यादृच्छिक चर का अभिसरण

संभाव्यता सिद्धांत में, यादृच्छिक चरों के अभिसरण की कई अलग-अलग धारणाएँ मौजूद हैं। यादृच्छिक चर के अनुक्रमों के अनुक्रम की सीमा अनुक्रम यादृच्छिक चर की कुछ सीमा संभाव्यता सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, और सांख्यिकी और स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के लिए इसके अनुप्रयोग हैं। समान अवधारणाओं को अधिक सामान्य गणित में स्टोचैस्टिक अभिसरण के रूप में जाना जाता है और वे इस विचार को औपचारिक रूप देते हैं कि अनिवार्य रूप से यादृच्छिक या अप्रत्याशित घटनाओं के अनुक्रम से कभी-कभी एक ऐसे व्यवहार में व्यवस्थित होने की उम्मीद की जा सकती है जो अनिवार्य रूप से अपरिवर्तनीय है जब वस्तुओं को अनुक्रम में पर्याप्त रूप से अध्ययन किया जाता है। अभिसरण की विभिन्न संभावित धारणाएं इस बात से संबंधित हैं कि इस तरह के व्यवहार को कैसे चित्रित किया जा सकता है: दो आसानी से समझे जाने वाले व्यवहार हैं कि अनुक्रम अंततः एक स्थिर मान लेता है, और यह कि अनुक्रम में मान बदलते रहते हैं लेकिन एक अपरिवर्तनीय संभाव्यता वितरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

पृष्ठभूमि

स्टोचैस्टिक अभिसरण इस विचार को औपचारिक रूप देता है कि अनिवार्य रूप से यादृच्छिक या अप्रत्याशित घटनाओं का एक क्रम कभी-कभी एक पैटर्न में बसने की उम्मीद की जा सकती है। उदाहरण के लिए पैटर्न हो सकता है

• शास्त्रीय अर्थों में अनुक्रम की एक निश्चित मान तक सीमा, शायद स्वयं एक यादृच्छिक घटना से आ रही है
• परिणामों की एक बढ़ती हुई समानता जो विशुद्ध रूप से नियतात्मक कार्य उत्पन्न करेगी
• एक निश्चित परिणाम के प्रति बढ़ती प्राथमिकता
• एक निश्चित परिणाम से बहुत दूर भटकने के खिलाफ बढ़ती हुई घृणा
• कि अगले परिणाम का वर्णन करने वाला संभाव्यता वितरण एक निश्चित वितरण के समान तेजी से बढ़ सकता है

कुछ कम स्पष्ट, अधिक सैद्धांतिक पैटर्न हो सकते हैं

• कि किसी विशेष मान से परिणाम की दूरी के अपेक्षित मान की गणना करके बनाई गई श्रृंखला 0 में परिवर्तित हो सकती है
• कि अगली घटना का वर्णन करने वाले यादृच्छिक चर का प्रसरण छोटा और छोटा होता जाता है।

ये अन्य प्रकार के पैटर्न जो उत्पन्न हो सकते हैं, विभिन्न प्रकार के स्टोचैस्टिक अभिसरण में परिलक्षित होते हैं जिनका अध्ययन किया गया है।

जबकि उपरोक्त चर्चा एक श्रृंखला के अभिसरण से एक सीमित मूल्य से संबंधित है, एक दूसरे की ओर दो श्रृंखलाओं के अभिसरण की धारणा भी महत्वपूर्ण है, लेकिन इसे आसानी से अंतर या अनुपात के रूप में परिभाषित अनुक्रम का अध्ययन करके नियंत्रित किया जाता है। दो श्रृंखलाओं में से।

उदाहरण के लिए, यदि n स्वतंत्रता का औसत (संभाव्यता सिद्धांत) यादृच्छिक चर Y_i, i = 1, ..., n, सभी का एक ही परिमित माध्य और प्रसरण है, द्वारा दिया जाता है

$X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}\,,$

फिर जैसे n अनंत की ओर जाता है, X_n यादृच्छिक चर Y के सामान्य माध्य, μ, की प्रायिकता (नीचे देखें) में अभिसरण करता है_i. इस परिणाम को बड़ी संख्या के कमजोर कानून के रूप में जाना जाता है। केंद्रीय सीमा प्रमेय सहित अन्य उपयोगी प्रमेयों में अभिसरण के अन्य रूप महत्वपूर्ण हैं।

निम्नलिखित के दौरान, हम मानते हैं कि (X_n) यादृच्छिक चर का एक क्रम है, और X एक यादृच्छिक चर है, और उन सभी को एक ही प्रायिकता स्थान पर परिभाषित किया गया है $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )$.

