बर्नौली विभेदक समीकरण: Difference between revisions

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गणित में, एक साधारण अवकल समीकरण को बर्नौली अवकल समीकरण कहा जाता है यदि वह इस प्रकार का हो
गणित में एक साधारण अवकल समीकरण को बर्नौली अवकल समीकरण कहा जाता है यदि वह इस प्रकार का हो


: <math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n,</math>
: <math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n,</math>
कहाँ <math>n</math> एक [[वास्तविक संख्या]] है. कुछ लेखक किसी भी वास्तविक की अनुमति देते हैं <math>n</math>,<ref name="Zill 10E"/><ref name="Stewart Calculus"/>जबकि दूसरों को इसकी आवश्यकता होती है <math>n</math> 0 या 1 न हो.<ref name="EOM"/><ref name="Teschl"/>इस समीकरण पर पहली बार 1695 में [[जैकब बर्नौली]] के काम में चर्चा की गई थी, जिनके नाम पर इसका नाम रखा गया है। हालाँकि, सबसे पहला समाधान [[गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिन्होंने उसी वर्ष अपना परिणाम प्रकाशित किया था और जिसकी विधि आज भी उपयोग की जाती है।<ref>{{cite journal |last=Parker |first=Adam E. |date=2013 |title=Who Solved the Bernoulli Differential Equation and How Did They Do It? |url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/2/Parker-CMJ-2014.pdf |format=PDF |journal=The College Mathematics Journal |volume=44 |number=2 |pages=89–97 |issn=2159-8118 |via=[[Mathematical Association of America]]}}</ref>
जहाँ <math>n</math> एक वास्तविक संख्या है। कुछ लेखक किसी भी वास्तविक n की अनुमति देते हैं,<ref name="Zill 10E"/><ref name="Stewart Calculus"/> जबकि अन्य चाहते हैं कि <math>n</math> 0 या 1 नही होता है।.<ref name="EOM"/><ref name="Teschl"/> इस समीकरण पर पहली बार 1695 में जैजब बर्नौली के कार्य में चर्चा की गई थी, जिनके नाम पर इसका नाम रखा गया है। चूँकि सबसे पहला समाधान गॉटफ्राइड लीबनिज़ द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिन्होंने उसी वर्ष अपना परिणाम प्रकाशित किया था और जिसकी विधि आज भी उपयोग की जाती है।<ref>{{cite journal |last=Parker |first=Adam E. |date=2013 |title=Who Solved the Bernoulli Differential Equation and How Did They Do It? |url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/2/Parker-CMJ-2014.pdf |format=PDF |journal=The College Mathematics Journal |volume=44 |number=2 |pages=89–97 |issn=2159-8118 |via=[[Mathematical Association of America]]}}</ref>
बर्नौली समीकरण विशेष हैं क्योंकि वे ज्ञात सटीक समाधानों के साथ गैर-रेखीय अंतर समीकरण हैं। बर्नौली समीकरण का एक उल्लेखनीय विशेष मामला [[लॉजिस्टिक अंतर समीकरण]] है।


बर्नौली समीकरण विशेष हैं क्योंकि वे ज्ञात स्पष्ट समाधानों के साथ गैर-रेखीय अंतर समीकरण हैं। बर्नौली समीकरण का एक उल्लेखनीय विशेष स्थिति [[लॉजिस्टिक अंतर समीकरण]] है।
==रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तन==
==रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तन==
कब <math> n = 0</math>, अवकल समीकरण रैखिक अवकल समीकरण है। कब <math>n = 1</math>, यह वियोज्य अवकल समीकरण है। इन मामलों में, उन रूपों के समीकरणों को हल करने के लिए मानक तकनीकों को लागू किया जा सकता है। के लिए <math>n \neq  0</math> और <math>n \neq  1</math>, प्रतिस्थापन <math>u  = y^{1-n} </math> किसी भी बर्नौली समीकरण को एक रैखिक अंतर समीकरण में कम कर देता है
जब <math> n = 0</math>, अवकल समीकरण रैखिक होता है। जब <math>n = 1</math>, यह वियोज्य है। इन स्थितियों में, उन रूपों के समीकरणों को हल करने के लिए मानक तकनीकों को प्रयुक्त किया जा सकता है। <math>n \neq  0</math> और <math>n \neq  1</math> के लिए, प्रतिस्थापन <math>u  = y^{1-n} </math> किसी भी बर्नौली समीकरण को एक रैखिक अंतर समीकरण में कम कर देता है
: <math>\frac{du}{dx} - (n-1)P(x)u = - (n-1)Q(x).</math>
: <math>\frac{du}{dx} - (n-1)P(x)u = - (n-1)Q(x).</math>
उदाहरण के लिए, मामले में <math>n = 2</math>, प्रतिस्थापन करना <math>u=y^{-1}</math> विभेदक समीकरण में <math> \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y=xy^2 </math> समीकरण उत्पन्न करता है <math>\frac{du}{dx} -\frac{1}{x}u=-x</math>, जो एक रैखिक अवकल समीकरण है।
उदाहरण के लिए, स्थितियों में <math>n = 2</math>, प्रतिस्थापन करना <math>u=y^{-1}</math> विभेदक समीकरण में <math> \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y=xy^2 </math> समीकरण उत्पन्न करता है <math>\frac{du}{dx} -\frac{1}{x}u=-x</math>, जो एक रैखिक अवकल समीकरण है


