अत्यंत न्यूनतम सिद्धांत: Difference between revisions
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[[मॉडल सिद्धांत|प्रतिरूप सिद्धांत]] में - [[गणितीय तर्क]] की एक शाखा - | [[मॉडल सिद्धांत|प्रतिरूप सिद्धांत]] में - [[गणितीय तर्क]] की एक शाखा - '''न्यूनतम संरचना''' एक अनंत [[संरचना (गणितीय तर्क)|एक-क्रमबद्ध]] संरचना है, जैसे कि इस प्रकार से इसके प्रान्त का प्रत्येक उपसमुच्चय जो मापदंडों के साथ [[निश्चित सेट|निश्चित]] है, या तब परिमित या सह-परिमित है। अतः एक '''दृढ़ न्यूनतम सिद्धांत''' एक ऐसा [[संपूर्ण सिद्धांत]] है जिसके सभी प्रतिरूप न्यूनतम हैं। इस प्रकार से '''दृढ़ न्यूनतम संरचना''' एक ऐसी संरचना है जिसका सिद्धांत दृढ़ता से न्यूनतम है। | ||
इस प्रकार एक संरचना | अतः इस प्रकार से एक संरचना मात्र तभी न्यूनतम होती है जब उसके प्रान्त के प्राचलिक रूप से परिभाषित उपसमुच्चय को हटाया नहीं जा सकता है, क्योंकि समानता की शुद्ध भाषा में वे पहले से ही प्राचलिक रूप से परिभाषित हैं। वर्गीकरण सिद्धांत और [[स्थिर सिद्धांत|स्थिरता सिद्धांत]] के नवीन क्षेत्र में दृढ़ न्यूनतमता प्रारंभिक धारणाओं में से एक थी जिसे [[पूरी तरह से श्रेणीबद्ध|पूर्ण रूप से श्रेणीबद्ध]] संरचनाओं पर मॉर्ले के प्रमेय द्वारा खोला गया था। | ||
दृढ़ता से न्यूनतम सिद्धांतों के गैर-तुच्छ मानक उदाहरण अनंत- | अतः दृढ़ता से न्यूनतम सिद्धांतों के गैर-तुच्छ मानक उदाहरण अनंत-विमीय सदिश समष्टि के एक-क्रमबद्ध सिद्धांत हैं, और [[विशेषता (क्षेत्र)]] ''p'' के बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्रों के ACF<sub>''p''</sub> सिद्धांत है। जैसा कि उदाहरण ACF<sub>''p''</sub> दिखाता है, एवं न्यूनतम संरचना के प्रान्त के वर्ग के प्राचलिक रूप से परिभाषित उपसमुच्चय अपेक्षाकृत जटिल ([[बीजगणितीय वक्र]]) हो सकते हैं। | ||
सामान्यतः, किसी संरचना का एक उपसमुच्चय सूत्र है जहॉ φ(x) की प्राप्ति के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है, '''न्यूनतम समुच्चय''' कहा जाता है यदि इसका प्रत्येक प्राचलिक रूप से परिभाषित उपसमुच्चय या तब परिमित या सह-परिमित है। यदि यह सभी | इस प्रकार से सामान्यतः, किसी संरचना का एक उपसमुच्चय सूत्र है जहॉ φ(x) की प्राप्ति के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है, '''न्यूनतम समुच्चय''' कहा जाता है यदि इसका प्रत्येक प्राचलिक रूप से परिभाषित उपसमुच्चय या तब परिमित या सह-परिमित है। इस प्रकार से यदि यह सभी प्राथमिक विस्तार में भी सत्य है तब इसे '''दृढ़ न्यूनतम समुच्चय''' कहा जाता है। | ||
प्रतिरूप-सैद्धांतिक अर्थ में बीजगणितीय संवरण द्वारा दिए गए [[ बंद करने वाला ऑपरेटर |संवरण संचालक]] से सुसज्जित एक दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय, एक अनंत मैट्रोइड, या [[प्रीजियोमेट्री (मॉडल सिद्धांत)|प्रीजियोमेट्री (प्रतिरूप सिद्धांत)]] है। एक दृढ़ता से न्यूनतम सिद्धांत का एक प्रतिरूप मैट्रोइड के रूप में | अतः इस प्रकार से प्रतिरूप-सैद्धांतिक अर्थ में बीजगणितीय संवरण द्वारा दिए गए [[ बंद करने वाला ऑपरेटर |संवरण संचालक]] से सुसज्जित एक दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय, एक अनंत मैट्रोइड, या [[प्रीजियोमेट्री (मॉडल सिद्धांत)|प्रीजियोमेट्री (प्रतिरूप सिद्धांत)]] है। एक दृढ़ता से न्यूनतम सिद्धांत का एक प्रतिरूप मैट्रोइड के रूप में इसकी विमा द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार से पूर्ण रूप से श्रेणीबद्ध सिद्धांतों को दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय द्वारा नियंत्रित किया जाता है; यह तथ्य मॉर्ले के प्रमेय की व्याख्या करता है (और इसके प्रमाण में उपयोग किया जाता है)। अतः [[बोरिस ज़िल्बर]] ने अनुमान लगाया कि एकमात्र प्रीजियोमेट्री जो दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय से उत्पन्न हो सकती हैं, वे सदिश रिक्त समष्टि, प्रक्षेप्य समष्टि, या बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्रों में उत्पन्न होती हैं। इस अनुमान का [[एहुद ह्रुशोव्स्की]] ने खंडन किया था, जिन्होंने परिमित संरचनाओं से नवीन दृढ़ता से न्यूनतम संरचनाएं बनाने के लिए "ह्रुशोवस्की निर्माण" नामक एक विधि विकसित की थी। | ||
