें P है। तदनुसार, स्थानीय संयोजकता के लिए एक स्थानीय गुण धारण द्वारा आयोजित सभी "मेटागुणज़". विशेष रूप से:
कोई समष्टि स्थानीय तभी जुड़ा होता है जब वह (विवृत) संयुक्त उपसमुच्चय के आधार (टोपोलॉजी) को स्वीकार करता है।
असंयुक्त संघ (टोपोलॉजी) $\coprod _{i}X_{i}$ वर्ग का $\{X_{i}\}$ रिक्त समष्टि स्थानीय जुड़ा हुआ है यदि और केवल यदि प्रत्येक $X_{i}$ स्थानीय संबद्ध है. विशेष रूप से, चूंकि एक बिंदु निश्चित रूप से स्थानीय संबद्ध है, इसका तात्पर्य यह है कि कोई भी अलग समष्टि स्थानीय संबद्ध है। दूसरी ओर, एक अलग समष्टि पूरी तरह से वियोजित हो गया है, इसलिए यह केवल तभी संबद्ध होता है जब इसमें अधिकतम एक बिंदु होता है।
इसके विपरीत, एक पूरी तरह से अलग किया गया समष्टि स्थानीय तभी संबद्ध होता है जब वह अलग हो। इसका उपयोग उपरोक्त तथ्य को समझाने के लिए किया जा सकता है कि तर्कसंगत संख्याएँ स्थानीय जुड़ी नहीं हैं।
गैर-रिक्त उत्पाद समष्टि $\prod _{i}X_{i}$ स्थानीय संबद्ध है यदि और केवल यदि प्रत्येक $X_{i}$ स्थानीय संबद्ध है और सीमित रूप से बहुत सारे को छोड़कर सभी $X_{i}$ संबद्ध हुए हैं।^[15]
प्रत्येक हाइपरसंबद्ध समष्टि स्थानीय संबद्ध है, और संयुक्त भी है।

अवयव और पथ अवयव

निम्नलिखित परिणाम परिभाषाओं से लगभग तुरंत अनुसरण करता है लेकिन काफी उपयोगी होगा:

लेम्मा: मान लीजिए कि X समष्टि है, और $\{Y_{i}\}$ X के उपसमुच्चय का एक वर्ग। मान लीजिए कि $\bigcap _{i}Y_{i}$ गैर-रिक्त है. फिर, यदि प्रत्येक $Y_{i}$ संयुक्त है (क्रमशः पथ संयुक्त) फिर संघ $\bigcup _{i}Y_{i}$ संयुक्त है (क्रमशः पथ संयुक्त है)।^[16]

अब टोपोलॉजिकल समष्टि X: for पर दो संबंधों पर विचार करें $x,y\in X,$ लिखना:

x\equiv _{c}y

यदि X का संयुक्त उपसमुच्चय है जिसमें x और y दोनों हैं; और

x\equiv _{pc}y

यदि X का पथ से संयुक्त उपसमुच्चय है जिसमें x और y दोनों हैं।

जाहिर तौर पर दोनों संबंध प्रतिवर्ती और सममित हैं। इसके अलावा, यदि x और y संबद्ध हुए (क्रमशः, पथ से संबद्ध) उपसमुच्चय A में समाहित हैं और y और z संबद्ध हुए (क्रमशः, पथ से संबद्ध) उपसमुच्चय B में संबद्ध हुए हैं, तो लेम्मा का तात्पर्य है कि $A\cup B$ संयुक्त (क्रमशः, पथ संयुक्त) उपसमुच्चय है जिसमें x, y और z सामान्यतः हैं। इस प्रकार प्रत्येक संबंध समतुल्य संबंध है, और X के विभाजन को समतुल्य वर्गों में परिभाषित करता है। हम इन दोनों विभाजनों पर बारी-बारी से विचार करते हैं।

X में X के लिए, समुच्चय $C_{x}$ सभी बिंदुओं में से y ऐसा है $y\equiv _{c}x$ x का संबद्ध कंपोनेंट (टोपोलॉजी) कहलाता है।^[17] लेम्मा का तात्पर्य यह है $C_{x}$ X युक्त X का अद्वितीय अधिकतम संयुक्त उपसमुच्चय है।^[18] चूंकि का समापन $C_{x}$ यह संयुक्त उपसमुच्चय भी है जिसमें x सामान्यतः है,^[19] यह इस प्रकार है कि $C_{x}$ संवृत है।^[20]

यदि X में केवल सीमित रूप से कई संबद्ध हुए घटक हैं, तो प्रत्येक घटक संवृत समुच्चयों के सीमित संघ का पूरक है और इसलिए विवृत है। सामान्य तौर पर, संबद्ध हुए घटकों को विवृत होने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि, उदाहरण के लिए, पूरी तरह से वियोजित किए गए समष्टि उपस्थित हैं (यानी, $C_{x}=\{x\}$ सभी बिंदुओं के लिए x) जो अलग-अलग नहीं हैं, जैसे कैंटर समष्टि। हालाँकि, स्थानीय संबद्ध समष्टि के संबद्ध घटक भी विवृत हैं, और इस प्रकार क्लोपेन समुच्चय हैं।^[21] यह इस प्रकार है कि स्थानीय संबद्ध समष्टि X टोपोलॉजिकल असंयुक्त संघ है $\coprod C_{x}$ इसके विशिष्ट संबद्ध घटकों की। इसके विपरीत, यदि X के प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय U के लिए, U के संबद्ध हुए घटक विवृत हैं, तो X संबद्ध हुए समुच्चयों का आधार स्वीकार करता है और इसलिए स्थानीय संबद्ध है।^[22]

इसी तरह X में X, समुच्चय $PC_{x}$ सभी बिंदुओं में से y ऐसा है $y\equiv _{pc}x$ x का पथ घटक कहलाता है।^[23] ऊपरोक्त अनुसार, $PC_{x}$ X के सभी पथ से संबद्ध उपसमूहों का संघ भी है जिसमें X सामान्यतः है, इसलिए लेम्मा द्वारा स्वयं पथ संयुक्त है। क्योंकि पथ से संबद्ध समुच्चय संबद्ध हुए हैं, हमारे पास है $PC_{x}\subseteq C_{x}$ सभी के लिए $x\in X.$

हालाँकि, पथ से संबद्ध समुच्चय को संवृत करने के लिए पथ से संबद्ध होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिस्ट का साइन वक्र विवृत उपसमुच्चय U का संवृत होना है जिसमें x > 0 के साथ सभी बिंदु (x, y) सामान्यतः हैं, और U, एक के लिए समरूपी है। वास्तविक रेखा पर अंतराल निश्चित रूप से पथ से संयुक्त है। इसके अलावा, टोपोलॉजिस्ट के साइन वक्र C के पथ घटक U हैं, जो विवृत है लेकिन संवृत नहीं है, और $C\setminus U,$ जो संवृत है लेकिन विवृत नहीं है।

एक समष्टि स्थानीय पथ से संबद्ध होता है यदि और केवल तभी जब सभी विवृत उपसमुच्चय U के लिए, U के पथ घटक विवृत हों।^[23] इसलिए स्थानीय पथ से संबद्ध समष्टि के पथ घटक X को जोड़ीदार असंयुक्त विवृत समुच्चयों में विभाजित करते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि स्थानीय पथ से संबद्ध समष्टि का एक विवृत संबद्ध उपस्थान आवश्यक रूप से पथ से संयुक्त है।^[24] इसके अलावा, यदि कोई समष्टि स्थानीय पथ से संयुक्त है, तो वह स्थानीय भी संयुक्त है, इसलिए सभी के लिए $x\in X,$ $C_{x}$ संयुक्त और विवृत है, इसलिए पथ संयुक्त है, अर्थात, $C_{x}=PC_{x}.$ अर्थात्, स्थानीय पथ से संबद्ध समष्टि के लिए घटक और पथ घटक मेल खाते हैं।

उदाहरण

समुच्चय $I\times I$ (जहाँ $I=[0,1]$ ) शब्दावली क्रम में टोपोलॉजी में बिल्कुल घटक होता है (क्योंकि यह संयुक्त है) लेकिन इसमें अनगिनत पथ घटक होते हैं। दरअसल, फॉर्म का कोई भी समुच्चय $\{a\}\times I$ I से संबंधित प्रत्येक a के लिए एक पथ घटक है।
होने देना $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\ell }$ से सतत मानचित्र बनें $\mathbb {R}$ को $\mathbb {R} _{\ell }$ (जो है $\mathbb {R}$ निचली सीमा टोपोलॉजी में)। तब से $\mathbb {R}$ संयुक्त है, और एक सतत मानचित्र के अंतर्गत संबद्ध समष्टि की छवि जुड़ी होनी चाहिए, की छवि $\mathbb {R}$ अंतर्गत $f$ संबद्ध होना चाहिए. इसलिए, की छवि $\mathbb {R}$ अंतर्गत $f$ के एक घटक का उपसमुच्चय होना चाहिए $\mathbb {R} _{\ell }/$ चूँकि यह छवि गैर-रिक्त है, 'से एकमात्र सतत मानचित्र $\mathbb {R}$ को $\mathbb {R} _{\ell },$ स्थिर मानचित्र हैं. वास्तव में, किसी संबद्ध हुए समष्टि से पूरी तरह से असंबद्ध समष्टि तक का कोई भी निरंतर मानचित्र स्थिर होना चाहिए।

क्वैसीकॉम्पोनेंट

मान लीजिए कि X टोपोलॉजिकल समष्टि है। हम X पर तीसरा संबंध परिभाषित करते हैं: $x\equiv _{qc}y$ यदि विवृत समुच्चय A और B में X का कोई पृथक्करण नहीं है, जैसे कि x A का

अवयव है और y B का अवयव है। यह X पर समतुल्य संबंध है और समतुल्य वर्ग $QC_{x}$ युक्त X को X का क्वैसीकॉम्पोनेंट कहा जाता है।^[18]

$QC_{x}$ इसे X के सभी क्लोपेन उपसमुच्चय के प्रतिच्छेदन के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जिसमें X सामान्यतः है।^[18] इसलिए $QC_{x}$ संवृत है; सामान्यतः इसे विवृत रखने की आवश्यकता नहीं है।

निस्संदेह $C_{x}\subseteq QC_{x}$ सभी के लिए $x\in X.$ ^[18] कुल मिलाकर हमारे पास x पर पथ घटकों, घटकों और अर्धघटकों के बीच निम्नलिखित सामग्रियां हैं:

PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.

