असंभाव्यता: Difference between revisions

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{{Redirect|विधेयवाद|दर्शनशास्त्र की दूसरी विचारधारा, जिसे विधेयवाद के नाम से भी जाना जाता है|अल्ट्राफ़िनिटिज़्म}}
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गणित, [[तर्क]]शास्त्र और गणित के दर्शन में, जो कुछ अव्यावहारिक है वह एक स्व-संदर्भ या स्व-संदर्भित [[परिभाषा]] है। समान्य रूप से कहें तो, एक परिभाषा अव्यावहारिक होती है यदि वह परिभाषित किए जा रहे सेट का आह्वान करती है (उल्लेख करती है या मात्रा निर्धारित करती है), या (अधिक सामान्यतः) कोई अन्य सेट जिसमें परिभाषित की जाने वाली चीज़ सम्मिलित होती है। विधेय या अव्यावहारिक होने का क्या अर्थ है इसकी कोई समान्य रूप से स्वीकृत स्पष्ट परिभाषा नहीं है। लेखकों ने अलग-अलग किंतु संबंधित परिभाषाएँ दी हैं।
गणित, [[तर्क]]शास्त्र और गणित के दर्शन में, जो कुछ '''अव्यावहारिक''' है वह एक स्व-संदर्भ या स्व-संदर्भित [[परिभाषा]] है। समान्य रूप से कहें तो, एक परिभाषा अव्यावहारिक होती है यदि वह परिभाषित किए जा रहे समुच्चय का आह्वान करती है (उल्लेख करती है या मात्रा निर्धारित करती है), या (अधिक सामान्यतः) कोई अन्य समुच्चय जिसमें परिभाषित की जाने वाली वस्तु सम्मिलित होती है। विधेय या अव्यावहारिक होने का क्या अर्थ है इसकी कोई समान्य रूप से स्वीकृत स्पष्ट परिभाषा नहीं है। लेखकों ने अलग-अलग किंतु संबंधित परिभाषाएँ दी हैं।


अव्यावहारिकता के विपरीत विधेयात्मकता है, जिसमें अनिवार्य रूप से [[स्तरीकरण (गणित)]] (या विस्तृत) सिद्धांतों का निर्माण सम्मिलित है, जहां निम्न पर मात्रा का ठहराव होता है।{{Definition needed|date=May 2022}} स्तर{{Definition needed|date=May 2022}} कुछ नए प्रकार के चर उत्पन्न होते हैं, जो निचले से भिन्न होते हैं{{Definition needed|date=May 2022}} वे प्रकार जिनमें चर की सीमाएँ होती हैं। एक प्रोटोटाइप उदाहरण [[अंतर्ज्ञानवादी प्रकार का सिद्धांत]] है, जो प्रभाव को बरकरार रखता है ताकि असंबद्धता को त्याग दिया जा सके।
अव्यावहारिकता के विपरीत विधेयात्मकता है, जिसमें अनिवार्य रूप से [[स्तरीकरण (गणित)]] (या विस्तृत) सिद्धांतों का निर्माण सम्मिलित है, जहां निम्न पर मात्रा का ठहराव होता है। स्तर कुछ नए प्रकार के वेरिएबल उत्पन्न होते हैं, जो निचले से भिन्न होते हैं वे प्रकार जिनमें वेरिएबल की सीमाएँ होती हैं। एक प्रोटोटाइप उदाहरण [[अंतर्ज्ञानवादी प्रकार का सिद्धांत]] है, जो प्रभाव को बनाय रखता है जिससे असंबद्धता को त्याग दिया जा सकता है।
 
रसेल का [[विरोधाभास]] एक अव्यवहारिक निर्माण का एक प्रसिद्ध उदाहरण है - अर्थात् सभी सेटों का [[सेट (गणित)]] जिसमें स्वयं सम्मिलित नहीं हैं। विरोधाभास यह है कि ऐसा कोई समुच्चय अस्तित्व में नहीं हो सकता: यदि यह अस्तित्व में होगा, तो यह प्रश्न पूछा जा सकता है कि क्या इसमें स्वयं सम्मिलित है या नहीं - यदि ऐसा है तो परिभाषा के अनुसार ऐसा नहीं होना चाहिए, और यदि ऐसा नहीं है तो परिभाषा के अनुसार इसे होना चाहिए।
 
किसी सेट की [[सबसे बड़ी निचली सीमा]] {{math|{{var|X}}}}, {{math|glb({{var|X}})}}, की एक अव्यावहारिक परिभाषा भी है: {{math|1={{var|y}} = glb({{var|X}})}} यदि और केवल यदि सभी तत्वों के लिए {{math|{{var|x}}}} का {{math|{{var|X}}}}, {{math|{{var|y}}}} से कम या बराबर है {{math|{{var|x}}}}, और कोई भी {{math|{{var|z}}}} के सभी तत्वों से कम या बराबर {{math|{{var|X}}}} से कम या बराबर है {{math|{{var|y}}}}. यह परिभाषा उस सेट (संभावित रूप से [[अनंत सेट]], प्रश्न में आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के आधार पर) की मात्रा निर्धारित करती है, जिसके सदस्य निचली सीमाएं हैं {{math|{{var|X}}}}, जिनमें से एक स्वयं glb है। इसलिए विधेयवाद<!--boldface per WP:R#PLA--> इस परिभाषा को अस्वीकार करेंगे.<ref>Kleene 1952:42–43</ref>


रसेल का [[विरोधाभास]] एक अव्यवहारिक निर्माण का एक प्रसिद्ध उदाहरण है - अर्थात् सभी समुच्चय का [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] जिसमें स्वयं सम्मिलित नहीं हैं। विरोधाभास यह है कि ऐसा कोई समुच्चय अस्तित्व में नहीं हो सकता: यदि यह अस्तित्व में होगा तो यह प्रश्न पूछा जा सकता है कि क्या इसमें स्वयं सम्मिलित है या नहीं - यदि ऐसा है तो परिभाषा के अनुसार ऐसा नहीं होना चाहिए, और यदि ऐसा नहीं है तो परिभाषा के अनुसार इसे होना चाहिए।


