इवासावा अपघटन: Difference between revisions

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गणित में, अर्धसरल लाई समूह का इवासावा अपघटन (इसकी अभिव्यक्ति से उर्फ ​​KAN) उस तरीके को सामान्य बनाता है जिस तरह वर्ग [[वास्तविक मैट्रिक्स]] को [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स]] और [[ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स]] ([[क्यूआर अपघटन]], ग्राम-श्मिट प्रक्रिया का परिणाम | ग्राम-श्मिट ऑर्थोगोनलाइज़ेशन) के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। इसका नाम [[जापान]][[गणितज्ञ]] [[केनकिची इवासावा]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस पद्धति को विकसित किया था।<ref>{{cite journal |authorlink=Kenkichi Iwasawa |last=Iwasawa |first=Kenkichi |title=कुछ प्रकार के टोपोलॉजिकल समूहों पर|journal=[[Annals of Mathematics]] |series=<!-- Second series --> |volume=50 |year=1949 |issue=3 |pages=507–558 |jstor=1969548 |doi=10.2307/1969548}}</ref>
गणित में, अर्धसरल लाई समूह का '''इवासावा अपघटन''' (इसकी अभिव्यक्ति से उर्फ ​​केएएन) उस विधियों को सामान्य बनाता है जिस तरह वर्ग [[वास्तविक मैट्रिक्स|वास्तविक आव्युह]] को [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|ऑर्थोगोनल आव्युह]] और [[ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स|ऊपरी त्रिकोणीय आव्युह]] ([[क्यूआर अपघटन]], ग्राम-श्मिट प्रक्रिया का परिणाम होता है | जहाँ ग्राम-श्मिट को ऑर्थोगोनलाइज़ेशन) के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। इसका नाम [[जापान|जापानी]] [[गणितज्ञ]] [[केनकिची इवासावा]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस पद्धति को विकसित किया था।<ref>{{cite journal |authorlink=Kenkichi Iwasawa |last=Iwasawa |first=Kenkichi |title=कुछ प्रकार के टोपोलॉजिकल समूहों पर|journal=[[Annals of Mathematics]] |series=<!-- Second series --> |volume=50 |year=1949 |issue=3 |pages=507–558 |jstor=1969548 |doi=10.2307/1969548}}</ref>


==परिभाषा==
==परिभाषा               ==
*जी जुड़ा हुआ अर्धसरल वास्तविक [[झूठ समूह]] है।
*G जुड़ा हुआ अर्धसरल वास्तविक [[झूठ समूह|ली समूह]] है।
*<math> \mathfrak{g}_0 </math> G का [[झूठ बीजगणित]] है
*<math> \mathfrak{g}_0 </math> G का [[झूठ बीजगणित|ली बीजगणित]] है
*<math> \mathfrak{g} </math> की [[जटिलता]] है <math> \mathfrak{g}_0 </math>.
*<math> \mathfrak{g} </math> <math> \mathfrak{g}_0 </math> की [[जटिलता|सम्मिश्र्ता]] है .
का कार्टन इन्वॉल्वमेंट है <math> \mathfrak{g}_0 </math>
*θ <math> \mathfrak{g}_0 </math> का कार्टन इन्वॉल्वमेंट है
*<math> \mathfrak{g}_0 = \mathfrak{k}_0 \oplus \mathfrak{p}_0 </math> संगत [[कार्टन अपघटन]] है
*<math> \mathfrak{g}_0 = \mathfrak{k}_0 \oplus \mathfrak{p}_0 </math> संगत [[कार्टन अपघटन]] है
*<math> \mathfrak{a}_0 </math> का अधिकतम एबेलियन उपबीजगणित है <math> \mathfrak{p}_0 </math>
*<math> \mathfrak{a}_0 </math> <math> \mathfrak{p}_0 </math> का अधिकतम एबेलियन उपबीजगणित है
प्रतिबंधित जड़ों का समुच्चय है <math> \mathfrak{a}_0 </math>, के eigenvalues ​​​​के अनुरूप <math> \mathfrak{a}_0 </math> अभिनय कर रहे <math> \mathfrak{g}_0 </math>.
*Σ <math> \mathfrak{a}_0 </math> प्रतिबंधित जड़ों का समुच्चय है , जो <math> \mathfrak{g}_0 </math> पर कार्य कर रहे <math> \mathfrak{a}_0 </math> के आइजेनवैल्यू ​​​​के अनुरूप होते है .
*एस<sup>+</sup> Σ की सकारात्मक जड़ों का विकल्प है
*Σ<sup>+</sup> Σ की धनात्मक जड़ों का विकल्प है
*<math> \mathfrak{n}_0 </math> के मूल स्थानों के योग के रूप में दिया गया शून्य-शक्तिशाली बीजगणित है<sup>+</sup>
*<math> \mathfrak{n}_0 </math> शून्य-शक्तिशाली बीजगणित है जिसे के Σ<sup>+</sup> के मूल स्थानों के योग के रूप में उपयोग किया जाता है 
*K, A, N, द्वारा उत्पन्न G के Lie उपसमूह हैं <math> \mathfrak{k}_0, \mathfrak{a}_0 </math> और <math> \mathfrak{n}_0 </math>.
*K, A, N, G के Lie उपसमूह हैं जो <math> \mathfrak{k}_0, \mathfrak{a}_0 </math> और <math> \mathfrak{n}_0 </math> द्वारा उत्पन्न होते है


