मूल परीक्षण: Difference between revisions

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गणित में, मूल परीक्षण एक अनंत श्रृंखला की [[अभिसरण श्रृंखला]] (एक [[अभिसरण परीक्षण]]) के लिए एक मानदंड है। यह मात्रा पर निर्भर करता है
गणित में, '''मूल परीक्षण''' अनंत श्रृंखला की [[अभिसरण श्रृंखला]] (एक [[अभिसरण परीक्षण]]) के लिए मानदंड है। इस प्रकार से यह मात्रा पर निर्भर करता है
:<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},</math>
:<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},</math>
कहाँ <math>a_n</math> श्रृंखला की शर्तें हैं, और बताती हैं कि यदि यह मात्रा एक से कम है तो श्रृंखला पूरी तरह से परिवर्तित हो जाती है, लेकिन यदि यह एक से अधिक है तो यह अलग हो जाती है। यह विद्युत शृंखला के संबंध में विशेष रूप से उपयोगी है।
जहाँ <math>a_n</math> श्रृंखला का नियम हैं, और यह दर्शाती हैं कि यदि यह मात्रा से कम है तो श्रृंखला पूर्ण रूप से परिवर्तित हो जाती है, किन्तु यदि एक से अधिक है तो यह भिन्न हो जाती है। यह घात शृंखला के संबंध में विशेष रूप से उपयोगी है।


== मूल परीक्षण स्पष्टीकरण ==
== मूल परीक्षण स्पष्टीकरण ==
[[File:Decision diagram for the root test.svg|thumb|जड़ परीक्षण के लिए निर्णय आरेख]]मूल परीक्षण सबसे पहले [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] द्वारा विकसित किया गया था जिन्होंने इसे अपनी पाठ्यपुस्तक कौर्स डी'एनालिसिस (1821) में प्रकाशित किया था।<ref>{{citation|title=The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass|first=Umberto|last=Bottazzini|publisher=Springer-Verlag|year=1986|isbn=978-0-387-96302-0|pages=[https://archive.org/details/highercalculushi0000bott/page/116 116–117]|url=https://archive.org/details/highercalculushi0000bott/page/116}}. Translated from the Italian by Warren Van Egmond.</ref> इस प्रकार, इसे कभी-कभी कॉची रूट परीक्षण या कॉची रेडिकल परीक्षण के रूप में जाना जाता है। एक श्रृंखला के लिए
[[File:Decision diagram for the root test.svg|thumb|मूल परीक्षण के लिए निर्णय आरेख]]इस प्रकार से मूल परीक्षण अधिक पूर्व [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] द्वारा विकसित किया गया था जिन्होंने इसे अपनी पाठ्यपुस्तक कौर्स डी'एनालिसिस (1821) में प्रकाशित किया था।<ref>{{citation|title=The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass|first=Umberto|last=Bottazzini|publisher=Springer-Verlag|year=1986|isbn=978-0-387-96302-0|pages=[https://archive.org/details/highercalculushi0000bott/page/116 116–117]|url=https://archive.org/details/highercalculushi0000bott/page/116}}. Translated from the Italian by Warren Van Egmond.</ref> इस प्रकार, इसे कभी-कभी कॉची मूल परीक्षण या कॉची मौलिक परीक्षण के रूप में जाना जाता है। अतः श्रृंखला के लिए जहाँ:


:<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>
रूट परीक्षण संख्या का उपयोग करता है
मूल परीक्षण संख्या का उपयोग करता है


:<math>C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},</math>
:<math>C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},</math>
जहां लिम सुपर, संभवतः +∞ से बेहतर सीमा को दर्शाता है। ध्यान दें कि यदि
जहां लिम सुपर, संभवतः +∞ से उत्तम सीमा को दर्शाता है। ध्यान दें कि यदि


:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},</math>
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},</math>
अभिसरण होता है तो यह C के बराबर होता है और इसके बजाय रूट परीक्षण में इसका उपयोग किया जा सकता है।
इस प्रकार से अभिसरण होता है तो यह C के समान होता है और इसके अतिरिक्त मूल परीक्षण में इसका उपयोग किया जा सकता है।