यदि X स्थानीय संबद्ध है, तो, ऊपर के अनुसार,

C_{x}

क्लोपेन समुच्चय है जिसमें x है, इसलिए

QC_{x}\subseteq C_{x}

और इस तरह

QC_{x}=C_{x}.

चूंकि स्थानीय पथ संयोजकता का तात्पर्य स्थानीय संयोजकता से है, इसका तात्पर्य यह है कि हमारे पास स्थानीय पथ से संबद्ध समष्टि के सभी बिंदुओं x पर है।

PC_{x}=C_{x}=QC_{x}.

रिक्त समष्टि का एक अन्य वर्ग जिसके लिए अर्धघटक घटकों से सहमत होते हैं, सघन हॉसडॉर्फ रिक्त समष्टि का वर्ग है।^[25]

उदाहरण

किसी समष्टि का एक उदाहरण जिसके अर्धघटक उसके घटकों के बराबर नहीं हैं, दोहरे सीमा बिंदु वाला एक अनुक्रम है। यह समष्टि पूरी तरह से अलग हो गया है, लेकिन दोनों सीमा बिंदु एक ही अर्धघटक में स्थित हैं, क्योंकि उनमें से किसी एक वाले क्लोपेन समुच्चय में अनुक्रम की एक पूंछ होनी चाहिए, और इस प्रकार दूसरा बिंदु भी होना चाहिए।
समष्टि $(\{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {Z} ^{+}\})\times [-1,1]\setminus \{(0,0)\}$ स्थानीय सघन और हॉसडॉर्फ लेकिन समुच्चय हैं $\{0\}\times [-1,0)$ और $\{0\}\times (0,1]$ दो अलग-अलग घटक हैं जो एक ही अर्धघटक में निहित हैं।
एरेन्स-फोर्ट स्थान स्थानीय जुड़ा नहीं है, लेकिन फिर भी, घटक और अर्ध-घटक मेल खाते हैं: वास्तव में सभी बिंदुओं x के लिए $QC_{x}=C_{x}=\{x\}$ ।^[26]

यह भी देखें

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Munkres, p. 161
↑ Willard, Definition 27.7, p. 199
↑ Willard, Definition 27.4, p.199
↑ Willard, Definition 27.14, p. 201
↑ ^5.0 ^5.1 Björn, Anders; Björn, Jana; Shanmugalingam, Nageswari (2016). "माजुरकिविज़ दूरी और सेट जो सीमा पर अंतिम रूप से जुड़े हुए हैं". Journal of Geometric Analysis. 26 (2): 873–897. arXiv:1311.5122. doi:10.1007/s12220-015-9575-9. S2CID 255549682., section 2
↑ Munkres, exercise 6, p. 162
↑ Steen & Seebach, example 119.4, p. 139
↑ Munkres, exercise 7, p. 162
↑ "दिखाएँ कि X, p पर स्थानीय रूप से जुड़ा नहीं है". Math StackExchange.
↑ Willard, Theorem 27.16, p. 201
↑ "स्थानीय रूप से पथवार जुड़े की परिभाषा". Math StackExchange.
↑ Steen & Seebach, pp. 137–138
↑ Steen & Seebach, pp. 49–50
↑ Steen & Seebach, example 48, p. 73
↑ Willard, theorem 27.13, p. 201
↑ Willard, Theorem 26.7a, p. 192
↑ Willard, Definition 26.11, p.194
↑ ^18.0 ^18.1 ^18.2 ^18.3 विलार्ड, समस्या 26बी, पीपी. 195-196
↑ Kelley, Theorem 20, p. 54; Willard, Theorem 26.8, p.193
↑ Willard, Theorem 26.12, p. 194
↑ Willard, Corollary 27.10, p. 200
↑ Willard, Theorem 27.9, p. 200
↑ ^23.0 ^23.1 Willard, Problem 27D, p. 202
↑ Willard, Theorem 27.5, p. 199
↑ Engelking, Theorem 6.1.23, p. 357
↑ Steen & Seebach, pp. 54-55

संदर्भ

Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
John L. Kelley; General Topology; ISBN 0-387-90125-6
Munkres, James (1999), Topology (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2.
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863
Stephen Willard; General Topology; Dover Publications, 2004.

अग्रिम पठन

Coppin, C. A. (1972), "Continuous Functions from a Connected Locally Connected Space into a Connected Space with a Dispersion Point", Proceedings of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 32 (2): 625–626, doi:10.1090/S0002-9939-1972-0296913-7, JSTOR 2037874. For Hausdorff spaces, it is shown that any continuous function from a connected locally connected space into a connected space with a dispersion point is constant
Davis, H. S. (1968), "A Note on Connectedness Im Kleinen", Proceedings of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 19 (5): 1237–1241, doi:10.1090/s0002-9939-1968-0254814-3, JSTOR 2036067.

[Munkres-p161-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Munkres, p. 161

[2] Willard, Definition 27.7, p. 199

[3] Willard, Definition 27.4, p.199

[4] Willard, Definition 27.14, p. 201

[BBS-5] 5.0 ^5.1 Björn, Anders; Björn, Jana; Shanmugalingam, Nageswari (2016). "माजुरकिविज़ दूरी और सेट जो सीमा पर अंतिम रूप से जुड़े हुए हैं". Journal of Geometric Analysis. 26 (2): 873–897. arXiv:1311.5122. doi:10.1007/s12220-015-9575-9. S2CID 255549682., section 2

[6] Munkres, exercise 6, p. 162

[SS-119.4-7] Steen & Seebach, example 119.4, p. 139

[Munkres-ex7-p162-8] Munkres, exercise 7, p. 162

[9] "दिखाएँ कि X, p पर स्थानीय रूप से जुड़ा नहीं है". Math StackExchange.

[Willard-27.16-10] Willard, Theorem 27.16, p. 201

[11] "स्थानीय रूप से पथवार जुड़े की परिभाषा". Math StackExchange.