समुच्चय {{math|{{var|X}}}} की सबसे बड़ी निचली सीमा, {{math|glb({{var|X}})}}, में भी एक अव्यावहारिक है परिभाषा: {{math|1={{var|y}} = glb({{var|X}})}} यदि और केवल यदि {{math|{{var|X}}}} के सभी अवयव {{math|{{var|x}}}} के लिए, {{math|{{var|y}}}}, {{math|{{var|x}}}} से कम या उसके समान है, और X के सभी अवयव से कम या उसके समान कोई भी z, y से कम या उसके समान है।  यह परिभाषा समुच्चय पर मात्रा निर्धारित करती है (संभावित रूप से अनंत, प्रश्न में क्रम के आधार पर) जिनके सदस्य {{math|{{var|X}}}} की निचली सीमाएं हैं, जिनमें से एक स्वयं जीएलबी है। इसलिए विधेयवाद इस परिभाषा को अस्वीकार कर देगा।<ref>Kleene 1952:42–43</ref>
== इतिहास ==
== इतिहास ==
{{quotebox|width=30%
{{quotebox|width=30%
|quote=Norms (containing one variable) which do not define classes I propose to call ''non-predicative'';
|quote=मानदंड (एक वेरिएबल वाले) जो वर्गों को परिभाषित नहीं करते हैं, मैं ''गैर-विधेय'' कहने का प्रस्ताव करता हूं;
those which do define classes I shall call ''predicative''.
जो वर्ग परिभाषित करते हैं उन्हें मैं ''विधेयात्मक'' कहूंगा।
|source={{harv|Russell|1907|loc=p.34}} (Russell used "norm" to mean a proposition: roughly something that can take the values "true" or "false".)
|source={{harv|रसेल|1907|loc=p.34}} (रसेल ने एक प्रस्ताव के लिए "मानदंड" का उपयोग किया: मोटे तौर पर कुछ ऐसा जो "सही" या "गलत" मान ले सकता है।)
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}}


विधेय और अभेद्य शब्द किसके द्वारा प्रस्तुत किए गए थे? {{harvtxt|Russell|1907}}, हालाँकि तब से इसका अर्थ थोड़ा बदल गया है।
विधेय और अभेद्य शब्द किसके द्वारा प्रस्तुत किए गए थे? {{harvtxt|Russell|1907}}, चूँकि तब से इसका अर्थ थोड़ा परिवर्तन हो गया है।


[[सोलोमन फ़ेफ़रमैन]] भविष्यवाणी की एक ऐतिहासिक समीक्षा प्रदान करते हैं, इसे वर्तमान उत्कृष्ट शोध समस्याओं से जोड़ते हैं।<ref>Solomon Feferman, "[https://math.stanford.edu/~feferman/papers/predicativity.pdf Predicativity]" (2002)</ref>
[[सोलोमन फ़ेफ़रमैन]] पूर्वानुमान की एक ऐतिहासिक समीक्षा प्रदान करते हैं, इसे वर्तमान उत्कृष्ट शोध समस्याओं से जोड़ते हैं।<ref>Solomon Feferman, "[https://math.stanford.edu/~feferman/papers/predicativity.pdf Predicativity]" (2002)</ref>
[[दुष्चक्र सिद्धांत]] का सुझाव हेनरी पोंकारे (1905-6, 1908) ने दिया था।<ref>dates derived from Kleene 1952:42</ref> और वैध सेट विनिर्देशों पर एक आवश्यकता के रूप में विरोधाभासों के मद्देनजर [[बर्ट्रेंड रसेल]]। जो सेट आवश्यकता को पूरा नहीं करते, उन्हें इम्प्रिडिकेटिव कहा जाता है।


पहला आधुनिक विरोधाभास [[सेसारे बुराली-फोर्टी]] के 1897 में ट्रांसफ़िनिट संख्याओं पर एक प्रश्न के साथ सामने आया।<ref>van Heijenoort's commentary before Burali-Forti's (1897) ''A question on transfinite numbers'' in van Heijenoort 1967:104; see also his commentary before Georg Cantor's (1899) ''Letter to Dedekind'' in van Heijenoort 1967:113</ref> और [[बुराली-फोर्टी विरोधाभास]] के रूप में जाना जाने लगा। कैंटर ने स्पष्ट रूप से अपने (कैंटर के) नैवे सेट सिद्धांत में उसी विरोधाभास की खोज की थी अनुभवहीन सेट सिद्धांत और इसे कैंटर के विरोधाभास के रूप में जाना जाता है। समस्या के बारे में रसेल की जागरूकता जून 1901 में उत्पन्न हुई<ref>Commentary by van Heijenoort before Bertrand Russell's ''Lettern to Frege'' in van Heijenoort 1967:124</ref> फ्रेगे के गणितीय तर्क के ग्रंथ को पढ़ने के साथ, उनका 1879 [[शब्द लेखन]]; [[पूछा]] में आपत्तिजनक वाक्य निम्नलिखित है:
[[दुष्चक्र सिद्धांत]] का सुझाव हेनरी पोंकारे (1905-6, 1908) ने दिया था।<ref>dates derived from Kleene 1952:42</ref> और वैध समुच्चय विनिर्देशों पर एक आवश्यकता के रूप में विरोधाभासों के इस दृष्टिकोण से [[बर्ट्रेंड रसेल]] या जो समुच्चय आवश्यकता को पूर्ण नहीं करते, उन्हें इम्प्रिडिकेटिव कहा जाता है।
{{quote|On the other hand, it may also be that the argument is determinate and the function indeterminate.<ref>Gottlob Frege (1879) ''Begriffsschrift'' in van Heijenoort 1967:23</ref>}}


