शृंखला त्वरण: Difference between revisions
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गणित में, श्रृंखला त्वरण एक [[श्रृंखला (गणित)]] के [[अभिसरण की दर]] में सुधार के लिए [[अनुक्रम परिवर्तन]] | गणित में, श्रृंखला त्वरण एक [[श्रृंखला (गणित)]] के [[अभिसरण की दर]] में सुधार के लिए [[अनुक्रम परिवर्तन]] के संग्रह में से एक है। श्रृंखला त्वरण की तकनीकों को अधिकांशतः [[संख्यात्मक विश्लेषण]] में प्रयुक्त किया जाता है, जहां उनका उपयोग [[संख्यात्मक एकीकरण]] की गति में सुधार करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, [[विशेष कार्य]] पर विभिन्न प्रकार की पहचान प्राप्त करने के लिए श्रृंखला त्वरण तकनीकों का भी उपयोग किया जा सकता है। इस प्रकार, [[हाइपरज्यामितीय श्रृंखला]] पर प्रयुक्त [[यूलर परिवर्तन]] कुछ उत्कृष्ट , प्रसिद्ध हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला पहचान देता है। | ||
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:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{s'_n-\ell}{s_n-\ell} = 0.</math> | :<math>\lim_{n\to\infty} \frac{s'_n-\ell}{s_n-\ell} = 0.</math> | ||
यदि मूल अनुक्रम [[अपसारी श्रृंखला]] है, तो अनुक्रम परिवर्तन [[एंटीलिमिट]] के लिए एक [[एक्सट्रपलेशन विधि]] के रूप में कार्य करता है <math>\ell</math>. | यदि मूल अनुक्रम [[अपसारी श्रृंखला]] है, तो अनुक्रम परिवर्तन [[एंटीलिमिट]] के लिए एक [[एक्सट्रपलेशन विधि]] के रूप में कार्य करता है <math>\ell</math>. | ||
मूल | यदि मूल अनुक्रम भिन्न है, तो अनुक्रम परिवर्तन एंटीलिमिट <math>\ell</math> के लिए एक एक्सट्रपलेशन विधि के रूप में कार्य करता है। | ||
मूल से रूपांतरित श्रृंखला तक की मैपिंग रैखिक मैपिंग (जैसा कि लेख अनुक्रम परिवर्तनों में परिभाषित है), या गैर-रैखिक हो सकती है। सामान्य रूप से गैर-रेखीय अनुक्रम परिवर्तन अधिक शक्तिशाली होते हैं। | |||
श्रृंखला | |||
[[वैकल्पिक श्रृंखला]] के लिए, कई शक्तिशाली तकनीकें, से अभिसरण दर की | == अवलोकन == | ||
श्रृंखला त्वरण के लिए दो मौलिक तकनीकें यूलर की श्रृंखला का परिवर्तन हैं<ref>{{AS ref|3, eqn 3.6.27|16}}</ref> और कुमेर की श्रृंखला का परिवर्तन<ref>{{AS ref|3, eqn 3.6.26|16}}</ref> 20वीं सदी में बहुत तेजी से अभिसरण और विशेष-स्थिति वाले उपकरणों की एक विविध विकसित की गई है, जिसमें [[रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन]] भी सम्मिलित है, जिसे 20वीं सदी की प्रारंभिक में [[लुईस फ्राई रिचर्डसन]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था, किंतु 1722 में [[केंको ताकेबे]] द्वारा भी जाना और उपयोग किया गया था; [[ऐटकेन डेल्टा-स्क्वेर्ड प्रक्रिया]], जिसे 1926 में [[अलेक्जेंडर ऐटकेन]] द्वारा प्रारंभ किया गया था, किंतु 18वीं शताब्दी में [[सीटों की अधिक संख्या]] द्वारा भी जाना और उपयोग किया गया था; 1956 में [[पीटर व्यान (गणितज्ञ)]] द्वारा दी गई [http://mathworld.wolfram.com/WynnsEpsilonMethod.html एप्सिलॉन विधि]; लेविन यू-ट्रांसफ़ॉर्म; और विल्फ-ज़ीलबर्गर-एखड विधि या [[WZ सिद्धांत|डब्ल्यूजेड सिद्धांत]] द्वारा दी गई। | |||
[[वैकल्पिक श्रृंखला]] के लिए, कई शक्तिशाली तकनीकें, से अभिसरण दर की प्रस्तुति <math>5.828^{-n}</math> यहां तक <math>17.93^{-n} | |||