[Steen-12] Steen & Seebach, pp. 137–138

[13] Steen & Seebach, pp. 49–50

[14] Steen & Seebach, example 48, p. 73

[15] Willard, theorem 27.13, p. 201

[16] Willard, Theorem 26.7a, p. 192

[17] Willard, Definition 26.11, p.194

[WillardProblem_a-18] 18.0 ^18.1 ^18.2 ^18.3 विलार्ड, समस्या 26बी, पीपी. 195-196

[19] Kelley, Theorem 20, p. 54; Willard, Theorem 26.8, p.193

[20] Willard, Theorem 26.12, p. 194

[21] Willard, Corollary 27.10, p. 200

[22] Willard, Theorem 27.9, p. 200

[WillardProblem-23] 23.0 ^23.1 Willard, Problem 27D, p. 202

[24] Willard, Theorem 27.5, p. 199

[25] Engelking, Theorem 6.1.23, p. 357

[26] Steen & Seebach, pp. 54-55

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 {{Short description|Property of topological spaces}}
-[[Image:Neighborhood illust1.svg|right|thumb|इस टोपोलॉजिकल स्पेस में, V, p का पड़ोस है और इसमें एक संबद्ध ओपन सेट (गहरे हरे रंग की डिस्क) है जिसमें p शामिल है।]]गणित की [[टोपोलॉजी]] और अन्य शाखाओं में, एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] ''X'' स्थानीय रूप से संबद्ध होता है यदि हर बिंदु एक आसन्न आधार को स्वीकार करता है जिसमें पूरी तरह से विवृत, संबद्ध हुआ समुच्चय होता है।
+[[Image:Neighborhood illust1.svg|right|thumb|इस टोपोलॉजिकल समष्टि में, V, p का प्रतिवेश है और इसमें एक संबद्ध ओपन समुच्चय (गहरे हरे रंग की डिस्क) है जिसमें p सामान्यतः है।]]गणित की [[टोपोलॉजी]] और अन्य शाखाओं में, [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल समष्टि]] ''X'' '''स्थानीय संबद्ध''' होता है यदि हर बिंदु आसन्न आधार को स्वीकार करता है जिसमें पूरी तरह से विवृत, संयुक्त समुच्चय होता है।
 ==पृष्ठभूमि==
-टोपोलॉजी के पूरे इतिहास में, संयोजकता और संहतता सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए गए दो टोपोलॉजिकल गुण रहे हैं। वास्तव में, [[ यूक्लिडियन स्थान |यूक्लिडियन]] स्पेस के उपसमुच्चय के बीच भी इन गुणों का अध्ययन, और [[यूक्लिडियन मीट्रिक]] के विशेष रूप से उनकी स्वतंत्रता की मान्यता ने एक टोपोलॉजिकल संपत्ति और इस प्रकार एक टोपोलॉजिकल स्पेस की धारणा को स्पष्ट करने में एक बड़ी भूमिका निभाई। हालाँकि, जबकि यूक्लिडियन स्पेस के सघन उपसमुच्चय की संरचना को हेइन-बोरेल प्रमेय के माध्यम से काफी पहले ही समझ लिया गया था, <math>\R^n</math> के संबद्ध उपसमुच्चय (n>1 के लिए) बहुत अधिक जटिल साबित हुए। दरअसल, जबकि कोई भी सघन हॉसडॉर्फ स्पेस स्थानीय रूप से सघन होता है, एक संबद्ध स्पेस - और यहां तक कि यूक्लिडियन प्लेन का एक संबद्ध उपसमुच्चय - स्थानीय रूप से कनेक्ट होने की आवश्यकता नहीं है (नीचे देखें)।
+टोपोलॉजी के पूरे इतिहास में, संयोजकता और संहतता सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए गए दो टोपोलॉजिकल गुण रहे हैं। वास्तव में, [[ यूक्लिडियन स्थान |यूक्लिडियन]] समष्टि के उपसमुच्चय के बीच भी इन गुणों का अध्ययन, और [[यूक्लिडियन मीट्रिक]] के विशेष रूप से उनकी स्वतंत्रता की मान्यता ने टोपोलॉजिकल गुण और इस प्रकार टोपोलॉजिकल समष्टि की धारणा को स्पष्ट करने में बड़ी भूमिका निभाई है। हालाँकि, जबकि यूक्लिडियन समष्टि के सघन उपसमुच्चय की संरचना को हेइन-बोरेल प्रमेय के माध्यम से काफी पहले ही समझ लिया गया था, <math>\R^n</math> के संयुक्त उपसमुच्चय (n>1 के लिए) बहुत अधिक जटिल साबित हुए। दरअसल, जबकि कोई भी सघन हॉसडॉर्फ समष्टि स्थानीय सघन होता है, संबद्ध समष्टि - और यहां तक कि यूक्लिडियन प्लेन का संयुक्त उपसमुच्चय - स्थानीय संबद्ध होने की आवश्यकता नहीं है (नीचे देखें)।
-इससे बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्ध में अनुसंधान की एक समृद्ध श्रृंखला शुरू हुई, जिसमें टोपोलॉजिस्ट ने स्थानीय रूप से संबद्ध स्पेस की धारणा पर तेजी से सूक्ष्म और जटिल विविधताओं के बीच निहितार्थ का अध्ययन किया। उदाहरण के तौर पर, एक बिंदु पर अशक्त स्थानीय संयोजकता की धारणा और स्थानीय संयोजकता से इसके संबंध पर लेख में बाद में विचार किया जाएगा।
+इससे बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्ध में अनुसंधान की समृद्ध श्रृंखला प्रारम्भ हुई, जिसमें टोपोलॉजिस्ट ने स्थानीय संबद्ध समष्टि की धारणा पर तेजी से सूक्ष्म और जटिल विविधताओं के बीच निहितार्थ का अध्ययन किया। उदाहरण के तौर पर, एक बिंदु पर अशक्त स्थानीय संयोजकता की धारणा और स्थानीय संयोजकता से इसके संबंध पर लेख में बाद में विचार किया जाएगा।
-बीसवीं सदी के उत्तरार्ध में, अनुसंधान की प्रवृत्ति मैनिफोल्ड्स जैसे स्थानों के अधिक गहन अध्ययन की ओर स्थानांतरित हो गई, जो स्थानीय रूप से अच्छी तरह से समझे जाते हैं (यूक्लिडियन स्पेस के लिए स्थानीय रूप से होमोमोर्फिक होने के कारण) लेकिन जटिल वैश्विक व्यवहार वाले हैं। इसका मतलब यह है कि यद्यपि मैनिफोल्ड्स की मूल बिंदु-सेट टोपोलॉजी अपेक्षाकृत सरल है (क्योंकि अवधारणा की अधिकांश परिभाषाओं के अनुसार मैनिफोल्ड्स अनिवार्य रूप से [[ मेट्रिज़ेबल |मेट्रिज़ेबल]] हैं), उनकी [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] कहीं अधिक जटिल है। इस आधुनिक दृष्टिकोण से, स्थानीय पथ कनेक्टिविटी की मजबूत संपत्ति अधिक महत्वपूर्ण हो जाती है: उदाहरण के लिए, किसी स्पेस को सार्वभौमिक कवर स्वीकार करने के लिए इसे कनेक्ट किया जाना चाहिए और स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा होना चाहिए। स्थानीय पथ संयोजकता पर भी चर्चा की जाएगी।
+बीसवीं सदी के उत्तरार्ध में, अनुसंधान की प्रवृत्ति मैनिफोल्ड्स जैसे स्थानों के अधिक गहन अध्ययन की ओर स्थानांतरित हो गई, जो स्थानीय अच्छी तरह से समझे जाते हैं (यूक्लिडियन समष्टि के लिए स्थानीय समरूपी होने के कारण) लेकिन जटिल वैश्विक व्यवहार वाले हैं। इसका तात्पर्य यह है कि यद्यपि मैनिफोल्ड्स की मूल बिंदु-समुच्चय टोपोलॉजी अपेक्षाकृत सरल है (क्योंकि अवधारणा की अधिकांश परिभाषाओं के अनुसार मैनिफोल्ड्स अनिवार्य रूप से [[ मेट्रिज़ेबल |मेट्रिज़ेबल]] हैं), उनकी [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] कहीं अधिक जटिल है। इस आधुनिक दृष्टिकोण से, स्थानीय पथ संयोजकता की पर्याप्त गुण अधिक महत्वपूर्ण हो जाती है: उदाहरण के लिए, किसी समष्टि को सार्वभौमिक कवर स्वीकार करने के लिए इसे संबद्ध किया जाना चाहिए और स्थानीय पथ से संबद्ध होना चाहिए। स्थानीय पथ संयोजकता पर भी चर्चा की जाएगी।
-एक स्पेस स्थानीय रूप से तभी जुड़ा होता है जब प्रत्येक खुले सेट ''U'' के लिए, ''U'' के कनेक्टेड घटक (सबस्पेस टोपोलॉजी में) खुले हों। उदाहरण के लिए, यह निम्नानुसार है कि स्थानीय रूप से जुड़े स्पेस से पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किए गए स्पेस तक निरंतर कार्य स्थानीय रूप से स्थिर होना चाहिए। वास्तव में, घटकों का खुलापन इतना स्वाभाविक है कि किसी को यह ध्यान में रखना चाहिए कि यह सामान्य रूप से सच नहीं है: उदाहरण के लिए, [[कैंटर स्पेस]] पूरी तरह से अलग है लेकिन अलग नहीं है।
+समष्टि स्थानीय तभी संबद्ध होता है जब प्रत्येक विवृत समुच्चय ''U'' के लिए, ''U'' के संबद्ध घटक (सबसमष्टि टोपोलॉजी में) विवृत हों। उदाहरण के लिए, यह निम्नानुसार है कि स्थानीय संबद्ध समष्टि से पूरी तरह से वियोजित किए गए समष्टि तक निरंतर कार्य स्थानीय स्थिर होना चाहिए। वास्तव में, घटकों का खुलापन इतना स्वाभाविक है कि किसी को यह ध्यान में रखना चाहिए कि यह सामान्य रूप से सच नहीं है: उदाहरण के लिए, [[कैंटर स्पेस|कैंटर समष्टि]] पूरी तरह से अलग है लेकिन अलग नहीं है।
 ==परिभाषाएँ==
-माना कि <math>X</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और मान लीजिए कि <math>x</math>, <math>X.</math> का एक बिंदु है।
+माना कि <math>X</math> टोपोलॉजिकल समष्टि है और मान लीजिए कि <math>x</math>, <math>X.</math> का एक बिंदु है।