वितरण में अभिसरण

Examples of convergence in distribution

Dice factory
Suppose a new dice factory has just been built. The first few dice come out quite biased, due to imperfections in the production process. The outcome from tossing any of them will follow a distribution markedly different from the desired uniform distribution. As the factory is improved, the dice become less and less loaded, and the outcomes from tossing a newly produced die will follow the uniform distribution more and more closely.
Tossing coins
Let Xn be the fraction of heads after tossing up an unbiased coin n times. Then X1 has the Bernoulli distribution with expected value μ = 0.5 and variance σ2 = 0.25. The subsequent random variables X2, X3, ... will all be distributed binomially. As n grows larger, this distribution will gradually start to take shape more and more similar to the bell curve of the normal distribution. If we shift and rescale Xn appropriately, then $\scriptstyle Z_{n}={\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}(X_{n}-\mu )$ मानक सामान्य के वितरण में परिवर्तित हो जाएगा, परिणाम जो प्रसिद्ध केंद्रीय सीमा प्रमेय से आता है।

अभिसरण के इस तरीके के साथ, हम तेजी से उम्मीद करते हैं कि यादृच्छिक प्रयोगों के क्रम में अगला परिणाम एक दिए गए संभाव्यता वितरण द्वारा बेहतर और बेहतर मॉडल बन जाएगा।

वितरण में अभिसरण आम तौर पर चर्चित अभिसरण का सबसे कमजोर रूप है, क्योंकि यह इस लेख में वर्णित अन्य सभी प्रकार के अभिसरण से निहित है। हालाँकि, वितरण में अभिसरण व्यवहार में बहुत बार उपयोग किया जाता है; बहुधा यह केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुप्रयोग से उत्पन्न होता है।

परिभाषा

एक क्रम $X_{1},X_{2},\ldots$ संचयी वितरण कार्यों के साथ वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर $F_{1},F_{2},\ldots$, कहा जाता है कि वितरण में अभिसरण, या कमजोर रूप से अभिसरण, या कानून में एक यादृच्छिक चर में अभिसरण X संचयी वितरण समारोह के साथ F यदि

$\lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x),$

हर नंबर के लिए $x\in \mathbb {R}$ जिस पर F निरंतर कार्य है।

आवश्यकता है कि केवल की निरंतरता अंक F आवश्यक माना जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, अगर X_n वितरित किए जाते हैं अंतराल पर समान वितरण (निरंतर)। (0, 1/n), तो यह अनुक्रम वितरण में पतित वितरण यादृच्छिक चर में परिवर्तित हो जाता है X = 0. वास्तव में, F_n(x) = 0 अस्तित्वगत परिमाणीकरण n जब x ≤ 0, और F_n(x) = 1 सबके लिए x ≥ 1/n कब n > 0. हालाँकि, इस सीमित यादृच्छिक चर के लिए F(0) = 1, यद्यपि F_n(0) = 0 सबके लिए n. इस प्रकार cdfs का अभिसरण बिंदु पर विफल हो जाता है x = 0 कहां F असंतत है।

वितरण में अभिसरण को इस रूप में निरूपित किया जा सकता है

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \begin{align}in 1:16"): {\displaystyle \begin{align} {} \\ & X_n \ \xrightarrow{d}\ X,\ \ X_n \ \xrightarrow{\mathcal{D}}\ एक्स,\ \ X_n \ \xrightarrow{\mathcal{L}}\ X,\ \ X_n \ \xrightarrow{d}\ \mathcal{L} _X, \\ & X_n \rightsquigarrow X,\ \ X_n \Rightarrow X,\ \ \mathcal{L}(X_n)\to\mathcal{L}(X),\\ \\ \end{संरेखित करें}}

(1)

कहां $\scriptstyle {\mathcal {L}}_{X}$ का नियम (संभाव्यता वितरण) है X. उदाहरण के लिए, अगर X मानक सामान्य है हम लिख सकते हैं <गणित शैली = ऊंचाई: 1.5em; स्थिति: सापेक्ष; शीर्ष: - 3em> X_n \, \ xrightarrow {d} \, \ mathcal {N} (0, \, 1) >।

यादृच्छिक वैक्टर के लिए {X₁, X₂, ...} ⊂ R^k वितरण में अभिसरण इसी तरह परिभाषित किया गया है। हम कहते हैं कि यह क्रम वितरण में एक यादृच्छिक रूप से परिवर्तित होता है k-वेक्टर X यदि

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} (X_{n}\in A)=\operatorname {Pr} (X\in A)$

हरएक के लिए A ⊂ R^k जो एक निरंतरता सेट है X.