</math> के सारांश के लिए <math>n</math> नियम, कोहेन एट अल द्वारा वर्णित हैं।<ref>[[Henri Cohen (number theorist)|Henri Cohen]], Fernando Rodriguez Villegas, and [[Don Zagier]], | |||
"[http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/exp-math-9/fulltext.pdf Convergence Acceleration of Alternating Series]", ''Experimental Mathematics'', '''9''':1 (2000) page 3.</ref> | "[http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/exp-math-9/fulltext.pdf Convergence Acceleration of Alternating Series]", ''Experimental Mathematics'', '''9''':1 (2000) page 3.</ref> | ||
==यूलर का परिवर्तन== | ==यूलर का परिवर्तन== | ||
उत्तम अभिसरण की प्रस्तुति करने वाले [[रैखिक अनुक्रम परिवर्तन]] का एक मूल उदाहरण, यूलर का परिवर्तन है। इसे एक वैकल्पिक श्रृंखला पर प्रयुक्त करने का संकेत है; यह द्वारा दिया गया है | |||
:<math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(\Delta^n a)_0}{2^{n+1}}</math> | :<math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(\Delta^n a)_0}{2^{n+1}}</math> | ||
जहाँ <math>\Delta</math> [[फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर]] है, जिसके लिए सूत्र उपस्थित है | |||
:<math>(\Delta^n a)_0 = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} a_{n-k}.</math> | :<math>(\Delta^n a)_0 = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} a_{n-k}.</math> | ||
यदि मूल श्रृंखला, बाईं ओर, केवल धीरे-धीरे परिवर्तित हो रही है, तो आगे के अंतर काफी तेजी से छोटे होते जाएंगे; दो की अतिरिक्त शक्ति दाहिनी ओर अभिसरण की दर को और | यदि मूल श्रृंखला, बाईं ओर, केवल धीरे-धीरे परिवर्तित हो रही है, तो आगे के अंतर काफी तेजी से छोटे होते जाएंगे; दो की अतिरिक्त शक्ति दाहिनी ओर अभिसरण की दर को और उत्तम बनाती है। | ||
यूलर ट्रांसफॉर्म का एक विशेष रूप से कुशल संख्यात्मक कार्यान्वयन [[वैन विजनगार्डन परिवर्तन]] है।<ref>William H. Press, ''et al.'', ''Numerical Recipes in C'', (1987) Cambridge University Press, {{isbn|0-521-43108-5}} (See section 5.1).</ref> | यूलर ट्रांसफॉर्म का एक विशेष रूप से कुशल संख्यात्मक कार्यान्वयन [[वैन विजनगार्डन परिवर्तन]] है।<ref>William H. Press, ''et al.'', ''Numerical Recipes in C'', (1987) Cambridge University Press, {{isbn|0-521-43108-5}} (See section 5.1).</ref> | ||
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:<math>S = \sum_{n=0}^{\infty} a_n</math> | :<math>S = \sum_{n=0}^{\infty} a_n</math> | ||
f(1) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां [[फ़ंक्शन (गणित)]] f को इस प्रकार परिभाषित किया गया है | f(1) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] f को इस प्रकार परिभाषित किया गया है | ||
:<math>f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n.</math> | :<math>f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n.</math> | ||
