अभिसरण के तरीके: Difference between revisions
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गणित में, ऐसे कई अर्थ हैं जिनमें अनुक्रम या श्रृंखला को अभिसरण कहा जाता है। यह आलेख उन समुच्चयिंग्स में अभिसरण के विभिन्न प्रविधियों (इंद्रियों या प्रजातियों) का वर्णन करता है, जहां उन्हें परिभाषित किया गया है। अभिसरण के प्रविधियों की सूची के लिए, अभिसरण की प्रविधि (एनोटेटेड इंडेक्स) देखें: | गणित में, ऐसे कई अर्थ हैं जिनमें अनुक्रम या श्रृंखला को अभिसरण कहा जाता है। यह आलेख उन समुच्चयिंग्स में अभिसरण के विभिन्न प्रविधियों (इंद्रियों या प्रजातियों) का वर्णन करता है, जहां उन्हें परिभाषित किया गया है। अभिसरण के प्रविधियों की सूची के लिए, अभिसरण की प्रविधि (एनोटेटेड इंडेक्स) देखें: | ||
ध्यान दें कि निम्नलिखित वस्तुओं में से प्रत्येक अपने पूर्ववर्ती प्रकारों का विशेष विषय है: [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]], | ध्यान दें कि निम्नलिखित वस्तुओं में से प्रत्येक अपने पूर्ववर्ती प्रकारों का विशेष विषय है: [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]], टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टि , यूनिफ़ॉर्म समष्टि, टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह (टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह), [[सामान्यीकृत सदिश स्थान|सामान्यीकृत सदिश समष्टि]], [[ यूक्लिडियन स्थान | यूक्लिडियन समष्टि]] एवं वास्तविक समष्टि संख्याएँ। साथ ही, ध्यान दें कि कोई भी [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समष्टि]] [[समान स्थान|समान समष्टि]] है। | ||
==टोपोलॉजिकल | ==टोपोलॉजिकल समष्टि के तत्व== | ||
अभिसरण को प्रथम-गणनीय | अभिसरण को प्रथम-गणनीय समष्टिों में [[अनुक्रम की सीमा]] के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। [[नेट (गणित)]] अनुक्रमों का सामान्यीकरण है, जो उन समष्टिों में उपयोगी होते हैं जो पूर्व गणनीय नहीं होते हैं। [[फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)|फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत)]] अभिसरण की अवधारणा को एवं सामान्यीकृत करता है। | ||
मीट्रिक रिक्त | मीट्रिक रिक्त समष्टि में, कोई [[कॉची अनुक्रम|कॉची अनुक्रमों]] को परिभाषित कर सकता है। कॉची नेट एवं फिल्टर [[एकसमान स्थान|समान समष्टिों]] के लिए सामान्यीकरण हैं। इससे भी अधिक सामान्यतः, कॉची रिक्त समष्टि वे समष्टि हैं जिनमें कॉची फ़िल्टर को परिभाषित किया जा सकता है। अभिसरण का अर्थ है, "कौची-अभिसरण" एवं कॉची-अभिसरण, एक अभिसरण अनुवर्ती के अस्तित्व के साथ मिलकर अभिसरण को प्रदर्शित करता है। मीट्रिक रिक्त समष्टि के [[पूर्ण मीट्रिक स्थान|पूर्ण मीट्रिक समष्टि]] की अवधारणा एवं इसके सामान्यीकरण को कॉची अनुक्रमों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। | ||
==टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह में तत्वों की श्रृंखला== | ==टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह में तत्वों की श्रृंखला== | ||
टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह में, [[श्रृंखला (गणित)]] के अभिसरण को आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है। श्रृंखला पर विचार करते समय महत्वपूर्ण अवधारणा [[बिना शर्त अभिसरण|बिना नियम अभिसरण]] है, जो आश्वासन देता है, कि श्रृंखला की सीमा सारांश के क्रमपरिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है। | टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह में, [[श्रृंखला (गणित)]] के अभिसरण को आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है। श्रृंखला पर विचार करते समय महत्वपूर्ण अवधारणा [[बिना शर्त अभिसरण|बिना नियम अभिसरण]] है, जो आश्वासन देता है, कि श्रृंखला की सीमा सारांश के क्रमपरिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है। | ||
