सहानुभूति समूह

For finite groups with all characteristic abelian subgroups cyclic, see group of symplectic type.

गणित में, सिम्प्लेक्टिक समूह नाम दो अलग-अलग, लेकिन निकट से संबंधित, गणितीय समूह (गणित) के संग्रह को संदर्भित कर सकता है, जिसे दर्शाया गया है Sp(2n, F) और Sp(n) सकारात्मक पूर्णांक n और फ़ील्ड (गणित) 'F' (आमतौर पर 'C' या 'R') के लिए। उत्तरार्द्ध को 'कॉम्पैक्ट सिम्पलेक्टिक समूह' कहा जाता है और इसे इसके द्वारा भी दर्शाया जाता है $\mathrm {USp} (n)$. कई लेखक थोड़ा भिन्न नोटेशन पसंद करते हैं, जो आमतौर पर कारकों के आधार पर भिन्न होते हैं 2. यहां उपयोग किया गया नोटेशन सबसे सामान्य मैट्रिक्स (गणित) के आकार के अनुरूप है जो समूहों का प्रतिनिधित्व करता है। एली कार्टन के सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण में, जटिल समूह का लाई बीजगणित Sp(2n, C) दर्शाया गया है C_n, और Sp(n) वास्तविक रूप है (झूठ सिद्धांत)#संक्षिप्त वास्तविक रूप है Sp(2n, C). ध्यान दें कि जब हम (कॉम्पैक्ट) सिंपलेक्टिक समूह का उल्लेख करते हैं तो यह निहित होता है कि हम (कॉम्पैक्ट) सिंपलेक्टिक समूहों के संग्रह के बारे में बात कर रहे हैं, जो उनके आयाम द्वारा अनुक्रमित हैं। n.

सिम्पलेक्टिक समूह का नाम सिम्पलेक्टिक टोपोलॉजी#नाम है, जो पिछले भ्रामक नामों (रेखा) जटिल समूह और एबेलियन रैखिक समूह के प्रतिस्थापन के रूप में है, और कॉम्प्लेक्स का ग्रीक एनालॉग है।

रूपक समूह आर पर सिम्पलेक्टिक समूह का दोहरा आवरण है; इसमें अन्य स्थानीय क्षेत्रों, परिमित क्षेत्रों और एडेल अंगूठी की तुलना में एनालॉग्स हैं।

Sp(2n, F)

सहानुभूति समूह एक शास्त्रीय समूह है जिसे ए के रैखिक परिवर्तनों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है 2nक्षेत्र के ऊपर-आयामी सदिश स्थल F जो एक गैर-अपक्षयी रूप को संरक्षित करता है|गैर-अपक्षयी तिरछा-सममित मैट्रिक्स|तिरछा-सममित द्विरेखीय रूप। ऐसे सदिश समष्टि को सिम्प्लेक्टिक सदिश समष्टि कहा जाता है, और अमूर्त सिम्प्लेक्टिक सदिश समष्टि का सहानुभूति समूह V दर्शाया गया है Sp(V). के लिए एक आधार तय करने पर V, सहानुभूति समूह का समूह बन जाता है 2n × 2n सिंपलेक्टिक मैट्रिक्स , प्रविष्टियों के साथ F, मैट्रिक्स गुणन के संचालन के तहत। इस समूह को या तो निरूपित किया जाता है Sp(2n, F) या Sp(n, F). यदि द्विरेखीय रूप को गैर-एकवचन मैट्रिक्स तिरछा-सममित मैट्रिक्स Ω द्वारा दर्शाया जाता है, तो

$\operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},$

जहां एम^TM का स्थानान्तरण है। अक्सर Ω को परिभाषित किया जाता है

$\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},$

जहां मैं_nपहचान मैट्रिक्स है. इस मामले में, Sp(2n, F) को उन ब्लॉक मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$, कहाँ $A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)$, तीन समीकरणों को संतुष्ट करना:

${\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}$

चूँकि सभी सहानुभूति आव्यूहों में निर्धारक होता है 1, सहानुभूति समूह विशेष रैखिक समूह का एक उपसमूह है SL(2n, F). कब n = 1, मैट्रिक्स पर सहानुभूति की स्थिति संतुष्ट होती है यदि और केवल यदि निर्धारक एक है, ताकि Sp(2, F) = SL(2, F). के लिए n > 1, अतिरिक्त शर्तें हैं, अर्थात्। Sp(2n, F) तो एक उचित उपसमूह है SL(2n, F).

