रॉबिन सीमा स्थिति: Difference between revisions
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==परिभाषा== | गणित में, रॉबिन सीमा स्थिति ({{IPAc-en|ˈ|r|ɒ|b|ɪ|n}}; ठीक से {{IPA-fr|ʁɔbɛ̃|lang}}), या तीसरे प्रकार की सीमा स्थिति, एक प्रकार की सीमा स्थिति है, जिसका नाम विक्टर गुस्ताव रॉबिन (1855-1897) के नाम पर रखा गया है।<ref>Gustafson, K., (1998). Domain Decomposition, Operator Trigonometry, Robin Condition, ''Contemporary Mathematics'', '''218'''. 432–437.</ref> जब एक साधारण या आंशिक अंतर समीकरण पर लगाया जाता है, तो यह किसी फलन के मानों और डोमेन की सीमा पर इसके व्युत्पन्न के मानों के रैखिक संयोजन का एक विनिर्देश होता है। उपयोग में आने वाले अन्य समकक्ष नाम फूरियर-प्रकार की स्थिति और विकिरण स्थिति हैं।<ref>Logan, J. David, (2001). Transport Modeling in Hydrogeochemical Systems. Springer.</ref> | ||
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रॉबिन सीमा स्थितियाँ डिरिचलेट सीमा स्थितियों और न्यूमैन सीमा स्थितियों का एक भारित संयोजन हैं। यह मिश्रित सीमा स्थितियों के विपरीत है, जो सीमा के विभिन्न उपसमूहों पर निर्दिष्ट विभिन्न प्रकार की सीमा स्थितियां हैं। रॉबिन सीमा स्थितियों को विद्युत चुम्बकीय समस्याओं में उनके अनुप्रयोग से, या गर्मी हस्तांतरण समस्याओं में उनके अनुप्रयोग से संवहनी सीमा स्थितियों को प्रतिबाधा सीमा स्थितियां भी कहा जाता है (हैन, 2012)। | |||
यदि Ω वह डोमेन है जिस पर दिए गए समीकरण को हल किया जाना है और ∂Ω इसकी सीमा (टोपोलॉजी) को दर्शाता है, तो रॉबिन सीमा स्थिति है:<ref>{{cite book|title=Finite Element Analysis with Error Estimators: An Introduction to the FEM and Adaptive Error Analysis for Engineering Students|author=J. E. Akin|publisher=Butterworth-Heinemann|year=2005|isbn=9780080472751|page=69|url=https://books.google.com/books?id=uUsm99d8WBAC&pg=PA69}}</ref> | यदि Ω वह डोमेन है जिस पर दिए गए समीकरण को हल किया जाना है और ∂Ω इसकी सीमा (टोपोलॉजी) को दर्शाता है, तो रॉबिन सीमा स्थिति है:<ref>{{cite book|title=Finite Element Analysis with Error Estimators: An Introduction to the FEM and Adaptive Error Analysis for Engineering Students|author=J. E. Akin|publisher=Butterworth-Heinemann|year=2005|isbn=9780080472751|page=69|url=https://books.google.com/books?id=uUsm99d8WBAC&pg=PA69}}</ref> | ||
:<math>a u + b \frac{\partial u}{\partial n} =g \qquad \text{on } \partial \Omega</math> | :<math>a u + b \frac{\partial u}{\partial n} =g \qquad \text{on } \partial \Omega</math> | ||
कुछ गैर-शून्य स्थिरांक a और b और ∂Ω पर परिभाषित दिए गए | कुछ गैर-शून्य स्थिरांक a और b और ∂Ω पर परिभाषित दिए गए फलन g के लिए। यहां, u Ω पर परिभाषित अज्ञात समाधान है और {{sfrac|∂''u''|∂''n''}} सीमा पर सामान्य व्युत्पन्न को दर्शाता है। अधिक समान्यत:, a और b को स्थिरांक के बजाय (दिए गए) फलन होने की अनुमति है। | ||
एक आयाम में, यदि, उदाहरण के लिए, Ω= [0,1], रॉबिन सीमा स्थिति बन जाती है: | एक आयाम में, यदि, उदाहरण के लिए, Ω= [0,1], रॉबिन सीमा स्थिति बन जाती है: | ||
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इसके अलावा, रॉबिन सीमा स्थिति संवहन-प्रसार समीकरणों के लिए इन्सुलेट सीमा स्थिति का एक सामान्य रूप है। यहां, सीमा पर संवहन और विसरित प्रवाह का योग शून्य है: | इसके अलावा, रॉबिन सीमा स्थिति संवहन-प्रसार समीकरणों के लिए इन्सुलेट सीमा स्थिति का एक सामान्य रूप है। यहां, सीमा पर संवहन और विसरित प्रवाह का योग शून्य है: | ||
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जहाँ D विवर्तनशील स्थिरांक है, u सीमा पर संवहन वेग है और c सांद्रता है। दूसरा पद फ़िक के प्रसार के नियम का परिणाम है। | जहाँ D विवर्तनशील स्थिरांक है, u सीमा पर संवहन वेग है और c सांद्रता है। दूसरा पद फ़िक के प्रसार के नियम का परिणाम है। | ||
