सम्मिश्र सामान्य वितरण: Difference between revisions

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   | name = सम्मिश्र सामान्य
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संभाव्यता सिद्धांत में, '''सम्मिश्र सामान्य वितरण''' का वर्ग , जिसे <math>\mathcal{CN}</math> या <math>\mathcal{N}_{\mathcal{C}}</math> कहा जाता है, [[जटिल यादृच्छिक चर|सम्मिश्र यादृच्छिक चर]] की विशेषता बताता है जिनके वास्तविक और काल्पनिक हिस्से संयुक्त रूप से सामान्य होते हैं।<ref>{{harvtxt|Goodman|1963}}</ref> सम्मिश्र सामान्य वर्ग में तीन पैरामीटर होते हैं: स्थान पैरामीटर μ, सहप्रसरण मैट्रिक्स <math>\Gamma</math>, और संबंध मैट्रिक्स <math>C</math>. मानक सम्मिश्र सामान्य <math>\mu = 0</math>, <math>\Gamma=1</math>और <math>C=0</math> के साथ एकतरफा वितरण है।
संभाव्यता सिद्धांत में, '''सम्मिश्र सामान्य वितरण''' का वर्ग , जिसे <math>\mathcal{CN}</math> या <math>\mathcal{N}_{\mathcal{C}}</math> कहा जाता है, [[जटिल यादृच्छिक चर|सम्मिश्र यादृच्छिक चर]] की विशेषता बताता है जिनके वास्तविक और काल्पनिक हिस्से संयुक्त रूप से सामान्य होते हैं।<ref>{{harvtxt|Goodman|1963}}</ref> सम्मिश्र सामान्य वर्ग में तीन पैरामीटर होते हैं: स्थान पैरामीटर μ, सहप्रसरण आव्यूह <math>\Gamma</math>, और संबंध आव्यूह <math>C</math>. '''मानक सम्मिश्र सामान्य''' <math>\mu = 0</math>, <math>\Gamma=1</math>और <math>C=0</math> के साथ एकतरफा वितरण है।


सम्मिश्र सामान्य वर्ग के एक महत्वपूर्ण उपवर्ग को वृत्ताकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य कहा जाता है और यह शून्य संबंध मैट्रिक्स और शून्य माध्य के मामले से मेल खाता है: <math> \mu = 0 </math> और <math> C=0 </math>।<ref>[http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/CircSymGauss.pdf  ''bookchapter, Gallager.R''], pg9.</ref> [ इस मामले का उपयोग सिग्नल प्रोसेसिंग में बड़े पैमाने पर किया जाता है, जहां कभी-कभी इसे साहित्य में केवल सम्मिश्र सामान्य के रूप में संदर्भित किया जाता है।
सम्मिश्र सामान्य वर्ग के एक महत्वपूर्ण उपवर्ग को '''वृत्ताकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य''' कहा जाता है और यह शून्य संबंध आव्यूह और शून्य माध्य के स्तिथि से मेल खाता है: <math> \mu = 0 </math> और <math> C=0 </math>।<ref>[http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/CircSymGauss.pdf  ''bookchapter, Gallager.R''], pg9.</ref> इस स्तिथि का उपयोग सिग्नल प्रोसेसिंग में बड़े पैमाने पर किया जाता है, जहां कभी-कभी इसे साहित्य में केवल '''सम्मिश्र सामान्य''' के रूप में संदर्भित किया जाता है।


==परिभाषाएँ==
==परिभाषाएँ==


===सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर===
===सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर===
मानक जटिल सामान्य यादृच्छिक चर या मानक जटिल गाऊसी यादृच्छिक चर एक जटिल यादृच्छिक चर <math>Z</math> है जिसके वास्तविक और काल्पनिक भाग माध्य शून्य और विचरण <math>1/2</math> के साथ स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं।<ref name=Lapidoth>{{cite book | author=Lapidoth, A.| title=डिजिटल संचार में एक फाउंडेशन| publisher=Cambridge University Press | year=2009 | isbn=9780521193955}}</ref>औपचारिक रूप से,
'''मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर''' या '''मानक सम्मिश्र गाऊसी यादृच्छिक चर सम्मिश्र''' यादृच्छिक चर <math>Z</math> है जिसके वास्तविक और काल्पनिक भाग माध्य शून्य और विचरण <math>1/2</math> के साथ स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं।<ref name=Lapidoth>{{cite book | author=Lapidoth, A.| title=डिजिटल संचार में एक फाउंडेशन| publisher=Cambridge University Press | year=2009 | isbn=9780521193955}}</ref>औपचारिक रूप से,


{{Equation box 1
{{Equation box 1
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===सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर===
===सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर===
मान लीजिए कि <math>X</math> और <math>Y</math> वास्तविक यादृच्छिक चर हैं, जैसे कि <math>(X,Y)^{\mathrm T}</math> एक 2-आयामी [[सामान्य यादृच्छिक वेक्टर]] है। तब जटिल यादृच्छिक चर <math>Z=X+iY</math> को जटिल सामान्य यादृच्छिक चर या जटिल गाऊसी यादृच्छिक चर कहा जाता है।<ref name=Lapidoth/>
मान लीजिए कि <math>X</math> और <math>Y</math> वास्तविक यादृच्छिक चर हैं, जैसे कि <math>(X,Y)^{\mathrm T}</math> एक 2-आयामी [[सामान्य यादृच्छिक वेक्टर|सामान्य यादृच्छिक सदिश]] है। तब '''सम्मिश्र यादृच्छिक चर''' <math>Z=X+iY</math> को '''सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर''' या '''सम्मिश्र गाऊसी यादृच्छिक चर''' कहा जाता है।<ref name=Lapidoth/>