मूल परीक्षण बताता है कि:
अतः मूल परीक्षण यह दर्शाता है कि:
* यदि C <1 है तो श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसरित होती है,
* यदि C <1 है तो श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसरित होती है,
* यदि C > 1 है तो श्रृंखला [[अपसारी श्रृंखला]],
* यदि C > 1 है तो [[अपसारी श्रृंखला|श्रृंखला विचलन]] करती है,
* यदि C = 1 है और सीमा ऊपर से सख्ती से पहुंचती है तो श्रृंखला अलग हो जाती है,
* यदि C = 1 है और सीमा ऊपर से दृढ़ता से पहुंचती है तो श्रृंखला भिन्न हो जाती है,
* अन्यथा परीक्षण अनिर्णीत है (श्रृंखला अलग हो सकती है, पूर्ण रूप से परिवर्तित हो सकती है या सशर्त रूप से परिवर्तित हो सकती है)।
* अन्यथा परीक्षण अनिर्णीत है (श्रृंखला भिन्न हो सकती है, पूर्ण रूप से परिवर्तित हो सकती है या सशर्त रूप से परिवर्तित हो सकती है)।


कुछ श्रृंखलाएं हैं जिनके लिए C = 1 है और श्रृंखला अभिसरण करती है, उदाहरण के लिए <math>\textstyle \sum 1/{n^2}</math>, और कुछ अन्य भी हैं जिनके लिए C = 1 है और श्रृंखला अलग हो जाती है, उदाहरण के लिए <math>\textstyle\sum 1/n</math>.
इस प्रकार से कुछ श्रृंखलाएं हैं जिनके लिए C = 1 है और श्रृंखला अभिसरण करती है, उदाहरण के लिए <math>\textstyle \sum 1/{n^2}</math>, और कुछ अन्य भी हैं जिनके लिए C = 1 है और श्रृंखला भिन्न हो जाती है, उदाहरण के लिए <math>\textstyle\sum 1/n</math>.


==पावर श्रृंखला के लिए आवेदन==
==घात श्रृंखला के लिए आवेदन==


इस परीक्षण का उपयोग पावर श्रृंखला के साथ किया जा सकता है
इस परीक्षण का उपयोग घात श्रृंखला के साथ किया जा सकता है


:<math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-p)^n</math>
:<math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-p)^n</math>
जहां गुणांक सी<sub>''n''</sub>, और केंद्र p सम्मिश्र संख्याएँ हैं और तर्क z एक सम्मिश्र चर है।
जहां गुणांक ''c<sub>n</sub>'', और केंद्र ''p'' सम्मिश्र संख्याएँ हैं और तर्क ''z'' सम्मिश्र वेरिएबल है।  


फिर इस शृंखला की शर्तें a द्वारा दी जाएंगी<sub>''n''</sub> = सी<sub>''n''</sub>(जेड - पी)<sup>n</sup>. इसके बाद कोई रूट परीक्षण को ए पर लागू करता है<sub>''n''</sub> ऊपरोक्त अनुसार। ध्यान दें कि कभी-कभी इस तरह की श्रृंखला को p के चारों ओर एक शक्ति श्रृंखला कहा जाता है, क्योंकि [[अभिसरण की त्रिज्या]] सबसे बड़े अंतराल या p पर केंद्रित डिस्क की त्रिज्या R होती है, जिससे कि श्रृंखला आंतरिक रूप से सभी बिंदुओं z के लिए अभिसरण हो जाएगी (अभिसरण पर) अंतराल या डिस्क की सीमा को आम तौर पर अलग से जांचना पड़ता है)। ऐसी शक्ति श्रृंखला पर लागू मूल परीक्षण का एक [[परिणाम]] कॉची-हैडामर्ड प्रमेय है: अभिसरण की त्रिज्या बिल्कुल है <math>1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}},</math> इस बात का ध्यान रखें कि यदि हर 0 है तो हमारा वास्तव में मतलब ∞ है।
इस प्रकार से इस श्रृंखला का नियम तब ''a<sub>n</sub>'' = ''c<sub>n</sub>''(''z'' − ''p'')<sup>''n''</sup> द्वारा दी दर्शायी गयी है। इसके पश्चात् ऊपर दर्शाए गए मूल परीक्षण को ''a<sub>n</sub>'' पर प्रयुक्त किया जाता है। ध्यान दें कि कभी-कभी इस प्रकार की श्रृंखला को "''p'' के निकट" घात श्रृंखला कहा जाता है, क्योंकि [[अभिसरण की त्रिज्या]] अचिक उच्च अंतराल या ''p'' पर केंद्रित डिस्क की त्रिज्या ''R'' है, जैसे कि श्रृंखला दृढ़ता से आंतरिक रूप से सभी बिंदुओं z के लिए अभिसरण करेगी (अंतराल या डिस्क की सीमा पर अभिसरण को सामान्यतः अलग से जांचना पड़ता है)। अतः घात श्रृंखला पर प्रयुक्त मूल परीक्षण का एक [[परिणाम]] [[परिणाम|कॉची-हैडामर्ड]] प्रमेय है: अभिसरण की त्रिज्या मान लीजिए जहाँ <math>1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}},</math> है, इस तथ्य का ध्यान रखते हुए कि यदि हर 0 है तो हमारा वास्तव में कारण ∞ है।