मानक सदिश | मानक सदिश समष्टि में, कोई [[पूर्ण अभिसरण]] को मानदंडों की श्रृंखला के अभिसरण के रूप में परिभाषित कर सकता है, (<math>\Sigma|b_k|</math>) निरपेक्ष अभिसरण का अर्थ है .आंशिक योगों के अनुक्रम का कॉची अभिसरण (त्रिभुज असमानता द्वारा), जो परिवर्तन में कुछ समूहों के पूर्ण-अभिसरण (पुनर्क्रमण नहीं) को प्रदर्शित करता है। समूहीकरण द्वारा प्राप्त आंशिक योगों का क्रम मूल श्रृंखला के आंशिक योगों का अनुवर्ती है। अभिसरण श्रृंखला का मानक अभिसरण मानक रैखिक समष्टि के लिए बानाच समष्टि (अर्थात: पूर्ण) होने के लिए समतुल्य स्थिति है। | ||
पूर्ण अभिसरण एवं अभिसरण साथ बिना नियम अभिसरण का अर्थ है, किन्तु बिना नियम अभिसरण सामान्य रूप से पूर्ण अभिसरण का अर्थ नहीं है, संभवता ही | पूर्ण अभिसरण एवं अभिसरण साथ बिना नियम अभिसरण का अर्थ है, किन्तु बिना नियम अभिसरण सामान्य रूप से पूर्ण अभिसरण का अर्थ नहीं है, संभवता ही समष्टि बनच हो, चूंकि निहितार्थ में <math>\mathbb{R}^d</math> निहित है। | ||
==टोपोलॉजिकल | ==टोपोलॉजिकल समष्टि पर कार्यों के अनुक्रम का अभिसरण== | ||
कार्यों के अनुक्रम के लिए अभिसरण का सबसे मूल प्रकार (विशेष रूप से, यह कार्यों के क्षेत्र पर किसी भी टोपोलॉजिकल संरचना को नहीं मानता है) [[बिंदुवार अभिसरण]] है। इसे प्रत्येक बिंदु पर कार्यों के मूल्यों के अनुक्रम के अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि फलन अपने मानों को समान | कार्यों के अनुक्रम के लिए अभिसरण का सबसे मूल प्रकार (विशेष रूप से, यह कार्यों के क्षेत्र पर किसी भी टोपोलॉजिकल संरचना को नहीं मानता है) [[बिंदुवार अभिसरण]] है। इसे प्रत्येक बिंदु पर कार्यों के मूल्यों के अनुक्रम के अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि फलन अपने मानों को समान समष्टि में लेते हैं, तो कोई बिंदुवार कॉची अभिसरण, समान अभिसरण एवं अनुक्रम के [[समान रूप से कॉची अनुक्रम]] को परिभाषित कर सकता है। | ||
बिंदुवार अभिसरण का तात्पर्य बिंदुवार कॉची-अभिसरण से है, एवं यदि वह | बिंदुवार अभिसरण का तात्पर्य बिंदुवार कॉची-अभिसरण से है, एवं यदि वह समष्टि जिसमें फलन अपना मान लेते हैं, पूर्ण हो जाता है, तो इसका विपरीत माना जाता है। [[एकसमान अभिसरण|समान अभिसरण]] का तात्पर्य बिंदुवार अभिसरण एवं समान कॉची अभिसरण से है। समान कॉची अभिसरण एवं अनुवर्ती का बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम का समान अभिसरण प्रदर्शित करता है, एवं यदि कोडोमेन पूर्ण हो गया है, तो समान कॉची अभिसरण समान अभिसरण प्रदर्शित करता है। | ||
यदि कार्यों का डोमेन टोपोलॉजिकल | यदि कार्यों का डोमेन टोपोलॉजिकल समष्टि है, तो समष्टि समान अभिसरण (अर्थात् प्रत्येक बिंदु के निकटतम पर समान अभिसरण) एवं कॉम्पैक्ट अभिसरण सभी कॉम्पैक्ट [[सघन उपसमुच्चय|उपसमुच्चय]] पर समान अभिसरण) को परिभाषित किया जा सकता है। ध्यान दें कि [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट|कॉम्पैक्ट अभिसरण]] सदैव "कॉम्पैक्ट यूनिफ़ॉर्म अभिसरण" का संक्षिप्त रूप है, क्योंकि कॉम्पैक्ट बिंदुवार अभिसरण का तात्पर्य बिंदुवार अभिसरण के समान ही होगा (बिंदु सदैव कॉम्पैक्ट होते हैं)। | ||