फिर इवासावा का विघटन <math> \mathfrak{g}_0 </math> है
अर्थात इवासावा का विघटन <math> \mathfrak{g}_0 </math> है
:<math>\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{k}_0 \oplus \mathfrak{a}_0 \oplus \mathfrak{n}_0</math>
:<math>\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{k}_0 \oplus \mathfrak{a}_0 \oplus \mathfrak{n}_0</math>
और जी का इवासावा अपघटन है
और G का इवासावा अपघटन है
:<math>G=KAN</math>
:<math>G=KAN                                                                                                                               </math>
इसका मतलब है कि मैनिफोल्ड से विश्लेषणात्मक भिन्नता (लेकिन समूह समरूपता नहीं) है <math> K \times A \times N </math> झूठ समूह के लिए <math> G </math>, भेजना <math> (k,a,n) \mapsto kan </math>.
इसका अर्थ यह है कि मैनिफोल्ड <math> K \times A \times N </math> लाई समूह <math> G </math> से विश्लेषणात्मक भिन्नता (किन्तु समूह समरूपता नहीं) है जो <math> (k,a,n) \mapsto kan </math>, के लिए उपयोग किया जाता है .


का [[आयाम]] (या समकक्ष) <math> \mathfrak{a}_0 </math>) बीजगणितीय टोरस#फ्लैट उप-स्थान और जी के सममित स्थानों की रैंक के बराबर है।
A का [[आयाम]] (या <math> \mathfrak{a}_0 </math> समकक्ष) बीजगणितीय टोरस या फ्लैट उप-स्थान और G के सममित स्थानों की रैंक के समान्तर है।


इवासावा अपघटन कुछ असंबद्ध अर्धसरल समूहों G के लिए भी लागू होता है, जहां K (असंबद्ध) [[अधिकतम सघन उपसमूह]] बन जाता है, बशर्ते G का केंद्र परिमित हो।
इस प्रकार इवासावा अपघटन में कुछ असंबद्ध अर्धसरल समूहों G के लिए भी प्रयुक्त होता है, जहां K (असंबद्ध) [[अधिकतम सघन उपसमूह]] बन जाता है, परंतु G का केंद्र परिमित होना चाहिए ।