दूसरे शब्दों में, दिया गया {{math|{{var|f}}({{var|a}})}} कार्यक्रम {{math|{{var|f}}}} चर है और {{math|{{var|a}}}} अपरिवर्तनीय भाग है. तो मूल्य को प्रतिस्थापित क्यों न करें {{math|{{var|f}}({{var|a}})}} के लिए {{math|{{var|f}}}} अपने आप? रसेल ने तुरंत फ़्रीज को एक पत्र लिखकर बताया कि:
पहला आधुनिक विरोधाभास [[सेसारे बुराली-फोर्टी]] के 1897 में ट्रांसफ़िनिट संख्याओं पर एक प्रश्न के साथ सामने आया था।<ref>van Heijenoort's commentary before Burali-Forti's (1897) ''A question on transfinite numbers'' in van Heijenoort 1967:104; see also his commentary before Georg Cantor's (1899) ''Letter to Dedekind'' in van Heijenoort 1967:113</ref> और [[बुराली-फोर्टी विरोधाभास]] के रूप में जाना जाने लगा। कैंटर ने स्पष्ट रूप से अपने (कैंटर के) नैवे समुच्चय सिद्धांत में उसी विरोधाभास की खोज की थी अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत और इसे कैंटर के विरोधाभास के रूप में जाना जाता है। समस्या के बारे में रसेल की जागरूकता जून 1901 में उत्पन्न हुई<ref>Commentary by van Heijenoort before Bertrand Russell's ''Lettern to Frege'' in van Heijenoort 1967:124</ref> फ्रेगे के गणितीय तर्क के ग्रंथ को पढ़ने के साथ, उनका 1879 [[शब्द लेखन]]; [[पूछा]] में आपत्तिजनक वाक्य निम्नलिखित है:
{{quote|You state ... that a function too, can act as the indeterminate element. This I formerly believed, but now this view seems doubtful to me because of the following contradiction. Let {{math|{{var|w}}}} be the predicate: to be a predicate that cannot be predicated of itself. Can {{math|{{var|w}}}} be predicated of itself? From each answer its opposite follows. Therefore we must conclude that {{math|{{var|w}}}} is not a predicate. Likewise there is no class (as a totality) of those classes which, each taken as a totality, do not belong to themselves. From this I conclude that under certain circumstances a definable collection does not form a totality.<ref>Bertrand Russell's 1902 ''Letter to Frege'' in van Heijenoort 1967:124-125</ref>}}


फ़्रीज ने समस्या को स्वीकार करते हुए तुरंत रसेल को जवाब लिखा:
{{quote|दूसरी ओर, यह भी हो सकता है कि तर्क निश्चित हो और कार्य अनिश्चित हो.<ref>Gottlob Frege (1879) ''Begriffsschrift'' in van Heijenoort 1967:23</ref>}}
{{quote|Your discovery of the contradiction caused me the greatest surprise and, I would almost say, consternation, since it has shaken the basis on which I intended to build arithmetic.<ref>Gottlob Frege's (1902) ''Letter to Russell'' in van Hiejenoort 1967:127</ref>}}


जबकि समस्या के दोनों व्यक्तियों के लिए प्रतिकूल व्यक्तिगत परिणाम थे (दोनों के पास प्रिंटर पर काम था जिसे सुधारना पड़ा), वैन हाइजेनोर्ट का मानना ​​है कि विरोधाभास ने तर्कशास्त्रियों की दुनिया को हिलाकर रख दिया, और गड़गड़ाहट आज भी महसूस की जाती है। ... रसेल का विरोधाभास, जो सेट और तत्व की नग्न धारणाओं का उपयोग करता है, तर्क के क्षेत्र में पूरी तरह से गिरता है। विरोधाभास को सबसे पहले रसेल ने गणित के सिद्धांत (1903) में प्रकाशित किया था और वहां इसकी विस्तृत चर्चा की गई है...।<ref>Van Heijenoort's commentary before Bertrand Russell's (1902) ''Letter to Frege'' 1967:124</ref> रसेल, छह साल की झूठी शुरुआत के बाद, अंततः अपने 1908 के प्रकारों के सिद्धांत के साथ रिड्यूसिबिलिटी के सिद्धांत को प्रतिपादित करके मामले का उत्तर देंगे। यह कहता है कि कोई भी फ़ंक्शन उसके साथ व्यापक होता है जिसे वह विधेय फ़ंक्शन कहता है: एक फ़ंक्शन जिसमें स्पष्ट चर के प्रकार तर्कों के प्रकारों से अधिक नहीं चलते हैं।<ref>Willard V. Quine's commentary before Bertrand Russell's 1908 ''Mathematical logic as based on the theory of types''</ref> किंतु  इस सिद्धांत को हर तरफ से विरोध का सामना करना पड़ा।
दूसरे शब्दों में, दिया गया {{math|{{var|f}}({{var|a}})}} फलन {{math|{{var|f}}}} परिवर्तनशील है और {{math|{{var|a}}}} अपरिवर्तनीय भाग है। तो फिर {{math|{{var|f}}}} के स्थान पर {{math|{{var|f}}({{var|a}})}} का मान क्यों न रखा जाए? रसेल ने तुरंत फ़्रीज को एक पत्र लिखकर बताया कि:


अपरिभाषित रूप से परिभाषित गणितीय वस्तुओं की अस्वीकृति ([[प्राकृतिक संख्या]]ओं को शास्त्रीय रूप से समझे जाने वाले रूप में स्वीकार करते हुए) गणित के दर्शन में उस स्थिति की ओर ले जाती है जिसे विधेयवाद के रूप में जाना जाता है, जिसकी वकालत हेनरी पोंकारे और [[हरमन वेइल]] ने अपने दास कॉन्टिनम में की थी। पोंकारे और वेइल ने तर्क दिया कि अव्यावहारिक परिभाषाएँ केवल तभी समस्याग्रस्त होती हैं जब एक या अधिक अंतर्निहित सेट अनंत होते हैं।
{{quote|आप कहते हैं... कि एक फलन भी अनिश्चित अवयव के रूप में कार्य कर सकता है। पहले मैं इस पर विश्वास करता था, किन्तु अब निम्नलिखित विरोधाभास के कारण यह दृष्टिकोण मुझे संदिग्ध लगता है। मान लीजिए कि {{math|{{var|w}}}} विधेय है: एक विधेय होना जो स्वयं का विधेय नहीं हो सकता। क्या {{गणित|{{var|w}}}} स्वयं का विधेय हो सकता है? प्रत्येक उत्तर से उसका विपरीत आता है। इसलिए हमें यह निष्कर्ष निकालना चाहिए कि {{math|{{var|w}}}} एक विधेय नहीं है। इसी प्रकार उन वर्गों का कोई वर्ग (समग्रता के रूप में) नहीं है, जिनमें से प्रत्येक को समग्रता के रूप में लिया जाए, तो वे स्वयं से संबंधित नहीं होते हैं। इससे मैं यह निष्कर्ष निकालता हूं कि कुछ परिस्थितियों में एक निश्चित संग्रह समग्रता का निर्माण नहीं करता है।<ref>Bertrand Russell's 1902 ''Letter to Frege'' in van Heijenoort 1967:124-125</ref>}}