-एक स्पेस <math>X</math> को स्थानीय रूप से <math>x</math><ref name="Munkres-p161">Munkres, p. 161</ref> से जोड़ा जाता है, यदि <math>x</math> के प्रत्येक पड़ोस में <math>x</math> से जुड़ा हुआ खुला पड़ोस है,  यदि बिंदु <math>x</math> में एक पड़ोस का आधार है जो जुड़े हुए खुले सेटों से युक्त है।  स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ स्पेस<ref>Willard, Definition 27.7, p. 199</ref><ref name="Munkres-p161" /> एक ऐसा स्पेस है जो स्थानीय रूप से अपने प्रत्येक बिंदु पर जुड़ा हुआ है।
+समष्टि <math>X</math> को '''स्थानीय''' <math>x</math><ref name="Munkres-p161">Munkres, p. 161</ref> से जोड़ा जाता है, यदि <math>x</math> के प्रत्येक प्रतिवेश में <math>x</math> से संयुक्त विवृत प्रतिवेश है,  यदि बिंदु <math>x</math> में प्रतिवेश का आधार है जो संबद्ध हुए विवृत समुच्चयों से युक्त है।  स्थानीय संबद्ध समष्टि<ref>Willard, Definition 27.7, p. 199</ref><ref name="Munkres-p161" /> एक ऐसा समष्टि है जो स्थानीय अपने प्रत्येक बिंदु पर संयुक्त है।
-स्थानीय कनेक्टिविटी का मतलब कनेक्टिविटी नहीं है (उदाहरण के लिए <math>\R</math> में दो असंयुक्त खुले अंतराल पर विचार करें); और कनेक्टिविटी का मतलब स्थानीय कनेक्टिविटी नहीं है (टोपोलॉजिस्ट की साइन वक्र देखें)।
+स्थानीय संयोजकता का तात्पर्य संयोजकता नहीं है (उदाहरण के लिए <math>\R</math> में दो असंयुक्त विवृत अंतराल पर विचार करें); और संयोजकता का तात्पर्य स्थानीय संयोजकता नहीं है (टोपोलॉजिस्ट की साइन वक्र देखें)।
-एक स्पेस <math>X</math> को <math>x</math><ref name="Munkres-p161" /> से जुड़ा एक स्थानीय पथ कहा जाता है, यदि <math>x</math> के प्रत्येक पड़ोस में <math>x</math> का पथ-जुड़ा खुला पड़ोस होता है, यदि बिंदु <math>x</math> में पथ-जुड़े खुले सेटों से मिलकर एक पड़ोस आधार है. स्थानीय रूप से पथ-जुड़ा स्पेस <ref>Willard, Definition 27.4, p.199</ref><ref name="Munkres-p161" /> एक ऐसा स्पेस है जो स्थानीय रूप से अपने प्रत्येक बिंदु पर जुड़ा हुआ है.
+समष्टि <math>X</math> को <math>x</math><ref name="Munkres-p161" /> से '''संबद्ध स्थानीय पथ''' कहा जाता है, यदि <math>x</math> के प्रत्येक प्रतिवेश में <math>x</math> का पथ-संबद्ध विवृत प्रतिवेश होता है, यदि बिंदु <math>x</math> में पथ-संबद्ध विवृत समुच्चयों से मिलकर प्रतिवेश आधार है. स्थानीय पथ-संबद्ध समष्टि <ref>Willard, Definition 27.4, p.199</ref><ref name="Munkres-p161" /> एक ऐसा समष्टि है जो स्थानीय अपने प्रत्येक बिंदु पर '''संयुक्त''' है।
-स्थानीय रूप से पथ से जुड़े स्पेस स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं। इसके विपरीत ( ([[इकाई वर्ग पर लेक्सिकोग्राफ़िक ऑर्डर टोपोलॉजी]] देखें)
+स्थानीय पथ से संबद्ध समष्टि स्थानीय संबद्ध हुए हैं। इसके विपरीत ( ([[इकाई वर्ग पर लेक्सिकोग्राफ़िक ऑर्डर टोपोलॉजी]] देखें)
 ===संयुक्तता आईएम क्लेनन===
-स्पेस <math>X</math> को <math>x</math><ref>Willard, Definition 27.14, p. 201</ref><ref name="BBS"/> या अशक्त रूप से स्थानीय रूप से <math>x</math><ref>Munkres, exercise 6, p. 162</ref> से जुड़ा हुआ इम क्लीनेन कहा जाता है यदि <math>x</math> के प्रत्येक पड़ोस में <math>x</math> का एक जुड़ा हुआ पड़ोस होता है, यदि बिंदु <math>x</math> में एक पड़ोस आधार है जो जुड़े हुए सेटों से मिलकर बना है. एक स्पेस को अशक्त रूप से स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ कहा जाता है यदि यह अपने प्रत्येक बिंदु पर स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है; जैसा कि नीचे बताया गया है, यह अवधारणा वास्तव में स्थानीय रूप से जुड़े होने के समान है.
+समष्टि <math>X</math> को <math>x</math><ref>Willard, Definition 27.14, p. 201</ref><ref name="BBS"/> या '''अशक्त रूप से''' स्थानीय <math>x</math><ref>Munkres, exercise 6, p. 162</ref> से '''संयुक्त आईएम क्लेनन''' कहा जाता है यदि <math>x</math> के प्रत्येक प्रतिवेश में <math>x</math> का संयुक्त प्रतिवेश होता है, यदि बिंदु <math>x</math> में प्रतिवेश आधार है जो संबद्ध हुए समुच्चयों से मिलकर बना है। समष्टि को अशक्त रूप से स्थानीय संबद्ध कहा जाता है यदि यह अपने प्रत्येक बिंदु पर '''स्थानीय संबद्ध''' है; जैसा कि नीचे बताया गया है, यह अवधारणा वास्तव में स्थानीय संबद्ध होने के समान है.
-एक स्पेस  जो स्थानीय रूप से <math>x</math> से जुड़ा हुआ है, वह <math>x.</math> पर इम क्लेन से जुड़ा हुआ है। शंकु धारण नहीं करता है, जैसा कि उदाहरण के लिए दिखाया गया है कि ब्रूम स्पेस के एक निश्चित अनंत संघ द्वारा, जो एक विशेष बिंदु पर इम क्लेन से जुड़ा हुआ है, लेकिन उस बिंदु पर स्थानीय रूप से जुड़ा नहीं है।<ref name="SS-119.4">Steen & Seebach, example 119.4, p. 139</ref><ref name="Munkres-ex7-p162">Munkres, exercise 7, p. 162</ref><ref>{{cite web |title=दिखाएँ कि X, p पर स्थानीय रूप से जुड़ा नहीं है|url=https://math.stackexchange.com/q/2439096 |website=Math StackExchange}}</ref> हालाँकि, यदि कोई स्पेस अपने प्रत्येक बिंदु पर इम क्लेन से जुड़ा है, तो यह स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है।<ref name="Willard-27.16">Willard, Theorem 27.16, p. 201</ref>
+समष्टि  जो स्थानीय <math>x</math> से संयुक्त है, वह <math>x.</math> पर आईएम क्लेनन से संयुक्त है। शंकु धारण नहीं करता है, जैसा कि उदाहरण के लिए दिखाया गया है कि ब्रूम समष्टि के एक निश्चित अनंत संघ द्वारा, जो एक विशेष बिंदु पर इम क्लेन से संयुक्त है, लेकिन उस बिंदु पर स्थानीय संबद्ध नहीं है।<ref name="SS-119.4">Steen & Seebach, example 119.4, p. 139</ref><ref name="Munkres-ex7-p162">Munkres, exercise 7, p. 162</ref><ref>{{cite web |title=दिखाएँ कि X, p पर स्थानीय रूप से जुड़ा नहीं है|url=https://math.stackexchange.com/q/2439096 |website=Math StackExchange}}</ref> हालाँकि, यदि कोई समष्टि अपने प्रत्येक बिंदु पर इम क्लेन से संबद्ध है, तो यह स्थानीय संबद्ध है।<ref name="Willard-27.16">Willard, Theorem 27.16, p. 201</ref>
-एक स्पेस <math>X</math> को <math>x</math><ref name="BBS">{{cite journal |last1=Björn |first1=Anders |last2=Björn |first2=Jana |last3=Shanmugalingam |first3=Nageswari |title=माजुरकिविज़ दूरी और सेट जो सीमा पर अंतिम रूप से जुड़े हुए हैं|journal=Journal of Geometric Analysis |volume=26 |year=2016 |issue=2 |pages=873–897 |doi=10.1007/s12220-015-9575-9 |arxiv=1311.5122|s2cid=255549682 }}, section 2</ref> पर पथ से जुड़ा इम क्लीनेन कहा जाता है, यदि <math>x</math> के प्रत्येक पड़ोस में <math>x</math> का पथ-जुड़ा पड़ोस होता है, यदि बिंदु <math>x</math> में पथ-जुड़े सेटों से मिलकर एक पड़ोस आधार है।
+समष्टि <math>X</math> को <math>x</math><ref name="BBS">{{cite journal |last1=Björn |first1=Anders |last2=Björn |first2=Jana |last3=Shanmugalingam |first3=Nageswari |title=माजुरकिविज़ दूरी और सेट जो सीमा पर अंतिम रूप से जुड़े हुए हैं|journal=Journal of Geometric Analysis |volume=26 |year=2016 |issue=2 |pages=873–897 |doi=10.1007/s12220-015-9575-9 |arxiv=1311.5122|s2cid=255549682 }}, section 2</ref> पर पथ से '''संबद्ध आईएम क्लेनन''' कहा जाता है, यदि <math>x</math> के प्रत्येक प्रतिवेश में <math>x</math> का पथ-संबद्ध प्रतिवेश होता है, यदि बिंदु <math>x</math> में पथ-संबद्ध समुच्चयों से मिलकर एक प्रतिवेश आधार है।