{{Equation box 1
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===सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक वेक्टर===
===सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक सदिश===
एक एन-आयामी सम्मिश्र यादृच्छिक वेक्टर <math>\mathbf{Z}=(Z_1,\ldots,Z_n)^{\mathrm T}</math> एक सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक वेक्टर या सम्मिश्र मानक गॉसियन यादृच्छिक वेक्टर है यदि इसके घटक स्वतंत्र हैं और वे सभी मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर हैं जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।<ref name=Lapidoth/>{{rp|p. 502}}<ref name="TseViswanath">{{cite book |first=David |last=Tse |year=2005 |title=वायरलेस संचार के मूल सिद्धांत|publisher=Cambridge University Press|isbn=9781139444668 |url=https://books.google.com/books?id=GdsLAQAAQBAJ&q=%22random+variable%22}}</ref>{{rp|pp. 501}}
एक nआयामी सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश <math>\mathbf{Z}=(Z_1,\ldots,Z_n)^{\mathrm T}</math> '''सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक सदिश''' या '''सम्मिश्र मानक गॉसियन यादृच्छिक सदिश''' है यदि इसके घटक स्वतंत्र हैं और वे सभी मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर हैं जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।<ref name=Lapidoth/><ref name="TseViswanath">{{cite book |first=David |last=Tse |year=2005 |title=वायरलेस संचार के मूल सिद्धांत|publisher=Cambridge University Press|isbn=9781139444668 |url=https://books.google.com/books?id=GdsLAQAAQBAJ&q=%22random+variable%22}}</ref> वह <math>\mathbf{Z}</math> एक मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश <math>\mathbf{Z} \sim \mathcal{CN}(0,\boldsymbol{I}_n)</math> निरूपित किया जाता है।
वह <math>\mathbf{Z}</math> एक मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक वेक्टर निरूपित किया जाता है <math>\mathbf{Z} \sim \mathcal{CN}(0,\boldsymbol{I}_n)</math>.


{{Equation box 1
{{Equation box 1
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===सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक वेक्टर===
===सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश===
अगर <math>\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^{\mathrm T}</math> और <math>\mathbf{Y}=(Y_1,\ldots,Y_n)^{\mathrm T}</math> में [[यादृच्छिक वेक्टर]] हैं <math>\mathbb{R}^n</math> ऐसा है कि <math>[\mathbf{X},\mathbf{Y}]</math> के साथ एक सामान्य यादृच्छिक वेक्टर है <math>2n</math> अवयव। तब हम कहते हैं कि [[जटिल यादृच्छिक वेक्टर|सम्मिश्र यादृच्छिक वेक्टर]]
यदि <math>\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^{\mathrm T}</math> और <math>\mathbf{Y}=(Y_1,\ldots,Y_n)^{\mathrm T}</math> में [[यादृच्छिक वेक्टर|यादृच्छिक सदिश]] हैं <math>\mathbb{R}^n</math> ऐसा है कि <math>[\mathbf{X},\mathbf{Y}]</math> के साथ एक सामान्य यादृच्छिक सदिश है <math>2n</math> अवयव। तब हम कहते हैं कि [[जटिल यादृच्छिक वेक्टर|सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश]]
: <math>
: <math>
     \mathbf{Z} = \mathbf{X} + i \mathbf{Y} \,
     \mathbf{Z} = \mathbf{X} + i \mathbf{Y} \,
   </math>
   </math>
एक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक वेक्टर या एक सम्मिश्र गाऊसी यादृच्छिक वेक्टर है।
एक सम्मिश्र '''सामान्य यादृच्छिक सदिश''' या एक '''सम्मिश्र गाऊसी यादृच्छिक सदिश''' है।


{{Equation box 1
{{Equation box 1
Line 79: Line 78:
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==माध्य, सहप्रसरण, और संबंध{{anchor|Mean and covariance}}==
==माध्य, सहप्रसरण, और संबंध==
सम्मिश्र गाऊसी वितरण को 3 मापदंडों के साथ वर्णित किया जा सकता है:<ref name="picinbono">{{harvtxt|Picinbono|1996}}</ref>
सम्मिश्र गाऊसी वितरण को 3 मापदंडों के साथ वर्णित किया जा सकता है:<ref name="picinbono">{{harvtxt|Picinbono|1996}}</ref>
: <math>
: <math>
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     C = \operatorname{E}[(\mathbf{Z}-\mu)(\mathbf{Z}-\mu)^{\mathrm T}],
     C = \operatorname{E}[(\mathbf{Z}-\mu)(\mathbf{Z}-\mu)^{\mathrm T}],
   </math>
   </math>
जहाँ <math>\mathbf{Z}^{\mathrm T}</math> [[ मैट्रिक्स स्थानान्तरण ]] को दर्शाता है <math>\mathbf{Z}</math>, और <math>\mathbf{Z}^{\mathrm H}</math> संयुग्मी स्थानान्तरण को दर्शाता है।<ref name=Lapidoth/>{{rp|p. 504}}<ref name=TseViswanath/>{{rp|pp. 500}}
जहाँ <math>\mathbf{Z}^{\mathrm T}</math> [[ मैट्रिक्स स्थानान्तरण | आव्यूह स्थानान्तरण]] को दर्शाता है <math>\mathbf{Z}</math>, और <math>\mathbf{Z}^{\mathrm H}</math> संयुग्मी स्थानान्तरण को दर्शाता है।<ref name=Lapidoth/>{{rp|p. 504}}<ref name=TseViswanath/>{{rp|pp. 500}}