[[अर्नेस्ट ज़र्मेलो]] ने अपने 1908 में सुव्यवस्थित होने की संभावना का एक नया प्रमाण दिया{{full citation needed|date=October 2016}} एक संपूर्ण अनुभाग प्रस्तुत करता है बी। गैर-विधेयात्मक परिभाषा के संबंध में आपत्ति जहां उन्होंने पोंकारे के खिलाफ तर्क दिया (1906, पृष्ठ 307) [जो बताता है कि] एक परिभाषा 'विधेयात्मक' है और तार्किक रूप से तभी स्वीकार्य है जब इसमें उन सभी वस्तुओं को सम्मिलित नहीं किया गया है जो परिभाषित धारणा पर निर्भर हैं, यानी, जो इसमें सम्मिलित हो सकती हैं किसी भी तरह से इसके द्वारा निर्धारित किया जाएगा.<ref>van Heijenoort 1967:190</ref> वह अव्यावहारिक परिभाषाओं के दो उदाहरण देते हैं - (i) डेडेकाइंड श्रृंखला की धारणा और (ii) विश्लेषण में जहां पहले से परिभाषित संख्याओं का अधिकतम या न्यूनतम सेट होता है {{math|{{var|Z}}}} का उपयोग आगे के अनुमान के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, सुप्रसिद्ध कॉची प्रूफ़ में ऐसा होता है...।<ref>van Heijenoort 1967:190–191</ref> वह अपने अनुभाग को निम्नलिखित अवलोकन के साथ समाप्त करता है: एक परिभाषा बहुत अच्छी तरह से उन धारणाओं पर निर्भर हो सकती है जो परिभाषित किए जाने के बराबर हैं; वास्तव में, हर परिभाषा में परिभाषाएँ और परिभाषाएँ समान धारणाएँ हैं, और पोंकारे की मांग का कड़ाई से पालन हर परिभाषा, इसलिए पूरे विज्ञान को असंभव बना देगा।<ref>van Heijenoort 1967:191</ref>
फ़्रीज ने समस्या को स्वीकार करते हुए शीघ्र रसेल को उत्तर लिखा:
संख्याओं के पहले से परिभाषित पूर्ण सेट के न्यूनतम और अधिकतम का ज़र्मेलो का उदाहरण क्लेन 1952:42-42 में फिर से दिखाई देता है जहां क्लेन अव्यवहारिक परिभाषाओं की अपनी चर्चा में कम से कम ऊपरी सीमा के उदाहरण का उपयोग करता है; क्लेन इस समस्या का समाधान नहीं करता है. अगले पैराग्राफों में उन्होंने अपने 1918 के दास कॉन्टिनम (द कॉन्टिनम) में वेइल के प्रयास पर चर्चा की, जिसमें उन्होंने अव्यवहारिक परिभाषाओं को खत्म करने की कोशिश की और इस प्रमेय को बनाए रखने में उनकी विफलता कि एक मनमाना [[खाली सेट]] | गैर-खाली सेट {{math|M}} ऊपरी सीमा वाली [[वास्तविक संख्या]]ओं में न्यूनतम ऊपरी सीमा होती है (सीएफ. वेइल 1919 भी)।<ref>Kleene 1952:43</ref>
{{quote|विरोधाभास की आपकी खोज ने मुझे सबसे अधिक आश्चर्यचकित कर दिया है और मैं यह कहूँगा, कि यह तथ्य विरोधाभास का कारण बना है, क्योंकि इसने उस आधार को विचलित कर दिया है जिस पर मैंने अंकगणित का निर्माण करने का आशय किया था।<ref>Gottlob Frege's (1902) ''Letter to Russell'' in van Hiejenoort 1967:127</ref>}}
फ्रैंक पी. रैमसे ने तर्क दिया कि अत्यावश्यक परिभाषाएँ हानिरहित हो सकती हैं: उदाहरण के लिए, कमरे में सबसे लंबे व्यक्ति की परिभाषा अव्यावहारिक है, क्योंकि यह उन चीज़ों के समूह पर निर्भर करती है जिनका यह एक तत्व है, अर्थात् कमरे में सभी व्यक्तियों का समूह। . गणित के संबंध में, एक अव्यवहारिक परिभाषा का एक उदाहरण एक सेट में सबसे छोटी संख्या है, जिसे औपचारिक रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है: {{math|1={{var|y}} = min({{var|X}})}} यदि और केवल यदि सभी तत्वों के लिए {{math|{{var|x}}}} का {{math|{{var|X}}}}, {{math|{{var|y}}}} से कम या बराबर है {{math|{{var|x}}}}, और {{math|{{var|y}}}} में है {{math|{{var|X}}}}.


बर्गेस (2005) फ़्रीज के तर्क, [[पीनो अंकगणित]], दूसरे क्रम के अंकगणित और स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के संदर्भ में, कुछ हद तक विधेय और अव्यावहारिक सिद्धांतों पर चर्चा करता है।
जबकि समस्या के दोनों व्यक्तियों के लिए प्रतिकूल व्यक्तिगत परिणाम थे (दोनों के पास प्रिंटर पर काम था जिसे सुधारना पड़ा), वैन हाइजेनोर्ट का मानना ​​है कि विरोधाभास ने तर्कशास्त्रियों की संसार को विचलित रख है, और रम्बल आज भी अनुभव की जाती है। ... रसेल का विरोधाभास, जो समुच्चय और अवयव की नग्न धारणाओं का उपयोग करता है, तर्क के क्षेत्र में पूर्ण रूप से गिरता है। विरोधाभास को सर्वप्रथम रसेल ने गणित के सिद्धांत (1903) में प्रकाशित किया था और वहां इसकी विस्तृत चर्चा की गई है...।<ref>Van Heijenoort's commentary before Bertrand Russell's (1902) ''Letter to Frege'' 1967:124</ref> रसेल, छह साल की असत्य प्रारंभ के पश्चात, अंततः अपने 1908 के प्रकारों के सिद्धांत के साथ रिड्यूसिबिलिटी के सिद्धांत को प्रतिपादित करके स्थिति का उत्तर देते है। इसका अर्थ यह है कि कोई भी फलन उसके साथ व्यापक होता है जिसे वह विधेय फलन कहता है: एक फलन जिसमें स्पष्ट वेरिएबल के प्रकार तर्कों के प्रकारों से अधिक नहीं चलते हैं।<ref>Willard V. Quine's commentary before Bertrand Russell's 1908 ''Mathematical logic as based on the theory of types''</ref> किंतु इस सिद्धांत को हर तरफ से विरोध का सामना करना पड़ा था।


