परमाणु मॉडल (गणितीय तर्क): Difference between revisions

From Vigyanwiki
(Created page with "मॉडल सिद्धांत में, गणितीय तर्क का एक उपक्षेत्र, एक परमाणु मॉडल ए...")
 
No edit summary
 
(5 intermediate revisions by 3 users not shown)
Line 1: Line 1:
[[मॉडल सिद्धांत]] में, [[गणितीय तर्क]] का एक उपक्षेत्र, एक परमाणु मॉडल एक ऐसा मॉडल है जिसमें प्रत्येक टुपल का पूरा [[प्रकार (मॉडल सिद्धांत)]] एक एकल [[सूत्र (तर्क)]] द्वारा स्वयंसिद्ध होता है। ऐसे प्रकारों को प्रमुख प्रकार कहा जाता है, और जो सूत्र उन्हें स्वयंसिद्ध करते हैं उन्हें पूर्ण सूत्र कहा जाता है।
[[मॉडल सिद्धांत]] में, [[गणितीय तर्क]] का उपक्षेत्र, '''परमाणु मॉडल''' एक ऐसा मॉडल है जिसमें प्रत्येक टपल का पूर्ण [[प्रकार (मॉडल सिद्धांत)]] एकल [[सूत्र (तर्क)]] द्वारा स्वयंसिद्ध होता है। इस प्रकार से ऐसे प्रकारों को '''प्रमुख प्रकार''' कहा जाता है, और जो सूत्र उन्हें स्वयंसिद्ध करते हैं उन्हें '''पूर्ण सूत्र''' कहा जाता है।


==परिभाषाएँ==
==परिभाषाएँ==


मान लीजिए T एक [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)]] है। एक पूर्ण प्रकार p(x<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub>) को प्रमुख या परमाणु (''T'' के सापेक्ष) कहा जाता है यदि इसे ''T'' के सापेक्ष एक सूत्र ''φ''(''x'' द्वारा स्वयंसिद्ध किया जाता है)<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub>) ∈ पी(एक्स<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub>).
अतः मान लीजिए '''''T''''' एक [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)|'''सिद्धांत (गणितीय तर्क)''']] है। इस प्रकार से एक पूर्ण प्रकार '''''p''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'')''' को '''प्रमुख''' या '''परमाणु''' ('''''T''''' के सापेक्ष) कहा जाता है यदि इसे एकल सूत्र '''''φ''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'') ∈ ''p''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'')''' द्वारा '''T''' के सापेक्ष स्वयंसिद्ध किया जाता है।


एक सूत्र φ को T में 'पूर्ण' कहा जाता है यदि प्रत्येक सूत्र ψ(x) के लिए<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub>), सिद्धांत T ∪ {φ} बिल्कुल ψ और ¬ψ में से एक पर जोर देता है।<ref>Some authors refer to complete formulas as "atomic formulas", but this is inconsistent with the purely syntactical notion of an atom or atomic formula as a formula that does not contain a proper subformula.</ref>
एक सूत्र '''φ''' को '''T''' में '''<nowiki/>'पूर्ण'''' कहा जाता है यदि प्रत्येक सूत्र '''''ψ(x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>)''''' के लिए, सिद्धांत '''''T ∪ {φ}''''' निश्चित '''''ψ''''' और '''''¬ψ''''' में से एक पर बल देता है।<ref>Some authors refer to complete formulas as "atomic formulas", but this is inconsistent with the purely syntactical notion of an atom or atomic formula as a formula that does not contain a proper subformula.</ref> अतः इसका तात्पर्य यह है कि पूर्ण प्रकार तभी प्रमुख होता है जब उसमें पूर्ण सूत्र होता है।
इसका तात्पर्य यह है कि एक पूर्ण प्रकार तभी प्रमुख होता है जब उसमें एक पूर्ण सूत्र होता है।