== प्रमाण ==
== प्रमाण ==
एक श्रृंखला Σa के अभिसरण का प्रमाण<sub>''n''</sub> [[प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण]] का एक अनुप्रयोग है। यदि सभी n ≥ N (N कुछ निश्चित [[प्राकृतिक संख्या]]) के लिए हमारे पास है <math>\sqrt[n]{|a_n|} \le k < 1</math>, तब <math>|a_n| \le k^n < 1</math>. ज्यामितीय श्रृंखला के बाद से <math>\sum_{n=N}^\infty k^n</math> अभिसरण करता है इसलिए करता है <math>\sum_{n=N}^\infty |a_n|</math> तुलना परीक्षण द्वारा. इसलिए Σa<sub>''n''</sub> बिल्कुल एकाग्र हो जाता है।
श्रृंखला Σ''a<sub>n</sub>'' के अभिसरण का प्रमाण [[प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण]] का अनुप्रयोग है। यदि सभी ''n'' ''N'' (''N'' कुछ निश्चित [[प्राकृतिक संख्या]]) के लिए हमारे पास <math>\sqrt[n]{|a_n|} \le k < 1</math> है , तब <math>|a_n| \le k^n < 1</math>. क्योंकि ज्यामितीय श्रृंखला के पश्चात् से <math>\sum_{n=N}^\infty k^n                                                                                                                                                                               </math> अभिसरण करती है इसलिए ऐसा होता है  


अगर <math>\sqrt[n]{|a_n|} > 1</math> अपरिमित रूप से अनेक n के लिए, फिर a<sub>''n''</sub> 0 पर अभिसरण करने में विफल रहता है, इसलिए श्रृंखला अपसारी है।
तुलना परीक्षण द्वारा <math>\sum_{n=N}^\infty |a_n|                                                                                                                                                                             </math>. अतः Σa<sub>''n''</sub> पूर्णतः अभिसरित होता है।  


परिणाम का प्रमाण:
अपरिमित रूप से अनेक n के लिए <math>\sqrt[n]{|a_n|} > 1</math>, तब ''a<sub>n</sub>'' 0, पर अभिसरण करने में विफल रहता है, इसलिए श्रृंखला अपसारी है।
एक शक्ति श्रृंखला के लिए Σ''a''<sub>''n''</sub> = Σc<sub>''n''</sub>(जेड - पी)<sup>n</sup>, हम उपरोक्त से देखते हैं कि यदि कोई N मौजूद है तो श्रृंखला अभिसरण करती है जैसे कि सभी n ≥ N के लिए हमारे पास है
 
'''परिणाम का प्रमाण''':
 
परिणाम का प्रमाण: एक घात श्रृंखला Σ''a<sub>n</sub>'' = Σ''c<sub>n</sub>''(''z'' − ''p'')<sup>''n''</sup>, के लिए, हम ऊपर देखते हैं कि श्रृंखला अभिसरण करती है यदि कोई N उपस्तिथ है जैसे कि सभी n ≥ N के लिए हमारे पास है


:<math>\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{|c_n(z - p)^n|} < 1,</math>
:<math>\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{|c_n(z - p)^n|} < 1,</math>
के बराबर
के समतुल्य:


:<math>\sqrt[n]{|c_n|}\cdot|z - p| < 1</math>
:<math>\sqrt[n]{|c_n|}\cdot|z - p| < 1</math>  
सभी n ≥ N के लिए, जिसका अर्थ है कि श्रृंखला को अभिसरण करने के लिए हमारे पास होना चाहिए <math>|z - p| < 1/\sqrt[n]{|c_n|}</math> सभी पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए। ये कहने के बराबर है
सभी ''n ≥ N'' के लिए, जिसका अर्थ है कि श्रृंखला को अभिसरण करने के लिए हमारे पास सभी पर्याप्त उच्च n के लिए <math>|z - p| < 1/\sqrt[n]{|c_n|}</math> होना चाहिए। ये कहने के लिए समान्य है


:<math>|z - p| < 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}},</math>
:<math>|z - p| < 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}},</math>
इसलिए <math>R \le 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}}.</math> अब एकमात्र अन्य स्थान जहां अभिसरण संभव है वह है कब
इसलिए <math>R \le 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}}.</math> अब एकमात्र अन्य स्थान जहां अभिसरण संभव है वह है जब


:<math>\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{|c_n(z - p)^n|} = 1,</math>
:<math>\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{|c_n(z - p)^n|} = 1,</math>
(चूंकि बिंदु> 1 अलग हो जाएंगे) और इससे अभिसरण की त्रिज्या नहीं बदलेगी क्योंकि ये केवल अंतराल या डिस्क की सीमा पर स्थित बिंदु हैं, इसलिए
(चूंकि बिंदु> 1 भिन्न हो जाएंगे) और इससे अभिसरण की त्रिज्या परिवर्तित नहीं होगी, क्योंकि ये केवल अंतराल या डिस्क की सीमा पर स्थित बिंदु हैं, इसलिए


:<math>R = 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}}.</math>
:<math>R = 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}}.</math>


==उदाहरण==
==उदाहरण==


उदाहरण 1:
इस प्रकार से उदाहरण के लिए 1:
:<math> \sum_{i=1}^\infty \frac{2^i}{i^9} </math>
:<math> \sum_{i=1}^\infty \frac{2^i}{i^9} </math>
मूल परीक्षण लागू करना और उस तथ्य का उपयोग करना <math> \lim_{n \rightarrow \infty} n^{1/n}=1,</math>
मूल परीक्षण प्रयुक्त करना और उस तथ्य का उपयोग करना <math> \lim_{n \rightarrow \infty} n^{1/n}=1,</math>
::<math> C = \sqrt[n]{|\frac{2^n}{n^9}|}= \frac{ \sqrt[n]{2^n} } { \sqrt[n]{n^9} } = \frac{ 2 }  {(n^{1/n})^9 }  = 2 </math> तब से <math> C=2>1,</math> श्रृंखला अलग हो जाती है।<ref>{{cite book
::<math> C = \sqrt[n]{|\frac{2^n}{n^9}|}= \frac{ \sqrt[n]{2^n} } { \sqrt[n]{n^9} } = \frac{ 2 }  {(n^{1/n})^9 }  = 2 </math> तब से <math> C=2>1,</math> श्रृंखला भिन्न हो जाती है।<ref>{{cite book
  | first1= William |last1= Briggs|first2= Lyle|last2 = Cochrane
  | first1= William |last1= Briggs|first2= Lyle|last2 = Cochrane
  | title= Calculus: Early Transcendentals
  | title= Calculus: Early Transcendentals
Line 71: Line 73:
  | year=2011
  | year=2011
  }}  p. 571. </ref>
  }}  p. 571. </ref>
उदाहरण 2:
इस प्रकार उदाहरण 2:
:<math>1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125  + ...  </math>
:<math>1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125  + ...  </math>
मूल परीक्षण अभिसरण दर्शाता है क्योंकि
मूल परीक्षण अभिसरण दर्शाता है क्योंकि
:: <math>r=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|.5^n|}=.5<1.</math>
:: <math>r=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|.5^n|}=.5<1.</math>
यह उदाहरण दिखाता है कि मूल परीक्षण अनुपात परीक्षण से कैसे अधिक मजबूत है। इस श्रृंखला के लिए अनुपात परीक्षण अनिर्णायक है यदि <math>n</math> इसलिए अजीब है <math>a_n=a_{n+1} = .5^n</math> (हालांकि नहीं तो <math>n</math> सम है), क्योंकि
यह उदाहरण दिखाता है कि मूल परीक्षण अनुपात परीक्षण से कैसे अधिक शसक्त है। इस श्रृंखला के लिए अनुपात परीक्षण अनिर्णीत है यदि <math>n</math> विषम है तो <math>a_n=a_{n+1} = .5^n                                                                 </math> (चूंकि यदि <math>n</math> सम है तो नहीं), क्योंकि
:: <math>r=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{ 2  \cdot.5^{n}}{2 \cdot.5^{n}}\right| =1. </math>
:: <math>r=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{ 2  \cdot.5^{n}}{2 \cdot.5^{n}}\right| =1. </math>
== मूल परीक्षण पदानुक्रम ==