== यह भी देखें ==
अपरिभाषित रूप से परिभाषित गणितीय वस्तुओं की अस्वीकृति ([[प्राकृतिक संख्या]]ओं को मौलिक रूप से समझे जाने वाले रूप में स्वीकार करते हुए) गणित के दर्शन में उस स्थिति की ओर ले जाती है जिसे विधेयवाद के रूप में जाना जाता है, जिसकी वकालत हेनरी पोंकारे और [[हरमन वेइल]] ने अपने दास कॉन्टिनम में की थी। पोंकारे और वेइल ने तर्क दिया कि अव्यावहारिक परिभाषाएँ केवल तभी समस्याग्रस्त होती हैं जब एक या अधिक अंतर्निहित समुच्चय अनंत होते हैं।
 
[[अर्नेस्ट ज़र्मेलो]] ने अपने 1908 में सुव्यवस्थित होने की संभावना का एक नया प्रमाण दिया एक संपूर्ण अनुभाग प्रस्तुत करता है b गैर-विधेयात्मक परिभाषा के संबंध में आपत्ति जहां उन्होंने पोंकारे के विरुद्ध तर्क दिया (1906, पृष्ठ 307) [जो बताता है कि] एक परिभाषा 'विधेयात्मक' है और तार्किक रूप से तभी स्वीकार्य है जब इसमें उन सभी वस्तुओं को सम्मिलित नहीं किया गया है जो परिभाषित धारणा पर निर्भर हैं, अथार्त, जो इसमें सम्मिलित हो सकती हैं किसी भी तरह से इसके द्वारा निर्धारित किया जाएगा.<ref>van Heijenoort 1967:190</ref> वह अव्यावहारिक परिभाषाओं के दो उदाहरण देते हैं - (i) डेडेकाइंड श्रृंखला की धारणा और (ii) "विश्लेषण में जहां भी पूर्व से परिभाषित "पूर्ण" संख्या Z के अधिकतम या न्यूनतम का उपयोग आगे के अनुमानों के लिए किया जाता है। ऐसा होता है, उदाहरण के लिए, सुप्रसिद्ध कॉची प्रूफ़ में ऐसा होता है...।<ref>van Heijenoort 1967:190–191</ref> वह अपने अनुभाग को निम्नलिखित अवलोकन के साथ समाप्त करता है: एक परिभाषा सही प्रकार से उन धारणाओं पर निर्भर हो सकती है जो परिभाषित किए जाने के समान हैं; वास्तव में, हर परिभाषा में परिभाषाएँ और परिभाषाएँ समान धारणाएँ हैं, और पोंकारे की मांग का सशक्त पालन सभी परिभाषा को, इसलिए पूर्ण विज्ञान को, असंभव बना देती है"।<ref>van Heijenoort 1967:191</ref>
 
संख्याओं के पूर्व से परिभाषित पूर्ण समुच्चय के न्यूनतम और अधिकतम का ज़र्मेलो का उदाहरण क्लेन 1952:42-42 में फिर से दिखाई देता है जहां क्लेन अव्यवहारिक परिभाषाओं की अपनी चर्चा में कम से कम ऊपरी सीमा के उदाहरण का उपयोग करता है; क्लेन इस समस्या का समाधान नहीं करता है. अगले पैराग्राफों में उन्होंने अपने 1918 के दास कॉन्टिनम (द कॉन्टिनम) में वेइल के प्रयास पर चर्चा की जिसमें उन्होंने अव्यवहारिक परिभाषाओं को समाप्त करने की प्रयाश की और इस प्रमेय को बनाए रखने में उनकी विफलता कि एक इच्छित [[खाली सेट|रिक्त समुच्चय]] {{math|M}} ऊपरी सीमा वाली [[वास्तविक संख्या]]ओं में न्यूनतम ऊपरी सीमा होती है (सीएफ. वेइल 1919 भी)।<ref>Kleene 1952:43</ref>
 
रैमसे ने तर्क दिया कि "अनिवार्य" परिभाषाएँ हानिरहित हो सकती हैं: उदाहरण के लिए, "कमरे में अधिक लंबे व्यक्ति" की परिभाषा अव्यावहारिक है, क्योंकि यह उन वस्तु के समूह पर निर्भर करती है जिनका यह एक अवयव है, अर्थात् कमरे में सभी व्यक्तियों का समूह गणित के संबंध में, एक अपरिभाषित परिभाषा का एक उदाहरण एक समुच्चय में अधिक छोटी संख्या है, जिसे औपचारिक रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है: {{math|1={{var|y}} = min({{var|X}})}} यदि और केवल यदि {{math|{{var|X}}}} के सभी अवयव {{math|{{var|x}}}} के लिए, {{math|{{var|y}}}}, {{math|{{var|x}}}}से कम या उसके समान है, और {{math|{{var|y}}}} {{math|{{var|X}}}} में है।
 
बर्गेस (2005) फ़्रीज के तर्क, [[पीनो अंकगणित]], दूसरे क्रम के अंकगणित और स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के संदर्भ में, कुछ सीमा तक विधेय और अव्यावहारिक सिद्धांतों पर चर्चा करता है।
 