यहां [[स्थान पैरामीटर]] है <math>\mu</math> एक एन-आयामी सम्मिश्र वेक्टर है; सहप्रसरण मैट्रिक्स <math>\Gamma</math> [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]] और [[गैर-नकारात्मक निश्चित]] है; और, [[संबंध मैट्रिक्स]] या छद्म सहप्रसरण मैट्रिक्स <math>C</math> [[सममित मैट्रिक्स]] है. सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक वेक्टर <math>
यहां [[स्थान पैरामीटर]] है <math>\mu</math> एक nआयामी सम्मिश्र सदिश है; सहप्रसरण आव्यूह <math>\Gamma</math> [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] और [[गैर-नकारात्मक निश्चित|ऋणेतर निश्चित]] है; और, [[संबंध मैट्रिक्स|संबंध आव्यूह]] या छद्म सहप्रसरण आव्यूह <math>C</math> [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] है। सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश <math>
     \mathbf{Z}
     \mathbf{Z}
   </math> अब के रूप में दर्शाया जा सकता है<math display="block">
   </math> अब के रूप में दर्शाया जा सकता है।<math display="block">
     \mathbf{Z}\ \sim\ \mathcal{CN}(\mu,\ \Gamma,\ C).
     \mathbf{Z}\ \sim\ \mathcal{CN}(\mu,\ \Gamma,\ C).
   </math>इसके अलावा, मैट्रिक्स <math>\Gamma</math> और <math>C</math> ऐसे हैं कि मैट्रिक्स
   </math>इसके अतिरिक्त, आव्यूह <math>\Gamma</math> और <math>C</math> ऐसे हैं जो आव्यूह हैं
 
: <math>
: <math>
     P = \overline{\Gamma} - {C}^{\mathrm H}\Gamma^{-1}C
     P = \overline{\Gamma} - {C}^{\mathrm H}\Gamma^{-1}C
   </math>
   </math>
यह भी गैर-नकारात्मक निश्चित है <math>\overline{\Gamma}</math> के सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाता है <math>\Gamma</math>.<ref name="picinbono"/>
यह ऋणेतर  निश्चितता भी है जहां <math>\overline{\Gamma}</math>, <math>\Gamma</math> के सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाता है।<ref name="picinbono" />
 
 
==सहप्रसरण आव्यूहों के बीच संबंध==
==सहप्रसरण आव्यूहों के बीच संबंध==
{{main|Complex random vector#Covariance matrix and pseudo-covariance matrix}}
{{main|सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश सहप्रसरण आव्यूह और छद्म-सहसंयोजक आव्यूह}}


किसी भी सम्मिश्र यादृच्छिक वेक्टर के लिए, मैट्रिक्स <math>\Gamma</math> और <math>C</math> के सहप्रसरण मैट्रिक्स से संबंधित हो सकता है <math>\mathbf{X} = \Re(\mathbf{Z})</math> और <math>\mathbf{Y} = \Im(\mathbf{Z})</math> अभिव्यक्ति के माध्यम से
जहां तक किसी सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश का सवाल है, आव्यूह <math>\Gamma</math> और <math>C</math> को अभिव्यक्ति के माध्यम से <math>\mathbf{X} = \Re(\mathbf{Z})</math> और <math>\mathbf{Y} = \Im(\mathbf{Z})</math> के सहप्रसरण आव्यूहों से संबंधित किया जा सकता है
: <math>\begin{align}
: <math>\begin{align}
   & V_{XX} \equiv \operatorname{E}[(\mathbf{X}-\mu_X)(\mathbf{X}-\mu_X)^\mathrm T] = \tfrac{1}{2}\operatorname{Re}[\Gamma + C], \quad
   & V_{XX} \equiv \operatorname{E}[(\mathbf{X}-\mu_X)(\mathbf{X}-\mu_X)^\mathrm T] = \tfrac{1}{2}\operatorname{Re}[\Gamma + C], \quad
Line 114: Line 112:
     & C = V_{XX} - V_{YY} + i(V_{YX} + V_{XY}).
     & C = V_{XX} - V_{YY} + i(V_{YX} + V_{XY}).
   \end{align}</math>
   \end{align}</math>
==घनत्व फलन==
==घनत्व फलन==
सम्मिश्र सामान्य वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की गणना इस प्रकार की जा सकती है
सम्मिश्र सामान्य वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व फलन की गणना इस प्रकार की जा सकती है


: <math>\begin{align}
: <math>\begin{align}
Line 131: Line 127:
जहाँ <math>R=C^{\mathrm H} \Gamma^{-1}</math> और <math>P=\overline{\Gamma}-RC</math>.
जहाँ <math>R=C^{\mathrm H} \Gamma^{-1}</math> और <math>P=\overline{\Gamma}-RC</math>.


