अक्षों का स्थानांतरण

गणित में, दो आयामों में अक्ष का स्थानांतरण xy-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से x'y'-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में मानचित्र है, जिसमें x' अक्ष, x अक्ष के समानांतर (ज्यामिति) है, एवं k इकाई दूर है, एवं y' अक्ष y अक्ष के समानांतर है, एवं h इकाई दूर है। इसका तात्पर्य यह है कि नई समन्वय प्रणाली के मूल (गणित) O' में मूल प्रणाली में निर्देशांक (h, k) हैं। धनात्मक x' एवं y' दिशाओं को धनात्मक x एवं y के समान माना जाता है। बिंदु P में मूल प्रणाली के संबंध में निर्देशांक (x, y) एवं नई प्रणाली के संबंध में निर्देशांक (x', y') हैं।

$x=x'+h$      and      $y=y'+k$

(1)

या समकक्ष

$x'=x-h$      and      $y'=y-k$

(2)

नई समन्वय प्रणाली में, बिंदु P विपरीत दिशा में स्थानांतरणित होता हुआ प्रतीत होगा। उदाहरण के लिए, यदि xy-प्रणाली में दूरी h को दाईं ओर एवं दूरी k को ऊपर की ओर स्थानांतरणित किया जाता है, तो ऐसा प्रतीत होगा कि P को x'y' प्रणाली में दूरी h को बाईं ओर एवं दूरी k को नीचे की ओर स्थानांतरणित किया गया है। दो से अधिक आयामों में अक्षों का स्थानांतरण समान रूप से परिभाषित किया गया है। अक्षों का स्थानांतरण समिष्ट परिवर्तन है, किन्तु रेखीय मानचित्र नहीं है। (एफ़िन परिवर्तन देखें।)

प्रेरणा

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की विधियों का उपयोग करके वक्र (ज्यामिति) के समीकरणों का अध्ययन करने के लिए समन्वय प्रणाली आवश्यक हैं। समन्वय ज्यामिति की विधि का उपयोग करने के लिए, अक्षों को विचाराधीन वक्र के संबंध में सुविधाजनक स्थिति में रखा जाता है। उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त एवं अतिपरवलय के समीकरणों का अध्ययन करने के लिए, फोसि (ज्यामिति) सामान्यतः किसी अक्ष पर स्थित होता है एवं मूल बिंदु के संबंध में सममित रूप से स्थित होता है। यदि वक्र (हाइपरबोला, पैराबोला, दीर्घवृत्त, आदि) अक्षों के संबंध में सुविधाजनक रूप से स्थित नहीं है, तो वक्र को सुविधाजनक एवं परिचित स्थान एवं अभिविन्यास पर रखने के लिए समन्वय प्रणाली को परिवर्तित किया जाना चाहिए। इस परिवर्तन को करने की प्रक्रिया को निर्देशांक का परिवर्तन कहा जाता है। मूल अक्षों के समानांतर नए अक्ष प्राप्त करने के लिए समन्वय अक्षों का स्थानांतरण करके कई समस्याओं के समाधान को सरल बनाया जा सकता है।

शंकुधर खंडों का स्थानांतरण

Main article: शंक्वाकार खंड

निर्देशांक में परिवर्तन के माध्यम से, शंकु अनुभाग के समीकरण को मानक रूपों में रखा जा सकता है, जिसके साथ कार्य करना सामान्यतः सरल होता है। दूसरी डिग्री के सबसे सामान्य समीकरण के लिए, जो रूप लेता है,

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$      ($A$, $B$ and $C$ not all zero);

(3)

अक्षों का घूर्णन इस प्रकार करना सदैव संभव होता है कि नई प्रणाली में समीकरण आकार लेता है,

$Ax^{2}+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$      ($A$ and $C$ not both zero);

(4)

अर्थात्, xy शब्द को निकालना है। इसके पश्चात, अक्षों का स्थानांतरण प्रपत्र(3) के समीकरण को कम कर सकता है, किन्तु समान रूप के समीकरण के लिए निर्देशांक के रूप में नए चर (x', y') के साथ, एवं D एवं E दोनों शून्य के समान हैं (कुछ अपवादों के साथ -उदाहरण के लिए, परवलय)। इस प्रक्रिया में मुख्य उपकरण वर्ग को पूर्ण करना है। निम्नलिखित उदाहरणों में, यह माना जाता है कि अक्षों का घूर्णन पूर्व ही किया जा चुका है।

उदाहरण 1

समीकरण दिया गया है,

$9x^{2}+25y^{2}+18x-100y-116=0,$

अक्षों के स्थानांतरण का उपयोग करके, निर्धारित किया जाता है कि समीकरण का लोकस परवलय, दीर्घवृत्त या अतिपरवलय है। फोकस (या फोकस), शीर्ष (या शीर्ष), एवं विलक्षणता निर्धारित कर सकते हैं।

समाधान: x एवं y में वर्ग को पूर्ण करने के लिए, समीकरण को प्रपत्र में लिखा जाता है,