वितरण में अभिसरण की परिभाषा को यादृच्छिक सदिशों से अधिक सामान्य यादृच्छिक तत्वों तक मनमाना मीट्रिक रिक्त स्थान में और यहां तक ​​कि "यादृच्छिक चर" तक बढ़ाया जा सकता है जो मापने योग्य नहीं हैं - ऐसी स्थिति जो अनुभवजन्य प्रक्रियाओं के अध्ययन में उदाहरण के लिए होती है। यह "कानूनों को परिभाषित किए बिना कानूनों का कमजोर अभिसरण" है - विषम रूप से छोड़कर। इस मामले में कमजोर अभिसरण शब्द बेहतर है (उपायों का कमजोर अभिसरण देखें), और हम कहते हैं कि यादृच्छिक तत्वों का एक क्रम {X_n} कमजोर रूप से अभिसरण करता है X (इस रूप में घोषित किया गया X_n ⇒ X) यदि

$\operatorname {E} ^{*}h(X_{n})\to \operatorname {E} \,h(X)$

सभी निरंतर बंधे हुए कार्यों के लिए h. यहाँ E * बाहरी अपेक्षा को दर्शाता है, जो कि "सबसे छोटे औसत दर्जे के कार्य" की अपेक्षा है g वह हावी है h(X_n)”.

गुण

• तब से F(a) = Pr(X ≤ a), वितरण में अभिसरण का अर्थ है कि संभावना के लिए X_n किसी दी गई सीमा में होने की प्रायिकता के लगभग बराबर है कि का मान X उस सीमा में है, बशर्ते n काफी बड़ा है।
• सामान्य तौर पर, वितरण में अभिसरण का अर्थ यह नहीं है कि संबंधित संभाव्यता घनत्व कार्यों का क्रम भी अभिसरित होगा। एक उदाहरण के रूप में घनत्व के साथ यादृच्छिक चर पर विचार कर सकते हैं f_n(x) = (1 + cos(2πnx))1_(0,1). ये यादृच्छिक चर वितरण में एक समान यू (0, -1) में अभिसरण करते हैं, जबकि उनकी घनत्व बिल्कुल अभिसरण नहीं होती है।
  • हालांकि, शेफे के प्रमेय के अनुसार, संभाव्यता घनत्व कार्यों के अभिसरण का तात्पर्य वितरण में अभिसरण है।
• पोर्टमंट्यू लेम्मा वितरण में अभिसरण की कई समकक्ष परिभाषाएं प्रदान करता है। हालाँकि ये परिभाषाएँ कम सहज ज्ञान युक्त हैं, इनका उपयोग कई सांख्यिकीय प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। लेम्मा कहता है कि {X_n} वितरण में अभिसरण करता है X यदि और केवल यदि निम्न में से कोई भी कथन सत्य है:
  • $\Pr(X_{n}\leq x)\to \Pr(X\leq x)$ के सभी निरंतरता बिंदुओं के लिए $x\mapsto \Pr(X\leq x)$;
  • $\operatorname {E} f(X_{n})\to \operatorname {E} f(X)$ सभी बंधे हुए कार्यों के लिए, निरंतर कार्य $f$ (कहां $\operatorname {E}$ अपेक्षित मान ऑपरेटर को दर्शाता है);
  • $\operatorname {E} f(X_{n})\to \operatorname {E} f(X)$ सभी बंधे हुए, लिप्सचिट्ज़ कार्यों के लिए $f$;
  • $\lim \inf \operatorname {E} f(X_{n})\geq \operatorname {E} f(X)$ सभी गैर-नकारात्मक, निरंतर कार्यों के लिए $f$;
  • $\lim \inf \Pr(X_{n}\in G)\geq \Pr(X\in G)$ हर खुले सेट के लिए $G$;
  • $\lim \sup \Pr(X_{n}\in F)\leq \Pr(X\in F)$ हर बंद सेट के लिए $F$;
  • $\Pr(X_{n}\in B)\to \Pr(X\in B)$ सभी निरंतरता सेट के लिए $B$ यादृच्छिक चर का $X$;
  • $\limsup \operatorname {E} f(X_{n})\leq \operatorname {E} f(X)$ प्रत्येक ऊपरी अर्ध-निरंतर कार्य के लिए $f$ ऊपर घिरा हुआ;
  • $\liminf \operatorname {E} f(X_{n})\geq \operatorname {E} f(X)$ हर निचले अर्ध-निरंतर कार्य के लिए $f$ नीचे घिरा हुआ।
• सतत मानचित्रण प्रमेय कहता है कि एक सतत कार्य के लिए g, यदि अनुक्रम {X_n} वितरण में अभिसरण करता है X, तब {g(X_n)} वितरण में अभिसरण करता है g(X).
  • हालांकि ध्यान दें कि वितरण में अभिसरण {X_n} को X और {Y_n} को Y सामान्य रूप से के वितरण में अभिसरण नहीं दर्शाता है {X_n + Y_n} को X + Y या का {X_nY_n} को XY.
• लेवी की निरंतरता प्रमेय: अनुक्रम {X_n} वितरण में अभिसरण करता है X अगर और केवल अगर संबंधित विशेषता समारोह (संभावना सिद्धांत) का अनुक्रम {φ_n} विशेषता समारोह के लिए बिंदुवार अभिसरण φ का X.
• वितरण में अभिसरण लेवी-प्रोखोरोव मीट्रिक द्वारा मापनीय है।
• वितरण में अभिसरण की एक प्राकृतिक कड़ी स्कोरोखोड का प्रतिनिधित्व प्रमेय है।

