परमाणु मॉडल (गणितीय तर्क): Difference between revisions
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मान लीजिए T [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)|'''सिद्धांत (गणितीय तर्क)''']] है। एक पूर्ण प्रकार '''''p''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'')''' को '''प्रमुख''' या '''परमाणु''' ('''''T''''' के सापेक्ष) कहा जाता है यदि इसे एकल सूत्र '''''φ''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'') ∈ ''p''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'')''' द्वारा '''T''' के सापेक्ष स्वयंसिद्ध किया जाता है। | अतः मान लीजिए '''''T''''' एक [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)|'''सिद्धांत (गणितीय तर्क)''']] है। इस प्रकार से एक पूर्ण प्रकार '''''p''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'')''' को '''प्रमुख''' या '''परमाणु''' ('''''T''''' के सापेक्ष) कहा जाता है यदि इसे एकल सूत्र '''''φ''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'') ∈ ''p''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'')''' द्वारा '''T''' के सापेक्ष स्वयंसिद्ध किया जाता है। | ||
एक सूत्र '''φ''' को '''T''' में '''<nowiki/>'पूर्ण'''' कहा जाता है यदि प्रत्येक सूत्र '''''ψ(x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>)''''' के लिए, सिद्धांत '''''T ∪ {φ}''''' निश्चित '''''ψ''''' और '''''¬ψ''''' में से एक पर बल देता है।<ref>Some authors refer to complete formulas as "atomic formulas", but this is inconsistent with the purely syntactical notion of an atom or atomic formula as a formula that does not contain a proper subformula.</ref> इसका तात्पर्य यह है कि पूर्ण प्रकार तभी प्रमुख होता है जब उसमें पूर्ण सूत्र होता है। | एक सूत्र '''φ''' को '''T''' में '''<nowiki/>'पूर्ण'''' कहा जाता है यदि प्रत्येक सूत्र '''''ψ(x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>)''''' के लिए, सिद्धांत '''''T ∪ {φ}''''' निश्चित '''''ψ''''' और '''''¬ψ''''' में से एक पर बल देता है।<ref>Some authors refer to complete formulas as "atomic formulas", but this is inconsistent with the purely syntactical notion of an atom or atomic formula as a formula that does not contain a proper subformula.</ref> अतः इसका तात्पर्य यह है कि पूर्ण प्रकार तभी प्रमुख होता है जब उसमें पूर्ण सूत्र होता है। | ||
एक मॉडल '''''M''''' को '''<nowiki/>'परमाणु'''' कहा जाता है यदि '''''M''''' के अवयवों का प्रत्येक n-टपल सूत्र को संतुष्ट करता है जो '''''Th(M) - M''''' के सिद्धांत में पूर्ण है। | इस प्रकार से एक मॉडल '''''M''''' को '''<nowiki/>'परमाणु'''' कहा जाता है यदि '''''M''''' के अवयवों का प्रत्येक n-टपल सूत्र को संतुष्ट करता है जो '''''Th(M) - M''''' के सिद्धांत में पूर्ण है। | ||
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Latest revision as of 16:36, 29 July 2023
मॉडल सिद्धांत में, गणितीय तर्क का उपक्षेत्र, परमाणु मॉडल एक ऐसा मॉडल है जिसमें प्रत्येक टपल का पूर्ण प्रकार (मॉडल सिद्धांत) एकल सूत्र (तर्क) द्वारा स्वयंसिद्ध होता है। इस प्रकार से ऐसे प्रकारों को प्रमुख प्रकार कहा जाता है, और जो सूत्र उन्हें स्वयंसिद्ध करते हैं उन्हें पूर्ण सूत्र कहा जाता है।
परिभाषाएँ
अतः मान लीजिए T एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) है। इस प्रकार से एक पूर्ण प्रकार p(x1, ..., xn) को प्रमुख या परमाणु (T के सापेक्ष) कहा जाता है यदि इसे एकल सूत्र φ(x1, ..., xn) ∈ p(x1, ..., xn) द्वारा T के सापेक्ष स्वयंसिद्ध किया जाता है।
एक सूत्र φ को T में 'पूर्ण' कहा जाता है यदि प्रत्येक सूत्र ψ(x1, ..., xn) के लिए, सिद्धांत T ∪ {φ} निश्चित ψ और ¬ψ में से एक पर बल देता है।[1] अतः इसका तात्पर्य यह है कि पूर्ण प्रकार तभी प्रमुख होता है जब उसमें पूर्ण सूत्र होता है।
इस प्रकार से एक मॉडल M को 'परमाणु' कहा जाता है यदि M के अवयवों का प्रत्येक n-टपल सूत्र को संतुष्ट करता है जो Th(M) - M के सिद्धांत में पूर्ण है।
उदाहरण
- वास्तविक संख्या बीजगणितीय संख्याओं का क्रमबद्ध क्षेत्र वास्तविक संवृत क्षेत्रों के सिद्धांत का अद्वितीय परमाणु मॉडल है।
- कोई भी परिमित मॉडल परमाणु है।
- अंतबिंदु के बिना संहत रैखिक क्रम परमाणु है।
- किसी गणनीय सिद्धांत का कोई भी अभाज्य मॉडल लोपन प्रकार (मॉडल सिद्धांत) प्रमेय द्वारा परमाणु होता है।
- कोई भी गणनीय परमाणु मॉडल अभाज्य है, परन्तु ऐसे बहुत से परमाणु मॉडल हैं जो अभाज्य नहीं हैं, जैसे कि अंतिम बिंदुओं के बिना अगणनीय संहत रैखिक क्रम है।
- स्वतंत्र एकात्मक संबंधों की गणनीय संख्या का सिद्धांत पूर्ण है परन्तु इसमें कोई पूर्ण करने योग्य सूत्र और कोई परमाणु मॉडल नहीं है।
गुण
इस प्रकार से आगे-पीछे विधि का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि किसी सिद्धांत के कोई भी दो गणनीय परमाणु मॉडल जो प्राथमिक रूप से समतुल्य हैं, जो एक प्रकार का समरूपी हैं।
टिप्पणियाँ
- ↑ Some authors refer to complete formulas as "atomic formulas", but this is inconsistent with the purely syntactical notion of an atom or atomic formula as a formula that does not contain a proper subformula.
संदर्भ
- Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990), Model Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3rd ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
- Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6