$9(x^{2}+2x\qquad )+25(y^{2}-4y\qquad )=116.$

वर्गों को पूर्ण करके, प्राप्त किया जाता है,

$9(x^{2}+2x+1)+25(y^{2}-4y+4)=116+9+100$

$\Leftrightarrow 9(x+1)^{2}+25(y-2)^{2}=225.$

$x'=x+1$      एवं      $y'=y-2,$ को परिभाषित करना,

अर्थात्, समीकरणों में स्थानांतरण (2) के साथ $h=-1,k=2$ बनाया गया है। नई समन्वय प्रणाली में समीकरण है,

$9x'^{2}+25y'^{2}=225.$

(5)

समीकरण (5) को 225 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है,

${\frac {x'^{2}}{25}}+{\frac {y'^{2}}{9}}=1,$

जिसे दीर्घवृत्त $a=5,b=3,c^{2}=a^{2}-b^{2}=16,c=4,e={\tfrac {4}{5}}$ के रूप में पहचाना जा सकता है। x'y'-प्रणाली में, हमारे पास: केंद्र $(0,0)$; शीर्ष $(\pm 5,0)$; फोकी है। xy-प्रणाली में, संबंधों $x=x'-1,y=y'+2$ का उपयोग, केंद्र $(-1,2)$; शीर्ष $(4,2),(-6,2)$; फोकी $(3,2),(-5,2)$; सनक ${\tfrac {4}{5}}$प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

कई आयामों का सामान्यीकरण

तीन आयामों में xyz-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के लिए, मान लीजिए कि दूसरा कार्टेशियन समन्वय प्रणाली प्रारंभ की गई है, जिसमें अक्ष x', y' एवं z' हैं। इस प्रकार स्थित है कि x' अक्ष x अक्ष के समानांतर हो एवं उससे h इकाइयाँ हो, y' अक्ष y अक्ष के समानांतर हो एवं उससे k इकाइयों हो, एवं z' अक्ष z अक्ष के समानांतर हो एवं उससे l इकाइयों हैं। अंतरिक्ष में बिंदु P में दोनों प्रणालियों में निर्देशांक है। यदि इसके निर्देशांक मूल प्रणाली में (x, y, z) हैं एवं दूसरे प्रणाली में (x', y', z') हैं, तो समीकरण

$x'=x-h,\qquad y'=y-k,\qquad z'=z-l$

(6)

होता है। समीकरण (6) तीन आयामों में अक्षों के स्थानांतरण को परिभाषित करते हैं जहां (h, k, l) नए मूल के xyz-निर्देशांक हैं। किसी भी सीमित संख्या में आयामों में अक्षों का स्थानांतरण इसी प्रकार परिभाषित किया गया है।

चतुर्भुज सतहों का स्थानांतरण

Main article: चतुष्कोणीय सतह

त्रि-स्थान में, x, y एवं z में दूसरी डिग्री का सबसे सामान्य समीकरण रूप है,

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0,$

(7)

जहाँ $A,B,C,\ldots ,J$ धनात्मक या ऋणात्मक संख्याएँ या शून्य हैं। ऐसे समीकरण को संतुष्ट करने वाले अंतरिक्ष के सभी बिंदु सतह (ज्यामिति) पर स्थित हैं। कोई भी द्वितीय-डिग्री समीकरण जो सिलेंडर, विमान, रेखा या बिंदु तक कम नहीं होता है वह सतह के समान है जिसे क्वाड्रिक कहा जाता है। जैसा कि समतल विश्लेषणात्मक ज्यामिति के विषय में होता है, अक्षों के स्थानांतरण की विधि का उपयोग द्वितीय-डिग्री समीकरणों को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है, जिससे कुछ चतुष्कोणीय सतहों की प्रकृति स्पष्ट हो जाती है। इस प्रक्रिया में मुख्य उपकरण वर्ग को पूर्ण करना है।

उदाहरण 2

चतुर्भुज सतह की पहचान करने के लिए निर्देशांक के स्थानांतरण का उपयोग किया जाता है,

$x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2x-8y+9z=10,$

समाधान: समीकरण को प्रपत्र में लिखा जाता है,

$x^{2}+2x\qquad +4(y^{2}-2y\qquad )+3(z^{2}+3z\qquad )=10.$

प्राप्त करने के लिए वर्ग पूर्ण किया जाता है,

$(x+1)^{2}+4(y-1)^{2}+3(z+{\tfrac {3}{2}})^{2}=10+1+4+{\tfrac {27}{4}},$

निर्देशांक के स्थानांतरण का परिचय दिया जाता है,

$x'=x+1,\qquad y'=y-1,\qquad z'=z+{\tfrac {3}{2}}.$

सतह का समीकरण रूप लेता है

$x'^{2}+4y'^{2}+3z'^{2}={\tfrac {87}{4}},$

जिसे दीर्घवृत्त के समीकरण के रूप में पहचाना जा सकता है।

यह भी देखें

• स्थानांतरण (ज्यामिति)

संदर्भ

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)