इस प्रकार से मूल परीक्षण पदानुक्रम<ref>{{cite journal|url=http://files.ele-math.com/articles/jca-19-09.pdf |last1=Abramov |first1=Vyacheslav M. |date=2022 |title=सकारात्मक श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त स्थितियाँ|journal=Journal of Classical Analysis |volume=19 |issue=2 |pages=117--125 |doi=10.7153/jca-2022-19-09 |arxiv=2104.01702 }}</ref><ref>{{cite journal|url=http://www.m-hikari.com/ijma/ijma-2012/ijma-37-40-2012/bourchteinIJMA37-40-2012.pdf |last1=Bourchtein |first1=Ludmila |last2=Bourchtein |first2=Andrei |last3=Nornberg |first3=Gabrielle |last4=Venzke |first4=Cristiane |date=2012 |title=कॉची परीक्षण से संबंधित अभिसरण परीक्षणों का एक पदानुक्रम|journal=International Journal of Mathematical Analysis |volume=6 |issue=37--40 |pages=1847--1869 }}</ref> अनुपात परीक्षण पदानुक्रम के समान ही बनाया गया है (अनुपात परीक्षण की धारा 4.1 और विशेष रूप से उपधारा 4.1.4 देखें)।


== रूट परीक्षण पदानुक्रम ==
धनात्मक पदों वाली श्रृंखला <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> के लिए हमारे पास अभिसरण/विचलन के लिए निम्नलिखित परीक्षण हैं।


रूट परीक्षण पदानुक्रम<ref>{{cite journal|url=http://files.ele-math.com/articles/jca-19-09.pdf |last1=Abramov |first1=Vyacheslav M. |date=2022 |title=सकारात्मक श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त स्थितियाँ|journal=Journal of Classical Analysis |volume=19 |issue=2 |pages=117--125 |doi=10.7153/jca-2022-19-09 |arxiv=2104.01702 }}</ref><ref>{{cite journal|url=http://www.m-hikari.com/ijma/ijma-2012/ijma-37-40-2012/bourchteinIJMA37-40-2012.pdf |last1=Bourchtein |first1=Ludmila |last2=Bourchtein |first2=Andrei |last3=Nornberg |first3=Gabrielle |last4=Venzke |first4=Cristiane |date=2012 |title=कॉची परीक्षण से संबंधित अभिसरण परीक्षणों का एक पदानुक्रम|journal=International Journal of Mathematical Analysis |volume=6 |issue=37--40 |pages=1847--1869 }}</ref> अनुपात परीक्षण पदानुक्रम के समान ही बनाया गया है (अनुपात परीक्षण की धारा 4.1 और विशेष रूप से उपधारा 4.1.4 देखें)।
मान लीजिये <math>K\geq1</math> एक पूर्णांक है, और <math>\ln_{(K)}(x)</math> [[प्राकृतिक]] लघुगणक के <math>K</math>th पुनरावृत्त को निरूपित करता है, अर्थात <math>\ln_{(1)}(x)=\ln (x)</math> और <math>2\leq k\leq K</math>किसी के लिए,
 
एक श्रृंखला के लिए <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> सकारात्मक शर्तों के साथ हमारे पास अभिसरण/विचलन के लिए निम्नलिखित परीक्षण हैं।
 
होने देना <math>K\geq1</math> एक पूर्णांक हो, और चलो <math>\ln_{(K)}(x)</math> निरूपित करें <math>K</math>[[प्राकृतिक]] लघुगणक का वां पुनरावृत्ति, अर्थात <math>\ln_{(1)}(x)=\ln (x)</math> और किसी के लिए भी <math>2\leq k\leq K</math>,
  <math>\ln_{(k)}(x)=\ln_{(k-1)}(\ln (x))</math>.
  <math>\ln_{(k)}(x)=\ln_{(k-1)}(\ln (x))</math>.