आमतौर पर, फ़ील्ड F वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है R या सम्मिश्र संख्याएँ C. ऐसे मामलों में Sp(2n, F) वास्तविक/जटिल आयाम का एक वास्तविक/जटिल झूठ समूह है n(2n + 1). ये समूह अंतरिक्ष से जुड़े हुए हैं लेकिन कॉम्पैक्ट समूह|गैर-कॉम्पैक्ट हैं।

का केंद्र (समूह सिद्धांत)। Sp(2n, F) आव्यूहों से मिलकर बना है I_2n और −I_2n जब तक विशेषता (बीजगणित) नहीं है 2. के केंद्र से Sp(2n, F) असतत है और इसका भागफल मॉड्यूलो केंद्र एक सरल समूह है, Sp(2n, F) को एक साधारण झूठ समूह माना जाता है#परिभाषा पर टिप्पणियाँ।

संगत लाई बीजगणित की वास्तविक रैंक, और इसलिए लाई समूह की Sp(2n, F), है n.

का झूठ बीजगणित Sp(2n, F) सेट है

${\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},$

इसके लाई ब्रैकेट के रूप में कम्यूटेटर#रिंग सिद्धांत से सुसज्जित। मानक तिरछा-सममित द्विरेखीय रूप के लिए $\Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})$, यह लाई बीजगणित सभी ब्लॉक मैट्रिक्स का सेट है $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$ शर्तों के अधीन

${\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}$

Sp(2n, C)

जटिल संख्याओं के क्षेत्र पर सहानुभूति समूह एक कॉम्पैक्ट समूह है | गैर-कॉम्पैक्ट, बस जुड़ा हुआ, सरल झूठ समूह।

Sp(2n, R)

Sp(n, C) वास्तविक समूह का कॉम्प्लेक्सिफिकेशन (झूठ समूह) है Sp(2n, R). Sp(2n, R) एक वास्तविक, सघन समूह है|गैर-संक्षिप्त, कनेक्टेड स्थान, सरल झूठ समूह। इसमें जोड़ के तहत पूर्णांकों के समूह के लिए एक मौलिक समूह समूह समरूपता है। एक साधारण लाई समूह के वास्तविक रूप के रूप में इसका लाई बीजगणित एक स्प्लिट लाई बीजगणित है।

के कुछ और गुण Sp(2n, R):

• लाई बीजगणित से घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत)। sp(2n, R) समूह को Sp(2n, R) विशेषण फलन नहीं है। हालाँकि, समूह के किसी भी तत्व को दो घातांकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में,

$\forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.$

• सभी के लिए S में Sp(2n, R):

$S=OZO'\quad {\text{such that}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{and}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.$

गणित का सवाल D धनात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|धनात्मक-निश्चित और विकर्ण मैट्रिक्स है। ऐसे का सेट Zs का एक गैर-कॉम्पैक्ट उपसमूह बनता है Sp(2n, R) जबकि U(n) एक सघन उपसमूह बनाता है। इस अपघटन को 'यूलर' या 'ब्लोच-मसीहा' अपघटन के रूप में जाना जाता है। आगे की सिम्प्लेक्टिक मैट्रिक्स गुण उस विकिपीडिया पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं।

• झूठ समूह के रूप में, Sp(2n, R) की एक विविध संरचना है। के लिए अनेक गुना Sp(2n, R) एकात्मक समूह के मैनिफोल्ड#कार्टेशियन उत्पादों के लिए भिन्नता है U(n) आयाम के एक सदिश स्थान के साथ n(n+1).

इनफिनिटेसिमल जेनरेटर

सिम्प्लेक्टिक लाई बीजगणित के सदस्य sp(2n, F) हैमिल्टनियन मैट्रिक्स हैं।

ये मैट्रिक्स हैं, $Q$ ऐसा कि<ब्लॉककोट>$Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}$</ब्लॉकक्वॉट>कहां B और C सममित मैट्रिक्स हैं। व्युत्पत्ति के लिए शास्त्रीय समूह देखें।

सहानुभूतिपूर्ण आव्यूहों का उदाहरण

के लिए Sp(2, R), का समूह 2 × 2 निर्धारक के साथ आव्यूह 1, तीन सहानुभूति (0, 1)-मैट्रिस हैं:<ब्लॉककोट>${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$</ब्लॉककोट>

एसपी(2एन, आर)

यह पता चला है कि $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ जेनरेटर का उपयोग करके काफी स्पष्ट विवरण दिया जा सकता है। अगर हम जाने देंगे $\operatorname {Sym} (n)$ सममिति को निरूपित करें $n\times n$ मैट्रिक्स, फिर $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ द्वारा उत्पन्न होता है $D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},$ कहाँ<ब्लॉककोट>${\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}$के उपसमूह हैं $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$^{पृष्ठ 173पृष्ठ 2}.