==समाधान==
==समाधान==
होने देना <math>x_0 \in (a, b)</math> और
माना <math>x_0 \in (a, b)</math> और
:<math>\left\{\begin{array}{ll}
:<math>\left\{\begin{array}{ll}
z: (a,b) \rightarrow (0, \infty)\ ,&\textrm{if}\ \alpha\in \mathbb{R}\setminus\{1,2\},\\
z: (a,b) \rightarrow (0, \infty)\ ,&\textrm{if}\ \alpha\in \mathbb{R}\setminus\{1,2\},\\
z: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}\setminus\{0\}\ ,&\textrm{if}\ \alpha = 2,\\\end{array}\right.</math>
z: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}\setminus\{0\}\ ,&\textrm{if}\ \alpha = 2,\\\end{array}\right.</math>
रैखिक अवकल समीकरण का समाधान बनें
रैखिक अवकल समीकरण का समाधान बनें है
:<math>z'(x)=(1-\alpha)P(x)z(x) + (1-\alpha)Q(x).</math>
:<math>z'(x)=(1-\alpha)P(x)z(x) + (1-\alpha)Q(x).</math>
फिर हमारे पास वह है <math>y(x) := [z(x)]^{\frac{1}{1-\alpha}}</math> का एक समाधान है
फिर हमारे पास <math>y(x) := [z(x)]^{\frac{1}{1-\alpha}}</math> का एक समाधान है
:<math>y'(x)= P(x)y(x) + Q(x)y^\alpha(x)\ ,\ y(x_0) = y_0 := [z(x_0)]^{\frac{1}{1-\alpha}}.</math>
:<math>y'(x)= P(x)y(x) + Q(x)y^\alpha(x)\ ,\ y(x_0) = y_0 := [z(x_0)]^{\frac{1}{1-\alpha}}.</math>
और ऐसे प्रत्येक विभेदक समीकरण के लिए, सभी के लिए <math>\alpha>0</math> अपने पास <math>y\equiv 0</math> के लिए समाधान के रूप में <math>y_0=0</math>.
और ऐसे प्रत्येक विभेदक समीकरण के लिए, सभी <math>\alpha>0</math> के लिए हमारे पास <math>y_0=0</math> के समाधान के रूप में <math>y_0=0</math> है।


==उदाहरण==
==उदाहरण==
बर्नौली समीकरण पर विचार करें
बर्नौली समीकरण पर विचार करें
:<math>y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2</math>
:<math>y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2</math>
(इस मामले में, अधिक विशेष रूप से एक रिकाटी समीकरण)।
(इस स्थितियों में, अधिक विशेष रूप से एक रिकाटी समीकरण)। स्थिर फलन <math>y=0</math> एक समाधान है। <math>y^2</math> से भाग देने पर परिणाम प्राप्त होते हैं
स्थिर कार्य <math>y=0</math> एक समाधान है.
द्वारा विभाजन <math>y^2</math> पैदावार
:<math>y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2</math>
:<math>y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2</math>
चर बदलने से समीकरण मिलते हैं
चर बदलने से समीकरण मिलते हैं
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जिसे एकीकृत कारक का उपयोग करके हल किया जा सकता है
जिसे एकीकृत कारक का उपयोग करके हल किया जा सकता है
:<math>M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}\,dx} = e^{2\ln x} = x^2.</math>
:<math>M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}\,dx} = e^{2\ln x} = x^2.</math>
से गुणा करना {{nowrap|<math>M(x)</math>,}}
{{nowrap|<math>M(x)</math>,}} से गुणा करना
:<math>u'x^2 + 2xu = x^4.</math>
:<math>u'x^2 + 2xu = x^4.</math>
बाईं ओर को व्युत्पन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है <math>ux^2</math> उत्पाद नियम को उलट कर. [[श्रृंखला नियम]] लागू करना और दोनों पक्षों को सापेक्ष रूप से एकीकृत करना <math>x</math> समीकरणों में परिणाम होता है
उत्पाद नियम को व्युत्पन्न कर बाईं ओर को <math>ux^2</math> के व्युत्पन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। श्रृंखला नियम को प्रयुक्त करने और <math>x</math> के संबंध में दोनों पक्षों को एकीकृत करने से समीकरण बनते हैं
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
\int \left(ux^2\right)' dx &= \int x^4\,dx \\
\int \left(ux^2\right)' dx &= \int x^4\,dx \\
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\frac{1}{y}x^2 &= \frac{1}{5}x^5 + C
\frac{1}{y}x^2 &= \frac{1}{5}x^5 + C
\end{align}</math>
\end{align}</math>
के लिए समाधान <math>y</math> है
<math>y</math> का समाधान है
:<math>y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}.</math>
:<math>y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}.</math>
== टिप्पणियाँ ==
== टिप्पणियाँ ==
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<ref name="Teschl">{{cite book |last=Teschl |first=Gerald |author-link=Gerald Teschl |date=2012 |title=Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems |url=https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ |location=[[Providence, Rhode Island]] |publisher=[[American Mathematical Society]] |series=[[Graduate Studies in Mathematics]] |issn=1065-7339 |eissn=2376-9203 |page=15 |section=1.4. Finding explicit solutions |section-url=https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ode.pdf#page=24 |isbn=978-0-8218-8328-0 |zbl=1263.34002 |language=en}}</ref>
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== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
* {{Citation | last1=Bernoulli | first1=Jacob | author1-link=Jacob Bernoulli | title=Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis | year=1695 | journal=[[Acta Eruditorum]]}}. Cited in {{harvtxt|Hairer|Nørsett|Wanner|1993}}.
* {{Citation | last1=Bernoulli | first1=Jacob | author1-link=Jacob Bernoulli | title=Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis | year=1695 | journal=[[Acta Eruditorum]]}}. Cited in {{harvtxt|Hairer|Nørsett|Wanner|1993}}.
* {{Citation | last1=Hairer | first1=Ernst | last2=Nørsett | first2=Syvert Paul | last3=Wanner | first3=Gerhard | title=Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-56670-0 | year=1993}}.
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== बाहरी संबंध ==
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Latest revision as of 13:12, 4 August 2023