समान अभिसरण का तात्पर्य | समान अभिसरण का तात्पर्य समष्टि समान अभिसरण एवं कॉम्पैक्ट अभिसरण दोनों से है, क्योंकि दोनों समष्टि धारणाएँ हैं, जबकि समान अभिसरण वैश्विक है। सामान्यतः, ऐसा इसलिए है क्योंकि समष्टिीय एवं कॉम्पैक्ट समान वस्तु को प्रदर्शित करते हैं। | ||
==टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह पर कार्यों की श्रृंखला== | ==टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह पर कार्यों की श्रृंखला== | ||
कार्यों की श्रृंखला के बिंदुवार एवं समान अभिसरण को आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। | कार्यों की श्रृंखला के बिंदुवार एवं समान अभिसरण को आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। | ||
मानक रैखिक | मानक रैखिक समष्टि में मान लेने वाले कार्यों के लिए, पूर्ण अभिसरण सकारात्मक, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों <math>\Sigma|g_k|</math> की श्रृंखला के अभिसरण को संदर्भित करता है। बिंदुवार निरपेक्ष अभिसरण तो बस बिंदुवार अभिसरण <math>\Sigma|g_k|</math> है। | ||
[[सामान्य अभिसरण]] अन्य-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं की श्रृंखला का अभिसरण है जो श्रृंखला (समान अभिसरण <math>\Sigma|g_k|</math>) में प्रत्येक फलन के समान मानदंड (अर्थात् सुपर) मानदंड को लेकर प्राप्त किया जाता है। बानाच | [[सामान्य अभिसरण]] अन्य-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं की श्रृंखला का अभिसरण है जो श्रृंखला (समान अभिसरण <math>\Sigma|g_k|</math>) में प्रत्येक फलन के समान मानदंड (अर्थात् सुपर) मानदंड को लेकर प्राप्त किया जाता है। बानाच समष्टिों में, बिंदुवार पूर्ण अभिसरण का अर्थ बिंदुवार अभिसरण है, एवं सामान्य अभिसरण का अर्थ समान अभिसरण है। | ||
टोपोलॉजिकल | टोपोलॉजिकल समष्टि पर परिभाषित कार्यों के लिए, कोई श्रृंखला के आंशिक योग के संदर्भ में (ऊपर के अनुसार) स्थानीय समान अभिसरण एवं कॉम्पैक्ट (समान) अभिसरण को परिभाषित कर सकता है। यदि, इसके अतिरिक्त फलन मानक रैखिक समष्टि में मान लेते हैं, तो समष्टिीय सामान्य अभिसरण (समष्टिीय, वर्दी, पूर्ण अभिसरण) एवं कॉम्पैक्ट सामान्य अभिसरण ([[कॉम्पैक्ट सेट|कॉम्पैक्ट समुच्चय]] पर पूर्ण अभिसरण) को परिभाषित किया जा सकता है। | ||
सामान्य अभिसरण का तात्पर्य | सामान्य अभिसरण का तात्पर्य समष्टिीय सामान्य अभिसरण एवं सघन सामान्य अभिसरण दोनों से है। एवं यदि डोमेन समष्टिीय रूप से कॉम्पैक्ट है (सबसे शक्तिहीन अर्थ में भी), तो समष्टिीय सामान्य अभिसरण का तात्पर्य कॉम्पैक्ट सामान्य अभिसरण से है। | ||
==माप | ==माप समष्टि पर परिभाषित कार्य== | ||
{{Main|यादृच्छिक चर का अभिसरण}} | {{Main|यादृच्छिक चर का अभिसरण}} | ||
यदि कोई [[मापने योग्य कार्य|मापने योग्य कार्यों]] के अनुक्रम पर विचार करता है, तो अभिसरण के कई उपाय उत्पन्न होते हैं, जो केवल टोपोलॉजिकल गुणों के अतिरिक्त माप-सैद्धांतिक पर निर्भर करते हैं। इसमें लगभग प्रत्येक स्थान बिंदुवार अभिसरण, p-माध्य में अभिसरण एवं माप में अभिसरण सम्मिलित है। ये संभाव्यता सिद्धांत में विशेष रुचि रखते हैं। | यदि कोई [[मापने योग्य कार्य|मापने योग्य कार्यों]] के अनुक्रम पर विचार करता है, तो अभिसरण के कई उपाय उत्पन्न होते हैं, जो केवल टोपोलॉजिकल गुणों के अतिरिक्त माप-सैद्धांतिक पर निर्भर करते हैं। इसमें लगभग प्रत्येक स्थान बिंदुवार अभिसरण, p-माध्य में अभिसरण एवं माप में अभिसरण सम्मिलित है। ये संभाव्यता सिद्धांत में विशेष रुचि रखते हैं। | ||
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Latest revision as of 17:27, 8 August 2023