==विशेषता कार्य==
==अभिलक्षणिक फलन==
सम्मिश्र सामान्य वितरण का विशिष्ट कार्य (संभावना सिद्धांत) किसके द्वारा दिया गया है?<ref name="picinbono"/>: <math>
सम्मिश्र सामान्य वितरण का विशिष्ट कार्य निम्नलिखित द्वारा दिया गया है<ref name="picinbono"/>
 
<math>
     \varphi(w) = \exp\!\big\{i\operatorname{Re}(\overline{w}'\mu) - \tfrac{1}{4}\big(\overline{w}'\Gamma w + \operatorname{Re}(\overline{w}'C\overline{w})\big)\big\},
     \varphi(w) = \exp\!\big\{i\operatorname{Re}(\overline{w}'\mu) - \tfrac{1}{4}\big(\overline{w}'\Gamma w + \operatorname{Re}(\overline{w}'C\overline{w})\big)\big\},
   </math>
   </math>
जहां तर्क <math>w</math> एक एन-आयामी सम्मिश्र वेक्टर है।
 
जहां तर्क <math>w</math> एक n आयामी सम्मिश्र सदिश है।


==गुण==
==गुण==
* अगर <math>\mathbf{Z}</math> एक सम्मिश्र सामान्य एन-वेक्टर है, <math>\boldsymbol{A}</math> एक m×n मैट्रिक्स, और <math>b</math> एक स्थिर एम-वेक्टर, फिर रैखिक परिवर्तन <math>\boldsymbol{A}\mathbf{Z}+b</math> सम्मिश्र-सामान्य रूप से भी वितरित किया जाएगा:
* यदि <math>\mathbf{Z}</math> सम्मिश्र सामान्य ''n''-सदिश है, <math>\boldsymbol{A}</math> एक m×n आव्यूह है, और <math>b</math> एक स्थिर ''m''-सदिश है, तो रैखिक रूपांतरण <math>\boldsymbol{A}\mathbf{Z}+b</math> को भी सम्मिश्र-सामान्य रूप से वितरित किया जाएगा:
: <math>
: <math>
     Z\ \sim\ \mathcal{CN}(\mu,\, \Gamma,\, C) \quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim\ \mathcal{CN}(A\mu+b,\, A \Gamma A^{\mathrm H},\, A C A^{\mathrm T})
     Z\ \sim\ \mathcal{CN}(\mu,\, \Gamma,\, C) \quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim\ \mathcal{CN}(A\mu+b,\, A \Gamma A^{\mathrm H},\, A C A^{\mathrm T})
   </math>
   </math>
* अगर <math>\mathbf{Z}</math> तो, एक सम्मिश्र सामान्य एन-वेक्टर है
* यदि <math>\mathbf{Z}</math> तो, एक सम्मिश्र सामान्य n सदिश है।
: <math>
: <math>
     2\Big[ (\mathbf{Z}-\mu)^{\mathrm H} \overline{P^{-1}}(\mathbf{Z}-\mu) -
     2\Big[ (\mathbf{Z}-\mu)^{\mathrm H} \overline{P^{-1}}(\mathbf{Z}-\mu) -
Line 148: Line 147:
     \Big]\ \sim\ \chi^2(2n)
     \Big]\ \sim\ \chi^2(2n)
   </math>
   </math>
* केंद्रीय सीमा प्रमेय। अगर <math>Z_1,\ldots,Z_T</math> तो, स्वतंत्र और समान रूप से वितरित सम्मिश्र यादृच्छिक चर हैं
* '''केंद्रीय सीमा प्रमेय'''। यदि <math>Z_1,\ldots,Z_T</math> तो, स्वतंत्र और समान रूप से वितरित सम्मिश्र यादृच्छिक चर हैं।
: <math>
: <math>
     \sqrt{T}\Big( \tfrac{1}{T}\textstyle\sum_{t=1}^T Z_t - \operatorname{E}[Z_t]\Big) \ \xrightarrow{d}\  
     \sqrt{T}\Big( \tfrac{1}{T}\textstyle\sum_{t=1}^T Z_t - \operatorname{E}[Z_t]\Big) \ \xrightarrow{d}\  
Line 157: Line 156:
* एक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर का मापांक एक [[होयट वितरण]] का अनुसरण करता है।<ref>{{cite web |title=The Hoyt Distribution (Documentation for R package 'shotGroups' version 0.6.2) |author=Daniel Wollschlaeger |url=http://finzi.psych.upenn.edu/usr/share/doc/library/shotGroups/html/hoyt.html }}{{Dead link|date=July 2019 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>
* एक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर का मापांक एक [[होयट वितरण]] का अनुसरण करता है।<ref>{{cite web |title=The Hoyt Distribution (Documentation for R package 'shotGroups' version 0.6.2) |author=Daniel Wollschlaeger |url=http://finzi.psych.upenn.edu/usr/share/doc/library/shotGroups/html/hoyt.html }}{{Dead link|date=July 2019 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>