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प्रतिरूप सिद्धांत में - गणितीय तर्क की एक शाखा - न्यूनतम संरचना एक अनंत एक-क्रमबद्ध संरचना है, जैसे कि इस प्रकार से इसके प्रान्त का प्रत्येक उपसमुच्चय जो मापदंडों के साथ निश्चित है, या तब परिमित या सह-परिमित है। अतः एक दृढ़ न्यूनतम सिद्धांत एक ऐसा संपूर्ण सिद्धांत है जिसके सभी प्रतिरूप न्यूनतम हैं। इस प्रकार से दृढ़ न्यूनतम संरचना एक ऐसी संरचना है जिसका सिद्धांत दृढ़ता से न्यूनतम है।
अतः इस प्रकार से एक संरचना मात्र तभी न्यूनतम होती है जब उसके प्रान्त के प्राचलिक रूप से परिभाषित उपसमुच्चय को हटाया नहीं जा सकता है, क्योंकि समानता की शुद्ध भाषा में वे पहले से ही प्राचलिक रूप से परिभाषित हैं। वर्गीकरण सिद्धांत और स्थिरता सिद्धांत के नवीन क्षेत्र में दृढ़ न्यूनतमता प्रारंभिक धारणाओं में से एक थी जिसे पूर्ण रूप से श्रेणीबद्ध संरचनाओं पर मॉर्ले के प्रमेय द्वारा खोला गया था।
अतः दृढ़ता से न्यूनतम सिद्धांतों के गैर-तुच्छ मानक उदाहरण अनंत-विमीय सदिश समष्टि के एक-क्रमबद्ध सिद्धांत हैं, और विशेषता (क्षेत्र) p के बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्रों के ACFp सिद्धांत है। जैसा कि उदाहरण ACFp दिखाता है, एवं न्यूनतम संरचना के प्रान्त के वर्ग के प्राचलिक रूप से परिभाषित उपसमुच्चय अपेक्षाकृत जटिल (बीजगणितीय वक्र) हो सकते हैं।
इस प्रकार से सामान्यतः, किसी संरचना का एक उपसमुच्चय सूत्र है जहॉ φ(x) की प्राप्ति के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है, न्यूनतम समुच्चय कहा जाता है यदि इसका प्रत्येक प्राचलिक रूप से परिभाषित उपसमुच्चय या तब परिमित या सह-परिमित है। इस प्रकार से यदि यह सभी प्राथमिक विस्तार में भी सत्य है तब इसे दृढ़ न्यूनतम समुच्चय कहा जाता है।
अतः इस प्रकार से प्रतिरूप-सैद्धांतिक अर्थ में बीजगणितीय संवरण द्वारा दिए गए संवरण संचालक से सुसज्जित एक दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय, एक अनंत मैट्रोइड, या प्रीजियोमेट्री (प्रतिरूप सिद्धांत) है। एक दृढ़ता से न्यूनतम सिद्धांत का एक प्रतिरूप मैट्रोइड के रूप में इसकी विमा द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार से पूर्ण रूप से श्रेणीबद्ध सिद्धांतों को दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय द्वारा नियंत्रित किया जाता है; यह तथ्य मॉर्ले के प्रमेय की व्याख्या करता है (और इसके प्रमाण में उपयोग किया जाता है)। अतः बोरिस ज़िल्बर ने अनुमान लगाया कि एकमात्र प्रीजियोमेट्री जो दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय से उत्पन्न हो सकती हैं, वे सदिश रिक्त समष्टि, प्रक्षेप्य समष्टि, या बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्रों में उत्पन्न होती हैं। इस अनुमान का एहुद ह्रुशोव्स्की ने खंडन किया था, जिन्होंने परिमित संरचनाओं से नवीन दृढ़ता से न्यूनतम संरचनाएं बनाने के लिए "ह्रुशोवस्की निर्माण" नामक एक विधि विकसित की थी।
यह भी देखें
संदर्भ
- Baldwin, John T.; Lachlan, Alistair H. (1971), "On Strongly Minimal Sets", The Journal of Symbolic Logic, The Journal of Symbolic Logic, Vol. 36, No. 1, 36 (1): 79–96, doi:10.2307/2271517, JSTOR 2271517
- Hrushovski, Ehud (1993), "A new strongly minimal set", Annals of Pure and Applied Logic, 62 (2): 147, doi:10.1016/0168-0072(93)90171-9