संभाव्यता में अभिसरण

Examples of convergence in probability

Height of a person
Consider the following experiment. First, pick a random person in the street. Let X be their height, which is ex ante a random variable. Then ask other people to estimate this height by eye. Let Xn be the average of the first n responses. Then (provided there is no systematic error) by the law of large numbers, the sequence Xn will converge in probability to the random variable X.
Predicting random number generation
Suppose that a random number generator generates a pseudorandom floating point number between 0 and 1. Let random variable X represent the distribution of possible outputs by the algorithm. Because the pseudorandom number is generated deterministically, its next value is not truly random. Suppose that as you observe a sequence of randomly generated numbers, you can deduce a pattern and make increasingly accurate predictions as to what the next randomly generated number will be. Let Xn be your guess of the value of the next random number after observing the first n random numbers. As you learn the pattern and your guesses become more accurate, not only will the distribution of Xn converge to the distribution of X, but the outcomes of Xn will converge to the outcomes of X.

इस प्रकार के अभिसरण के पीछे मूल विचार यह है कि जैसे-जैसे क्रम आगे बढ़ता है, "असामान्य" परिणाम की संभावना कम होती जाती है।

संभाव्यता में अभिसरण की अवधारणा का उपयोग सांख्यिकी में बहुत बार किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अनुमानक को सुसंगत अनुमानक कहा जाता है यदि यह अनुमानित मात्रा में संभाव्यता में अभिसरण करता है। संभाव्यता में अभिसरण भी बड़ी संख्या के कमजोर कानून द्वारा स्थापित अभिसरण का प्रकार है।

परिभाषा

एक अनुक्रम {एक्स_nरैंडम वेरिएबल्स का } रैंडम वेरिएबल X की संभावना में अभिसरण करता है यदि सभी ε> 0 के लिए

$\lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}|X_{n}-X|>\varepsilon {\big )}=0.$

अधिक स्पष्ट रूप से, पी_n(ε) संभावना हो कि X_n X पर केंद्रित त्रिज्या ε की गेंद के बाहर है। तब X_n यदि किसी के लिए X की संभावना में अभिसरण कहा जाता है ε > 0 और कोई भी δ > 0 एक संख्या N मौजूद है (जो ε और δ पर निर्भर हो सकता है) जैसे कि सभी n ≥ N, P के लिए_n(ε) < δ (सीमा की परिभाषा)।

ध्यान दें कि स्थिति के संतुष्ट होने के लिए, यह संभव नहीं है कि प्रत्येक n के लिए यादृच्छिक चर X और X_n स्वतंत्र हैं (और इस प्रकार संभाव्यता में अभिसरण संयुक्त सीडीएफ पर एक शर्त है, वितरण में अभिसरण के विपरीत, जो कि व्यक्तिगत सीडीएफ पर एक शर्त है), जब तक कि बड़ी संख्या के कमजोर कानून के लिए एक्स निर्धारक नहीं है। उसी समय, नियतात्मक X का मामला, जब भी नियतात्मक मान एक विच्छिन्नता बिंदु (पृथक नहीं) है, वितरण में अभिसरण द्वारा नियंत्रित नहीं किया जा सकता है, जहाँ विच्छिन्नता बिंदुओं को स्पष्ट रूप से बाहर रखा जाना है।

संभाव्यता में अभिसरण को अभिसरण इंगित करने वाले तीर पर अक्षर पी जोड़कर या प्लिम प्रायिकता सीमा ऑपरेटर का उपयोग करके निरूपित किया जाता है: {{NumBlk|:| Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "।" found.in 1:128"): {\displaystyle X_n \ \xrightarrow{p}\ X,\ \ X_n \ \xrightarrow{P}\ X,\ \ \underset{n\to\infty}{\operatorname{plim}}\, X_n = X।</गणित>|{{EquationRef|2}}}} यादृच्छिक तत्वों के लिए {X_''n''} एक वियोज्य मीट्रिक स्थान पर {{math|(''S'', ''d'')}}, संभाव्यता में अभिसरण इसी प्रकार परिभाषित किया गया है<ref>{{harvnb|Dudley|2002|loc=Chapter 9.2, page 287}}</ref> : <math>\forall\varepsilon>0, \Pr\big(d(X_n,X)\geq\varepsilon\big) \to 0.}