एक मॉडल M को 'परमाणु' कहा जाता है यदि M के तत्वों का प्रत्येक n-टुपल एक सूत्र को संतुष्ट करता है जो Th(M) में पूर्ण है - M का सिद्धांत।
इस प्रकार से एक मॉडल '''''M''''' को '''<nowiki/>'परमाणु'''' कहा जाता है यदि '''''M''''' के अवयवों का प्रत्येक n-टपल सूत्र को संतुष्ट करता है जो '''''Th(M) - M''''' के सिद्धांत में पूर्ण है।


==उदाहरण==
==उदाहरण==


*[[वास्तविक संख्या]] [[बीजगणितीय संख्या]]ओं का क्रमबद्ध क्षेत्र [[वास्तविक बंद क्षेत्र]]ों के सिद्धांत का अद्वितीय परमाणु मॉडल है।
*[[वास्तविक संख्या]] [[बीजगणितीय संख्या|बीजगणितीय संख्याओं]] का क्रमबद्ध क्षेत्र [[वास्तविक बंद क्षेत्र|वास्तविक संवृत क्षेत्रों]] के सिद्धांत का अद्वितीय परमाणु मॉडल है।
*कोई भी परिमित मॉडल परमाणु है।
*कोई भी परिमित मॉडल परमाणु है।
*अंतबिंदु के बिना सघन [[रैखिक क्रम]] परमाणु है।
*अंतबिंदु के बिना संहत [[रैखिक क्रम]] परमाणु है।
*[[गणनीय]] सिद्धांत का कोई भी अभाज्य मॉडल प्रकार (मॉडल_सिद्धांत)#ओमिटिंग प्रकार प्रमेय द्वारा परमाणु होता है।
*किसी [[गणनीय]] सिद्धांत का कोई भी अभाज्य मॉडल लोपन प्रकार (मॉडल सिद्धांत) प्रमेय द्वारा परमाणु होता है।
*कोई भी गणनीय परमाणु मॉडल अभाज्य है, लेकिन ऐसे बहुत से परमाणु मॉडल हैं जो अभाज्य नहीं हैं, जैसे कि अंतिम बिंदुओं के बिना एक बेशुमार सघन रैखिक क्रम।
*कोई भी गणनीय परमाणु मॉडल अभाज्य है, परन्तु ऐसे बहुत से परमाणु मॉडल हैं जो अभाज्य नहीं हैं, जैसे कि अंतिम बिंदुओं के बिना अगणनीय संहत रैखिक क्रम है।
*स्वतंत्र एकात्मक संबंधों की गणनीय संख्या का सिद्धांत पूर्ण है लेकिन इसमें कोई पूर्ण करने योग्य सूत्र और कोई परमाणु मॉडल नहीं है।
*स्वतंत्र एकात्मक संबंधों की गणनीय संख्या का सिद्धांत पूर्ण है परन्तु इसमें कोई पूर्ण करने योग्य सूत्र और कोई परमाणु मॉडल नहीं है।


==गुण==
==गुण==


आगे-पीछे विधि का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि किसी सिद्धांत के कोई भी दो गणनीय परमाणु मॉडल जो प्राथमिक रूप से समतुल्य हैं, [[ समरूपी ]] हैं।
इस प्रकार से आगे-पीछे विधि का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि किसी सिद्धांत के कोई भी दो गणनीय परमाणु मॉडल जो प्राथमिक रूप से समतुल्य हैं, जो एक प्रकार का [[ समरूपी |समरूपी]] हैं।


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==


{{reflist}}
{{reflist}}


==संदर्भ==
==संदर्भ==
Line 33: Line 31:


{{Mathematical logic}}
{{Mathematical logic}}
[[Category: मॉडल सिद्धांत]]