==वृत्ताकार-सममित केंद्रीय स्तिथि==


==वृत्ताकार-सममित केंद्रीय मामला==
===परिभाषा===
एक सम्मिश्र यादृच्छिक वेक्टर <math> \mathbf{Z} </math> को गोलाकार रूप से सममित कहा जाता है यदि प्रत्येक नियतात्मक <math> \varphi \in [-\pi,\pi) </math> के लिए <math> e^{\mathrm i \varphi}\mathbf{Z} </math> का वितरण <math> \mathbf{Z} </math> के वितरण के बराबर होता है। <ref name=TseViswanath/>


===परिभाषा===
{{main|सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश और वृत्ताकार समरूपता}}
एक सम्मिश्र यादृच्छिक वेक्टर <math> \mathbf{Z} </math> यदि प्रत्येक नियति के लिए इसे गोलाकार सममित कहा जाता है <math> \varphi \in [-\pi,\pi) </math> का वितरण <math> e^{\mathrm i \varphi}\mathbf{Z} </math> के वितरण के बराबर है <math> \mathbf{Z} </math>.<ref name=TseViswanath/>{{rp|pp. 500–501}}
{{main|Complex random vector#Circular symmetry}}


केंद्रीय सामान्य सम्मिश्र यादृच्छिक वेक्टर जो गोलाकार रूप से सममित होते हैं, विशेष रुचि रखते हैं क्योंकि वे सहप्रसरण मैट्रिक्स द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट होते हैं <math>\Gamma</math>.
केंद्रीय सामान्य सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश जो गोलाकार रूप से सममित होते हैं, विशेष रुचि रखते हैं क्योंकि वे सहप्रसरण आव्यूह <math>\Gamma</math> द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट होते हैं।


गोलाकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य वितरण शून्य माध्य और शून्य संबंध मैट्रिक्स के मामले से मेल खाता है, अर्थात। <math>\mu = 0</math> और <math>C=0</math>.<ref name=Lapidoth/>{{rp|p. 507}}<ref>[http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/CircSymGauss.pdf  ''bookchapter, Gallager.R'']</ref> इसे आमतौर पर दर्शाया जाता है
गोलाकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य वितरण शून्य माध्य और शून्य संबंध आव्यूह के स्तिथि से मेल खाता है, यानी <math>\mu = 0</math> और <math>C=0</math> <ref name=Lapidoth/>{{rp|p. 507}}<ref>[http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/CircSymGauss.pdf  ''bookchapter, Gallager.R'']</ref>सामान्यतः इसे दर्शाया जाता है
:<math>\mathbf{Z} \sim \mathcal{CN}(0,\,\Gamma)</math>
:<math>\mathbf{Z} \sim \mathcal{CN}(0,\,\Gamma)</math>
===वास्तविक और काल्पनिक भागों का वितरण===
===वास्तविक और काल्पनिक भागों का वितरण===
अगर <math>\mathbf{Z}=\mathbf{X}+i\mathbf{Y}</math> गोलाकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य है, फिर वेक्टर <math>[\mathbf{X}, \mathbf{Y}]</math> सहप्रसरण संरचना के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य है
यदि <math>\mathbf{Z}=\mathbf{X}+i\mathbf{Y}</math> गोलाकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य है, फिर सदिश <math>[\mathbf{X}, \mathbf{Y}]</math> सहप्रसरण संरचना के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य है।
: <math>
: <math>
     \begin{pmatrix}\mathbf{X} \\ \mathbf{Y}\end{pmatrix} \ \sim\   
     \begin{pmatrix}\mathbf{X} \\ \mathbf{Y}\end{pmatrix} \ \sim\   
Line 185: Line 182:
जहाँ <math>\mu = \operatorname{E}[\mathbf{Z}] = 0</math> और <math>\Gamma=\operatorname{E}[\mathbf{Z} \mathbf{Z}^{\mathrm H}]</math>.
जहाँ <math>\mu = \operatorname{E}[\mathbf{Z}] = 0</math> और <math>\Gamma=\operatorname{E}[\mathbf{Z} \mathbf{Z}^{\mathrm H}]</math>.


===संभावना घनत्व फ़ंक्शन===
===संभावना सघनता फलन===
गैर-एकवचन सहप्रसरण मैट्रिक्स के लिए <math>\Gamma</math>, इसके वितरण को भी सरल बनाया जा सकता है<ref name=Lapidoth/>{{rp|p. 508}}
गैर विलक्षण सहप्रसरण आव्यूह के लिए <math>\Gamma</math>, इसके वितरण को भी सरल बनाया जा सकता है<ref name=Lapidoth/>{{rp|p. 508}}
: <math>
: <math>
     f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z}) = \tfrac{1}{\pi^n \det(\Gamma)}\, e^{ -(\mathbf{z}-\mathbf{\mu})^{\mathrm H} \Gamma^{-1} (\mathbf{z}-\mathbf{\mu})}
     f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z}) = \tfrac{1}{\pi^n \det(\Gamma)}\, e^{ -(\mathbf{z}-\mathbf{\mu})^{\mathrm H} \Gamma^{-1} (\mathbf{z}-\mathbf{\mu})}
   </math>.
   </math>.