गुण

• संभाव्यता में अभिसरण का तात्पर्य वितरण में अभिसरण है।^{यादृच्छिक चर के अभिसरण के प्रमाण#propA2|[प्रमाण]}
• विपरीत दिशा में, वितरण में अभिसरण का तात्पर्य संभाव्यता में अभिसरण से है जब सीमित यादृच्छिक चर X एक स्थिर है।^{यादृच्छिक चर के अभिसरण के प्रमाण#propB1|[प्रमाण]}
• संभाव्यता में अभिसरण का अर्थ लगभग सुनिश्चित अभिसरण नहीं है।^{यादृच्छिक चर के अभिसरण के प्रमाण#propA1i|[प्रमाण]}
• निरंतर मानचित्रण प्रमेय कहता है कि प्रत्येक निरंतर कार्य के लिए $g$, यदि ${\textstyle X_{n}\xrightarrow {p} X}$, तब भी${\textstyle g(X_{n})\xrightarrow {p} g(X)}$.
• संभाव्यता में अभिसरण एक निश्चित संभाव्यता स्थान पर यादृच्छिक चर के स्थान पर एक टोपोलॉजी को परिभाषित करता है। यह टोपोलॉजी क्यू फैन मेट्रिक द्वारा मेट्रिजेबल है: <गणित शैली = स्थिति: रिश्तेदार; शीर्ष: .3em प्रदर्शन = ब्लॉक> डी (एक्स, वाई) = \ inf \! )\leq\varepsilon\big\}</math> या वैकल्पिक रूप से इस मीट्रिक द्वारा गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> डी (एक्स, वाई) = \ गणित बी ई \ बायां [\ मिनट (| एक्स-वाई |, 1) \ दायां]। </ गणित>

लगभग सुनिश्चित अभिसरण

Examples of almost sure convergence

Example 1
Consider an animal of some short-lived species. We record the amount of food that this animal consumes per day. This sequence of numbers will be unpredictable, but we may be quite certain that one day the number will become zero, and will stay zero forever after.
Example 2
Consider a man who tosses seven coins every morning. Each afternoon, he donates one pound to a charity for each head that appeared. The first time the result is all tails, however, he will stop permanently. Let X1, X2, … be the daily amounts the charity received from him. We may be almost sure that one day this amount will be zero, and stay zero forever after that. However, when we consider any finite number of days, there is a nonzero probability the terminating condition will not occur.

यह स्टोचैस्टिक अभिसरण का प्रकार है जो प्राथमिक वास्तविक विश्लेषण से ज्ञात बिंदुवार अभिसरण के समान है।

परिभाषा

कहने का क्रम है X_n लगभग निश्चित रूप से या लगभग हर जगह या संभाव्यता 1 के साथ या दृढ़ता से 'एक्स' की ओर अभिसरण करता है, इसका मतलब है

$\operatorname {Pr} \!\left(\lim _{n\to \infty }\!X_{n}=X\right)=1.$

इसका अर्थ है कि के मान X_n एक्स के मूल्य तक पहुंचें, इस अर्थ में (लगभग निश्चित रूप से देखें) जिसके लिए घटनाएं X_n X में अभिसरित नहीं होने की प्रायिकता 0 है। प्रायिकता स्थान का उपयोग करना $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )$ और Ω से R तक के फलन के रूप में यादृच्छिक चर की अवधारणा, यह कथन के समतुल्य है

$\operatorname {Pr} {\Big (}\omega \in \Omega :\lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega ){\Big )}=1.$

लिमिट सुपीरियर और लिमिट इनफीयर # स्पेशल केस की धारणा का उपयोग करते हुए: असतत मीट्रिक, लगभग सुनिश्चित अभिसरण को भी निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

$\operatorname {Pr} {\Big (}\limsup _{n\to \infty }{\big \{}\omega \in \Omega :|X_{n}(\omega )-X(\omega )|>\varepsilon {\big \}}{\Big )}=0\quad {\text{for all}}\quad \varepsilon >0.$

अक्षरों को जोड़कर लगभग सुनिश्चित अभिसरण को अक्सर निरूपित किया जाता है। अभिसरण इंगित करने वाले तीर पर:

${\overset {}{X_{n}\,\xrightarrow {\mathrm {a.s.} } \,X.}}$

(3)

सामान्य यादृच्छिक तत्वों के लिए {X_n} एक मीट्रिक स्थान पर $(S,d)$अभिसरण लगभग निश्चित रूप से इसी तरह परिभाषित किया गया है:

$\operatorname {Pr} {\Big (}\omega \in \Omega :\,d{\big (}X_{n}(\omega ),X(\omega ){\big )}\,{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\,0{\Big )}=1$

गुण

• लगभग सुनिश्चित अभिसरण का तात्पर्य संभाव्यता में अभिसरण (फतौ के लेम्मा द्वारा) से है, और इसलिए वितरण में अभिसरण का तात्पर्य है। यह बड़ी संख्या के मजबूत कानून में प्रयुक्त अभिसरण की धारणा है।
• लगभग निश्चित अभिसरण की अवधारणा यादृच्छिक चर के स्थान पर एक टोपोलॉजी से नहीं आती है। इसका मतलब यह है कि यादृच्छिक चर के स्थान पर कोई टोपोलॉजी नहीं है जैसे कि लगभग निश्चित रूप से अभिसरण अनुक्रम उस टोपोलॉजी के संबंध में बिल्कुल अभिसरण अनुक्रम हैं। विशेष रूप से, लगभग सुनिश्चित अभिसरण का कोई मीट्रिक नहीं है।