-एक स्पेस जो स्थानीय रूप से <math>x</math> पर पथ से जुड़ा है, वह <math>x.</math> पर जुड़ा हुआ पथ है। जैसा कि उपरोक्त घटते ब्रूम स्पेस के समान अनंत संघ द्वारा दिखाया गया है, इसका उलटा असर नहीं करता है। हालाँकि, यदि कोई स्पेस अपने प्रत्येक बिंदु पर इम क्लेन पथ से जुड़ा हुआ है, तो यह स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है।<ref>{{cite web |title=स्थानीय रूप से पथवार जुड़े की परिभाषा|url=https://math.stackexchange.com/q/2999685 |website=Math StackExchange}}</ref>
+समष्टि जो स्थानीय <math>x</math> पर पथ से संबद्ध है, वह <math>x.</math> पर संयुक्त पथ है। जैसा कि उपरोक्त घटते ब्रूम समष्टि के समान अनंत संघ द्वारा दिखाया गया है, इसका उलटा असर नहीं करता है। हालाँकि, यदि कोई समष्टि अपने प्रत्येक बिंदु पर आईएम क्लेनन पथ से संयुक्त है, तो यह स्थानीय पथ से संयुक्त है।<ref>{{cite web |title=स्थानीय रूप से पथवार जुड़े की परिभाषा|url=https://math.stackexchange.com/q/2999685 |website=Math StackExchange}}</ref>
 ==प्रथम उदाहरण==
-# किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए, यूक्लिडियन स्पेस <math>\R^n</math> स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है, इस प्रकार स्थानीय स्तर पर जुड़ा हुआ; यह भी जुड़ा है।
+# किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए, यूक्लिडियन समष्टि <math>\R^n</math> स्थानीय पथ से, इस प्रकार स्थानीय स्तर पर जुड़ा हुआ; यह भी संयुक्त है।
-#अधिक सामान्यतः, प्रत्येक स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थानीय रूप से जुड़ा होता है, क्योंकि प्रत्येक बिंदु पर उत्तल (और इसलिए जुड़ा हुआ) पड़ोस का एक स्थानीय आधार होता है।
+#अधिक सामान्यतः, प्रत्येक स्थानीय उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि स्थानीय जुड़ा होता है, क्योंकि प्रत्येक बिंदु पर उत्तल (और इसलिए संयुक्त हुआ) प्रतिवेश का एक स्थानीय आधार होता है।
-# उपस्थान <math>S = [0,1] \cup [2,3]</math> असली लाइन का <math>\R^1</math> स्थानीय रूप से पथ संबद्ध है लेकिन संबद्ध नहीं है.
+# उपस्थान <math>S = [0,1] \cup [2,3]</math> असली लाइन का <math>\R^1</math> स्थानीय पथ जुड़ा है लेकिन संयुक्त नहीं है.
-# टोपोलॉजिस्ट का साइन वक्र यूक्लिडियन प्लेन का एक उपस्थान है जो संबद्ध हुआ है, लेकिन स्थानीय रूप से संबद्ध नहीं है।<ref name="Steen">Steen &amp; Seebach, pp. 137–138</ref>
+# टोपोलॉजिस्ट का साइन वक्र यूक्लिडियन प्लेन का एक उपस्थान है जो जुड़ा हुआ है, लेकिन स्थानीय संबद्ध नहीं है।<ref name="Steen">Steen &amp; Seebach, pp. 137–138</ref>
-# स्पेस <math>\Q</math> मानक यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संपन्न परिमेय संख्याएँ, न तो जुड़ी हुई हैं और न ही स्थानीय रूप से जुड़ी हुई हैं।
+# समष्टि <math>\Q</math> मानक यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संपन्न परिमेय संख्याएँ, न तो जुड़ी हुई हैं और न ही स्थानीय जुड़ी हुई हैं।
-# कंघी स्पेस पथ से संबद्ध है लेकिन स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध नहीं है, और स्थानीय रूप से भी संबद्ध नहीं है।
+# कंघी समष्टि पथ से जुड़ा है लेकिन स्थानीय पथ से संयुक्त नहीं है, और स्थानीय भी संयुक्त नहीं है।
-# [[सहपरिमित टोपोलॉजी]] से संपन्न एक अनगिनत अनंत सेट स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है (वास्तव में, [[हाइपरकनेक्टेड|हाइपरसंबद्ध]]) लेकिन स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध नहीं है।<ref>Steen &amp; Seebach, pp. 49–50</ref>
+# [[सहपरिमित टोपोलॉजी]] से संपन्न एक अनगिनत अनंत समुच्चय स्थानीय जुड़ा हुआ है (वास्तव में, [[हाइपरकनेक्टेड|हाइपरसंबद्ध]]) लेकिन स्थानीय पथ से संयुक्तनहीं है।<ref>Steen &amp; Seebach, pp. 49–50</ref>
-# यूनिट स्क्वायर पर लेक्सिकोग्राफ़िक ऑर्डर टोपोलॉजी संबद्ध और स्थानीय रूप से संबद्ध है, लेकिन पथ संबद्ध नहीं है, न ही स्थानीय पथ संबद्ध है।<ref>Steen & Seebach, example 48, p. 73</ref>
+# यूनिट स्क्वायर पर लेक्सिकोग्राफ़िक ऑर्डर टोपोलॉजी संयुक्त और स्थानीय संबद्ध है, लेकिन पथ संयुक्त नहीं है, न ही स्थानीय पथ संयुक्त है।<ref>Steen & Seebach, example 48, p. 73</ref>
-# [[किर्च स्थान|किर्च स्पेस]] संबद्ध हुआ है और स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है, लेकिन पथ से संबद्ध नहीं है, और किसी भी बिंदु पर पथ से संबद्ध नहीं है। वास्तव में यह [[पूरी तरह से पथ विच्छेदित]] है।
+# [[किर्च स्थान|किर्च समष्टि]] जुड़ा हुआ है और स्थानीय जुड़ा हुआ है, लेकिन पथ से संयुक्त नहीं है, और किसी भी बिंदु पर पथ से जुड़ा नहीं है। वास्तव में यह [[पूरी तरह से पथ विच्छेदित]] है।
-[[प्रथम-गणनीय]] हॉसडॉर्फ़ स्पेस (<math>(X, \tau)</math> स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है यदि और केवल यदि <math>\tau</math> सभी निरंतर पथों <math>[0, 1] \to (X, \tau).</math> के सेट <math>C([0, 1]; X)</math> से प्रेरित <math>X</math> पर अंतिम टोपोलॉजी के बराबर है।
+[[प्रथम-गणनीय]] हॉसडॉर्फ़ समष्टि (<math>(X, \tau)</math> स्थानीय पथ से जुड़ा हुआ है यदि और केवल यदि <math>\tau</math> सभी निरंतर पथों <math>[0, 1] \to (X, \tau).</math> के समुच्चय <math>C([0, 1]; X)</math> से प्रेरित <math>X</math> पर अंतिम टोपोलॉजी के बराबर है।
 ==गुण==
+प्रमेय - एक स्थान स्थानीय तभी जुड़ा होता है जब वह स्थानीय कमजोर रूप से संयुक्त होता है।
-{{math theorem|A space is locally connected if and only if it is weakly locally connected.<ref name="Willard-27.16"/>}}
+{{collapse top|title=प्रमाण|left=सत्य}}
+असतहीय दिशा के लिए, मान लें <math>X</math> स्थानीय रूप से अशक्त रूप से जुड़ा हुआ है। यह दिखाने के लिए कि यह स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है, यह दिखाना पर्याप्त है कि विवृत समुच्चय के जुड़े घटक (टोपोलॉजी) विवृत हैं।
-{{collapse top|title=Proof|left=true}}
+होने देना <math>U</math> में खुले रहो <math>X</math> और जाने <math>C</math> का एक जुड़ा हुआ घटक बनें <math>U.</math> होने देना <math>x</math> का एक तत्व बनें <math>C.</math> तब <math>U</math> का पड़ोस है <math>x</math> ताकि एक जुड़ा हुआ पड़ोस हो <math>V</math> का <math>x</math> में निहित <math>U.</math> तब से <math>V</math> जुड़ा हुआ है और शामिल है <math>x,</math> <math>V</math> का एक उपसमुच्चय होना चाहिए <math>C</math> (जुड़ा हुआ घटक युक्त <math>x</math>). इसलिए <math>x</math> का एक आंतरिक बिंदु है <math>C.</math> तब से <math>x</math> का एक मनमाना बिंदु था <math>C,</math> <math>C</math> में खुला है <math>X.</math> इसलिए, <math>X</math> स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है।
-गैर-तुच्छ दिशा के लिए, मान लें <math>X</math> स्थानीय रूप से कमजोर रूप से जुड़ा हुआ है। यह दिखाने के लिए कि यह स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है, यह दिखाना पर्याप्त है कि खुले सेट के जुड़े घटक (टोपोलॉजी) खुले हैं।
+{{collapse bottom}}
-होने देना <math>U</math> में खुले रहो <math>X</math> और जाने <math>C</math> का एक जुड़ा हुआ घटक बनें <math>U.</math> होने देना <math>x</math> का एक तत्व बनें <math>C.</math> तब <math>U</math> का पड़ोस है <math>x</math> ताकि एक जुड़ा हुआ पड़ोस हो <math>V</math> का <math>x</math> में निहित <math>U.</math> तब से <math>V</math> जुड़ा हुआ है और शामिल है <math>x,</math> <math>V</math> का एक उपसमुच्चय होना चाहिए <math>C</math> (जुड़ा हुआ घटक युक्त <math>x</math>). इसलिए <math>x</math> का एक आंतरिक बिंदु है <math>C.</math> तब से <math>x</math> का एक मनमाना बिंदु था <math>C,</math> <math>C</math> में खुला है <math>X.</math> इसलिए, <math>X</math> स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है.