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Collapse templates]]
[[Category:Created On 20/07/2023]]
[[Category:Created On 20/07/2023]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Mathematics navigational boxes]]
[[Category:Navbox orphans]]
[[Category:Navigational boxes| ]]
[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
[[Category:Pages with empty portal template]]
[[Category:Pages with script errors]]
[[Category:Philosophy and thinking navigational boxes]]
[[Category:Portal-inline template with redlinked portals]]
[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
[[Category:Templates Translated in Hindi]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]
[[Category:Templates generating microformats]]
[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:Wikipedia metatemplates]]
[[Category:मॉडल सिद्धांत]]

Latest revision as of 16:36, 29 July 2023

मॉडल सिद्धांत में, गणितीय तर्क का उपक्षेत्र, परमाणु मॉडल एक ऐसा मॉडल है जिसमें प्रत्येक टपल का पूर्ण प्रकार (मॉडल सिद्धांत) एकल सूत्र (तर्क) द्वारा स्वयंसिद्ध होता है। इस प्रकार से ऐसे प्रकारों को प्रमुख प्रकार कहा जाता है, और जो सूत्र उन्हें स्वयंसिद्ध करते हैं उन्हें पूर्ण सूत्र कहा जाता है।

परिभाषाएँ

अतः मान लीजिए T एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) है। इस प्रकार से एक पूर्ण प्रकार p(x1, ..., xn) को प्रमुख या परमाणु (T के सापेक्ष) कहा जाता है यदि इसे एकल सूत्र φ(x1, ..., xn) ∈ p(x1, ..., xn) द्वारा T के सापेक्ष स्वयंसिद्ध किया जाता है।

एक सूत्र φ को T में 'पूर्ण' कहा जाता है यदि प्रत्येक सूत्र ψ(x1, ..., xn) के लिए, सिद्धांत T ∪ {φ} निश्चित ψ और ¬ψ में से एक पर बल देता है।[1] अतः इसका तात्पर्य यह है कि पूर्ण प्रकार तभी प्रमुख होता है जब उसमें पूर्ण सूत्र होता है।

इस प्रकार से एक मॉडल M को 'परमाणु' कहा जाता है यदि M के अवयवों का प्रत्येक n-टपल सूत्र को संतुष्ट करता है जो Th(M) - M के सिद्धांत में पूर्ण है।

उदाहरण

  • वास्तविक संख्या बीजगणितीय संख्याओं का क्रमबद्ध क्षेत्र वास्तविक संवृत क्षेत्रों के सिद्धांत का अद्वितीय परमाणु मॉडल है।
  • कोई भी परिमित मॉडल परमाणु है।
  • अंतबिंदु के बिना संहत रैखिक क्रम परमाणु है।
  • किसी गणनीय सिद्धांत का कोई भी अभाज्य मॉडल लोपन प्रकार (मॉडल सिद्धांत) प्रमेय द्वारा परमाणु होता है।
  • कोई भी गणनीय परमाणु मॉडल अभाज्य है, परन्तु ऐसे बहुत से परमाणु मॉडल हैं जो अभाज्य नहीं हैं, जैसे कि अंतिम बिंदुओं के बिना अगणनीय संहत रैखिक क्रम है।
  • स्वतंत्र एकात्मक संबंधों की गणनीय संख्या का सिद्धांत पूर्ण है परन्तु इसमें कोई पूर्ण करने योग्य सूत्र और कोई परमाणु मॉडल नहीं है।

गुण

इस प्रकार से आगे-पीछे विधि का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि किसी सिद्धांत के कोई भी दो गणनीय परमाणु मॉडल जो प्राथमिक रूप से समतुल्य हैं, जो एक प्रकार का समरूपी हैं।

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Some authors refer to complete formulas as "atomic formulas", but this is inconsistent with the purely syntactical notion of an atom or atomic formula as a formula that does not contain a proper subformula.

संदर्भ

  • Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990), Model Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3rd ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
  • Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6
Retrieved from ‘https://www.vigyanwiki.in/index.php?title=परमाणु_मॉडल_(गणितीय_तर्क)&oldid=229500’