निश्चित अभिसरण या बिंदुवार अभिसरण

कहने के लिए कि यादृच्छिक चर का क्रम (X_n) एक ही प्रायिकता स्थान पर परिभाषित (यानी, एक यादृच्छिक प्रक्रिया) निश्चित रूप से या हर जगह या 'X' की ओर इंगित करता है

$$\lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega ),\,\,\forall \omega \in \Omega .$$

जहां Ω अंतर्निहित संभाव्यता स्थान का नमूना स्थान है जिस पर यादृच्छिक चर परिभाषित किए गए हैं।

यह यादृच्छिक चर के अनुक्रम के लिए विस्तारित कार्यों के अनुक्रम के बिंदुवार अभिसरण की धारणा है। (ध्यान दें कि यादृच्छिक चर स्वयं कार्य हैं)।

$$\left\{\omega \in \Omega \mid \lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\right\}=\Omega .$$

एक यादृच्छिक चर के निश्चित अभिसरण का तात्पर्य ऊपर बताए गए अन्य सभी प्रकार के अभिसरण से है, लेकिन लगभग निश्चित अभिसरण का उपयोग करने की तुलना में निश्चित अभिसरण का उपयोग करके संभाव्यता सिद्धांत में कोई लाभ नहीं है। दोनों के बीच का अंतर केवल प्रायिकता शून्य के सेट पर मौजूद है। यही कारण है कि यादृच्छिक चरों के निश्चित अभिसरण की अवधारणा का उपयोग बहुत ही कम किया जाता है।

माध्य में अभिसरण

एक वास्तविक संख्या दी गई है r ≥ 1, हम कहते हैं कि अनुक्रम X_n आर-वें माध्य (या एलपी स्पेस में|एल) में अभिसरित होता है^r-norm') यादृच्छिक चर X की ओर, यदि r-वाँ क्षण (गणित)s E(|X_n|^r ) और E(|X|^आर ) का X_n और एक्स मौजूद है, और

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {E} \left(|X_{n}-X|^{r}\right)=0,$

जहां ऑपरेटर ई अपेक्षित मूल्य दर्शाता है। में अभिसरण r-वाँ माध्य हमें बताता है कि की अपेक्षा rके बीच अंतर की -th शक्ति $X_{n}$ और $X$ शून्य हो जाता है।

इस प्रकार के अभिसरण को अक्सर अक्षर L जोड़कर निरूपित किया जाता है^r अभिसरण इंगित करने वाले तीर पर:

${\overset {}{X_{n}\,\xrightarrow {L^{r}} \,X.}}$

(4)

आर-वें माध्य में अभिसरण के सबसे महत्वपूर्ण मामले हैं:

• कब X_n r = 1 के लिए r-th माध्य से X में परिवर्तित होता है, हम कहते हैं कि X_n 'X' के माध्य में परिवर्तित होता है।
• कब X_n r = 2 के लिए r-th माध्य से X में अभिसरित होता है, हम कहते हैं कि X_n माध्य वर्ग में (या द्विघात माध्य में) X में परिवर्तित होता है।

आर में अभिसरण-वें मतलब, आर ≥ 1 के लिए, संभाव्यता में अभिसरण (मार्कोव की असमानता द्वारा) का तात्पर्य है। इसके अलावा, यदि r > s ≥ 1, r में अभिसरण का अर्थ है s में अभिसरण -th माध्य। इसलिए, माध्य वर्ग में अभिसरण का तात्पर्य माध्य में अभिसरण है।

यह भी गौर करने वाली बात है कि अगर

${\overset {}{X_{n}\xrightarrow {L^{r}} X}}$,

(4)

तब

$\lim _{n\to \infty }E[|X_{n}|^{r}]=E[|X|^{r}]$

गुण

बशर्ते प्रायिकता स्थान पूर्ण माप हो:

• यदि $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ X$ और $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ Y$, तब $X=Y$ लगभग निश्चित रूप से।
• यदि $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}} \ X$ और $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}} \ Y$, तब $X=Y$ लगभग निश्चित रूप से।
• यदि $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{L^{r}}} \ X$ और $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{L^{r}}} \ Y$, तब $X=Y$ लगभग निश्चित रूप से।
• यदि $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ X$ और $Y_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ Y$, तब $aX_{n}+bY_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ aX+bY$ (किसी भी वास्तविक संख्या के लिए a और b) और $X_{n}Y_{n}\xrightarrow {\overset {}{p}} \ XY$.
• यदि $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}} \ X$ और $Y_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}} \ Y$, तब $aX_{n}+bY_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}} \ aX+bY$ (किसी भी वास्तविक संख्या के लिए a और b) और $X_{n}Y_{n}\xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}} \ XY$.
• यदि $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{L^{r}}} \ X$ और $Y_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{L^{r}}} \ Y$, तब $aX_{n}+bY_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{L^{r}}} \ aX+bY$ (किसी भी वास्तविक संख्या के लिए a और b).
• वितरण में अभिसरण के लिए उपरोक्त कथनों में से कोई भी सत्य नहीं है।