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गणित में, रॉबिन सीमा स्थिति (/ˈrɒbɪn/; ठीक से French: [ʁɔbɛ̃]), या तीसरे प्रकार की सीमा स्थिति, एक प्रकार की सीमा स्थिति है, जिसका नाम विक्टर गुस्ताव रॉबिन (1855-1897) के नाम पर रखा गया है।[1] जब एक साधारण या आंशिक अंतर समीकरण पर लगाया जाता है, तो यह किसी फलन के मानों और डोमेन की सीमा पर इसके व्युत्पन्न के मानों के रैखिक संयोजन का एक विनिर्देश होता है। उपयोग में आने वाले अन्य समकक्ष नाम फूरियर-प्रकार की स्थिति और विकिरण स्थिति हैं।[2]
परिभाषा
रॉबिन सीमा स्थितियाँ डिरिचलेट सीमा स्थितियों और न्यूमैन सीमा स्थितियों का एक भारित संयोजन हैं। यह मिश्रित सीमा स्थितियों के विपरीत है, जो सीमा के विभिन्न उपसमूहों पर निर्दिष्ट विभिन्न प्रकार की सीमा स्थितियां हैं। रॉबिन सीमा स्थितियों को विद्युत चुम्बकीय समस्याओं में उनके अनुप्रयोग से, या गर्मी हस्तांतरण समस्याओं में उनके अनुप्रयोग से संवहनी सीमा स्थितियों को प्रतिबाधा सीमा स्थितियां भी कहा जाता है (हैन, 2012)।
यदि Ω वह डोमेन है जिस पर दिए गए समीकरण को हल किया जाना है और ∂Ω इसकी सीमा (टोपोलॉजी) को दर्शाता है, तो रॉबिन सीमा स्थिति है:[3]
कुछ गैर-शून्य स्थिरांक a और b और ∂Ω पर परिभाषित दिए गए फलन g के लिए। यहां, u Ω पर परिभाषित अज्ञात समाधान है और ∂u/∂n सीमा पर सामान्य व्युत्पन्न को दर्शाता है। अधिक समान्यत:, a और b को स्थिरांक के बजाय (दिए गए) फलन होने की अनुमति है।
एक आयाम में, यदि, उदाहरण के लिए, Ω= [0,1], रॉबिन सीमा स्थिति बन जाती है:
व्युत्पन्न से जुड़े पद के सामने चिह्न के परिवर्तन पर ध्यान दें: ऐसा इसलिए है क्योंकि 0 बिंदु पर सामान्य [0,1] नकारात्मक दिशा में है, जबकि 1 पर यह सकारात्मक दिशा में इंगित करता है।
आवेदन
रॉबिन सीमा स्थितियों का उपयोग आमतौर पर स्टर्म-लिउविले समस्याओं को हल करने में किया जाता है जो विज्ञान और इंजीनियरिंग में कई संदर्भों में दिखाई देते हैं।
इसके अलावा, रॉबिन सीमा स्थिति संवहन-प्रसार समीकरणों के लिए इन्सुलेट सीमा स्थिति का एक सामान्य रूप है। यहां, सीमा पर संवहन और विसरित प्रवाह का योग शून्य है:
जहाँ D विवर्तनशील स्थिरांक है, u सीमा पर संवहन वेग है और c सांद्रता है। दूसरा पद फ़िक के प्रसार के नियम का परिणाम है।
संदर्भ
- ↑ Gustafson, K., (1998). Domain Decomposition, Operator Trigonometry, Robin Condition, Contemporary Mathematics, 218. 432–437.
- ↑ Logan, J. David, (2001). Transport Modeling in Hydrogeochemical Systems. Springer.
- ↑ J. E. Akin (2005). Finite Element Analysis with Error Estimators: An Introduction to the FEM and Adaptive Error Analysis for Engineering Students. Butterworth-Heinemann. p. 69. ISBN 9780080472751.
ग्रन्थसूची
- Gustafson, K. and T. Abe, (1998a). The third boundary condition – was it Robin's?, The Mathematical Intelligencer, 20, #1, 63–71.
- Gustafson, K. and T. Abe, (1998b). (Victor) Gustave Robin: 1855–1897, The Mathematical Intelligencer, 20, #2, 47–53.
- Eriksson, K.; Estep, D.; Johnson, C. (2004). Applied mathematics, body and soul. Berlin; New York: Springer. ISBN 3-540-00889-6.
- Atkinson, Kendall E.; Han, Weimin (2001). Theoretical numerical analysis: a functional analysis framework. New York: Springer. ISBN 0-387-95142-3.
- Eriksson, K.; Estep, D.; Hansbo, P.; Johnson, C. (1996). Computational differential equations. Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56738-6.
- Mei, Zhen (2000). Numerical bifurcation analysis for reaction-diffusion equations. Berlin; New York: Springer. ISBN 3-540-67296-6.
- Hahn, David W.; Ozisk, M. N. (2012). Heat Conduction, 3rd edition. New York: Wiley. ISBN 978-0-470-90293-6.