लगता है कि <math>\sqrt[-n]{a_n}</math>, कब <math>n</math> बड़ा है, रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है
मान लीजिये कि <math>\sqrt[-n]{a_n}</math>, जहाँ <math>n</math> उच्च है, रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है


:<math>\sqrt[-n]{a_n}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}+\frac{\rho_n}{n\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}.</math>
:<math>\sqrt[-n]{a_n}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}+\frac{\rho_n}{n\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}.</math>
(रिक्त योग 0 माना गया है।)
(रिक्त योग 0 माना गया है।)  


* शृंखला अभिसरित होती है, यदि <math>\liminf_{n\to\infty}\rho_n>1</math>
*यदि <math>\liminf_{n\to\infty}\rho_n>1</math> हो तो श्रृंखला अभिसरित हो जाती है
*श्रृंखला अलग हो जाती है, यदि <math>\limsup_{n\to\infty}\rho_n<1</math>
*यदि <math>\limsup_{n\to\infty}\rho_n<1</math> हो तो श्रृंखला अलग हो जाती है,
* अन्यथा, परीक्षण अनिर्णायक है.
* अन्यथा, परीक्षण अनिर्णायक है.


== प्रमाण ==
== प्रमाण ==


तब से <math>\sqrt[-n]{a_n}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{n}\ln a_n}</math>, तो हमारे पास हैं
<math>\sqrt[-n]{a_n}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{n}\ln a_n}</math> के पश्चात से हमारे पास है:


:<math>\mathrm{e}^{-\frac{1}{n}\ln a_n}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}+\frac{\rho_n}{n\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}.</math>
:<math>\mathrm{e}^{-\frac{1}{n}\ln a_n}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}+\frac{\rho_n}{n\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}.</math>
Line 105: Line 105:


:<math> \ln a_n=-n\ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}+\frac{\rho_n}{n\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}\right).</math>
:<math> \ln a_n=-n\ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}+\frac{\rho_n}{n\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}\right).</math>
टेलर सीरीज से| टेलर के विस्तार को दाहिनी ओर लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:
इस प्रकार से दाहिनी ओर प्रयुक्त टेलर के विस्तार से, हम प्राप्त करते हैं:  


:<math> \ln a_n=-1-\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}-\frac{\rho_n}{\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}+O\left(\frac{1}{n}\right).</math>
:<math> \ln a_n=-1-\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}-\frac{\rho_n}{\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}+O\left(\frac{1}{n}\right).</math>
इस तरह,
इस प्रकार,


:<math>a_n=\begin{cases}\mathrm{e}^{-1+O(1/n)}\frac{1}{(n\prod_{k=1}^{K-2}\ln_{(k)}n)\ln^{\rho_n}_{(K-1)}n}, &K\geq2,\\
:<math>a_n=\begin{cases}\mathrm{e}^{-1+O(1/n)}\frac{1}{(n\prod_{k=1}^{K-2}\ln_{(k)}n)\ln^{\rho_n}_{(K-1)}n}, &K\geq2,\\
Line 114: Line 114:
\end{cases}
\end{cases}
</math>
</math>
(खाली उत्पाद 1 पर सेट है।)
(रिक्त उत्पाद 1 पर समुच्चय है।)


अंतिम परिणाम [[अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण]] से आता है।
अंतिम परिणाम [[अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण]] से आता है।
Line 120: Line 120:
==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
* अनुपात परीक्षण
* अनुपात परीक्षण
*अभिसारी श्रृंखला
*अभिसरण श्रृंखला


== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
Line 144: Line 144:
{{PlanetMath attribution|id=3934|title=Proof of Cauchy's root test}}
{{PlanetMath attribution|id=3934|title=Proof of Cauchy's root test}}
{{Calculus topics}}
{{Calculus topics}}
[[Category: ऑगस्टिन-लुई कॉची]] [[Category: अभिसरण परीक्षण]] [[Category: प्रमाण युक्त लेख]]
 