+# स्थानीय संयोजकता, परिभाषा के अनुसार, टोपोलॉजिकल समष्टि की एक स्थानीय गुण है, अर्थात्,., टोपोलॉजिकल गुण ''P'' जैसे कि समष्टि ''X'' के पास गुण ''P'' होती है यदि और केवल अगर ''X'' में प्रत्येक पॉइंट ''x'' समुच्चय के प्रतिवेश के आधार को स्वीकार करता है जिसमें ''P'' है। तदनुसार, स्थानीय संयोजकता के लिए एक स्थानीय गुण धारण द्वारा आयोजित सभी "मेटागुणज़". विशेष रूप से:
-{{collapse bottom}}
+# कोई समष्टि स्थानीय तभी जुड़ा होता है जब वह (विवृत) संयुक्त उपसमुच्चय के [[आधार (टोपोलॉजी)]] को स्वीकार करता है।
+# [[ असंयुक्त संघ (टोपोलॉजी) | असंयुक्त संघ (टोपोलॉजी)]]  <math>\coprod_i X_i</math> वर्ग का <math>\{X_i\}</math> रिक्त समष्टि स्थानीय जुड़ा हुआ है यदि और केवल यदि प्रत्येक <math>X_i</math> स्थानीय संबद्ध है. विशेष रूप से, चूंकि एक बिंदु निश्चित रूप से स्थानीय संबद्ध है, इसका तात्पर्य यह है कि कोई भी अलग समष्टि स्थानीय संबद्ध है। दूसरी ओर, एक अलग समष्टि पूरी तरह से वियोजित हो गया है, इसलिए यह केवल तभी संबद्ध होता है जब इसमें अधिकतम एक बिंदु होता है।
+# इसके विपरीत, एक पूरी तरह से अलग किया गया समष्टि स्थानीय तभी संबद्ध होता है जब वह अलग हो। इसका उपयोग उपरोक्त तथ्य को समझाने के लिए किया जा सकता है कि तर्कसंगत संख्याएँ स्थानीय जुड़ी नहीं हैं।
+# गैर-रिक्त उत्पाद समष्टि <math>\prod_i X_i</math> स्थानीय संबद्ध है यदि और केवल यदि प्रत्येक <math>X_i</math> स्थानीय संबद्ध है और सीमित रूप से बहुत सारे को छोड़कर सभी <math>X_i</math> संबद्ध हुए हैं।<ref>Willard, theorem 27.13, p. 201</ref>
+# प्रत्येक [[हाइपरकनेक्टेड स्पेस|हाइपरसंबद्ध समष्टि]] स्थानीय संबद्ध है, और संयुक्त भी है।
-# स्थानीय जुड़ाव, परिभाषा के अनुसार, टोपोलॉजिकल रिक्त स्पेस की एक [[स्थानीय संपत्ति]] है, यानी, एक टोपोलॉजिकल संपत्ति पी जैसे कि एक स्पेस , स्थानीय संपत्ति द्वारा धारित सभी मेटाप्रॉपर्टी स्थानीय संयोजकता के लिए मान्य हैं। विशेष रूप से:
+==अवयव और पथ अवयव==
-# कोई स्पेस स्थानीय रूप से तभी संबद्ध होता है जब वह (खुले) संबद्ध उपसमुच्चय के [[आधार (टोपोलॉजी)]] को स्वीकार करता है।
-# [[ असंयुक्त संघ (टोपोलॉजी) ]] <math>\coprod_i X_i</math> एक परिवार का <math>\{X_i\}</math> रिक्त स्पेस स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है यदि और केवल यदि प्रत्येक <math>X_i</math> स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है. विशेष रूप से, चूंकि एक बिंदु निश्चित रूप से स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है, इसका मतलब यह है कि कोई भी अलग स्पेस स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है। दूसरी ओर, एक अलग स्पेस पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया है, इसलिए केवल तभी संबद्ध हुआ है जब इसमें अधिकतम एक बिंदु हो।
-# इसके विपरीत, एक पूरी तरह से अलग किया गया स्पेस स्थानीय रूप से तभी संबद्ध होता है जब वह अलग हो। इसका उपयोग उपरोक्त तथ्य को समझाने के लिए किया जा सकता है कि तर्कसंगत संख्याएँ स्थानीय रूप से जुड़ी नहीं हैं।
-# एक गैर-रिक्त उत्पाद स्पेस <math>\prod_i X_i</math> स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है यदि और केवल यदि प्रत्येक <math>X_i</math> स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है और सीमित रूप से बहुत सारे को छोड़कर सभी <math>X_i</math> संबद्ध हुए हैं।<ref>Willard, theorem 27.13, p. 201</ref>
-# प्रत्येक [[हाइपरकनेक्टेड स्पेस|हाइपरसंबद्ध स्पेस]] स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है, और संबद्ध हुआ है।
-==घटक और पथ घटक==
+निम्नलिखित परिणाम परिभाषाओं से लगभग तुरंत अनुसरण करता है लेकिन काफी उपयोगी होगा:
-निम्नलिखित परिणाम परिभाषाओं से लगभग तुरंत मिलता है लेकिन काफी उपयोगी होगा:
+लेम्मा: मान लीजिए कि X समष्टि है, और <math>\{Y_i\}</math> X के उपसमुच्चय का एक वर्ग। मान लीजिए कि <math> \bigcap_i Y_i </math> गैर-रिक्त है. फिर, यदि प्रत्येक <math>Y_i</math> संयुक्त है (क्रमशः पथ संयुक्त) फिर संघ <math>\bigcup_i Y_i</math> संयुक्त है (क्रमशः पथ संयुक्त है)।<ref>Willard, Theorem 26.7a, p. 192</ref>
-लेम्मा: मान लीजिए कि X एक स्पेस है, और <math>\{Y_i\}</math> X के उपसमुच्चय का एक परिवार। मान लीजिए कि <math> \bigcap_i Y_i </math> गैर-रिक्त है. फिर, यदि प्रत्येक <math>Y_i</math> संबद्ध हुआ है (क्रमशः, पथ संबद्ध हुआ) फिर संघ <math>\bigcup_i Y_i</math> संबद्ध हुआ है (क्रमशः, पथ संबद्ध हुआ है)।<ref>Willard, Theorem 26.7a, p. 192</ref>
+अब टोपोलॉजिकल समष्टि X: for पर दो संबंधों पर विचार करें <math>x,y \in X,</math> लिखना:
-अब टोपोलॉजिकल स्पेस X: for पर दो संबंधों पर विचार करें <math>x,y \in X,</math> लिखना:
+:<math>x \equiv_c y</math> यदि X का संयुक्त उपसमुच्चय है जिसमें x और y दोनों हैं; और
-:<math>x \equiv_c y</math> यदि X का एक संबद्ध हुआ उपसमुच्चय है जिसमें x और y दोनों हैं; और
+:<math> x \equiv_{pc} y </math> यदि X का पथ से संयुक्त उपसमुच्चय है जिसमें x और y दोनों हैं।
-:<math> x \equiv_{pc} y </math> यदि X का एक पथ से संबद्ध उपसमुच्चय है जिसमें x और y दोनों हैं।
-जाहिर तौर पर दोनों संबंध प्रतिवर्ती और सममित हैं। इसके अलावा, यदि x और y एक संबद्ध हुए (क्रमशः, पथ से संबद्ध) उपसमुच्चय A में समाहित हैं और y और z एक संबद्ध हुए (क्रमशः, पथ से संबद्ध) उपसमुच्चय B में संबद्ध हुए हैं, तो लेम्मा का तात्पर्य है कि <math>A \cup B</math> एक संबद्ध हुआ (क्रमशः, पथ संबद्ध हुआ) उपसमुच्चय है जिसमें x, y और z शामिल हैं। इस प्रकार प्रत्येक संबंध एक [[समतुल्य संबंध]] है, और एक्स के विभाजन को [[समतुल्य वर्ग]]ों में परिभाषित करता है। हम इन दोनों विभाजनों पर बारी-बारी से विचार करते हैं।
+जाहिर तौर पर दोनों संबंध प्रतिवर्ती और सममित हैं। इसके अलावा, यदि x और y संबद्ध हुए (क्रमशः, पथ से संबद्ध) उपसमुच्चय A में समाहित हैं और y और z संबद्ध हुए (क्रमशः, पथ से संबद्ध) उपसमुच्चय B में संबद्ध हुए हैं, तो लेम्मा का तात्पर्य है कि <math>A \cup B</math> संयुक्त (क्रमशः, पथ संयुक्त) उपसमुच्चय है जिसमें x, y और z सामान्यतः हैं। इस प्रकार प्रत्येक संबंध [[समतुल्य संबंध]] है, और X के विभाजन को [[समतुल्य वर्ग]]ों में परिभाषित करता है। हम इन दोनों विभाजनों पर बारी-बारी से विचार करते हैं।
-एक्स में एक्स के लिए, सेट <math>C_x</math> सभी बिंदुओं में से y ऐसा है <math>y \equiv_c x</math> x का संबद्ध कंपोनेंट (टोपोलॉजी) कहलाता है।<ref>Willard, Definition 26.11, p.194</ref> लेम्मा का तात्पर्य यह है <math>C_x</math> एक्स युक्त एक्स का अद्वितीय अधिकतम संबद्ध उपसमुच्चय है।<ref name="WillardProblem_a">विलार्ड, समस्या 26बी, पीपी. 195-196</ref> चूंकि
+X में X के लिए, समुच्चय <math>C_x</math> सभी बिंदुओं में से y ऐसा है <math>y \equiv_c x</math> x का संबद्ध कंपोनेंट (टोपोलॉजी) कहलाता है।<ref>Willard, Definition 26.11, p.194</ref> लेम्मा का तात्पर्य यह है <math>C_x</math> X युक्त X का अद्वितीय अधिकतम संयुक्त उपसमुच्चय है।<ref name="WillardProblem_a">विलार्ड, समस्या 26बी, पीपी. 195-196</ref> चूंकि का समापन <math>C_x</math> यह संयुक्त उपसमुच्चय भी है जिसमें x सामान्यतः है,<ref>Kelley, Theorem 20, p. 54; Willard, Theorem 26.8, p.193</ref> यह इस प्रकार है कि <math>C_x</math> संवृत है।<ref>Willard, Theorem 26.12, p. 194</ref>
-का समापन <math>C_x</math> यह एक संबद्ध हुआ उपसमुच्चय भी है जिसमें x शामिल है,<ref>Kelley, Theorem 20, p. 54; Willard, Theorem 26.8, p.193</ref> यह इस प्रकार है कि <math>C_x</math> बन्द है।<ref>Willard, Theorem 26.12, p. 194</ref>