== यह भी देखें                                                                                                                                     ==
* गोडेल, एस्चर, बाख
* गोडेल, एस्चर, बाख
* [[अव्यावहारिक बहुरूपता]]
* [[अव्यावहारिक बहुरूपता]]
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doi= 10.1112/plms/s2-4.1.29|last=Russell|first=B.|author-link=Bertrand Russell|title=On Some Difficulties in the Theory of Transfinite Numbers and Order Types|url=https://zenodo.org/record/1447794}}
doi= 10.1112/plms/s2-4.1.29|last=Russell|first=B.|author-link=Bertrand Russell|title=On Some Difficulties in the Theory of Transfinite Numbers and Order Types|url=https://zenodo.org/record/1447794}}
* [[Stephen C. Kleene]] 1952 (1971 edition), ''Introduction to Metamathematics'', North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, {{ISBN|0-7204-2103-9}}. In particular cf. his ''§11 The Paradoxes'' (pp.&nbsp;36–40) and ''§12 First inferences from the paradoxes'' IMPREDICATIVE DEFINITION (p.&nbsp;42). He states that his 6 or so (famous) examples of paradoxes (antinomies) are all examples of impredicative definition, and says that Poincaré (1905–6, 1908) and Russell (1906, 1910) "enunciated the cause of the paradoxes to lie in these impredicative definitions" (p.&nbsp;42), however, "parts of mathematics we want to retain, particularly analysis, also contain impredicative definitions." (ibid). Weyl in his 1918 ("Das Kontinuum") attempted to derive as much of analysis as was possible without the use of impredicative definitions, "but not the theorem that an arbitrary non-empty set M of real numbers having an upper bound has a least upper bound (CF. also Weyl 1919)" (p.&nbsp;43).
* [[Stephen C. Kleene]] 1952 (1971 edition), ''Introduction to Metamathematics'', North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, {{ISBN|0-7204-2103-9}}. In particular cf. his ''§11 The Paradoxes'' (pp.&nbsp;36–40) and ''§12 First inferences from the paradoxes'' IMPREDICATIVE DEFINITION (p.&nbsp;42). He states that his 6 or so (famous) examples of paradoxes (antinomies) are all examples of impredicative definition, and says that Poincaré (1905–6, 1908) and Russell (1906, 1910) "enunciated the cause of the paradoxes to lie in these impredicative definitions" (p.&nbsp;42), however, "parts of mathematics we want to retain, particularly analysis, also contain impredicative definitions." (ibid). Weyl in his 1918 ("Das Kontinuum") attempted to derive as much of analysis as was possible without the use of impredicative definitions, "but not the theorem that an arbitrary non-empty set M of real numbers having an upper bound has a least upper bound (CF. also Weyl 1919)" (p.&nbsp;43).
* [[Hans Reichenbach]] 1947, ''Elements of Symbolic Logic'', Dover Publications, Inc., NY, {{ISBN|0-486-24004-5}}. Cf. his ''§40. The antinomies and the theory of types'' (pp.&nbsp;218 — wherein he demonstrates how to create antinomies, including the definition of ''impredicable'' itself ("Is the definition of "impredicable" impredicable?"). He claims to show methods for eliminating the "paradoxes of syntax" ("logical paradoxes") — by use of the theory of types — and "the paradoxes of semantics" — by the use of metalanguage (his "theory of levels of language"). He attributes the suggestion of this notion to Russell and more concretely to Ramsey.
* [[Hans Reichenbach]] 1947, ''Elements of Symbolic Logic'', Dover Publications, Inc., NY, {{ISBN|0-486-24004-5}}. Cf. his ''§40. The antinomies and the theory of types'' (pp.&nbsp;218 — wherein he demonstrates how to create antinomies, including the definition of ''impredicable'' itself ("Is the definition of "impredicable" impredicable?"). He claims to show methods for eliminating the "paradoxes of syntax" ("logical paradoxes") — by use of the theory of types — and "the paradoxes of semantics" — by the use of metalanguage (his "theory of levels of language"). He attributes the suggestion of this notion to Russell and more concretely to Ramsey.
*[[Jean van Heijenoort]] 1967, third printing 1976, ''From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931'', Harvard University Press, Cambridge MA, {{ISBN|0-674-32449-8}} (pbk.)
*[[Jean van Heijenoort]] 1967, third printing 1976, ''From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931'', Harvard University Press, Cambridge MA, {{ISBN|0-674-32449-8}} (pbk.)
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Latest revision as of 13:00, 4 August 2023

गणित, तर्कशास्त्र और गणित के दर्शन में, जो कुछ अव्यावहारिक है वह एक स्व-संदर्भ या स्व-संदर्भित परिभाषा है। समान्य रूप से कहें तो, एक परिभाषा अव्यावहारिक होती है यदि वह परिभाषित किए जा रहे समुच्चय का आह्वान करती है (उल्लेख करती है या मात्रा निर्धारित करती है), या (अधिक सामान्यतः) कोई अन्य समुच्चय जिसमें परिभाषित की जाने वाली वस्तु सम्मिलित होती है। विधेय या अव्यावहारिक होने का क्या अर्थ है इसकी कोई समान्य रूप से स्वीकृत स्पष्ट परिभाषा नहीं है। लेखकों ने अलग-अलग किंतु संबंधित परिभाषाएँ दी हैं।

अव्यावहारिकता के विपरीत विधेयात्मकता है, जिसमें अनिवार्य रूप से स्तरीकरण (गणित) (या विस्तृत) सिद्धांतों का निर्माण सम्मिलित है, जहां निम्न पर मात्रा का ठहराव होता है। स्तर कुछ नए प्रकार के वेरिएबल उत्पन्न होते हैं, जो निचले से भिन्न होते हैं वे प्रकार जिनमें वेरिएबल की सीमाएँ होती हैं। एक प्रोटोटाइप उदाहरण अंतर्ज्ञानवादी प्रकार का सिद्धांत है, जो प्रभाव को बनाय रखता है जिससे असंबद्धता को त्याग दिया जा सकता है।

रसेल का विरोधाभास एक अव्यवहारिक निर्माण का एक प्रसिद्ध उदाहरण है - अर्थात् सभी समुच्चय का समुच्चय (गणित) जिसमें स्वयं सम्मिलित नहीं हैं। विरोधाभास यह है कि ऐसा कोई समुच्चय अस्तित्व में नहीं हो सकता: यदि यह अस्तित्व में होगा तो यह प्रश्न पूछा जा सकता है कि क्या इसमें स्वयं सम्मिलित है या नहीं - यदि ऐसा है तो परिभाषा के अनुसार ऐसा नहीं होना चाहिए, और यदि ऐसा नहीं है तो परिभाषा के अनुसार इसे होना चाहिए।

समुच्चय X की सबसे बड़ी निचली सीमा, glb(X), में भी एक अव्यावहारिक है परिभाषा: y = glb(X) यदि और केवल यदि X के सभी अवयव x के लिए, y, x से कम या उसके समान है, और X के सभी अवयव से कम या उसके समान कोई भी z, y से कम या उसके समान है।  यह परिभाषा समुच्चय पर मात्रा निर्धारित करती है (संभावित रूप से अनंत, प्रश्न में क्रम के आधार पर) जिनके सदस्य X की निचली सीमाएं हैं, जिनमें से एक स्वयं जीएलबी है। इसलिए विधेयवाद इस परिभाषा को अस्वीकार कर देगा।[1]

इतिहास

मानदंड (एक वेरिएबल वाले) जो वर्गों को परिभाषित नहीं करते हैं, मैं गैर-विधेय कहने का प्रस्ताव करता हूं; जो वर्ग परिभाषित करते हैं उन्हें मैं विधेयात्मक कहूंगा।

(रसेल 1907, p.34) (रसेल ने एक प्रस्ताव के लिए "मानदंड" का उपयोग किया: मोटे तौर पर कुछ ऐसा जो "सही" या "गलत" मान ले सकता है।)