इसलिए, यदि गैर-शून्य माध्य है <math>\mu</math> और सहप्रसरण मैट्रिक्स <math>\Gamma</math> अज्ञात हैं, एकल अवलोकन वेक्टर के लिए एक उपयुक्त लॉग संभावना फ़ंक्शन <math>z</math> होगा
इसलिए, यदि गैर-शून्य माध्य है <math>\mu</math> और सहप्रसरण आव्यूह <math>\Gamma</math> अज्ञात हैं, एकल अवलोकन सदिश के लिए एक उपयुक्त लॉग संभावना फलन <math>z</math> होगा।
: <math>
: <math>
     \ln(L(\mu,\Gamma)) = -\ln (\det(\Gamma)) -\overline{(z - \mu)}' \Gamma^{-1} (z - \mu) -n \ln(\pi).
     \ln(L(\mu,\Gamma)) = -\ln (\det(\Gamma)) -\overline{(z - \mu)}' \Gamma^{-1} (z - \mu) -n \ln(\pi).
   </math>
   </math>
मानक सम्मिश्र सामान्य (में परिभाषित) {{EquationNote|Eq.1}})एक अदिश यादृच्छिक चर के वितरण के अनुरूप है <math>\mu = 0</math>, <math>C=0</math> और <math>\Gamma=1</math>. इस प्रकार, मानक सम्मिश्र सामान्य वितरण में घनत्व होता है
मानक सम्मिश्र सामान्य (में परिभाषित) {{EquationNote|Eq.1}})एक अदिश यादृच्छिक चर के वितरण के अनुरूप है <math>\mu = 0</math>, <math>C=0</math> और <math>\Gamma=1</math>. इस प्रकार, मानक सम्मिश्र सामान्य वितरण में घनत्व होता है।


: <math>
: <math>
     f_Z(z) = \tfrac{1}{\pi} e^{-\overline{z}z} = \tfrac{1}{\pi} e^{-|z|^2}.
     f_Z(z) = \tfrac{1}{\pi} e^{-\overline{z}z} = \tfrac{1}{\pi} e^{-|z|^2}.
   </math>
   </math>
===गुण===
===गुण===
उपरोक्त अभिव्यक्ति दर्शाती है कि मामला क्यों है <math>C=0</math>, <math>\mu = 0</math> "वृत्ताकार-सममित" कहा जाता है। घनत्व फलन केवल के परिमाण पर निर्भर करता है <math>z</math> लेकिन इसके Arg (गणित) पर नहीं. इस प्रकार, परिमाण <math>|z|</math> एक मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर में [[रेले वितरण]] और वर्ग परिमाण होगा <math>|z|^2</math> घातांकीय वितरण होगा, जबकि तर्क को [[समान वितरण (निरंतर)]] पर वितरित किया जाएगा <math>[-\pi,\pi]</math>.
उपरोक्त अभिव्यक्ति दर्शाती है कि क्यों स्तिथि <math>C=0</math>, <math>\mu = 0</math> को "गोलाकार सममित" कहा जाता है। घनत्व फलन केवल <math>z</math> के परिमाण पर निर्भर करता है, उसके तर्क पर नहीं। जैसे, परिमाण <math>|z|</math> एक मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर में [[रेले वितरण]] होगा और वर्ग परिमाण <math>|z|^2</math> में घातांकीय वितरण होगा, जबकि तर्क <math>[-\pi,\pi]</math> पर समान रूप से वितरित किया जाएगा।


