विल्सन आव्यूह: Difference between revisions
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विल्सन | '''विल्सन आव्यूह''' निम्नलिखित है, <math>4\times 4</math> आव्यूह जिसमें तत्वों के रूप में पूर्णांक हैं:<ref name="Nick1">{{cite web |last1=Nick Higham |title=What Is the Wilson Matrix? |url=https://nhigham.com/2021/06/01/what-is-the-wilson-matrix/ |website=What Is the Wilson Matrix? |date=June 2021 |access-date=24 May 2022}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Nicholas J. Higham and Matthew C. Lettington |title=विल्सन मैट्रिक्स का अनुकूलन और फैक्टराइज़िंग|journal=The American Mathematical Monthly |date=2022 |volume=129 |issue=5 |pages=454–465 |doi=10.1080/00029890.2022.2038006 |s2cid=233322415 |url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2022.2038006 |access-date=24 May 2022}} (An eprint of the paper is available [http://eprints.maths.manchester.ac.uk/2803/3/paper_cropped2.pdf here])</ref><ref name="Cleve">{{cite web |last1=Cleve Moler |title=विल्सन मैट्रिक्स को पुनर्जीवित करना|url=https://blogs.mathworks.com/cleve/2018/08/20/reviving-wilsons-matrix/ |website=Cleve’s Corner: Cleve Moler on Mathematics and Computing |publisher=MathWorks |access-date=24 May 2022}}</ref><ref>{{cite book |last1=Carl Erik Froberg |title=संख्यात्मक विश्लेषण का परिचय|date=1969 |publisher=Addison-Wesley |location=Reading, Mass. |edition=2}}</ref><ref>{{cite book |last1=Robert T Gregory and David L Karney |title=कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम के परीक्षण के लिए मैट्रिक्स का एक संग्रह|date=1978 |publisher=Robert Krieger Publishing Company |location=Huntington, New York |page=57}}</ref> | ||
::<math>W = \begin{bmatrix}5&7&6&5 \\ 7&10&8&7 \\ 6&8&10&9 \\ 5&7&9&10\end{bmatrix}</math> | ::<math>W = \begin{bmatrix}5&7&6&5 \\ 7&10&8&7 \\ 6&8&10&9 \\ 5&7&9&10\end{bmatrix}</math> | ||
यह 1946 में प्रकाशित जे. मॉरिस के | यह 1946 में प्रकाशित जे. मॉरिस के पेपर में विचारित रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का गुणांक आव्यूह है:<ref>{{cite journal |last1=J Morris |title=रैखिक समकालिक समीकरणों के समाधान के लिए एक एस्केलेटर प्रक्रिया|journal=The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science |date=1946 |volume=37:265 |issue=265 |pages=106–120 |doi=10.1080/14786444608561331 |url=http://dx.doi.org/10.1080/14786444608561331 |access-date=19 May 2022}}</ref> | ||
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\text{(S1)}\quad \begin{align} | \text{(S1)}\quad \begin{align} | ||
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</math> | </math> | ||
मॉरिस समीकरणों के | मॉरिस समीकरणों के समुच्चय का स्रोत टी.एस. विल्सन को बताते हैं किन्तु विल्सन के बारे में कोई विवरण नहीं दिया गया है। समीकरणों की विशेष प्रणाली का उपयोग मॉरिस द्वारा समीकरणों की व्यर्थ स्थिति वाली प्रणाली की अवधारणा को स्पष्ट करने के लिए किया गया था। गणित का प्रश्न <math>W</math> वर्षों से कई शोध पत्रों और पुस्तकों में उदाहरण के रूप में और परीक्षण उद्देश्यों के लिए उपयोग किया गया है। जॉन टोड ने उल्लेख किया है <math>W</math> को "टी.एस. विल्सन का कुख्यात आव्यूह डब्ल्यू" कहा गया है।<ref name="Nick1"/> | ||
== गुण == | |||
==गुण== | #<math>W</math> [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] है। | ||
#<math>W</math> | #<math>W</math> धनात्मक निश्चित है। | ||
#<math>W</math> | #<math>W</math> का निर्धारक <math> 1</math> है। | ||
# | #[[उलटा मैट्रिक्स|इनवर्स आव्यूह]] <math>W</math> है <math>W^{-1} = | ||
#[[उलटा मैट्रिक्स]] <math>W</math> है <math>W^{-1} = | |||
\begin{bmatrix} 68 & -41 & -17 & 10\\ -41 & 25 & 10 & -6 \\ -17 & 10 & 5 &- 3 \\ 10 & -6 & -3 & 2 \end{bmatrix} | \begin{bmatrix} 68 & -41 & -17 & 10\\ -41 & 25 & 10 & -6 \\ -17 & 10 & 5 &- 3 \\ 10 & -6 & -3 & 2 \end{bmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