विधेय और अभेद्य शब्द किसके द्वारा प्रस्तुत किए गए थे? Russell (1907), चूँकि तब से इसका अर्थ थोड़ा परिवर्तन हो गया है।

सोलोमन फ़ेफ़रमैन पूर्वानुमान की एक ऐतिहासिक समीक्षा प्रदान करते हैं, इसे वर्तमान उत्कृष्ट शोध समस्याओं से जोड़ते हैं।[2]

दुष्चक्र सिद्धांत का सुझाव हेनरी पोंकारे (1905-6, 1908) ने दिया था।[3] और वैध समुच्चय विनिर्देशों पर एक आवश्यकता के रूप में विरोधाभासों के इस दृष्टिकोण से बर्ट्रेंड रसेल या जो समुच्चय आवश्यकता को पूर्ण नहीं करते, उन्हें इम्प्रिडिकेटिव कहा जाता है।

पहला आधुनिक विरोधाभास सेसारे बुराली-फोर्टी के 1897 में ट्रांसफ़िनिट संख्याओं पर एक प्रश्न के साथ सामने आया था।[4] और बुराली-फोर्टी विरोधाभास के रूप में जाना जाने लगा। कैंटर ने स्पष्ट रूप से अपने (कैंटर के) नैवे समुच्चय सिद्धांत में उसी विरोधाभास की खोज की थी अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत और इसे कैंटर के विरोधाभास के रूप में जाना जाता है। समस्या के बारे में रसेल की जागरूकता जून 1901 में उत्पन्न हुई[5] फ्रेगे के गणितीय तर्क के ग्रंथ को पढ़ने के साथ, उनका 1879 शब्द लेखन; पूछा में आपत्तिजनक वाक्य निम्नलिखित है:

दूसरी ओर, यह भी हो सकता है कि तर्क निश्चित हो और कार्य अनिश्चित हो.[6]

दूसरे शब्दों में, दिया गया f(a) फलन f परिवर्तनशील है और a अपरिवर्तनीय भाग है। तो फिर f के स्थान पर f(a) का मान क्यों न रखा जाए? रसेल ने तुरंत फ़्रीज को एक पत्र लिखकर बताया कि:

आप कहते हैं... कि एक फलन भी अनिश्चित अवयव के रूप में कार्य कर सकता है। पहले मैं इस पर विश्वास करता था, किन्तु अब निम्नलिखित विरोधाभास के कारण यह दृष्टिकोण मुझे संदिग्ध लगता है। मान लीजिए कि w विधेय है: एक विधेय होना जो स्वयं का विधेय नहीं हो सकता। क्या Template:गणित स्वयं का विधेय हो सकता है? प्रत्येक उत्तर से उसका विपरीत आता है। इसलिए हमें यह निष्कर्ष निकालना चाहिए कि w एक विधेय नहीं है। इसी प्रकार उन वर्गों का कोई वर्ग (समग्रता के रूप में) नहीं है, जिनमें से प्रत्येक को समग्रता के रूप में लिया जाए, तो वे स्वयं से संबंधित नहीं होते हैं। इससे मैं यह निष्कर्ष निकालता हूं कि कुछ परिस्थितियों में एक निश्चित संग्रह समग्रता का निर्माण नहीं करता है।[7]

फ़्रीज ने समस्या को स्वीकार करते हुए शीघ्र रसेल को उत्तर लिखा:

विरोधाभास की आपकी खोज ने मुझे सबसे अधिक आश्चर्यचकित कर दिया है और मैं यह कहूँगा, कि यह तथ्य विरोधाभास का कारण बना है, क्योंकि इसने उस आधार को विचलित कर दिया है जिस पर मैंने अंकगणित का निर्माण करने का आशय किया था।[8]

जबकि समस्या के दोनों व्यक्तियों के लिए प्रतिकूल व्यक्तिगत परिणाम थे (दोनों के पास प्रिंटर पर काम था जिसे सुधारना पड़ा), वैन हाइजेनोर्ट का मानना ​​है कि विरोधाभास ने तर्कशास्त्रियों की संसार को विचलित रख है, और रम्बल आज भी अनुभव की जाती है। ... रसेल का विरोधाभास, जो समुच्चय और अवयव की नग्न धारणाओं का उपयोग करता है, तर्क के क्षेत्र में पूर्ण रूप से गिरता है। विरोधाभास को सर्वप्रथम रसेल ने गणित के सिद्धांत (1903) में प्रकाशित किया था और वहां इसकी विस्तृत चर्चा की गई है...।[9] रसेल, छह साल की असत्य प्रारंभ के पश्चात, अंततः अपने 1908 के प्रकारों के सिद्धांत के साथ रिड्यूसिबिलिटी के सिद्धांत को प्रतिपादित करके स्थिति का उत्तर देते है। इसका अर्थ यह है कि कोई भी फलन उसके साथ व्यापक होता है जिसे वह विधेय फलन कहता है: एक फलन जिसमें स्पष्ट वेरिएबल के प्रकार तर्कों के प्रकारों से अधिक नहीं चलते हैं।[10] किंतु इस सिद्धांत को हर तरफ से विरोध का सामना करना पड़ा था।

अपरिभाषित रूप से परिभाषित गणितीय वस्तुओं की अस्वीकृति (प्राकृतिक संख्याओं को मौलिक रूप से समझे जाने वाले रूप में स्वीकार करते हुए) गणित के दर्शन में उस स्थिति की ओर ले जाती है जिसे विधेयवाद के रूप में जाना जाता है, जिसकी वकालत हेनरी पोंकारे और हरमन वेइल ने अपने दास कॉन्टिनम में की थी। पोंकारे और वेइल ने तर्क दिया कि अव्यावहारिक परिभाषाएँ केवल तभी समस्याग्रस्त होती हैं जब एक या अधिक अंतर्निहित समुच्चय अनंत होते हैं।