फलन f(z) में सम्मिश्र तल (शाखा बिंदु विलक्षणताएं, ध्रुव या आवश्यक विलक्षणताएं) में विलक्षणताएं हो सकती हैं, जो श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या को सीमित करती हैं। यदि बिंदु z = 1 अभिसरण डिस्क की सीमा के निकट या सीमा पर है, तो S के लिए श्रृंखला बहुत धीमी गति से अभिसरित होगी। फिर कोई अनुरूप मानचित्रण के माध्यम से श्रृंखला के अभिसरण में सुधार कर सकता है जो विलक्षणताओं को इस तरह से स्थानांतरित करता है कि जिस बिंदु को z = 1 पर मैप किया जाता है वह अभिसरण की नई डिस्क में अधिक गहराई तक समाप्त होता है। | |||
अनुरूप परिवर्तन <math>z = \Phi(w)</math> | अनुरूप परिवर्तन <math>z = \Phi(w)</math> को ऐसे चुना जाना चाहिए कि <math>\Phi(0) = 0</math>, और कोई समान्यत: एक फलन चुनता है जिसमें w = 0 पर एक सीमित व्युत्पन्न होता है। कोई यह मान सकता है कि <math>\Phi(1) = 1</math> व्यापकता के हानि के बिना, एक के रूप में <math>\Phi</math> को पुनः परिभाषित करने के लिए w को सदैव पुनः स्केल कर सकते हैं। फिर हम फलन पर विचार करते हैं | ||
:<math>g(w) = f(\Phi(w)).</math> | :<math>g(w) = f(\Phi(w)).</math> | ||
चूँकि <math>\Phi(1) = 1</math>.हमारे पास f(1) = g(1) है हम f(z) के श्रृंखला विस्तार में <math>z = \Phi(w)</math>) डालकर g(w) का श्रृंखला विस्तार प्राप्त कर सकते हैं क्योंकि <math>\Phi(0)=0</math>; f(z) के लिए श्रृंखला विस्तार के पहले n पद g(w) के लिए श्रृंखला विस्तार के पहले n पद प्राप्त करेंगे यदि <math>\Phi'(0) \neq 0</math> उस श्रृंखला विस्तार में w = 1 डालने से इस प्रकार एक श्रृंखला प्राप्त होगी कि यदि यह अभिसरण होती है, तो यह मूल श्रृंखला के समान मान पर अभिसरण होगी। | |||
==गैर-रैखिक अनुक्रम परिवर्तन== | ==गैर-रैखिक अनुक्रम परिवर्तन== | ||
ऐसे अरेखीय अनुक्रम परिवर्तनों के उदाहरण हैं पैडे सन्निकटन, [[शैंक्स परिवर्तन]] और लेविन-प्रकार अनुक्रम | ऐसे अरेखीय अनुक्रम परिवर्तनों के उदाहरण हैं पैडे सन्निकटन, [[शैंक्स परिवर्तन]] और लेविन-प्रकार अनुक्रम परिवर्तन है । | ||
विशेष रूप से गैर-रेखीय अनुक्रम परिवर्तन | विशेष रूप से गैर-रेखीय अनुक्रम परिवर्तन अधिकांशतः अपसारी श्रृंखला या [[स्पर्शोन्मुख श्रृंखला]] के [[योग]] के लिए शक्तिशाली संख्यात्मक विधि प्रदान करते हैं जो उदाहरण के लिए [[गड़बड़ी सिद्धांत|अस्तव्यस्तता सिद्धांत]] में उत्पन्न होते हैं, और अत्यधिक प्रभावी एक्सट्रपलेशन विधियों के रूप में उपयोग किए जा सकते हैं। | ||
===ऐटकेन विधि=== | ===ऐटकेन विधि=== | ||
{{main| | {{main|ऐटकेन की डेल्टा-वर्ग प्रक्रिया}} | ||
एक सरल अरेखीय अनुक्रम परिवर्तन ऐटकेन एक्सट्रपलेशन या डेल्टा-स्क्वायर विधि है, | एक सरल अरेखीय अनुक्रम परिवर्तन ऐटकेन एक्सट्रपलेशन या डेल्टा-स्क्वायर विधि है, | ||
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:<math>s'_n = s_{n+2} - \frac{(s_{n+2}-s_{n+1})^2}{s_{n+2}-2s_{n+1}+s_n}.</math> | :<math>s'_n = s_{n+2} - \frac{(s_{n+2}-s_{n+1})^2}{s_{n+2}-2s_{n+1}+s_n}.</math> | ||
इस परिवर्तन का उपयोग | इस परिवर्तन का उपयोग समान्यत: धीरे-धीरे परिवर्तित होने वाले अनुक्रम के अभिसरण की दर में सुधार करने के लिए किया जाता है; अनुमानतः, यह [[पूर्ण त्रुटि]] के सबसे बड़े भाग को समाप्त कर देता है। | ||
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* C. Brezinski and [[Michela Redivo-Zaglia|M. Redivo Zaglia]], ''Extrapolation Methods. Theory and Practice'', North-Holland, 1991. | * C. Brezinski and [[Michela Redivo-Zaglia|M. Redivo Zaglia]], ''Extrapolation Methods. Theory and Practice'', North-Holland, 1991. | ||