अभिसरण की विभिन्न धारणाओं के बीच निहितार्थों की श्रृंखला उनके संबंधित खंडों में नोट की गई है। वे तीर संकेतन का उपयोग कर रहे हैं:

${\begin{matrix}\xrightarrow {\overset {}{L^{s}}} &{\underset {s>r\geq 1}{\Rightarrow }}&\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}} &&\\&&\Downarrow &&\\\xrightarrow {\text{a.s.}} &\Rightarrow &\xrightarrow {p} &\Rightarrow &\xrightarrow {d} \end{matrix}}$

कई अन्य विशेष मामलों के साथ इन गुणों को निम्नलिखित सूची में संक्षेपित किया गया है:

• लगभग सुनिश्चित अभिसरण का अर्थ संभाव्यता में अभिसरण है:^{यादृच्छिक चर के अभिसरण के प्रमाण#propA1|[प्रमाण]}

  $X_{n}\ \xrightarrow {\text{a.s.}} \ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ X$

• संभाव्यता में अभिसरण का अर्थ है कि एक उप-अनुक्रम मौजूद है $(n_{k})$ जो लगभग निश्चित रूप से अभिसरण करता है: *: $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ X\quad \Rightarrow \quad X_{n_{k}}\ \xrightarrow {\text{a.s.}} \ X$
• संभाव्यता में अभिसरण का तात्पर्य वितरण में अभिसरण है:^{यादृच्छिक चर के अभिसरण के प्रमाण#propA2|[प्रमाण]}

  $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{d}} \ X$

• आर-वें क्रम में अभिसरण मतलब संभाव्यता में अभिसरण का अर्थ है:

  $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{L^{r}}} \ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ X$

• आर-वें क्रम में अभिसरण मतलब निचले क्रम में अभिसरण मतलब है, यह मानते हुए कि दोनों आदेश एक से अधिक या उसके बराबर हैं:

  $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{L^{r}}} \ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{L^{s}}} \ X,$ <अवधि शैली = स्थिति: सापेक्ष; शीर्ष: .4em; बाएं: 2em; >बशर्ते आर ≥ एस ≥ 1।

• अगर एक्स_n वितरण में एक स्थिर c, फिर X में परिवर्तित हो जाता है_n संभाव्यता में c में परिवर्तित होता है:^{यादृच्छिक चर के अभिसरण के प्रमाण#propB1|[प्रमाण]}

  $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{d}} \ c\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ c,$ <अवधि शैली = स्थिति: सापेक्ष; शीर्ष: .4em; बाएं: 2em; >बशर्ते c स्थिर हो।

• यदि X_n वितरण में X और X के बीच के अंतर में परिवर्तित हो जाता है_nऔर वाई_nसंभाव्यता में शून्य हो जाता है, फिर Y_nX के वितरण में भी अभिसरित होता है:^{यादृच्छिक चर के अभिसरण के प्रमाण#propB2|[प्रमाण]}

  $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{d}} \ X,\ \ |X_{n}-Y_{n}|\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ 0\ \quad \Rightarrow \quad Y_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{d}} \ X$

• यदि X_n X और Y के वितरण में अभिसरण करता है_nवितरण में एक स्थिर सी, फिर संयुक्त वेक्टर में परिवर्तित हो जाता है (X_n, Y_n) वितरण में अभिसरण करता है $(X,c)$:^{यादृच्छिक चर के अभिसरण के प्रमाण#propB3|[प्रमाण]}

  $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{d}} \ X,\ \ Y_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{d}} \ c\ \quad \Rightarrow \quad (X_{n},Y_{n})\ \xrightarrow {\overset {}{d}} \ (X,c)$ <अवधि शैली = स्थिति: सापेक्ष; शीर्ष: .4em; बाएं: 2em; >बशर्ते c स्थिर हो।

  ध्यान दें कि वह स्थिति Y_n एक स्थिरांक में परिवर्तित होना महत्वपूर्ण है, यदि यह एक यादृच्छिक चर Y में परिवर्तित होता है तो हम यह निष्कर्ष नहीं निकाल पाएंगे (X_n, Y_n) में विलीन हो जाता है $(X,Y)$.

