विशार्ट वितरण

Wishart

Notation	X ~ Wp(V, n)
Parameters	n > p − 1 degrees of freedom (real) V > 0 scale matrix (p × p pos. def)
Support	X(p × p) positive definite matrix
PDF	$f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )={\frac {|\mathbf {x} |^{(n-p-1)/2}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {V} ^{-1}\mathbf {x} )/2}}{2^{\frac {np}{2}}|{\mathbf {V} }|^{n/2}\Gamma _{p}({\frac {n}{2}})}}$ Γp is the multivariate gamma function tr is the trace function
Mean	$\operatorname {E} [X]=n{\mathbf {V} }$
Mode	(n − p − 1)V for n ≥ p + 1
Variance	$\operatorname {Var} (\mathbf {X} _{ij})=n\left(v_{ij}^{2}+v_{ii}v_{jj}\right)$
Entropy	see below
CF	$\Theta \mapsto \left|{\mathbf {I} }-2i\,{\mathbf {\Theta } }{\mathbf {V} }\right|^{-{\frac {n}{2}}}$

आँकड़ों में, विशार्ट वितरण गामा वितरण के कई आयामों का सामान्यीकरण है। इसका नाम जॉन विशार्ट (सांख्यिकीविद्) के सम्मान में रखा गया है, जिन्होंने पहली बार 1928 में विशार्ट वितरण प्रकाशित किया था।

यह सममित गैर-ऋणात्मक निश्चित यादृच्छिक आव्यूह (अर्थात आव्यूह यादृच्छिक चर) पर परिभाषित संभाव्यता वितरण का एक समूह है। यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत में विशार्ट आव्यूह समष्टि को विशार्ट समुच्चय कहा जाता है।

बहुचर आँकड़ों में सहप्रसरण आव्यूह के अनुमान में इन वितरणों का अत्यधिक महत्व है। बायेसियन सांख्यिकी में विशार्ट वितरण एक बहुचर सामान्य यादृच्छिक सदिश के व्युत्क्रम सहप्रसरण आव्यूह से पहले का संयुग्म है।

अन्य नामों में यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत विशार्ट समुच्चय सम्मिलित है। आव्यूह पर संभाव्यता वितरण को सामान्यतः समुच्चय या विशार्ट-लगुएरे समुच्चय कहा जाता है चूंकि इसके आइगेन मान वितरण में जीओई, जीयूई, जीएसई के अनुरूप लैगुएरे बहुपद या एलओई, एलयूई, एलएसई बहुपद सम्मिलित है।

परिभाषा

मान लीजिए G एक p × n आव्यूह है, जिनमें से प्रत्येक स्तम्भ स्वतंत्र रूप से p-चर सामान्य वितरण से शून्य माध्य के साथ खींचा जाता है:

$G_{i}=(g_{i}^{1},\dots ,g_{i}^{p})^{T}\sim {\mathcal {N}}_{p}(0,V).$

विशार्ट वितरण p × p यादृच्छिक आव्यूह का प्रायिकता वितरण है:

$S=GG^{T}=\sum _{i=1}^{n}G_{i}G_{i}^{T}$

जिसको विस्तृत आव्यूह के रूप में जाना जाता है। यह इंगित करता है कि S के पास लेखन द्वारा प्रायिकता वितरण है:

$S\sim W_{p}(V,n).$

धनात्मक पूर्णांक मे n स्वतंत्रता की कोटियो की संख्या है। कभी-कभी इसे W(V, p, n) लिखा जाता है और n ≥ p के लिए आव्यूह S व्युत्क्रमणीय है यदि V व्युत्क्रमणीय है तो प्रायिकता 1 होती है।

यदि p = V = 1 तो यह वितरण स्वतंत्रता की n कोटि वाला ची-वर्ग वितरण है।

घटना

विशार्ट वितरण एक बहुचर सामान्य वितरण से प्रतिरूप के लिए सहप्रसरण आव्यूह के वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। प्रायः बहुचर सांख्यिकीय विश्लेषण में संभावना-अनुपात परीक्षण होता है। यह यादृच्छिक आव्यूह के वर्णक्रमीय सिद्धांत और बहुआयामी बायेसियन विश्लेषण में भी उत्पन्न होता है। रेले लुप्तप्राय एमआईएमओ तार रहित चैनलों के प्रदर्शन का विश्लेषण करते समय तार रहित संचार में भी इसका सामना करना पड़ता है।

संभाव्यता घनत्व फलन

विशार्ट-लागुएरे समुच्चय का स्पेक्ट्रल घनत्व आयामों के साथ (8, 15) के चित्र 1 का पुनर्निर्माण .