गणित में, ऐसे कई अर्थ हैं जिनमें अनुक्रम या श्रृंखला को अभिसरण कहा जाता है। यह आलेख उन समुच्चयिंग्स में अभिसरण के विभिन्न प्रविधियों (इंद्रियों या प्रजातियों) का वर्णन करता है, जहां उन्हें परिभाषित किया गया है। अभिसरण के प्रविधियों की सूची के लिए, अभिसरण की प्रविधि (एनोटेटेड इंडेक्स) देखें:
ध्यान दें कि निम्नलिखित वस्तुओं में से प्रत्येक अपने पूर्ववर्ती प्रकारों का विशेष विषय है: समुच्चय (गणित), टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टि , यूनिफ़ॉर्म समष्टि, टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह (टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह), सामान्यीकृत सदिश समष्टि, यूक्लिडियन समष्टि एवं वास्तविक समष्टि संख्याएँ। साथ ही, ध्यान दें कि कोई भी मीट्रिक समष्टि समान समष्टि है।
टोपोलॉजिकल समष्टि के तत्व
अभिसरण को प्रथम-गणनीय समष्टिों में अनुक्रम की सीमा के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। नेट (गणित) अनुक्रमों का सामान्यीकरण है, जो उन समष्टिों में उपयोगी होते हैं जो पूर्व गणनीय नहीं होते हैं। फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत) अभिसरण की अवधारणा को एवं सामान्यीकृत करता है।
मीट्रिक रिक्त समष्टि में, कोई कॉची अनुक्रमों को परिभाषित कर सकता है। कॉची नेट एवं फिल्टर समान समष्टिों के लिए सामान्यीकरण हैं। इससे भी अधिक सामान्यतः, कॉची रिक्त समष्टि वे समष्टि हैं जिनमें कॉची फ़िल्टर को परिभाषित किया जा सकता है। अभिसरण का अर्थ है, "कौची-अभिसरण" एवं कॉची-अभिसरण, एक अभिसरण अनुवर्ती के अस्तित्व के साथ मिलकर अभिसरण को प्रदर्शित करता है। मीट्रिक रिक्त समष्टि के पूर्ण मीट्रिक समष्टि की अवधारणा एवं इसके सामान्यीकरण को कॉची अनुक्रमों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।
टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह में तत्वों की श्रृंखला
टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह में, श्रृंखला (गणित) के अभिसरण को आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है। श्रृंखला पर विचार करते समय महत्वपूर्ण अवधारणा बिना नियम अभिसरण है, जो आश्वासन देता है, कि श्रृंखला की सीमा सारांश के क्रमपरिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है।
मानक सदिश समष्टि में, कोई पूर्ण अभिसरण को मानदंडों की श्रृंखला के अभिसरण के रूप में परिभाषित कर सकता है, () निरपेक्ष अभिसरण का अर्थ है .आंशिक योगों के अनुक्रम का कॉची अभिसरण (त्रिभुज असमानता द्वारा), जो परिवर्तन में कुछ समूहों के पूर्ण-अभिसरण (पुनर्क्रमण नहीं) को प्रदर्शित करता है। समूहीकरण द्वारा प्राप्त आंशिक योगों का क्रम मूल श्रृंखला के आंशिक योगों का अनुवर्ती है। अभिसरण श्रृंखला का मानक अभिसरण मानक रैखिक समष्टि के लिए बानाच समष्टि (अर्थात: पूर्ण) होने के लिए समतुल्य स्थिति है।
पूर्ण अभिसरण एवं अभिसरण साथ बिना नियम अभिसरण का अर्थ है, किन्तु बिना नियम अभिसरण सामान्य रूप से पूर्ण अभिसरण का अर्थ नहीं है, संभवता ही समष्टि बनच हो, चूंकि निहितार्थ में निहित है।
टोपोलॉजिकल समष्टि पर कार्यों के अनुक्रम का अभिसरण
कार्यों के अनुक्रम के लिए अभिसरण का सबसे मूल प्रकार (विशेष रूप से, यह कार्यों के क्षेत्र पर किसी भी टोपोलॉजिकल संरचना को नहीं मानता है) बिंदुवार अभिसरण है। इसे प्रत्येक बिंदु पर कार्यों के मूल्यों के अनुक्रम के अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि फलन अपने मानों को समान समष्टि में लेते हैं, तो कोई बिंदुवार कॉची अभिसरण, समान अभिसरण एवं अनुक्रम के समान रूप से कॉची अनुक्रम को परिभाषित कर सकता है।