सहानुभूति ज्यामिति के साथ संबंध

सिंपलेक्टिक ज्यामिति सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड्स का अध्ययन है। सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड पर किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान एक सिंपलेक्टिक वेक्टर स्पेस है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक सिम्प्लेक्टिक वेक्टर स्पेस के परिवर्तनों को संरक्षित करने वाली संरचना एक समूह (गणित) बनाती है और यह समूह है Sp(2n, F), अंतरिक्ष के आयाम और उस क्षेत्र (गणित) पर निर्भर करता है जिस पर इसे परिभाषित किया गया है।

एक सिंपलेक्टिक वेक्टर स्पेस अपने आप में एक सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड है। इस प्रकार, सहानुभूति समूह के एक समूह क्रिया (गणित) के तहत एक परिवर्तन, एक अर्थ में, एक सहानुभूति का एक रैखिक संस्करण है जो एक अधिक सामान्य संरचना है जो एक सहानुभूति कई गुना पर परिवर्तन को संरक्षित करता है।

Sp(n)

सघन सहानुभूति समूह Sp(n) का प्रतिच्छेदन है Sp(2n, C) साथ $2n\times 2n$ एकात्मक समूह:

$\operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).$

इसे कभी-कभी इस प्रकार लिखा जाता है USp(2n). वैकल्पिक रूप से, Sp(n) को के उपसमूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है GL(n, H) (इनवर्टिबल चार का समुदाय मैट्रिसेस) जो मानक हर्मिटियन रूप को संरक्षित करता है Hⁿ:

$\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.$

वह है, Sp(n) सिर्फ शास्त्रीय समूह#Sp(p, q) है - चतुष्कोणीय एकात्मक समूह, U(n, H). दरअसल, इसे कभी-कभी हाइपरयूनिटरी ग्रुप भी कहा जाता है। इसके अलावा Sp(1) मानक के चतुर्भुजों का समूह है 1, के बराबर SU(2) और स्थलाकृतिक रूप से एक 3-गोला|3-वृत्त S³.

ध्यान दें कि Sp(n) पिछले अनुभाग के अर्थ में एक सहानुभूतिपूर्ण समूह नहीं है - यह एक गैर-पतित तिरछा-सममिति को संरक्षित नहीं करता है H-द्विरेखीय रूप पर Hⁿ: शून्य रूप के अतिरिक्त ऐसा कोई रूप नहीं है। बल्कि, यह एक उपसमूह के लिए समरूपी है Sp(2n, C), और इस प्रकार दोगुने आयाम के सदिश समष्टि में एक जटिल सहानुभूति रूप को संरक्षित करता है। जैसा कि नीचे बताया गया है, का झूठ बीजगणित Sp(n) जटिल सिंपलेक्टिक लाई बीजगणित का संक्षिप्त वास्तविक रूप है sp(2n, C).

Sp(n) (वास्तविक) आयाम वाला एक वास्तविक झूठ समूह है n(2n + 1). यह सघन स्थान है और आसानी से जुड़ा हुआ है। का झूठ बीजगणित Sp(n) चतुर्धातुक तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स, के सेट द्वारा दिया गया है n-by-nचतुर्धातुक आव्यूह जो संतुष्ट करते हैं

$A+A^{\dagger }=0$

कहाँ A^† का संयुग्म स्थानान्तरण है A (यहां चतुर्दिक संयुग्म लिया गया है)। लाई ब्रैकेट कम्यूटेटर द्वारा दिया गया है।

महत्वपूर्ण उपसमूह

कुछ मुख्य उपसमूह हैं:

$\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)$

$\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {U} (n)$

$\operatorname {Sp} (2)\subset \operatorname {O} (4)$

इसके विपरीत यह स्वयं कुछ अन्य समूहों का एक उपसमूह है:

$\operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)$

$\operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)$

$\operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)$

लाई बीजगणित की समरूपताएं भी हैं sp(2) = so(5) और sp(1) = so(3) = su(2).