विशार्ट वितरण को इसके संभाव्यता घनत्व फलन द्वारा निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

माना कि X यादृच्छिक चर का एक p × p सममित आव्यूह है जो धनात्मक अर्ध-निश्चित है। माना कि V आकार का एक p × p सममित धनात्मक निश्चित आव्यूह है।

यदि n ≥ p, X का विशार्ट वितरण स्वतंत्रता की n कोटि के साथ है तब इसमें संभाव्यता घनत्व फलन है:

$f_{\mathbf {X} }(\mathbf {X} )={\frac {1}{2^{np/2}\left|{\mathbf {V} }\right|^{n/2}\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)}}{\left|\mathbf {X} \right|}^{(n-p-1)/2}e^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} ({\mathbf {V} }^{-1}\mathbf {X} )}$

जहां $\left|{\mathbf {X} }\right|$ का निर्धारक $\mathbf {X}$ है और Γ_p बहुचर गामा फलन है जिसे परिभाषित किया गया है:

$\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left({\frac {n}{2}}-{\frac {j-1}{2}}\right).$

उपरोक्त घनत्व यादृच्छिक आव्यूह X के सभी $p^{2}$तत्वों का संयुक्त घनत्व नहीं है ऐसा $p^{2}$आयामी घनत्व समरूपता बाधाओं $X_{ij}=X_{ji}$ के कारण सम्मिलित नहीं है लेकिन यह $p^{2}$ के लिए $p(p+1)/2$ तत्वों $X_{ij}$ का संयुक्त घनत्व है। इसके अतिरिक्त, उपरोक्त घनत्व सूत्र $\mathbf {x}$ केवल धनात्मक निश्चित आव्यूहों पर प्रयुक्त होता है अन्य आव्यूहों के लिए घनत्व शून्य के बराबर होता है।

वर्णक्रमीय घनत्व

आइगेन मान के लिए संयुक्त-आइगेन मान घनत्व $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p}\geq 0$ एक यादृच्छिक आव्यूह $\mathbf {X} \sim W_{p}(\mathbf {I} ,n)$ है,

$c_{n,p}e^{-{\frac {1}{2}}\sum _{i}\lambda _{i}}\prod \lambda _{i}^{(n-p-1)/2}\prod _{i<j}|\lambda _{i}-\lambda _{j}|$

जहाँ $c_{n,p}$एक स्थिरांक है।

वास्तव में उपरोक्त परिभाषा को किसी भी वास्तविक n > p − 1 तक बढ़ाया जा सकता है। यदि n ≤ p − 1 विशार्ट में अब कोई घनत्व नहीं है लेकिन यह एक अद्वितीय वितरण का प्रतिनिधित्व करता है जो निम्न आयाम उप-समष्टि में p × p आव्यूह है।

बायेसियन सांख्यिकी के प्रयोग

बायेसियन आंकड़ों में बहुचर सामान्य वितरण के संदर्भ में विशार्ट वितरण शुद्ध आव्यूह Ω = Σ⁻¹ से पहले संयुग्मी है, जहां Σ सहप्रसरण आव्यूह है।

मापदंडों का चुनाव

समुच्चय n = p सबसे कम सूचनात्मक उपयुक्त विशार्ट वितरण से प्राप्त किया जाता है। जहाँ W_p(V, n) का पूर्व माध्य nV है, जो सुझाव देता है कि V के लिए एक उपयुक्त विकल्प n⁻¹Σ₀⁻¹ होगा, जहां Σ₀ सहप्रसरण आव्यूह के लिए पूर्व अनुमान है।