-यदि एक्स में केवल सीमित रूप से कई संबद्ध हुए घटक हैं, तो प्रत्येक घटक बंद सेटों के एक सीमित संघ का पूरक है और इसलिए खुला है। सामान्य तौर पर, संबद्ध हुए घटकों को खुला होने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि, उदाहरण के लिए, पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किए गए स्पेस मौजूद हैं (यानी, <math>C_x = \{x\}</math> सभी बिंदुओं के लिए x) जो अलग-अलग नहीं हैं, जैसे कैंटर स्पेस। हालाँकि, स्थानीय रूप से संबद्ध स्पेस के संबद्ध घटक भी खुले हैं, और इस प्रकार [[क्लोपेन सेट]] हैं।<ref>Willard, Corollary 27.10, p. 200</ref> यह इस प्रकार है कि स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ स्पेस X एक टोपोलॉजिकल असंयुक्त संघ है <math>\coprod C_x</math> इसके विशिष्ट संबद्ध घटकों की। इसके विपरीत, यदि X के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय U के लिए, U के संबद्ध हुए घटक खुले हैं, तो X संबद्ध हुए सेटों का एक आधार स्वीकार करता है और इसलिए स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है।<ref>Willard, Theorem 27.9, p. 200</ref>
-इसी तरह एक्स में एक्स, सेट <math>PC_x</math> सभी बिंदुओं में से y ऐसा है <math>y \equiv_{pc} x</math> x का पथ घटक कहलाता है।<ref name="WillardProblem">Willard, Problem 27D, p. 202</ref> ऊपरोक्त अनुसार, <math>PC_x</math> एक्स के सभी पथ से संबद्ध उपसमूहों का संघ भी है जिसमें एक्स शामिल है, इसलिए लेम्मा द्वारा स्वयं पथ संबद्ध हुआ है। क्योंकि पथ से संबद्ध सेट संबद्ध हुए हैं, हमारे पास है <math>PC_x \subseteq C_x</math> सभी के लिए <math>x \in X.</math>
-हालाँकि, पथ से संबद्ध सेट को बंद करने के लिए पथ से संबद्ध होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिस्ट का साइन वक्र खुले उपसमुच्चय U का बंद होना है जिसमें x > 0 के साथ सभी बिंदु (x, y) शामिल हैं, और U, एक के लिए होमोमोर्फिक है। वास्तविक रेखा पर अंतराल निश्चित रूप से पथ से संबद्ध हुआ है। इसके अलावा, टोपोलॉजिस्ट के साइन वक्र सी के पथ घटक यू हैं, जो खुला है लेकिन बंद नहीं है, और <math>C \setminus U,</math> जो बंद है लेकिन खुला नहीं है.
-एक स्पेस स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध होता है यदि और केवल तभी जब सभी खुले उपसमुच्चय यू के लिए, यू के पथ घटक खुले हों।<ref name="WillardProblem" />  इसलिए स्थानीय पथ से संबद्ध स्पेस के पथ घटक एक्स को जोड़ीदार असंयुक्त खुले सेटों में विभाजित करते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध स्पेस का एक खुला संबद्ध उपस्थान आवश्यक रूप से पथ से संबद्ध हुआ है।<ref>Willard, Theorem 27.5, p. 199</ref> इसके अलावा, यदि कोई स्पेस स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध हुआ है, तो वह स्थानीय रूप से भी संबद्ध हुआ है, इसलिए सभी के लिए <math>x \in X,</math> <math>C_x</math> संबद्ध हुआ और खुला है, इसलिए पथ संबद्ध हुआ है, अर्थात, <math>C_x = PC_x.</math> अर्थात्, स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध स्पेस के लिए घटक और पथ घटक मेल खाते हैं।
+यदि X में केवल सीमित रूप से कई संबद्ध हुए घटक हैं, तो प्रत्येक घटक संवृत समुच्चयों के सीमित संघ का पूरक है और इसलिए विवृत है। सामान्य तौर पर, संबद्ध हुए घटकों को विवृत होने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि, उदाहरण के लिए, पूरी तरह से वियोजित किए गए समष्टि उपस्थित हैं (यानी, <math>C_x = \{x\}</math> सभी बिंदुओं के लिए x) जो अलग-अलग नहीं हैं, जैसे कैंटर समष्टि। हालाँकि, स्थानीय संबद्ध समष्टि के संबद्ध घटक भी विवृत हैं, और इस प्रकार [[क्लोपेन सेट|क्लोपेन समुच्चय]] हैं।<ref>Willard, Corollary 27.10, p. 200</ref> यह इस प्रकार है कि स्थानीय संबद्ध समष्टि X टोपोलॉजिकल असंयुक्त संघ है <math>\coprod C_x</math> इसके विशिष्ट संबद्ध घटकों की। इसके विपरीत, यदि X के प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय U के लिए, U के संबद्ध हुए घटक विवृत हैं, तो X संबद्ध हुए समुच्चयों का आधार स्वीकार करता है और इसलिए स्थानीय संबद्ध है।<ref>Willard, Theorem 27.9, p. 200</ref>
-===उदाहरण===
+इसी तरह X में X, समुच्चय <math>PC_x</math> सभी बिंदुओं में से y ऐसा है <math>y \equiv_{pc} x</math> x का पथ घटक कहलाता है।<ref name="WillardProblem">Willard, Problem 27D, p. 202</ref> ऊपरोक्त अनुसार, <math>PC_x</math> X के सभी पथ से संबद्ध उपसमूहों का संघ भी है जिसमें X सामान्यतः है, इसलिए लेम्मा द्वारा स्वयं पथ संयुक्त है। क्योंकि पथ से संबद्ध समुच्चय संबद्ध हुए हैं, हमारे पास है <math>PC_x \subseteq C_x</math> सभी के लिए <math>x \in X.</math>
-# सेट <math>I \times I</math> (कहाँ <math>I = [0, 1]</math>) [[शब्दावली क्रम]] में टोपोलॉजी में बिल्कुल एक घटक होता है (क्योंकि यह संबद्ध हुआ है) लेकिन इसमें अनगिनत पथ घटक होते हैं। दरअसल, फॉर्म का कोई भी सेट <math>\{a\} \times I</math> I से संबंधित प्रत्येक a के लिए एक पथ घटक है।
+हालाँकि, पथ से संबद्ध समुच्चय को संवृत करने के लिए पथ से संबद्ध होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिस्ट का साइन वक्र विवृत उपसमुच्चय U का संवृत होना है जिसमें x > 0 के साथ सभी बिंदु (x, y) सामान्यतः हैं, और U, एक के लिए समरूपी है। वास्तविक रेखा पर अंतराल निश्चित रूप से पथ से संयुक्त है। इसके अलावा, टोपोलॉजिस्ट के साइन वक्र C के पथ घटक U हैं, जो विवृत है लेकिन संवृत नहीं है, और <math>C \setminus U,</math> जो संवृत है लेकिन विवृत नहीं है।
-# होने देना <math>f : \R \to \R_{\ell}</math> से एक सतत मानचित्र बनें <math>\R</math> को <math>\R_{\ell}</math> (जो है <math>\R</math> [[निचली सीमा टोपोलॉजी]] में)। तब से <math>\R</math> संबद्ध हुआ है, और एक सतत मानचित्र के अंतर्गत संबद्ध स्पेस की छवि जुड़ी होनी चाहिए, की छवि <math>\R</math> अंतर्गत <math>f</math> संबद्ध होना चाहिए. इसलिए, की छवि <math>\R</math> अंतर्गत <math>f</math> के एक घटक का उपसमुच्चय होना चाहिए <math>\R_{\ell}/</math> चूँकि यह छवि गैर-रिक्त है, 'से एकमात्र सतत मानचित्र<math>\R</math> को <math>\R_{\ell},</math> स्थिर मानचित्र हैं. वास्तव में, किसी संबद्ध हुए स्पेस से पूरी तरह से असंबद्ध स्पेस तक का कोई भी निरंतर मानचित्र स्थिर होना चाहिए।
-==अर्धघटक==
+एक समष्टि स्थानीय पथ से संबद्ध होता है यदि और केवल तभी जब सभी विवृत उपसमुच्चय U के लिए, U के पथ घटक विवृत हों।<ref name="WillardProblem" />  इसलिए स्थानीय पथ से संबद्ध समष्टि के पथ घटक X को जोड़ीदार असंयुक्त विवृत समुच्चयों में विभाजित करते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि स्थानीय पथ से संबद्ध समष्टि का एक विवृत संबद्ध उपस्थान आवश्यक रूप से पथ से संयुक्त है।<ref>Willard, Theorem 27.5, p. 199</ref> इसके अलावा, यदि कोई समष्टि स्थानीय पथ से संयुक्त है, तो वह स्थानीय भी संयुक्त है, इसलिए सभी के लिए <math>x \in X,</math> <math>C_x</math> संयुक्त और विवृत है, इसलिए पथ संयुक्त है, अर्थात, <math>C_x = PC_x.</math> अर्थात्, स्थानीय पथ से संबद्ध समष्टि के लिए घटक और पथ घटक मेल खाते हैं।
-एक्स को टपॉलजी का मूल्य रहने दें। हम X पर तीसरा संबंध परिभाषित करते हैं: <math>x \equiv_{qc} y</math> यदि X को खुले सेट A और B में इस प्रकार अलग नहीं किया गया है कि x, A का एक तत्व है और y, B का एक तत्व है। यह X और समतुल्य वर्ग पर एक तुल्यता संबंध है <math>QC_x</math> x युक्त को x का 'अर्धघटक' कहा जाता है।<ref name="WillardProblem_a" />
+===उदाहरण===
-<math>QC_x</math> इसे एक्स के सभी [[क्लोपेन]] उपसमुच्चय के प्रतिच्छेदन के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जिसमें एक्स शामिल है।<ref name="WillardProblem_a" />इसलिए <math>QC_x</math> बन्द है; सामान्यतः इसे खुला रखने की आवश्यकता नहीं है।