* G. A. Baker Jr. and P. Graves-Morris, ''Padé | * G. A. Baker Jr. and P. Graves-Morris, ''Padé Approximants'', Cambridge U.P., 1996. | ||
* {{mathworld|urlname=ConvergenceImprovement|title=Convergence Improvement}} | * {{mathworld|urlname=ConvergenceImprovement|title=Convergence Improvement}} | ||
* Herbert H. H. Homeier: ''Scalar Levin-Type Sequence Transformations'', Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 122, no. 1–2, p 81 (2000). {{Cite journal | last1 = Homeier | first1 = H. H. H. | doi = 10.1016/S0377-0427(00)00359-9 | title = Scalar Levin-type sequence transformations | journal = Journal of Computational and Applied Mathematics | volume = 122 | pages = 81 | year = 2000 | arxiv = math/0005209 | bibcode = 2000JCoAM.122...81H }}, {{arxiv|math/0005209}}. | * Herbert H. H. Homeier: ''Scalar Levin-Type Sequence Transformations'', Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 122, no. 1–2, p 81 (2000). {{Cite journal | last1 = Homeier | first1 = H. H. H. | doi = 10.1016/S0377-0427(00)00359-9 | title = Scalar Levin-type sequence transformations | journal = Journal of Computational and Applied Mathematics | volume = 122 | pages = 81 | year = 2000 | arxiv = math/0005209 | bibcode = 2000JCoAM.122...81H }}, {{arxiv|math/0005209}}. | ||
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* [https://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Series-Acceleration.html GNU Scientific Library, Series Acceleration] | * [https://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Series-Acceleration.html GNU Scientific Library, Series Acceleration] | ||
* [http://dlmf.nist.gov/3.9 Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/3.9 Digital Library of Mathematical Functions] | ||
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Latest revision as of 11:03, 14 August 2023
गणित में, श्रृंखला त्वरण एक श्रृंखला (गणित) के अभिसरण की दर में सुधार के लिए अनुक्रम परिवर्तन के संग्रह में से एक है। श्रृंखला त्वरण की तकनीकों को अधिकांशतः संख्यात्मक विश्लेषण में प्रयुक्त किया जाता है, जहां उनका उपयोग संख्यात्मक एकीकरण की गति में सुधार करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, विशेष कार्य पर विभिन्न प्रकार की पहचान प्राप्त करने के लिए श्रृंखला त्वरण तकनीकों का भी उपयोग किया जा सकता है। इस प्रकार, हाइपरज्यामितीय श्रृंखला पर प्रयुक्त यूलर परिवर्तन कुछ उत्कृष्ट , प्रसिद्ध हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला पहचान देता है।
परिभाषा
एक क्रम दिया गया है
किसी अनुक्रम की एक सीमा होना
एक त्वरित श्रृंखला दूसरा अनुक्रम है
जो मूल अनुक्रम की तुलना में में तेजी से परिवर्तित होता है, इस अर्थ में
यदि मूल अनुक्रम अपसारी श्रृंखला है, तो अनुक्रम परिवर्तन एंटीलिमिट के लिए एक एक्सट्रपलेशन विधि के रूप में कार्य करता है .