अगर <math>\left\{ \mathbf{Z}_1,\ldots,\mathbf{Z}_k \right\}</math> स्वतंत्र और समान रूप से वितरित एन-आयामी परिपत्र सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक वैक्टर हैं <math>\mu = 0</math>, फिर यादृच्छिक वर्ग मानदंड
यदि <math>\left\{ \mathbf{Z}_1,\ldots,\mathbf{Z}_k \right\}</math> स्वतंत्र और समान रूप से वितरित ''n''-आयामी परिपत्र सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश हैं <math>\mu = 0</math>, फिर यादृच्छिक वर्ग मानदंड
: <math>
: <math>
     Q = \sum_{j=1}^k \mathbf{Z}_j^{\mathrm H} \mathbf{Z}_j = \sum_{j=1}^k \| \mathbf{Z}_j \|^2
     Q = \sum_{j=1}^k \mathbf{Z}_j^{\mathrm H} \mathbf{Z}_j = \sum_{j=1}^k \| \mathbf{Z}_j \|^2
   </math>
   </math>
इसमें [[सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण]] और यादृच्छिक मैट्रिक्स है
इसमें [[सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण]] और यादृच्छिक आव्यूह है।
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     W = \sum_{j=1}^k \mathbf{Z}_j \mathbf{Z}_j^{\mathrm H}
     W = \sum_{j=1}^k \mathbf{Z}_j \mathbf{Z}_j^{\mathrm H}
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के साथ [[जटिल विशरट वितरण|सम्मिश्र विशरट वितरण]] है <math>k</math> स्वतंत्रता की कोटियां। इस वितरण को घनत्व फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जा सकता है
इसमें स्वतंत्रता की <math>k</math> डिग्री के साथ [[जटिल विशरट वितरण|सम्मिश्र विशरट वितरण]] है। इस वितरण का वर्णन घनत्व फलन द्वारा किया जा सकता है।
: <math>
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     f(w) = \frac{\det(\Gamma^{-1})^k\det(w)^{k-n}}{\pi^{n(n-1)/2}\prod_{j=1}^k(k-j)!}\  
     f(w) = \frac{\det(\Gamma^{-1})^k\det(w)^{k-n}}{\pi^{n(n-1)/2}\prod_{j=1}^k(k-j)!}\  
           e^{-\operatorname{tr}(\Gamma^{-1}w)}
           e^{-\operatorname{tr}(\Gamma^{-1}w)}
   </math>
   </math>
जहाँ <math>k \ge n</math>, और <math>w</math> एक है <math>n \times n</math> गैर-नकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स।
जहाँ <math>k \ge n</math> और <math>w</math> एक <math>n \times n</math> ऋणेतर-निश्चित आव्यूह है।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
* [[जटिल सामान्य अनुपात वितरण|सम्मिश्र सामान्य अनुपात वितरण]]
* [[जटिल सामान्य अनुपात वितरण|सम्मिश्र सामान्य अनुपात वितरण]]
* दिशात्मक आँकड़े#माध्य का वितरण (ध्रुवीय रूप)
* दिशात्मक सांख्यिकी एवं माध्य का वितरण (ध्रुवीय रूप)
* [[सामान्य वितरण]]
* [[सामान्य वितरण]]
* बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण (एक सम्मिश्र सामान्य वितरण एक द्विचर सामान्य वितरण है)
* बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण (सम्मिश्र सामान्य वितरण एक द्विचर सामान्य वितरण है)
* सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण
* सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण
*[[विशार्ट वितरण]]
*[[विशार्ट वितरण]]
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==संदर्भ==
==संदर्भ==
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==अग्रिम पठन==
==अग्रिम पठन==
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* <small>Gallager, Robert G (2008). "Circularly-Symmetric Gaussian Random Vectors." (n.d.): n. pag. Pre-print. Web. '''9''' http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/CircSymGauss.pdf.</small>
* <small>Gallager, Robert G (2008). "Circularly-Symmetric Gaussian Random Vectors." (n.d.): n. pag. Pre-print. Web. '''9''' http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/CircSymGauss.pdf.</small>
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Latest revision as of 17:00, 29 July 2023

सम्मिश्र सामान्य
Parameters

location
covariance matrix (positive semi-definite matrix)

relation matrix (complex symmetric matrix)
Support
Unknown type सम्मिश्र , पाठ देखें
Mean
Mode
Unknown type
CF

संभाव्यता सिद्धांत में, सम्मिश्र सामान्य वितरण का वर्ग , जिसे या कहा जाता है, सम्मिश्र यादृच्छिक चर की विशेषता बताता है जिनके वास्तविक और काल्पनिक हिस्से संयुक्त रूप से सामान्य होते हैं।[1] सम्मिश्र सामान्य वर्ग में तीन पैरामीटर होते हैं: स्थान पैरामीटर μ, सहप्रसरण आव्यूह , और संबंध आव्यूह . मानक सम्मिश्र सामान्य , और के साथ एकतरफा वितरण है।

सम्मिश्र सामान्य वर्ग के एक महत्वपूर्ण उपवर्ग को वृत्ताकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य कहा जाता है और यह शून्य संबंध आव्यूह और शून्य माध्य के स्तिथि से मेल खाता है: और [2] इस स्तिथि का उपयोग सिग्नल प्रोसेसिंग में बड़े पैमाने पर किया जाता है, जहां कभी-कभी इसे साहित्य में केवल सम्मिश्र सामान्य के रूप में संदर्भित किया जाता है।

परिभाषाएँ

सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर

मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर या मानक सम्मिश्र गाऊसी यादृच्छिक चर सम्मिश्र यादृच्छिक चर है जिसके वास्तविक और काल्पनिक भाग माध्य शून्य और विचरण के साथ स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं।[3]औपचारिक रूप से,

 

 

 

 

(Eq.1)

जहाँ यह दर्शाता है एक मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर है।

सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर

मान लीजिए कि और वास्तविक यादृच्छिक चर हैं, जैसे कि एक 2-आयामी सामान्य यादृच्छिक सदिश है। तब सम्मिश्र यादृच्छिक चर को सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर या सम्मिश्र गाऊसी यादृच्छिक चर कहा जाता है।[3]

 

 

 

 

(Eq.2)

सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक सदिश

एक nआयामी सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक सदिश या सम्मिश्र मानक गॉसियन यादृच्छिक सदिश है यदि इसके घटक स्वतंत्र हैं और वे सभी मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर हैं जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।[3][4] वह एक मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश निरूपित किया जाता है।

 

 

 

 

(Eq.3)

सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश

यदि और में यादृच्छिक सदिश हैं ऐसा है कि के साथ एक सामान्य यादृच्छिक सदिश है अवयव। तब हम कहते हैं कि सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश

एक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश या एक सम्मिश्र गाऊसी यादृच्छिक सदिश है।

 

 

 

 

(Eq.4)

माध्य, सहप्रसरण, और संबंध

सम्मिश्र गाऊसी वितरण को 3 मापदंडों के साथ वर्णित किया जा सकता है:[5]