# | #[[विशेषता बहुपद]] <math>W</math>, <math> \lambda^4-35 \lambda^3+146 \lambda^2-100 \lambda+1</math> है। | ||
# | #स्वदेशी मान <math>W</math>, <math> \quad 0.01015004839789187,\quad 0.8431071498550294,\quad 3.858057455944953,\quad 30.28868534580213</math> है। | ||
#तब से <math>W</math> सममित है, 2- | #तब से <math>W</math> सममित है, 2-पैरामीटर स्थिति संख्या <math>W</math>, <math>\kappa_2(W)= (\text{max eigen value})/(\text{min eigen value})=30.28868534580213/0.01015004839789187 = 2984.09270167549</math> है। | ||
#समीकरणों की प्रणाली का समाधान <math>(S1)</math> | #समीकरणों की प्रणाली का समाधान <math>(S1)</math>, <math>x=y=z=u=1</math> है। | ||
#चॉलेस्की गुणनखंडन <math>W</math> है <math>W= R^TR</math> | #चॉलेस्की गुणनखंडन <math>W</math> है <math>W= R^TR</math> जहाँ <math>R | ||
=\begin{bmatrix} \sqrt{5} & \frac{7}{\sqrt{5}} & \frac{6}{\sqrt{5}} & \sqrt{5} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & \frac{3}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}</math>. | =\begin{bmatrix} \sqrt{5} & \frac{7}{\sqrt{5}} & \frac{6}{\sqrt{5}} & \sqrt{5} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & \frac{3}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}</math>. | ||
#<math>W</math> गुणनखंडन है <math>W= LDL^T</math> | #<math>W</math> गुणनखंडन है <math>W= LDL^T</math> जहाँ <math>L = | ||
\begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{7}{5} & 1 & 0 & 0 \\ \frac{6}{5} & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & \frac{3}{2} & 1 | 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{7}{5} & 1 & 0 & 0 \\ \frac{6}{5} & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & \frac{3}{2} & 1 | ||
| Line 35: | Line 34: | ||
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
</math>. | </math>. | ||
#<math>W</math> गुणनखंडन | #<math>W</math> का गुणनखंडन <math>W=Z^TZ</math> के साथ <math>Z</math> पूर्णांक आव्यूह के रूप में है।<ref>{{cite journal |last1=Nicholas J. Higham, Matthew C. Lettington, Karl Michael Schmidt |title=पूर्णांक मैट्रिक्स गुणनखंडन, सुपरबीजगणित और द्विघात रूप बाधा|journal=Linear Algebra and Its Applications |date=2021 |volume=622 |pages=250–267 |doi=10.1016/j.laa.2021.03.028 |s2cid=232146938 |doi-access=free }}</ref> <math>Z= | ||
\begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 | 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 | ||
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</math>. | </math>. | ||
==विल्सन | ==विल्सन आव्यूह द्वारा उत्पन्न अनुसंधान समस्याएं== | ||
विल्सन | विल्सन आव्यूह की स्थिति संख्या पर विचार करने से विल्सन आव्यूह की कुछ या सभी विशेष विशेषताओं वाले आव्यूह के कुछ विशेष वर्गों में आव्यूह की स्थिति संख्या से संबंधित कई लोकप्रिय शोध समस्याएं उत्पन्न हुई हैं। विशेष रूप से, आव्यूह के निम्नलिखित विशेष वर्गों का अध्ययन किया गया है:<ref name="Nick1"/> | ||
#<math>S=</math> के समुच्चय <math> 4 \times 4 </math> 1 और 10 के | #<math>S=</math> के समुच्चय <math> 4 \times 4 </math> 1 और 10 के मध्य पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ गैर-वचन, सममित आव्यूह है। | ||
#<math> P = </math> के समुच्चय <math> 4 \times 4 </math> 1 और 10 के | #<math> P = </math> के समुच्चय <math> 4 \times 4 </math> 1 और 10 के मध्य पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ धनात्मक निश्चित, सममित आव्यूह है। | ||
उपरोक्त | उपरोक्त समुच्चयों में आव्यूहों की स्थिति संख्याओं की विस्तृत गणना से निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए हैं: | ||
# | #तत्वों के मध्य <math>S</math>, अधिकतम नियमित संख्या <math>7.6119\times 10^4</math> है और यह अधिकतम आव्यूह <math> | ||
\begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
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\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
</math> | </math>द्वारा प्राप्त किया जाता है। | ||
# | #तत्वों के मध्य <math>P</math>, अधिकतम नियमित संख्या <math>3.5529 \times 10^4</math> है और यह अधिकतम आव्यूह <math> | ||
\begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