गुण

लॉग-अपेक्षा

निम्नलिखित सूत्र विशार्ट वितरण से संबद्ध बेयस नेटवर्क के लिए चर बेयस व्युत्पन्न में एक भूमिका निभाता है:

$\operatorname {E} [\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,]=\psi _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)+p\,\ln(2)+\ln |\mathbf {V} |$

जहाँ $\psi _{p}$ बहुचर गामा फलन के लघुगणक का व्युत्पन्न फलन है।

लॉग-भिन्नता

बायेसियन सांख्यिकी में निम्न सहप्रसरण गणना सहायक हो सकती है:

$\operatorname {Var} \left[\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,\right]=\sum _{i=1}^{p}\psi _{1}\left({\frac {n+1-i}{2}}\right)$

जहाँ $\psi _{1}$ त्रिगामा फलन है। यह विशार्ट अनियमित चर की फिशर जानकारी की गणना करते समय सामने आता है।

एंट्रॉपी

वितरण की सूचना एन्ट्रापी में निम्नलिखित सूत्र हैं:

$\operatorname {H} \left[\,\mathbf {X} \,\right]=-\ln \left(B(\mathbf {V} ,n)\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\operatorname {E} \left[\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,\right]+{\frac {np}{2}}$

जहाँ B(V, n) वितरण का सामान्यीकरण स्थिरांक है:

$B(\mathbf {V} ,n)={\frac {1}{\left|\mathbf {V} \right|^{n/2}2^{np/2}\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)}}.$

इसका विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:

अनुप्रस्थ-एन्ट्रॉपी

पैरामीटर के साथ दो विशार्ट वितरण $p_{0}$ की अनुप्रस्थ एंट्रोपी $n_{0},V_{0}$ और $p_{1}$ पैरामीटर के साथ $n_{1},V_{1}$ है:

ध्यान दें कि जब $p_{0}=p_{1}$ और $n_{0}=n_{1}$एंट्रॉपी को पुनर्प्राप्त किया जाता हैं।

केएल-विचलन

कुल्बैक-लीब्लर विचलन $p_{1}$से $p_{0}$ है:

${\begin{aligned}D_{KL}(p_{0}\|p_{1})&=H(p_{0},p_{1})-H(p_{0})\\[6pt]&=-{\frac {n_{1}}{2}}\log |\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0}|+{\frac {n_{0}}{2}}(\operatorname {tr} (\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0})-p)+\log {\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {n_{1}}{2}}\right)}{\Gamma _{p}\left({\frac {n_{0}}{2}}\right)}}+{\tfrac {n_{0}-n_{1}}{2}}\psi _{p}\left({\frac {n_{0}}{2}}\right)\end{aligned}}$

विशेषता फलन

विशार्ट वितरण का विशेषता फलन (संभाव्यता सिद्धांत) है:

$\Theta \mapsto \operatorname {E} \left[\,\exp \left(\,i\operatorname {tr} \left(\,\mathbf {X} {\mathbf {\Theta } }\,\right)\,\right)\,\right]=\left|\,1-2i\,{\mathbf {\Theta } }\,{\mathbf {V} }\,\right|^{-n/2}$

जहाँ E[⋅] अपेक्षा दर्शाता है और Θ समान आयामों वाला कोई आव्यूह है क्योंकि V, 1 पहचान आव्यूह को इंगित करता है और i −1 एक वर्गमूल है। इस सूत्र की ठीक से व्याख्या करने के लिए अपेक्षाकृत सावधानी की आवश्यकता होती है, क्योंकि गैर-पूर्णांक समिश्र रीमैन सतह होती हैं जब n पूर्णांक नहीं होता है, तो सही शाखा को विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से निर्धारित किया जाता है।

प्रमेय

यदि p × p अनियमित आव्यूह X की विशार्ट वितरण स्वतंत्रता की कोटि m और प्रसरण आव्यूह V है तो $\mathbf {X} \sim {\mathcal {W}}_{p}({\mathbf {V} },m)$ मे C और q का आव्यूह q × p है:

$\mathbf {C} \mathbf {X} {\mathbf {C} }^{T}\sim {\mathcal {W}}_{q}\left({\mathbf {C} }{\mathbf {V} }{\mathbf {C} }^{T},m\right).$