[[pl:Kryteria zbieżności szeregów#Kryterium Cauchy'ego]]
[[pl:Kryteria zbieżności szeregów#Kryterium Cauchy'ego]]


 
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Latest revision as of 13:03, 4 August 2023

गणित में, मूल परीक्षण अनंत श्रृंखला की अभिसरण श्रृंखला (एक अभिसरण परीक्षण) के लिए मानदंड है। इस प्रकार से यह मात्रा पर निर्भर करता है

जहाँ श्रृंखला का नियम हैं, और यह दर्शाती हैं कि यदि यह मात्रा से कम है तो श्रृंखला पूर्ण रूप से परिवर्तित हो जाती है, किन्तु यदि एक से अधिक है तो यह भिन्न हो जाती है। यह घात शृंखला के संबंध में विशेष रूप से उपयोगी है।

मूल परीक्षण स्पष्टीकरण

मूल परीक्षण के लिए निर्णय आरेख

इस प्रकार से मूल परीक्षण अधिक पूर्व ऑगस्टिन-लुई कॉची द्वारा विकसित किया गया था जिन्होंने इसे अपनी पाठ्यपुस्तक कौर्स डी'एनालिसिस (1821) में प्रकाशित किया था।[1] इस प्रकार, इसे कभी-कभी कॉची मूल परीक्षण या कॉची मौलिक परीक्षण के रूप में जाना जाता है। अतः श्रृंखला के लिए जहाँ:

मूल परीक्षण संख्या का उपयोग करता है

जहां लिम सुपर, संभवतः +∞ से उत्तम सीमा को दर्शाता है। ध्यान दें कि यदि

इस प्रकार से अभिसरण होता है तो यह C के समान होता है और इसके अतिरिक्त मूल परीक्षण में इसका उपयोग किया जा सकता है।

अतः मूल परीक्षण यह दर्शाता है कि:

  • यदि C <1 है तो श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसरित होती है,
  • यदि C > 1 है तो श्रृंखला विचलन करती है,
  • यदि C = 1 है और सीमा ऊपर से दृढ़ता से पहुंचती है तो श्रृंखला भिन्न हो जाती है,
  • अन्यथा परीक्षण अनिर्णीत है (श्रृंखला भिन्न हो सकती है, पूर्ण रूप से परिवर्तित हो सकती है या सशर्त रूप से परिवर्तित हो सकती है)।

इस प्रकार से कुछ श्रृंखलाएं हैं जिनके लिए C = 1 है और श्रृंखला अभिसरण करती है, उदाहरण के लिए , और कुछ अन्य भी हैं जिनके लिए C = 1 है और श्रृंखला भिन्न हो जाती है, उदाहरण के लिए .

घात श्रृंखला के लिए आवेदन

इस परीक्षण का उपयोग घात श्रृंखला के साथ किया जा सकता है

जहां गुणांक cn, और केंद्र p सम्मिश्र संख्याएँ हैं और तर्क z सम्मिश्र वेरिएबल है।

इस प्रकार से इस श्रृंखला का नियम तब an = cn(zp)n द्वारा दी दर्शायी गयी है। इसके पश्चात् ऊपर दर्शाए गए मूल परीक्षण को an पर प्रयुक्त किया जाता है। ध्यान दें कि कभी-कभी इस प्रकार की श्रृंखला को "p के निकट" घात श्रृंखला कहा जाता है, क्योंकि अभिसरण की त्रिज्या अचिक उच्च अंतराल या p पर केंद्रित डिस्क की त्रिज्या R है, जैसे कि श्रृंखला दृढ़ता से आंतरिक रूप से सभी बिंदुओं z के लिए अभिसरण करेगी (अंतराल या डिस्क की सीमा पर अभिसरण को सामान्यतः अलग से जांचना पड़ता है)। अतः घात श्रृंखला पर प्रयुक्त मूल परीक्षण का एक परिणाम कॉची-हैडामर्ड प्रमेय है: अभिसरण की त्रिज्या मान लीजिए जहाँ है, इस तथ्य का ध्यान रखते हुए कि यदि हर 0 है तो हमारा वास्तव में कारण ∞ है।