प्रतिबंधित जड़ स्थान अपघटन है
प्रतिबंधित मूल स्थान अपघटन है
:<math> \mathfrak{g}_0 = \mathfrak{m}_0\oplus\mathfrak{a}_0\oplus_{\lambda\in\Sigma}\mathfrak{g}_{\lambda} </math>
:<math> \mathfrak{g}_0 = \mathfrak{m}_0\oplus\mathfrak{a}_0\oplus_{\lambda\in\Sigma}\mathfrak{g}_{\lambda} </math>
कहाँ <math>\mathfrak{m}_0</math> का केंद्रीकरणकर्ता है <math>\mathfrak{a}_0</math> में <math>\mathfrak{k}_0</math> और <math>\mathfrak{g}_{\lambda} = \{X\in\mathfrak{g}_0: [H,X]=\lambda(H)X\;\;\forall H\in\mathfrak{a}_0 \}</math> मूल स्थान है. जो नंबर
जहाँ <math>\mathfrak{m}_0</math>, <math>\mathfrak{a}_0</math> इंच का केंद्रीकरणकर्ता है <math>\mathfrak{k}_0</math> और <math>\mathfrak{g}_{\lambda} = \{X\in\mathfrak{g}_0: [H,X]=\lambda(H)X\;\;\forall H\in\mathfrak{a}_0 \}</math> मूल स्थान है. जो नंबर <math>m_{\lambda}= \text{dim}\,\mathfrak{g}_{\lambda}</math> को <math>\lambda</math> की बहुलता कहलाती है .
<math>m_{\lambda}= \text{dim}\,\mathfrak{g}_{\lambda}</math> की बहुलता कहलाती है <math>\lambda</math>.


==उदाहरण==
==उदाहरण                                                                               ==
जीएसएल का<sub>n</sub>('R'), तो हम K को ओर्थोगोनल आव्यूह के रूप में ले सकते हैं, A को निर्धारक 1 के साथ सकारात्मक विकर्ण आव्यूह के रूप में ले सकते हैं, और N को विकर्ण पर 1s के साथ ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों से युक्त [[एकशक्तिशाली समूह]] के रूप में ले सकते हैं।
यदि G=SL<sub>n</sub>(R) तो हम K को ओर्थोगोनल आव्यूह के रूप में ले सकते हैं, A को निर्धारक 1 के साथ धनात्मक विकर्ण आव्यूह के रूप में ले सकते हैं, और N को विकर्ण पर 1s के साथ ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों से युक्त [[एकशक्तिशाली समूह]] के रूप में ले सकते हैं।


n=2 के मामले के लिए, G=SL(2,'R') का इवासावा अपघटन के संदर्भ में है
n=2 के स्तिथियों के लिए, G=SL(2,'R') का इवासावा अपघटन के संदर्भ में है
:<math> \mathbf{K} = \left\{
:<math> \mathbf{K} = \left\{
  \begin{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
  \cos \theta & -\sin \theta \\
  \cos \theta & -\sin \theta \\
  \sin \theta & \cos \theta  
  \sin \theta & \cos \theta  
  \end{pmatrix} \in SL(2,\mathbb{R}) \ | \  \theta\in\mathbf{R}  \right\} \cong SO(2) ,
  \end{pmatrix} \in SL(2,\mathbb{R}) \ | \  \theta\in\mathbf{R}  \right\} \cong SO(2) ,                                                                                  
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:<math>
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  r & 0 \\
  r & 0 \\
  0 & r^{-1}  
  0 & r^{-1}  
  \end{pmatrix} \in SL(2,\mathbb{R}) \ | \  r > 0  \right\},
  \end{pmatrix} \in SL(2,\mathbb{R}) \ | \  r > 0  \right\},                                                                                                                          
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:<math>
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  1 & x \\
  1 & x \\
  0 & 1  
  0 & 1  
  \end{pmatrix} \in SL(2,\mathbb{R}) \ | \  x\in\mathbf{R} \right\}.
  \end{pmatrix} \in SL(2,\mathbb{R}) \ | \  x\in\mathbf{R} \right\}.                                                                                                    
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[[सहानुभूति समूह]] G=Sp(2n, 'R' ) के लिए, संभावित इवासावा अपघटन के संदर्भ में है
[[सहानुभूति समूह]] G=Sp(2n, 'R' ) के लिए, संभावित इवासावा अपघटन के संदर्भ में है
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  A & B \\
  A & B \\
  -B & A  
  -B & A  
  \end{pmatrix} \in Sp(2n,\mathbb{R}) \ | \  A+iB \in U(n) \right\} \cong U(n) ,
  \end{pmatrix} \in Sp(2n,\mathbb{R}) \ | \  A+iB \in U(n) \right\} \cong U(n) ,                                                                          
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:<math>
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  D & 0 \\
  D & 0 \\
  0 & D^{-1}  
  0 & D^{-1}  
  \end{pmatrix} \in Sp(2n,\mathbb{R}) \ | \  D \text{ positive, diagonal} \right\},
  \end{pmatrix} \in Sp(2n,\mathbb{R}) \ | \  D \text{ positive, diagonal} \right\},                                                                                                  
                                       