उपप्रमेय 1

यदि z गैर-शून्य p × 1 अचर सदिश है, तब

$\sigma _{z}^{-2}\,{\mathbf {z} }^{T}\mathbf {X} {\mathbf {z} }\sim \chi _{m}^{2}.$

इस स्थिति में $\chi _{m}^{2}$ ची-वर्ग वितरण है और $\sigma _{z}^{2}={\mathbf {z} }^{T}{\mathbf {V} }{\mathbf {z} }$ मे ध्यान दें कि $\sigma _{z}^{2}$ स्थिरांक है यह धनात्मक है क्योंकि V धनात्मक निश्चित है।

उपप्रमेय 2

उस स्थिति पर विचार करें जहां z^T = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) अर्थात, j-वां पद 1 है और अन्य सभी शून्य हैं तब उपप्रमेय 1 ऊपर यह दर्शाता है:

$\sigma _{jj}^{-1}\,w_{jj}\sim \chi _{m}^{2}$

आव्यूह के विकर्ण पर प्रत्येक पद का उपरोक्त सीमांत वितरण है।

जॉर्ज सेबर बताते हैं कि विशार्ट वितरण को "बहुचर ची-वर्ग वितरण" नहीं कहा जाता है क्योंकि सवृत-विकर्ण तत्वों का सीमांत वितरण ची-वर्ग नहीं है। सेबर बहुचर शब्द को उस स्थिति के लिए आरक्षित करते हैं जब सभी अविभाजित सीमांत एक ही समूह के होते है।

बहुचर सामान्य वितरण का अनुमानक

विशार्ट वितरण एक बहुचर सामान्य वितरण के सहप्रसरण आव्यूह के अधिकतम-संभावना अनुमानक (एमएलई) का प्रतिरूप वितरण है। एमएलई की व्युत्पत्ति वर्णक्रमीय प्रमेय का उपयोग करती है।

बार्टलेट अपघटन

अदिश आव्यूह V और n स्वतंत्रता की कोटि के साथ एक V-अचर विशार्ट वितरण से आव्यूह X का बार्टलेट अपघटन गुणनखंड है:

$\mathbf {X} ={\textbf {L}}{\textbf {A}}{\textbf {A}}^{T}{\textbf {L}}^{T},$

जहाँ L, V का चोल्स्की अपघटन गुणांक है:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}c_{1}&0&0&\cdots &0\\n_{21}&c_{2}&0&\cdots &0\\n_{31}&n_{32}&c_{3}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\n_{p1}&n_{p2}&n_{p3}&\cdots &c_{p}\end{pmatrix}}$

जहाँ $c_{i}^{2}\sim \chi _{n-i+1}^{2}$ और n_ij ~ N(0, 1) स्वतंत्र रूप मे विशार्ट वितरण से यादृच्छिक प्रतिरूप प्राप्त करने के लिए एक उपयोगी तरीका प्रदान करते है।

आव्यूह तत्वों का सीमांत वितरण

माना कि V एक 2 × 2 पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक −1 < ρ < 1 और L इसके चॉल्स्की कारक द्वारा विशेषता है:

$\mathbf {V} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}&0\\\rho \sigma _{2}&{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\sigma _{2}\end{pmatrix}}$

उपरोक्त बार्टलेट अपघटन के माध्यम से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं कि 2 × 2 विशार्ट वितरण का एक यादृच्छिक फलन है:

$\mathbf {X} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}c_{1}^{2}&\sigma _{1}\sigma _{2}\left(\rho c_{1}^{2}+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}c_{1}n_{21}\right)\\\sigma _{1}\sigma _{2}\left(\rho c_{1}^{2}+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}c_{1}n_{21}\right)&\sigma _{2}^{2}\left(\left(1-\rho ^{2}\right)c_{2}^{2}+\left({\sqrt {1-\rho ^{2}}}n_{21}+\rho c_{1}\right)^{2}\right)\end{pmatrix}}$