प्रमाण

श्रृंखला Σan के अभिसरण का प्रमाण प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण का अनुप्रयोग है। यदि सभी nN (N कुछ निश्चित प्राकृतिक संख्या) के लिए हमारे पास है , तब . क्योंकि ज्यामितीय श्रृंखला के पश्चात् से अभिसरण करती है इसलिए ऐसा होता है

तुलना परीक्षण द्वारा . अतः Σan पूर्णतः अभिसरित होता है।

अपरिमित रूप से अनेक n के लिए , तब an 0, पर अभिसरण करने में विफल रहता है, इसलिए श्रृंखला अपसारी है।

परिणाम का प्रमाण:

परिणाम का प्रमाण: एक घात श्रृंखला Σan = Σcn(zp)n, के लिए, हम ऊपर देखते हैं कि श्रृंखला अभिसरण करती है यदि कोई N उपस्तिथ है जैसे कि सभी n ≥ N के लिए हमारे पास है

के समतुल्य:

सभी n ≥ N के लिए, जिसका अर्थ है कि श्रृंखला को अभिसरण करने के लिए हमारे पास सभी पर्याप्त उच्च n के लिए होना चाहिए। ये कहने के लिए समान्य है

इसलिए अब एकमात्र अन्य स्थान जहां अभिसरण संभव है वह है जब

(चूंकि बिंदु> 1 भिन्न हो जाएंगे) और इससे अभिसरण की त्रिज्या परिवर्तित नहीं होगी, क्योंकि ये केवल अंतराल या डिस्क की सीमा पर स्थित बिंदु हैं, इसलिए

उदाहरण

इस प्रकार से उदाहरण के लिए 1:

मूल परीक्षण प्रयुक्त करना और उस तथ्य का उपयोग करना

तब से श्रृंखला भिन्न हो जाती है।[2]

इस प्रकार उदाहरण 2:

मूल परीक्षण अभिसरण दर्शाता है क्योंकि

यह उदाहरण दिखाता है कि मूल परीक्षण अनुपात परीक्षण से कैसे अधिक शसक्त है। इस श्रृंखला के लिए अनुपात परीक्षण अनिर्णीत है यदि विषम है तो (चूंकि यदि सम है तो नहीं), क्योंकि

मूल परीक्षण पदानुक्रम

इस प्रकार से मूल परीक्षण पदानुक्रम[3][4] अनुपात परीक्षण पदानुक्रम के समान ही बनाया गया है (अनुपात परीक्षण की धारा 4.1 और विशेष रूप से उपधारा 4.1.4 देखें)।

धनात्मक पदों वाली श्रृंखला के लिए हमारे पास अभिसरण/विचलन के लिए निम्नलिखित परीक्षण हैं।

मान लीजिये एक पूर्णांक है, और प्राकृतिक लघुगणक के th पुनरावृत्त को निरूपित करता है, अर्थात और किसी के लिए,

.

मान लीजिये कि , जहाँ उच्च है, रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है

(रिक्त योग 0 माना गया है।)

  • यदि हो तो श्रृंखला अभिसरित हो जाती है
  • यदि हो तो श्रृंखला अलग हो जाती है,
  • अन्यथा, परीक्षण अनिर्णायक है.

प्रमाण

के पश्चात से हमारे पास है:

इस से,

इस प्रकार से दाहिनी ओर प्रयुक्त टेलर के विस्तार से, हम प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार,

(रिक्त उत्पाद 1 पर समुच्चय है।)

अंतिम परिणाम अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण से आता है।

यह भी देखें

  • अनुपात परीक्षण
  • अभिसरण श्रृंखला

संदर्भ

  1. Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, pp. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0. Translated from the Italian by Warren Van Egmond.
  2. Briggs, William; Cochrane, Lyle (2011). Calculus: Early Transcendentals. Addison Wesley. p. 571.
  3. Abramov, Vyacheslav M. (2022). "सकारात्मक श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त स्थितियाँ" (PDF). Journal of Classical Analysis. 19 (2): 117--125. arXiv:2104.01702. doi:10.7153/jca-2022-19-09.
  4. Bourchtein, Ludmila; Bourchtein, Andrei; Nornberg, Gabrielle; Venzke, Cristiane (2012). "कॉची परीक्षण से संबंधित अभिसरण परीक्षणों का एक पदानुक्रम" (PDF). International Journal of Mathematical Analysis. 6 (37--40): 1847--1869.

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