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:<math>
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  N & M \\
  N & M \\
  0 & N^{-T}  
  0 & N^{-T}  
  \end{pmatrix} \in Sp(2n,\mathbb{R}) \ | \  N \text{ upper triangular with diagonal elements = 1},\ NM^T = MN^T \right\}.
  \end{pmatrix} \in Sp(2n,\mathbb{R}) \ | \  N \text{ upper triangular with diagonal elements = 1},\ NM^T = MN^T \right\}.                                  
                                                                                                                           
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==गैर-आर्किमिडीयन इवासावा अपघटन==
==गैर-आर्किमिडीयन इवासावा अपघटन                                       ==
[[गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र]] के लिए उपरोक्त इवासावा अपघटन का एनालॉग है <math>F</math>: इस मामले में, समूह <math>GL_n(F)</math> ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स के उपसमूह और (अधिकतम कॉम्पैक्ट) उपसमूह के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है <math>GL_n(O_F)</math>, कहाँ <math>O_F</math> के पूर्णांकों का वलय है <math>F</math>.<ref>{{citation|author=Bump|first=Daniel|title=Automorphic forms and representations|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|year=1997|isbn=0-521-55098-X|doi=10.1017/CBO9780511609572}}, Prop. 4.5.2</ref>
[[गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र]] <math>F</math> के लिए उपरोक्त इवासावा अपघटन का एनालॉग है : इस स्तिथियों में, समूह <math>GL_n(F)</math> ऊपरी-त्रिकोणीय आव्युह के उपसमूह और (अधिकतम कॉम्पैक्ट) उपसमूह के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है <math>GL_n(O_F)</math>, जहाँ <math>O_F</math> के पूर्णांकों का वलय <math>F</math>.है<ref>{{citation|author=Bump|first=Daniel|title=Automorphic forms and representations|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|year=1997|isbn=0-521-55098-X|doi=10.1017/CBO9780511609572}}, Prop. 4.5.2</ref>


 
== यह भी देखें ==
==यह भी देखें==
*[[झूठ समूह विघटन|ली समूह विघटन]]                                      
*[[झूठ समूह विघटन]]
* [[अर्ध-सरल झूठ बीजगणित की जड़ प्रणाली|अर्ध-सरल ली बीजगणित की मूल प्रणाली]]
* [[अर्ध-सरल झूठ बीजगणित की जड़ प्रणाली]]


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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*{{springer|title=Iwasawa decomposition|id=Iwasawa_decomposition&oldid=21877|first1=A.S. |last1=Fedenko|first2=A.I.|last2= Shtern}}
*{{springer|title=Iwasawa decomposition|id=Iwasawa_decomposition&oldid=21877|first1=A.S. |last1=Fedenko|first2=A.I.|last2= Shtern}}
*{{Cite book|title=Lie groups beyond an introduction|authorlink=A. W. Knapp|last=Knapp|first=A. W.|ISBN=9780817642594|year=2002|edition=2nd}}
*{{Cite book|title=Lie groups beyond an introduction|authorlink=A. W. Knapp|last=Knapp|first=A. W.|ISBN=9780817642594|year=2002|edition=2nd}}
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Latest revision as of 09:52, 11 August 2023