9 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & 10 & 1 & 9 \\ 1 & 1 & 10 & 1 \\ 5 & 9 & 1 & 10 | 9 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & 10 & 1 & 9 \\ 1 & 1 & 10 & 1 \\ 5 & 9 & 1 & 10 | ||
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
</math> | </math>द्वारा प्राप्त किया जाता है। | ||
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Latest revision as of 13:55, 4 September 2023
विल्सन आव्यूह निम्नलिखित है, आव्यूह जिसमें तत्वों के रूप में पूर्णांक हैं:[1][2][3][4][5]
यह 1946 में प्रकाशित जे. मॉरिस के पेपर में विचारित रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का गुणांक आव्यूह है:[6]
मॉरिस समीकरणों के समुच्चय का स्रोत टी.एस. विल्सन को बताते हैं किन्तु विल्सन के बारे में कोई विवरण नहीं दिया गया है। समीकरणों की विशेष प्रणाली का उपयोग मॉरिस द्वारा समीकरणों की व्यर्थ स्थिति वाली प्रणाली की अवधारणा को स्पष्ट करने के लिए किया गया था। गणित का प्रश्न वर्षों से कई शोध पत्रों और पुस्तकों में उदाहरण के रूप में और परीक्षण उद्देश्यों के लिए उपयोग किया गया है। जॉन टोड ने उल्लेख किया है को "टी.एस. विल्सन का कुख्यात आव्यूह डब्ल्यू" कहा गया है।[1]
गुण
- सममित आव्यूह है।
- धनात्मक निश्चित है।
- का निर्धारक है।
- इनवर्स आव्यूह है
- विशेषता बहुपद , है।
- स्वदेशी मान , है।
- तब से सममित है, 2-पैरामीटर स्थिति संख्या , है।
- समीकरणों की प्रणाली का समाधान , है।
- चॉलेस्की गुणनखंडन है जहाँ .
- गुणनखंडन है जहाँ .
- का गुणनखंडन के साथ पूर्णांक आव्यूह के रूप में है।[7] .
विल्सन आव्यूह द्वारा उत्पन्न अनुसंधान समस्याएं
विल्सन आव्यूह की स्थिति संख्या पर विचार करने से विल्सन आव्यूह की कुछ या सभी विशेष विशेषताओं वाले आव्यूह के कुछ विशेष वर्गों में आव्यूह की स्थिति संख्या से संबंधित कई लोकप्रिय शोध समस्याएं उत्पन्न हुई हैं। विशेष रूप से, आव्यूह के निम्नलिखित विशेष वर्गों का अध्ययन किया गया है:[1]
- के समुच्चय 1 और 10 के मध्य पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ गैर-वचन, सममित आव्यूह है।
- के समुच्चय 1 और 10 के मध्य पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ धनात्मक निश्चित, सममित आव्यूह है।
उपरोक्त समुच्चयों में आव्यूहों की स्थिति संख्याओं की विस्तृत गणना से निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए हैं:
- तत्वों के मध्य , अधिकतम नियमित संख्या है और यह अधिकतम आव्यूह द्वारा प्राप्त किया जाता है।
- तत्वों के मध्य , अधिकतम नियमित संख्या है और यह अधिकतम आव्यूह द्वारा प्राप्त किया जाता है।
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 Nick Higham (June 2021). "What Is the Wilson Matrix?". What Is the Wilson Matrix?. Retrieved 24 May 2022.
- ↑ Nicholas J. Higham and Matthew C. Lettington (2022). "विल्सन मैट्रिक्स का अनुकूलन और फैक्टराइज़िंग". The American Mathematical Monthly. 129 (5): 454–465. doi:10.1080/00029890.2022.2038006. S2CID 233322415. Retrieved 24 May 2022. (An eprint of the paper is available here)
- ↑ Cleve Moler. "विल्सन मैट्रिक्स को पुनर्जीवित करना". Cleve’s Corner: Cleve Moler on Mathematics and Computing. MathWorks. Retrieved 24 May 2022.
- ↑ Carl Erik Froberg (1969). संख्यात्मक विश्लेषण का परिचय (2 ed.). Reading, Mass.: Addison-Wesley.
- ↑ Robert T Gregory and David L Karney (1978). कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम के परीक्षण के लिए मैट्रिक्स का एक संग्रह. Huntington, New York: Robert Krieger Publishing Company. p. 57.
- ↑ J Morris (1946). "रैखिक समकालिक समीकरणों के समाधान के लिए एक एस्केलेटर प्रक्रिया". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 37:265 (265): 106–120. doi:10.1080/14786444608561331. Retrieved 19 May 2022.
- ↑ Nicholas J. Higham, Matthew C. Lettington, Karl Michael Schmidt (2021). "पूर्णांक मैट्रिक्स गुणनखंडन, सुपरबीजगणित और द्विघात रूप बाधा". Linear Algebra and Its Applications. 622: 250–267. doi:10.1016/j.laa.2021.03.028. S2CID 232146938.
{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