गणित में एक साधारण अवकल समीकरण को बर्नौली अवकल समीकरण कहा जाता है यदि वह इस प्रकार का हो

जहाँ एक वास्तविक संख्या है। कुछ लेखक किसी भी वास्तविक n की अनुमति देते हैं,[1][2] जबकि अन्य चाहते हैं कि 0 या 1 नही होता है।.[3][4] इस समीकरण पर पहली बार 1695 में जैजब बर्नौली के कार्य में चर्चा की गई थी, जिनके नाम पर इसका नाम रखा गया है। चूँकि सबसे पहला समाधान गॉटफ्राइड लीबनिज़ द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिन्होंने उसी वर्ष अपना परिणाम प्रकाशित किया था और जिसकी विधि आज भी उपयोग की जाती है।[5]

बर्नौली समीकरण विशेष हैं क्योंकि वे ज्ञात स्पष्ट समाधानों के साथ गैर-रेखीय अंतर समीकरण हैं। बर्नौली समीकरण का एक उल्लेखनीय विशेष स्थिति लॉजिस्टिक अंतर समीकरण है।

रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तन

जब , अवकल समीकरण रैखिक होता है। जब , यह वियोज्य है। इन स्थितियों में, उन रूपों के समीकरणों को हल करने के लिए मानक तकनीकों को प्रयुक्त किया जा सकता है। और के लिए, प्रतिस्थापन किसी भी बर्नौली समीकरण को एक रैखिक अंतर समीकरण में कम कर देता है

उदाहरण के लिए, स्थितियों में , प्रतिस्थापन करना विभेदक समीकरण में समीकरण उत्पन्न करता है , जो एक रैखिक अवकल समीकरण है

समाधान

माना और

रैखिक अवकल समीकरण का समाधान बनें है

फिर हमारे पास का एक समाधान है

और ऐसे प्रत्येक विभेदक समीकरण के लिए, सभी के लिए हमारे पास के समाधान के रूप में है।

उदाहरण

बर्नौली समीकरण पर विचार करें

(इस स्थितियों में, अधिक विशेष रूप से एक रिकाटी समीकरण)। स्थिर फलन एक समाधान है। से भाग देने पर परिणाम प्राप्त होते हैं

चर बदलने से समीकरण मिलते हैं

जिसे एकीकृत कारक का उपयोग करके हल किया जा सकता है

, से गुणा करना

उत्पाद नियम को व्युत्पन्न कर बाईं ओर को के व्युत्पन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। श्रृंखला नियम को प्रयुक्त करने और के संबंध में दोनों पक्षों को एकीकृत करने से समीकरण बनते हैं

का समाधान है

टिप्पणियाँ

  1. Zill, Dennis G. (2013). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications (10th ed.). Boston, Massachusetts: Cengage Learning. p. 73. ISBN 9780357088364.
  2. Stewart, James (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Boston, Massachusetts: Cengage Learning. p. 625. ISBN 9781305482463.
  3. Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Bernoulli equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
  4. Teschl, Gerald (2012). "1.4. Finding explicit solutions" (PDF). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Graduate Studies in Mathematics (in English). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. p. 15. eISSN 2376-9203. ISBN 978-0-8218-8328-0. ISSN 1065-7339. Zbl 1263.34002.
  5. Parker, Adam E. (2013). "Who Solved the Bernoulli Differential Equation and How Did They Do It?" (PDF). The College Mathematics Journal. 44 (2): 89–97. ISSN 2159-8118 – via Mathematical Association of America.

संदर्भ

  • Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum. Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
  • Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0.

बाहरी संबंध