यदि मूल अनुक्रम भिन्न है, तो अनुक्रम परिवर्तन एंटीलिमिट के लिए एक एक्सट्रपलेशन विधि के रूप में कार्य करता है।
मूल से रूपांतरित श्रृंखला तक की मैपिंग रैखिक मैपिंग (जैसा कि लेख अनुक्रम परिवर्तनों में परिभाषित है), या गैर-रैखिक हो सकती है। सामान्य रूप से गैर-रेखीय अनुक्रम परिवर्तन अधिक शक्तिशाली होते हैं।
अवलोकन
श्रृंखला त्वरण के लिए दो मौलिक तकनीकें यूलर की श्रृंखला का परिवर्तन हैं[1] और कुमेर की श्रृंखला का परिवर्तन[2] 20वीं सदी में बहुत तेजी से अभिसरण और विशेष-स्थिति वाले उपकरणों की एक विविध विकसित की गई है, जिसमें रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन भी सम्मिलित है, जिसे 20वीं सदी की प्रारंभिक में लुईस फ्राई रिचर्डसन द्वारा प्रस्तुत किया गया था, किंतु 1722 में केंको ताकेबे द्वारा भी जाना और उपयोग किया गया था; ऐटकेन डेल्टा-स्क्वेर्ड प्रक्रिया, जिसे 1926 में अलेक्जेंडर ऐटकेन द्वारा प्रारंभ किया गया था, किंतु 18वीं शताब्दी में सीटों की अधिक संख्या द्वारा भी जाना और उपयोग किया गया था; 1956 में पीटर व्यान (गणितज्ञ) द्वारा दी गई एप्सिलॉन विधि; लेविन यू-ट्रांसफ़ॉर्म; और विल्फ-ज़ीलबर्गर-एखड विधि या डब्ल्यूजेड सिद्धांत द्वारा दी गई।
वैकल्पिक श्रृंखला के लिए, कई शक्तिशाली तकनीकें, से अभिसरण दर की प्रस्तुति यहां तक के सारांश के लिए नियम, कोहेन एट अल द्वारा वर्णित हैं।[3]
यूलर का परिवर्तन
उत्तम अभिसरण की प्रस्तुति करने वाले रैखिक अनुक्रम परिवर्तन का एक मूल उदाहरण, यूलर का परिवर्तन है। इसे एक वैकल्पिक श्रृंखला पर प्रयुक्त करने का संकेत है; यह द्वारा दिया गया है
जहाँ फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर है, जिसके लिए सूत्र उपस्थित है
यदि मूल श्रृंखला, बाईं ओर, केवल धीरे-धीरे परिवर्तित हो रही है, तो आगे के अंतर काफी तेजी से छोटे होते जाएंगे; दो की अतिरिक्त शक्ति दाहिनी ओर अभिसरण की दर को और उत्तम बनाती है।
यूलर ट्रांसफॉर्म का एक विशेष रूप से कुशल संख्यात्मक कार्यान्वयन वैन विजनगार्डन परिवर्तन है।[4]
अनुरूप मानचित्रण
एक श्रृंखला
f(1) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां फलन (गणित) f को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
फलन f(z) में सम्मिश्र तल (शाखा बिंदु विलक्षणताएं, ध्रुव या आवश्यक विलक्षणताएं) में विलक्षणताएं हो सकती हैं, जो श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या को सीमित करती हैं। यदि बिंदु z = 1 अभिसरण डिस्क की सीमा के निकट या सीमा पर है, तो S के लिए श्रृंखला बहुत धीमी गति से अभिसरित होगी। फिर कोई अनुरूप मानचित्रण के माध्यम से श्रृंखला के अभिसरण में सुधार कर सकता है जो विलक्षणताओं को इस तरह से स्थानांतरित करता है कि जिस बिंदु को z = 1 पर मैप किया जाता है वह अभिसरण की नई डिस्क में अधिक गहराई तक समाप्त होता है।
अनुरूप परिवर्तन को ऐसे चुना जाना चाहिए कि , और कोई समान्यत: एक फलन चुनता है जिसमें w = 0 पर एक सीमित व्युत्पन्न होता है। कोई यह मान सकता है कि व्यापकता के हानि के बिना, एक के रूप में को पुनः परिभाषित करने के लिए w को सदैव पुनः स्केल कर सकते हैं। फिर हम फलन पर विचार करते हैं
चूँकि .हमारे पास f(1) = g(1) है हम f(z) के श्रृंखला विस्तार में ) डालकर g(w) का श्रृंखला विस्तार प्राप्त कर सकते हैं क्योंकि ; f(z) के लिए श्रृंखला विस्तार के पहले n पद g(w) के लिए श्रृंखला विस्तार के पहले n पद प्राप्त करेंगे यदि उस श्रृंखला विस्तार में w = 1 डालने से इस प्रकार एक श्रृंखला प्राप्त होगी कि यदि यह अभिसरण होती है, तो यह मूल श्रृंखला के समान मान पर अभिसरण होगी।