अर्नेस्ट ज़र्मेलो ने अपने 1908 में सुव्यवस्थित होने की संभावना का एक नया प्रमाण दिया एक संपूर्ण अनुभाग प्रस्तुत करता है b गैर-विधेयात्मक परिभाषा के संबंध में आपत्ति जहां उन्होंने पोंकारे के विरुद्ध तर्क दिया (1906, पृष्ठ 307) [जो बताता है कि] एक परिभाषा 'विधेयात्मक' है और तार्किक रूप से तभी स्वीकार्य है जब इसमें उन सभी वस्तुओं को सम्मिलित नहीं किया गया है जो परिभाषित धारणा पर निर्भर हैं, अथार्त, जो इसमें सम्मिलित हो सकती हैं किसी भी तरह से इसके द्वारा निर्धारित किया जाएगा.[11] वह अव्यावहारिक परिभाषाओं के दो उदाहरण देते हैं - (i) डेडेकाइंड श्रृंखला की धारणा और (ii) "विश्लेषण में जहां भी पूर्व से परिभाषित "पूर्ण" संख्या Z के अधिकतम या न्यूनतम का उपयोग आगे के अनुमानों के लिए किया जाता है। ऐसा होता है, उदाहरण के लिए, सुप्रसिद्ध कॉची प्रूफ़ में ऐसा होता है...।[12] वह अपने अनुभाग को निम्नलिखित अवलोकन के साथ समाप्त करता है: एक परिभाषा सही प्रकार से उन धारणाओं पर निर्भर हो सकती है जो परिभाषित किए जाने के समान हैं; वास्तव में, हर परिभाषा में परिभाषाएँ और परिभाषाएँ समान धारणाएँ हैं, और पोंकारे की मांग का सशक्त पालन सभी परिभाषा को, इसलिए पूर्ण विज्ञान को, असंभव बना देती है"।[13]

संख्याओं के पूर्व से परिभाषित पूर्ण समुच्चय के न्यूनतम और अधिकतम का ज़र्मेलो का उदाहरण क्लेन 1952:42-42 में फिर से दिखाई देता है जहां क्लेन अव्यवहारिक परिभाषाओं की अपनी चर्चा में कम से कम ऊपरी सीमा के उदाहरण का उपयोग करता है; क्लेन इस समस्या का समाधान नहीं करता है. अगले पैराग्राफों में उन्होंने अपने 1918 के दास कॉन्टिनम (द कॉन्टिनम) में वेइल के प्रयास पर चर्चा की जिसमें उन्होंने अव्यवहारिक परिभाषाओं को समाप्त करने की प्रयाश की और इस प्रमेय को बनाए रखने में उनकी विफलता कि एक इच्छित रिक्त समुच्चय M ऊपरी सीमा वाली वास्तविक संख्याओं में न्यूनतम ऊपरी सीमा होती है (सीएफ. वेइल 1919 भी)।[14]

रैमसे ने तर्क दिया कि "अनिवार्य" परिभाषाएँ हानिरहित हो सकती हैं: उदाहरण के लिए, "कमरे में अधिक लंबे व्यक्ति" की परिभाषा अव्यावहारिक है, क्योंकि यह उन वस्तु के समूह पर निर्भर करती है जिनका यह एक अवयव है, अर्थात् कमरे में सभी व्यक्तियों का समूह गणित के संबंध में, एक अपरिभाषित परिभाषा का एक उदाहरण एक समुच्चय में अधिक छोटी संख्या है, जिसे औपचारिक रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है: y = min(X) यदि और केवल यदि X के सभी अवयव x के लिए, y, xसे कम या उसके समान है, और y X में है।

बर्गेस (2005) फ़्रीज के तर्क, पीनो अंकगणित, दूसरे क्रम के अंकगणित और स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के संदर्भ में, कुछ सीमा तक विधेय और अव्यावहारिक सिद्धांतों पर चर्चा करता है।

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. Kleene 1952:42–43
  2. Solomon Feferman, "Predicativity" (2002)
  3. dates derived from Kleene 1952:42
  4. van Heijenoort's commentary before Burali-Forti's (1897) A question on transfinite numbers in van Heijenoort 1967:104; see also his commentary before Georg Cantor's (1899) Letter to Dedekind in van Heijenoort 1967:113
  5. Commentary by van Heijenoort before Bertrand Russell's Lettern to Frege in van Heijenoort 1967:124
  6. Gottlob Frege (1879) Begriffsschrift in van Heijenoort 1967:23
  7. Bertrand Russell's 1902 Letter to Frege in van Heijenoort 1967:124-125
  8. Gottlob Frege's (1902) Letter to Russell in van Hiejenoort 1967:127
  9. Van Heijenoort's commentary before Bertrand Russell's (1902) Letter to Frege 1967:124
  10. Willard V. Quine's commentary before Bertrand Russell's 1908 Mathematical logic as based on the theory of types
  11. van Heijenoort 1967:190
  12. van Heijenoort 1967:190–191
  13. van Heijenoort 1967:191
  14. Kleene 1952:43


संदर्भ

  • "Predicative and Impredicative Definitions". Internet Encyclopedia of Philosophy.
  • PlanetMath article on predicativism
  • John Burgess, 2005. Fixing Frege. Princeton Univ. Press.
  • Solomon Feferman, 2005, "Predicativity" in The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic. Oxford University Press: 590–624.
  • Russell, B. (1907), "On Some Difficulties in the Theory of Transfinite Numbers and Order Types", Proc. London Math. Soc., s2–4 (1): 29–53, doi:10.1112/plms/s2-4.1.29
  • Stephen C. Kleene 1952 (1971 edition), Introduction to Metamathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN 0-7204-2103-9. In particular cf. his §11 The Paradoxes (pp. 36–40) and §12 First inferences from the paradoxes IMPREDICATIVE DEFINITION (p. 42). He states that his 6 or so (famous) examples of paradoxes (antinomies) are all examples of impredicative definition, and says that Poincaré (1905–6, 1908) and Russell (1906, 1910) "enunciated the cause of the paradoxes to lie in these impredicative definitions" (p. 42), however, "parts of mathematics we want to retain, particularly analysis, also contain impredicative definitions." (ibid). Weyl in his 1918 ("Das Kontinuum") attempted to derive as much of analysis as was possible without the use of impredicative definitions, "but not the theorem that an arbitrary non-empty set M of real numbers having an upper bound has a least upper bound (CF. also Weyl 1919)" (p. 43).
  • Hans Reichenbach 1947, Elements of Symbolic Logic, Dover Publications, Inc., NY, ISBN 0-486-24004-5. Cf. his §40. The antinomies and the theory of types (pp. 218 — wherein he demonstrates how to create antinomies, including the definition of impredicable itself ("Is the definition of "impredicable" impredicable?"). He claims to show methods for eliminating the "paradoxes of syntax" ("logical paradoxes") — by use of the theory of types — and "the paradoxes of semantics" — by the use of metalanguage (his "theory of levels of language"). He attributes the suggestion of this notion to Russell and more concretely to Ramsey.
  • Jean van Heijenoort 1967, third printing 1976, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)