जहाँ आव्यूह स्थानान्तरण को दर्शाता है , और संयुग्मी स्थानान्तरण को दर्शाता है।[3]: p. 504 [4]: pp. 500 

यहां स्थान पैरामीटर है एक nआयामी सम्मिश्र सदिश है; सहप्रसरण आव्यूह हर्मिटियन आव्यूह और ऋणेतर निश्चित है; और, संबंध आव्यूह या छद्म सहप्रसरण आव्यूह सममित आव्यूह है। सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश अब के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इसके अतिरिक्त, आव्यूह और ऐसे हैं जो आव्यूह हैं

यह ऋणेतर निश्चितता भी है जहां , के सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाता है।[5]

सहप्रसरण आव्यूहों के बीच संबंध

जहां तक किसी सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश का सवाल है, आव्यूह और को अभिव्यक्ति के माध्यम से और के सहप्रसरण आव्यूहों से संबंधित किया जा सकता है

और इसके विपरीत

घनत्व फलन

सम्मिश्र सामान्य वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व फलन की गणना इस प्रकार की जा सकती है

जहाँ और .

अभिलक्षणिक फलन

सम्मिश्र सामान्य वितरण का विशिष्ट कार्य निम्नलिखित द्वारा दिया गया है[5]

जहां तर्क एक n आयामी सम्मिश्र सदिश है।

गुण

  • यदि सम्मिश्र सामान्य n-सदिश है, एक m×n आव्यूह है, और एक स्थिर m-सदिश है, तो रैखिक रूपांतरण को भी सम्मिश्र-सामान्य रूप से वितरित किया जाएगा:
  • यदि तो, एक सम्मिश्र सामान्य n सदिश है।
  • केंद्रीय सीमा प्रमेय। यदि तो, स्वतंत्र और समान रूप से वितरित सम्मिश्र यादृच्छिक चर हैं।
जहाँ और .
  • एक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर का मापांक एक होयट वितरण का अनुसरण करता है।[6]

वृत्ताकार-सममित केंद्रीय स्तिथि

परिभाषा

एक सम्मिश्र यादृच्छिक वेक्टर को गोलाकार रूप से सममित कहा जाता है यदि प्रत्येक नियतात्मक के लिए का वितरण के वितरण के बराबर होता है। [4]

केंद्रीय सामान्य सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश जो गोलाकार रूप से सममित होते हैं, विशेष रुचि रखते हैं क्योंकि वे सहप्रसरण आव्यूह द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट होते हैं।

गोलाकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य वितरण शून्य माध्य और शून्य संबंध आव्यूह के स्तिथि से मेल खाता है, यानी और [3]: p. 507 [7]सामान्यतः इसे दर्शाया जाता है

वास्तविक और काल्पनिक भागों का वितरण

यदि गोलाकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य है, फिर सदिश सहप्रसरण संरचना के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य है।

जहाँ और .

संभावना सघनता फलन

गैर विलक्षण सहप्रसरण आव्यूह के लिए , इसके वितरण को भी सरल बनाया जा सकता है[3]: p. 508 

.

इसलिए, यदि गैर-शून्य माध्य है और सहप्रसरण आव्यूह अज्ञात हैं, एकल अवलोकन सदिश के लिए एक उपयुक्त लॉग संभावना फलन होगा।

मानक सम्मिश्र सामान्य (में परिभाषित) Eq.1)एक अदिश यादृच्छिक चर के वितरण के अनुरूप है , और . इस प्रकार, मानक सम्मिश्र सामान्य वितरण में घनत्व होता है।

गुण

उपरोक्त अभिव्यक्ति दर्शाती है कि क्यों स्तिथि , को "गोलाकार सममित" कहा जाता है। घनत्व फलन केवल के परिमाण पर निर्भर करता है, उसके तर्क पर नहीं। जैसे, परिमाण एक मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर में रेले वितरण होगा और वर्ग परिमाण में घातांकीय वितरण होगा, जबकि तर्क पर समान रूप से वितरित किया जाएगा।

यदि स्वतंत्र और समान रूप से वितरित n-आयामी परिपत्र सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश हैं , फिर यादृच्छिक वर्ग मानदंड

इसमें सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण और यादृच्छिक आव्यूह है।

इसमें स्वतंत्रता की डिग्री के साथ सम्मिश्र विशरट वितरण है। इस वितरण का वर्णन घनत्व फलन द्वारा किया जा सकता है।

जहाँ और एक ऋणेतर-निश्चित आव्यूह है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. Goodman (1963)
  2. bookchapter, Gallager.R, pg9.
  3. 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Lapidoth, A. (2009). डिजिटल संचार में एक फाउंडेशन. Cambridge University Press. ISBN 9780521193955.
  4. 4.0 4.1 4.2 Tse, David (2005). वायरलेस संचार के मूल सिद्धांत. Cambridge University Press. ISBN 9781139444668.
  5. 5.0 5.1 5.2 Picinbono (1996)
  6. Daniel Wollschlaeger. "The Hoyt Distribution (Documentation for R package 'shotGroups' version 0.6.2)".[permanent dead link]
  7. bookchapter, Gallager.R

अग्रिम पठन