बिंदुवार अभिसरण का तात्पर्य बिंदुवार कॉची-अभिसरण से है, एवं यदि वह समष्टि जिसमें फलन अपना मान लेते हैं, पूर्ण हो जाता है, तो इसका विपरीत माना जाता है। समान अभिसरण का तात्पर्य बिंदुवार अभिसरण एवं समान कॉची अभिसरण से है। समान कॉची अभिसरण एवं अनुवर्ती का बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम का समान अभिसरण प्रदर्शित करता है, एवं यदि कोडोमेन पूर्ण हो गया है, तो समान कॉची अभिसरण समान अभिसरण प्रदर्शित करता है।
यदि कार्यों का डोमेन टोपोलॉजिकल समष्टि है, तो समष्टि समान अभिसरण (अर्थात् प्रत्येक बिंदु के निकटतम पर समान अभिसरण) एवं कॉम्पैक्ट अभिसरण सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर समान अभिसरण) को परिभाषित किया जा सकता है। ध्यान दें कि कॉम्पैक्ट अभिसरण सदैव "कॉम्पैक्ट यूनिफ़ॉर्म अभिसरण" का संक्षिप्त रूप है, क्योंकि कॉम्पैक्ट बिंदुवार अभिसरण का तात्पर्य बिंदुवार अभिसरण के समान ही होगा (बिंदु सदैव कॉम्पैक्ट होते हैं)।
समान अभिसरण का तात्पर्य समष्टि समान अभिसरण एवं कॉम्पैक्ट अभिसरण दोनों से है, क्योंकि दोनों समष्टि धारणाएँ हैं, जबकि समान अभिसरण वैश्विक है। सामान्यतः, ऐसा इसलिए है क्योंकि समष्टिीय एवं कॉम्पैक्ट समान वस्तु को प्रदर्शित करते हैं।
टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह पर कार्यों की श्रृंखला
कार्यों की श्रृंखला के बिंदुवार एवं समान अभिसरण को आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।
मानक रैखिक समष्टि में मान लेने वाले कार्यों के लिए, पूर्ण अभिसरण सकारात्मक, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों की श्रृंखला के अभिसरण को संदर्भित करता है। बिंदुवार निरपेक्ष अभिसरण तो बस बिंदुवार अभिसरण है।
सामान्य अभिसरण अन्य-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं की श्रृंखला का अभिसरण है जो श्रृंखला (समान अभिसरण ) में प्रत्येक फलन के समान मानदंड (अर्थात् सुपर) मानदंड को लेकर प्राप्त किया जाता है। बानाच समष्टिों में, बिंदुवार पूर्ण अभिसरण का अर्थ बिंदुवार अभिसरण है, एवं सामान्य अभिसरण का अर्थ समान अभिसरण है।
टोपोलॉजिकल समष्टि पर परिभाषित कार्यों के लिए, कोई श्रृंखला के आंशिक योग के संदर्भ में (ऊपर के अनुसार) स्थानीय समान अभिसरण एवं कॉम्पैक्ट (समान) अभिसरण को परिभाषित कर सकता है। यदि, इसके अतिरिक्त फलन मानक रैखिक समष्टि में मान लेते हैं, तो समष्टिीय सामान्य अभिसरण (समष्टिीय, वर्दी, पूर्ण अभिसरण) एवं कॉम्पैक्ट सामान्य अभिसरण (कॉम्पैक्ट समुच्चय पर पूर्ण अभिसरण) को परिभाषित किया जा सकता है।
सामान्य अभिसरण का तात्पर्य समष्टिीय सामान्य अभिसरण एवं सघन सामान्य अभिसरण दोनों से है। एवं यदि डोमेन समष्टिीय रूप से कॉम्पैक्ट है (सबसे शक्तिहीन अर्थ में भी), तो समष्टिीय सामान्य अभिसरण का तात्पर्य कॉम्पैक्ट सामान्य अभिसरण से है।
माप समष्टि पर परिभाषित कार्य
यदि कोई मापने योग्य कार्यों के अनुक्रम पर विचार करता है, तो अभिसरण के कई उपाय उत्पन्न होते हैं, जो केवल टोपोलॉजिकल गुणों के अतिरिक्त माप-सैद्धांतिक पर निर्भर करते हैं। इसमें लगभग प्रत्येक स्थान बिंदुवार अभिसरण, p-माध्य में अभिसरण एवं माप में अभिसरण सम्मिलित है। ये संभाव्यता सिद्धांत में विशेष रुचि रखते हैं।
यह भी देखें
- यादृच्छिक चर का अभिसरण – Notions of probabilistic convergence, applied to estimation and asymptotic analysis
- टोपोलॉजी में फ़िल्टर
- अनुक्रम की सीमा – Value to which tends an infinite sequence
- अभिसरण की प्रविधि (एनोटेटेड सूचकांक)
- [[
नेट (गणित)| नेट (गणित)]] – A generalization of a sequence of points
श्रेणी:टोपोलॉजी अभिसरण (गणित)