• अगर एक्स_nप्रायिकता में X और Y में परिवर्तित हो जाता है_nसंभाव्यता में Y, फिर संयुक्त वेक्टर में परिवर्तित हो जाता है (X_n, Y_n) की संभावना में परिवर्तित हो जाता है (X, Y):^{यादृच्छिक चर के अभिसरण के प्रमाण#propB4|[प्रमाण]}

  $X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ X,\ \ Y_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ Y\ \quad \Rightarrow \quad (X_{n},Y_{n})\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ (X,Y)$

• यदि X_n प्रायिकता में X में परिवर्तित होता है, और यदि P(|X_n| ≤ b) = 1 सभी एन और कुछ बी के लिए, फिर X_n सभी के लिए rth माध्य से X में अभिसरित होता है r ≥ 1. दूसरे शब्दों में, अगर X_n संभाव्यता में X और सभी यादृच्छिक चरों में अभिसरित होता है X_n लगभग निश्चित रूप से ऊपर और नीचे बंधे हुए हैं X_n किसी भी rवें माध्य में भी X में अभिसरित होता है।
• लगभग निश्चित प्रतिनिधित्व। आमतौर पर, वितरण में अभिसरण का अभिसरण लगभग निश्चित रूप से नहीं होता है। हालाँकि, किसी दिए गए अनुक्रम के लिए {X_n} जो X के वितरण में अभिसरण करता है₀ एक नया प्रायिकता स्थान (Ω, F, P) और यादृच्छिक चर {Y) खोजना हमेशा संभव होता है_n, n = 0, 1, ...} इस पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि Y_nवितरण के बराबर है X_n प्रत्येक के लिए n ≥ 0, और वाई_nY में परिवर्तित हो जाता है₀ लगभग निश्चित रूप से।
• यदि सभी ε > 0 के लिए,

  $\sum _{n}\mathbb {P} \left(|X_{n}-X|>\varepsilon \right)<\infty ,$

  तो हम कहते हैं X_n लगभग पूरी तरह से, या लगभग प्रायिकता में X की ओर अभिसरित हो जाता है। जब X_n लगभग पूरी तरह से X की ओर परिवर्तित हो जाता है तो यह लगभग निश्चित रूप से X में भी परिवर्तित हो जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि X_n प्रायिकता में पर्याप्त रूप से X में परिवर्तित हो जाता है (अर्थात पूंछ की संभावनाओं का उपरोक्त क्रम सभी के लिए योग योग्य है ε > 0), तब X_n भी लगभग निश्चित रूप से एक्स में परिवर्तित हो जाता है। यह बोरेल-कैंटेली लेम्मा से सीधा निहितार्थ है।

• यदि S_n n वास्तविक स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग है:

  $S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}\,$

  तब S_n लगभग निश्चित रूप से अभिसरण करता है अगर और केवल अगर S_n संभाव्यता में विलीन हो जाता है।

• प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय लगभग सुनिश्चित अभिसरण के लिए एल को लागू करने के लिए पर्याप्त शर्तें देता है¹-अभिसरण:

{{NumBlk|*::|Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \begin{matrix}in 2:1"): {\displaystyle \left. \begin{matrix} X_n\xrightarrow{\overset{}\text{a.s.}} एक्स \\ |एक्स_एन| <वाई \\ \mathrm{ई}(Y) < \infty \end{मैट्रिक्स}\right\} \quad\Rightarrow \quad X_n\xrightarrow{{L^1}} एक्स </गणित>|{{EquationRef|5}}}} * एल के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त¹ अभिसरण है <math>X_n\xrightarrow{\overset{}{P}} X} और अनुक्रम (एक्स_n) समान रूप से पूर्णांक है।

• यदि $X_{n}$ तब असतत और स्वतंत्र हैं $X_{n}{\stackrel {p}{\rightarrow }}X$ इसका आशय है $X_{n}{\stackrel {a.s.}{\rightarrow }}X$. यह बोरेल-कैंटेली लेम्मा का परिणाम है। दूसरा बोरेल-कैंटेली लेम्मा।

यह भी देखें

• यादृच्छिक चर के अभिसरण के प्रमाण
• उपायों का अभिसरण
• माप में अभिसरण
• सतत स्टोचैस्टिक प्रक्रिया: स्टोचैस्टिक प्रक्रिया की निरंतरता का प्रश्न अनिवार्य रूप से अभिसरण का प्रश्न है, और ऊपर इस्तेमाल की गई समान अवधारणाओं और संबंधों में से कई निरंतरता प्रश्न पर लागू होते हैं।
• स्पर्शोन्मुख वितरण
• संभाव्यता अंकन में बिग ओ
• स्कोरोखोड का प्रतिनिधित्व प्रमेय
• ट्वीडी वितरण
• स्लटस्की की प्रमेय
• सतत मानचित्रण प्रमेय

संदर्भ

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• Wong, E.; Hájek, B. (1985). Stochastic Processes in Engineering Systems. New York: Springer–Verlag.

• https://www.ma.utexas.edu/users/gordanz/notes/weak.pdf

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श्रेणी: स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं यादृच्छिक चर, अभिसरण