विल्सन आव्यूह

विल्सन आव्यूह निम्नलिखित है, $4\times 4$ आव्यूह जिसमें तत्वों के रूप में पूर्णांक हैं:

$W={\begin{bmatrix}5&7&6&5\\7&10&8&7\\6&8&10&9\\5&7&9&10\end{bmatrix}}$

यह 1946 में प्रकाशित जे. मॉरिस के पेपर में विचारित रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का गुणांक आव्यूह है:

${\text{(S1)}}\quad {\begin{aligned}5x+7y+6z+5u&=23\\7x+10y+8z+7u&=32\\6x+8y+10z+9u&=33\\5x+7y+9z+10u&=31\end{aligned}}$

मॉरिस समीकरणों के समुच्चय का स्रोत टी.एस. विल्सन को बताते हैं किन्तु विल्सन के बारे में कोई विवरण नहीं दिया गया है। समीकरणों की विशेष प्रणाली का उपयोग मॉरिस द्वारा समीकरणों की व्यर्थ स्थिति वाली प्रणाली की अवधारणा को स्पष्ट करने के लिए किया गया था। गणित का प्रश्न $W$ वर्षों से कई शोध पत्रों और पुस्तकों में उदाहरण के रूप में और परीक्षण उद्देश्यों के लिए उपयोग किया गया है। जॉन टोड ने उल्लेख किया है $W$ को "टी.एस. विल्सन का कुख्यात आव्यूह डब्ल्यू" कहा गया है।

गुण

1. $W$ सममित आव्यूह है।
2. $W$ धनात्मक निश्चित है।
3. $W$ का निर्धारक $1$ है।
4. इनवर्स आव्यूह $W$ है $W^{-1}={\begin{bmatrix}68&-41&-17&10\\-41&25&10&-6\\-17&10&5&-3\\10&-6&-3&2\end{bmatrix}}$
5. विशेषता बहुपद $W$, $\lambda ^{4}-35\lambda ^{3}+146\lambda ^{2}-100\lambda +1$ है।
6. स्वदेशी मान $W$, $\quad 0.01015004839789187,\quad 0.8431071498550294,\quad 3.858057455944953,\quad 30.28868534580213$ है।
7. तब से $W$ सममित है, 2-पैरामीटर स्थिति संख्या $W$, $\kappa _{2}(W)=({\text{max eigen value}})/({\text{min eigen value}})=30.28868534580213/0.01015004839789187=2984.09270167549$ है।
8. समीकरणों की प्रणाली का समाधान $(S1)$, $x=y=z=u=1$ है।
9. चॉलेस्की गुणनखंडन $W$ है $W=R^{T}R$ जहाँ $R={\begin{bmatrix}{\sqrt {5}}&{\frac {7}{\sqrt {5}}}&{\frac {6}{\sqrt {5}}}&{\sqrt {5}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {5}}}&-{\frac {2}{\sqrt {5}}}&0\\0&0&{\sqrt {2}}&{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\0&0&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}$.
10. $W$ गुणनखंडन है $W=LDL^{T}$ जहाँ $L={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\{\frac {7}{5}}&1&0&0\\{\frac {6}{5}}&-2&1&0\\1&0&{\frac {3}{2}}&1\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}5&0&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$.
11. $W$ का गुणनखंडन $W=Z^{T}Z$ के साथ $Z$ पूर्णांक आव्यूह के रूप में है। $Z={\begin{bmatrix}2&3&2&2\\1&1&2&1\\0&0&1&2\\0&0&1&1\end{bmatrix}}$.

विल्सन आव्यूह द्वारा उत्पन्न अनुसंधान समस्याएं

विल्सन आव्यूह की स्थिति संख्या पर विचार करने से विल्सन आव्यूह की कुछ या सभी विशेष विशेषताओं वाले आव्यूह के कुछ विशेष वर्गों में आव्यूह की स्थिति संख्या से संबंधित कई लोकप्रिय शोध समस्याएं उत्पन्न हुई हैं। विशेष रूप से, आव्यूह के निम्नलिखित विशेष वर्गों का अध्ययन किया गया है:

1. $S=$ के समुच्चय $4\times 4$ 1 और 10 के मध्य पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ गैर-वचन, सममित आव्यूह है।
2. $P=$ के समुच्चय $4\times 4$ 1 और 10 के मध्य पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ धनात्मक निश्चित, सममित आव्यूह है।

उपरोक्त समुच्चयों में आव्यूहों की स्थिति संख्याओं की विस्तृत गणना से निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए हैं:

1. तत्वों के मध्य $S$, अधिकतम नियमित संख्या $7.6119\times 10^{4}$ है और यह अधिकतम आव्यूह ${\begin{bmatrix}2&7&10&10\\7&10&10&9\\10&10&10&1\\10&9&1&10\end{bmatrix}}$द्वारा प्राप्त किया जाता है।
2. तत्वों के मध्य $P$, अधिकतम नियमित संख्या $3.5529\times 10^{4}$ है और यह अधिकतम आव्यूह ${\begin{bmatrix}9&1&1&5\\1&10&1&9\\1&1&10&1\\5&9&1&10\end{bmatrix}}$द्वारा प्राप्त किया जाता है।