+# समुच्चय <math>I \times I</math> (जहाँ <math>I = [0, 1]</math>) [[शब्दावली क्रम]] में टोपोलॉजी में बिल्कुल घटक होता है (क्योंकि यह संयुक्त है) लेकिन इसमें अनगिनत पथ घटक होते हैं। दरअसल, फॉर्म का कोई भी समुच्चय <math>\{a\} \times I</math> I से संबंधित प्रत्येक a के लिए एक पथ घटक है।
+# होने देना <math>f : \R \to \R_{\ell}</math> से सतत मानचित्र बनें <math>\R</math> को <math>\R_{\ell}</math> (जो है <math>\R</math> [[निचली सीमा टोपोलॉजी]] में)। तब से <math>\R</math> संयुक्त है, और एक सतत मानचित्र के अंतर्गत संबद्ध समष्टि की छवि जुड़ी होनी चाहिए, की छवि <math>\R</math> अंतर्गत <math>f</math> संबद्ध होना चाहिए. इसलिए, की छवि <math>\R</math> अंतर्गत <math>f</math> के एक घटक का उपसमुच्चय होना चाहिए <math>\R_{\ell}/</math> चूँकि यह छवि गैर-रिक्त है, 'से एकमात्र सतत मानचित्र<math>\R</math> को <math>\R_{\ell},</math> स्थिर मानचित्र हैं. वास्तव में, किसी संबद्ध हुए समष्टि से पूरी तरह से असंबद्ध समष्टि तक का कोई भी निरंतर मानचित्र स्थिर होना चाहिए।
-ज़रूर <math>C_x \subseteq QC_x</math> सभी के लिए <math>x \in X.</math><ref name="WillardProblem_a" />  कुल मिलाकर हमारे पास x पर पथ घटकों, घटकों और अर्धघटकों के बीच निम्नलिखित सामग्रियां हैं:
+==क्वैसीकॉम्पोनेंट==
-<math display=block>PC_x \subseteq C_x \subseteq QC_x.</math>
-यदि एक्स स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है, तो, ऊपर के अनुसार, <math>C_x</math> एक क्लोपेन सेट है जिसमें x है, इसलिए <math>QC_x \subseteq C_x</math> और इस तरह <math>QC_x = C_x.</math> चूंकि स्थानीय पथ संयोजकता का तात्पर्य स्थानीय संयोजकता से है, इसका मतलब यह है कि हमारे पास स्थानीय पथ से संबद्ध स्पेस के सभी बिंदुओं x पर है
-<math display=block>PC_x = C_x = QC_x.</math>
-रिक्त स्पेस का एक अन्य वर्ग जिसके लिए अर्धघटक घटकों से सहमत होते हैं, सघन हॉसडॉर्फ रिक्त स्पेस का वर्ग है।<ref>Engelking, Theorem 6.1.23, p. 357</ref>
+मान लीजिए कि ''X'' टोपोलॉजिकल समष्टि है। हम ''X'' पर तीसरा संबंध परिभाषित करते हैं: <math>x \equiv_{qc} y</math> यदि विवृत समुच्चय ''A'' और ''B'' में ''X'' का कोई पृथक्करण नहीं है, जैसे कि ''x A'' का
-===उदाहरण===
+अवयव है और ''y B'' का अवयव है। यह ''X'' पर समतुल्य संबंध है और समतुल्य वर्ग <math>QC_x</math>युक्त ''X''  को ''X'' का '''क्वैसीकॉम्पोनेंट''' कहा जाता है।<ref name="WillardProblem_a" />
-# किसी स्पेस का एक उदाहरण जिसके अर्धघटक उसके घटकों के बराबर नहीं हैं, दोहरे सीमा बिंदु वाला एक अनुक्रम है। यह स्पेस पूरी तरह से अलग हो गया है, लेकिन दोनों सीमा बिंदु एक ही अर्धघटक में स्थित हैं, क्योंकि उनमें से किसी एक वाले क्लोपेन सेट में अनुक्रम की एक पूंछ होनी चाहिए, और इस प्रकार दूसरा बिंदु भी होना चाहिए।
+<math>QC_x</math> इसे X के सभी [[क्लोपेन]] उपसमुच्चय के प्रतिच्छेदन के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जिसमें X सामान्यतः है।<ref name="WillardProblem_a" /> इसलिए <math>QC_x</math> संवृत है; सामान्यतः इसे विवृत रखने की आवश्यकता नहीं है।
-# स्पेस <math>(\{0\}\cup\{\frac{1}{n} : n \in \Z^+\}) \times [-1,1] \setminus \{(0,0)\}</math> स्थानीय रूप से सघन और हॉसडॉर्फ लेकिन सेट हैं <math>\{0\} \times [-1,0)</math> और <math>\{0\} \times (0,1]</math> दो अलग-अलग घटक हैं जो एक ही अर्धघटक में निहित हैं।
-# एरेन्स-फोर्ट स्पेस स्थानीय रूप से संबद्ध नहीं है, लेकिन फिर भी घटक और अर्धघटक मेल खाते हैं: वास्तव में <math>QC_x = C_x = \{x\}</math> सभी बिंदुओं के लिए x.<ref>Steen & Seebach, pp. 54-55</ref>
+निस्संदेह <math>C_x \subseteq QC_x</math> सभी के लिए <math>x \in X.</math><ref name="WillardProblem_a" />  कुल मिलाकर हमारे पास x पर पथ घटकों, घटकों और अर्धघटकों के बीच निम्नलिखित सामग्रियां हैं:
+<math display="block">PC_x \subseteq C_x \subseteq QC_x.</math>
+यदि X स्थानीय संबद्ध है, तो, ऊपर के अनुसार, <math>C_x</math> क्लोपेन समुच्चय है जिसमें x है, इसलिए <math>QC_x \subseteq C_x</math> और इस तरह <math>QC_x = C_x.</math> चूंकि स्थानीय पथ संयोजकता का तात्पर्य स्थानीय संयोजकता से है, इसका तात्पर्य यह है कि हमारे पास स्थानीय पथ से संबद्ध समष्टि के सभी बिंदुओं x पर है।
+<math display="block">PC_x = C_x = QC_x.</math>
+रिक्त समष्टि का एक अन्य वर्ग जिसके लिए अर्धघटक घटकों से सहमत होते हैं, सघन हॉसडॉर्फ रिक्त समष्टि का वर्ग है।<ref>Engelking, Theorem 6.1.23, p. 357</ref>
+===उदाहरण===
+# किसी समष्टि का एक उदाहरण जिसके अर्धघटक उसके घटकों के बराबर नहीं हैं, दोहरे सीमा बिंदु वाला एक अनुक्रम है। यह समष्टि पूरी तरह से अलग हो गया है, लेकिन दोनों सीमा बिंदु एक ही अर्धघटक में स्थित हैं, क्योंकि उनमें से किसी एक वाले क्लोपेन समुच्चय में अनुक्रम की एक पूंछ होनी चाहिए, और इस प्रकार दूसरा बिंदु भी होना चाहिए।
+# समष्टि <math>(\{0\}\cup\{\frac{1}{n} : n \in \Z^+\}) \times [-1,1] \setminus \{(0,0)\}</math> स्थानीय सघन और हॉसडॉर्फ लेकिन समुच्चय हैं <math>\{0\} \times [-1,0)</math> और <math>\{0\} \times (0,1]</math> दो अलग-अलग घटक हैं जो एक ही अर्धघटक में निहित हैं।
+# एरेन्स-फोर्ट स्थान स्थानीय जुड़ा नहीं है, लेकिन फिर भी, घटक और अर्ध-घटक मेल खाते हैं: वास्तव में सभी बिंदुओं ''x'' के लिए <math>QC_x = C_x = \{x\}</math>।<ref>Steen & Seebach, pp. 54-55</ref>
 ==यह भी देखें==
-* {{annotated link|Locally simply connected space}}
+* {{annotated link|स्थानीय रूप से सरलता से जुड़ा स्थान}}
-* {{annotated link|Semi-locally simply connected}}
+* {{annotated link|अर्ध-स्थानीय रूप से सरल रूप से जुड़ा हुआ}}
-* [[एमएलसी अनुमान]]
+* [[एमएलसी अनुमान|यह अनुमान लगाया गया है कि मैंडलब्रोट समुच्चय स्थानीय जुड़ा हुआ है]]
 ==टिप्पणियाँ==
 {{reflist|2}}
 ==संदर्भ==
 * {{cite book|last=Engelking|first=Ryszard| author-link=Ryszard Engelking|title=General Topology|publisher=Heldermann Verlag, Berlin|year=1989| isbn=3-88538-006-4}}
@@ Line 120: / Line 118: @@
 * {{Citation|last1=Steen|first1=Lynn Arthur|author1-link=Lynn Arthur Steen|last2=Seebach|first2=J. Arthur Jr.|author2-link=J. Arthur Seebach, Jr.|title=[[Counterexamples in Topology]]|orig-year=1978|publisher=Dover Publications, Inc.|location=Mineola, NY|edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978|isbn=978-0-486-68735-3|mr=1382863 |year=1995}}
 * Stephen Willard; <cite>General Topology</cite>; Dover Publications, 2004.
 ==अग्रिम पठन==
 * {{Citation|doi=10.1090/S0002-9939-1972-0296913-7|title=Continuous Functions from a Connected Locally Connected Space into a Connected Space with a Dispersion Point|first=C. A.|last= Coppin|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=32|issue= 2|year=1972|pages=625–626|jstor=2037874|publisher=American Mathematical Society|doi-access=free}}. For Hausdorff spaces, it is shown that any continuous function from a connected locally connected space into a connected space with a dispersion point is constant
 * {{Citation|title=A Note on Connectedness Im Kleinen|first=H. S.|last= Davis|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume= 19|issue=5|year=1968|pages= 1237–1241|jstor=2036067|publisher=American Mathematical Society|doi=10.1090/s0002-9939-1968-0254814-3|doi-access=free}}.
-{{DEFAULTSORT:Locally Connected Space}}[[Category: प्रमाण युक्त लेख]] [[Category: टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के गुण]] [[Category: सामान्य टोपोलॉजी]]
+{{DEFAULTSORT:Locally Connected Space}}
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