गणित में, अर्धसरल लाई समूह का इवासावा अपघटन (इसकी अभिव्यक्ति से उर्फ ​​केएएन) उस विधियों को सामान्य बनाता है जिस तरह वर्ग वास्तविक आव्युह को ऑर्थोगोनल आव्युह और ऊपरी त्रिकोणीय आव्युह (क्यूआर अपघटन, ग्राम-श्मिट प्रक्रिया का परिणाम होता है | जहाँ ग्राम-श्मिट को ऑर्थोगोनलाइज़ेशन) के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। इसका नाम जापानी गणितज्ञ केनकिची इवासावा के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस पद्धति को विकसित किया था।[1]

परिभाषा

  • G जुड़ा हुआ अर्धसरल वास्तविक ली समूह है।
  • G का ली बीजगणित है
  • की सम्मिश्र्ता है .
  • θ का कार्टन इन्वॉल्वमेंट है
  • संगत कार्टन अपघटन है
  • का अधिकतम एबेलियन उपबीजगणित है
  • Σ प्रतिबंधित जड़ों का समुच्चय है , जो पर कार्य कर रहे के आइजेनवैल्यू ​​​​के अनुरूप होते है .
  • Σ+ Σ की धनात्मक जड़ों का विकल्प है
  • शून्य-शक्तिशाली बीजगणित है जिसे के Σ+ के मूल स्थानों के योग के रूप में उपयोग किया जाता है
  • K, A, N, G के Lie उपसमूह हैं जो और द्वारा उत्पन्न होते है

अर्थात इवासावा का विघटन है

और G का इवासावा अपघटन है

इसका अर्थ यह है कि मैनिफोल्ड लाई समूह से विश्लेषणात्मक भिन्नता (किन्तु समूह समरूपता नहीं) है जो , के लिए उपयोग किया जाता है .

A का आयाम (या समकक्ष) बीजगणितीय टोरस या फ्लैट उप-स्थान और G के सममित स्थानों की रैंक के समान्तर है।

इस प्रकार इवासावा अपघटन में कुछ असंबद्ध अर्धसरल समूहों G के लिए भी प्रयुक्त होता है, जहां K (असंबद्ध) अधिकतम सघन उपसमूह बन जाता है, परंतु G का केंद्र परिमित होना चाहिए ।

प्रतिबंधित मूल स्थान अपघटन है

जहाँ , इंच का केंद्रीकरणकर्ता है और मूल स्थान है. जो नंबर को की बहुलता कहलाती है .

उदाहरण

यदि G=SLn(R) तो हम K को ओर्थोगोनल आव्यूह के रूप में ले सकते हैं, A को निर्धारक 1 के साथ धनात्मक विकर्ण आव्यूह के रूप में ले सकते हैं, और N को विकर्ण पर 1s के साथ ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों से युक्त एकशक्तिशाली समूह के रूप में ले सकते हैं।

n=2 के स्तिथियों के लिए, G=SL(2,'R') का इवासावा अपघटन के संदर्भ में है

सहानुभूति समूह G=Sp(2n, 'R' ) के लिए, संभावित इवासावा अपघटन के संदर्भ में है


गैर-आर्किमिडीयन इवासावा अपघटन

गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र के लिए उपरोक्त इवासावा अपघटन का एनालॉग है : इस स्तिथियों में, समूह ऊपरी-त्रिकोणीय आव्युह के उपसमूह और (अधिकतम कॉम्पैक्ट) उपसमूह के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है , जहाँ के पूर्णांकों का वलय .है[2]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. Iwasawa, Kenkichi (1949). "कुछ प्रकार के टोपोलॉजिकल समूहों पर". Annals of Mathematics. 50 (3): 507–558. doi:10.2307/1969548. JSTOR 1969548.
  2. Bump, Daniel (1997), Automorphic forms and representations, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511609572, ISBN 0-521-55098-X, Prop. 4.5.2