विकर्ण तत्व सबसे स्पष्ट रूप से पहले तत्व में, स्वतंत्रता की कोटि n के साथ χ² वितरण का अनुसारण करते हैं जिसे σ² द्वारा अदिश किया गया है जैसा कि अपेक्षित संवृत-विकर्ण तत्व अपेक्षाकृत कम परिचित है लेकिन इसे सामान्य भिन्नता-माध्य मिश्रण के रूप में पहचाना जा सकता है जहां मिश्रण घनत्व एक χ² वितरण है। संवृत-विकर्ण तत्व के लिए संबंधित सीमांत संभाव्यता घनत्व इसलिए विचरण-गामा वितरण है:

$f(x_{12})={\frac {\left|x_{12}\right|^{\frac {n-1}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right){\sqrt {2^{n-1}\pi \left(1-\rho ^{2}\right)\left(\sigma _{1}\sigma _{2}\right)^{n+1}}}}}\cdot K_{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\left|x_{12}\right|}{\sigma _{1}\sigma _{2}\left(1-\rho ^{2}\right)}}\right)\exp {\left({\frac {\rho x_{12}}{\sigma _{1}\sigma _{2}(1-\rho ^{2})}}\right)}$

जहां K_ν(z) दूसरे प्रकार का संशोधित बेसेल फलन है। उच्च आयामों के लिए समान परिणाम प्राप्त हो सकते हैं, लेकिन संवृत-विकर्ण सहसंबंधों की अन्योन्याश्रितता तीव्रता से समिश्र हो जाती है। गैर-केंद्रीय स्थिति में भी क्षण-उत्पन्न करने वाले फलन (अनिवार्य रूप से क्रेग की nवीं घात (1936) समीकरण 10) को लिखना संभव है। हालांकि संभाव्यता घनत्व बेसेल फलनों का एक अनंत योग बन जाता है।

आकृति पैरामीटर की सीमा

यह दिखाया जा सकता है कि विशार्ट वितरण को परिभाषित किया जा सकता है यदि और केवल यदि आकार पैरामीटर n समुच्चय से संबंधित है:

$\Lambda _{p}:=\{0,\ldots ,p-1\}\cup \left(p-1,\infty \right).$

इस समुच्चय का नाम गिंडिकिन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने सजातीय शंकु पर गामा वितरण के संदर्भ में 1970 के दशक में इसे प्रस्तुत किया था। हालाँकि, गिंडिकिन समुच्चय के असतत स्पेक्ट्रम में नए मापदंडों के लिए, अर्थात् $\Lambda _{p}^{*}:=\{0,\ldots ,p-1\},$ से संबंधित विशार्ट वितरण में कोई लेबेस्ग घनत्व नहीं है।

अन्य वितरणों से संबंध

• विशार्ट वितरण व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण से संबंधित है जिसे $W_{p}^{-1}$ द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार यदि X ~ W_p(V, n) और यदि हम चर C = X⁻¹ का परिवर्तन करते हैं, तो $\mathbf {C} \sim W_{p}^{-1}(\mathbf {V} ^{-1},n)$ इस संबंध को इस विषय पर ध्यान देकर प्राप्त किया जा सकता है कि चरों के इस परिवर्तन के जैकोबियन निर्धारक का निरपेक्ष मान |C|^p+1 है। उदाहरण के लिए समीकरण (15.15) में देखें।
• बायेसियन आँकड़ों में विशार्ट वितरण बहुचर सामान्य वितरण के शुद्ध पैरामीटर से पहले एक संयुग्म है जब औसत पैरामीटर ज्ञात होता है।
• यह एक सामान्यीकरण बहुचर गामा वितरण है।
• एक अन्य प्रकार का सामान्यीकरण सामान्य-विशार्ट वितरण है, अनिवार्य रूप से विशार्ट वितरण के साथ यह बहुचर सामान्य वितरण का उत्पाद है।

यह भी देखें

• ची-वर्ग वितरण
• समिश्र विशार्ट वितरण
• एफ-वितरण
• गामा वितरण
• होटलिंग का टी-वर्ग वितरण
• व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण
• बहुचर गामा वितरण
• छात्र का टी-वितरण
• विल्क्स का लैम्ब्डा वितरण

बाहरी संबंध

• A C++ library for random matrix generator