गैर-रैखिक अनुक्रम परिवर्तन
ऐसे अरेखीय अनुक्रम परिवर्तनों के उदाहरण हैं पैडे सन्निकटन, शैंक्स परिवर्तन और लेविन-प्रकार अनुक्रम परिवर्तन है ।
विशेष रूप से गैर-रेखीय अनुक्रम परिवर्तन अधिकांशतः अपसारी श्रृंखला या स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के योग के लिए शक्तिशाली संख्यात्मक विधि प्रदान करते हैं जो उदाहरण के लिए अस्तव्यस्तता सिद्धांत में उत्पन्न होते हैं, और अत्यधिक प्रभावी एक्सट्रपलेशन विधियों के रूप में उपयोग किए जा सकते हैं।
ऐटकेन विधि
एक सरल अरेखीय अनुक्रम परिवर्तन ऐटकेन एक्सट्रपलेशन या डेल्टा-स्क्वायर विधि है,
द्वारा परिभाषित
इस परिवर्तन का उपयोग समान्यत: धीरे-धीरे परिवर्तित होने वाले अनुक्रम के अभिसरण की दर में सुधार करने के लिए किया जाता है; अनुमानतः, यह पूर्ण त्रुटि के सबसे बड़े भाग को समाप्त कर देता है।
यह भी देखें
- शैंक का परिवर्तन
- न्यूनतम बहुपद एक्सट्रपलेशन
- वैन विजनगार्डन परिवर्तन
संदर्भ
- ↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 3, eqn 3.6.27". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 16. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
- ↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 3, eqn 3.6.26". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 16. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
- ↑ Henri Cohen, Fernando Rodriguez Villegas, and Don Zagier, "Convergence Acceleration of Alternating Series", Experimental Mathematics, 9:1 (2000) page 3.
- ↑ William H. Press, et al., Numerical Recipes in C, (1987) Cambridge University Press, ISBN 0-521-43108-5 (See section 5.1).
- C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, Extrapolation Methods. Theory and Practice, North-Holland, 1991.
- G. A. Baker Jr. and P. Graves-Morris, Padé Approximants, Cambridge U.P., 1996.
- Weisstein, Eric W. "Convergence Improvement". MathWorld.
- Herbert H. H. Homeier: Scalar Levin-Type Sequence Transformations, Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 122, no. 1–2, p 81 (2000). Homeier, H. H. H. (2000). "Scalar Levin-type sequence transformations". Journal of Computational and Applied Mathematics. 122: 81. arXiv:math/0005209. Bibcode:2000JCoAM.122...81H. doi:10.1016/S0377-0427(00)00359-9., arXiv:math/0005209.
- Brezinski Claude and Redivo-Zaglia Michela : "The genesis and early developments of Aitken's process, Shanks transformation, the -algorithm, and related fixed point methods", Numerical Algorithms, Vol.80, No.1, (2019), pp.11-133.
- Delahaye J. P. : "Sequence Transformations", Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3540152835 (1988).
- Sidi Avram : "Vector Extrapolation Methods with Applications", SIAM, ISBN 978-1-61197-495-9 (2017).
- Brezinski Claude, Redivo-Zaglia Michela and Saad Yousef : "Shanks Sequence Transformations and Anderson Acceleration", SIAM Review, Vol.60, No.3 (2018), pp.646–669. doi:10.1137/17M1120725 .
- Brezinski Claude : "Reminiscences of Peter Wynn", Numerical Algorithms, Vol.80(2019), pp.5-10.
- Brezinski Claude and Redivo-Zaglia Michela : "Extrapolation and Rational Approximation", Springer, ISBN 978-3-030-58417-7 (2020).