सहानुभूति समूहों के बीच संबंध

प्रत्येक जटिल, अर्धसरल बीजगणित का एक वास्तविक रूप होता है (झूठ सिद्धांत)#विभाजित वास्तविक रूप और एक वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत)#संक्षिप्त वास्तविक रूप; पहले को बाद वाले दो का जटिलीकरण कहा जाता है।

का झूठ बीजगणित Sp(2n, C) अर्धसरल झूठ बीजगणित है और इसे दर्शाया गया है sp(2n, C). इसका वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत)#विभाजित वास्तविक रूप है sp(2n, R)और इसका वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत)#संक्षिप्त वास्तविक रूप है sp(n). ये लाई समूहों के अनुरूप हैं Sp(2n, R) और Sp(n) क्रमश।

बीजगणित, sp(p, n − p), जो कि झूठ बीजगणित हैं Sp(p, n − p), मीट्रिक हस्ताक्षर कॉम्पैक्ट फॉर्म के समतुल्य हैं।

भौतिक महत्व

शास्त्रीय यांत्रिकी

सघन सहानुभूति समूह Sp(n) शास्त्रीय भौतिकी में पॉइसन ब्रैकेट को संरक्षित करने वाले विहित निर्देशांक की समरूपता के रूप में सामने आता है।

की एक प्रणाली पर विचार करें n कण, हैमिल्टनियन यांत्रिकी के तहत विकसित हो रहे हैं|हैमिल्टन के समीकरण जिनकी किसी निश्चित समय में चरण स्थान में स्थिति विहित निर्देशांक के वेक्टर द्वारा निरूपित की जाती है,

$\mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.$

समूह के तत्व Sp(2n, R), एक निश्चित अर्थ में, इस वेक्टर पर विहित परिवर्तन हैं, यानी वे हैमिल्टनियन यांत्रिकी|हैमिल्टन के समीकरणों के रूप को संरक्षित करते हैं।अगर

$\mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }$

नए विहित निर्देशांक हैं, फिर, समय व्युत्पन्न को दर्शाने वाले एक बिंदु के साथ,

${\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},$

कहाँ

$M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$

सभी के लिए t और सभी z चरण स्थान में। रीमैनियन मैनिफोल्ड के विशेष मामले के लिए, हैमिल्टन के समीकरण उस मैनिफोल्ड पर जियोडेसिक्स का वर्णन करते हैं। निर्देशांक $q^{i}$ अंतर्निहित विविधता और क्षण पर जियो $p_{i}$ कोटैंजेंट बंडल में रहते हैं। यही कारण है कि इन्हें परंपरागत रूप से ऊपरी और निचले सूचकांकों के साथ लिखा जाता है; यह उनके स्थानों को अलग करना है। संबंधित हैमिल्टनियन में विशुद्ध रूप से गतिज ऊर्जा शामिल है: यह है $H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}$ कहाँ $g^{ij}$ मीट्रिक टेंसर का व्युत्क्रम है $g_{ij}$ रीमैनियन मैनिफोल्ड पर। वास्तव में, किसी भी चिकने मैनिफोल्ड के कोटैंजेंट बंडल को कैनोनिकल तरीके से एक सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड दिया जा सकता है, जिसमें सिंपलेक्टिक रूप को टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म के बाहरी व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है।

क्वांटम यांत्रिकी

की एक प्रणाली पर विचार करें n कण जिनकी कितना राज्य इसकी स्थिति और गति को कूटबद्ध करती है। ये निर्देशांक निरंतर परिवर्तनशील हैं और इसलिए हिल्बर्ट स्थान, जिसमें राज्य रहता है, अनंत-आयामी है। यह अक्सर इस स्थिति का विश्लेषण मुश्किल बना देता है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण चरण स्थान में हाइजेनबर्ग चित्र के तहत स्थिति और गति ऑपरेटरों के विकास पर विचार करना है।

विहित निर्देशांक का एक वेक्टर बनाएं,

$\mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.$

विहित रूपान्तरण संबंध को बस इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$[\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega$

कहाँ

$\Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}$

और I_n है n × n शिनाख्त सांचा।

कई भौतिक स्थितियों में केवल द्विघात हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) की आवश्यकता होती है, यानी हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) फॉर्म की

${\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}}$

कहाँ K एक है 2n × 2n वास्तविक, सममित मैट्रिक्स। यह एक उपयोगी प्रतिबंध साबित होता है और हमें हाइजेनबर्ग चित्र को फिर से लिखने की अनुमति देता है

${\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}}$

इस समीकरण के समाधान को विहित रूपान्तरण संबंध को संरक्षित करना चाहिए। यह दिखाया जा सकता है कि इस प्रणाली का समय विकास सिंपलेक्टिक समूह#Sp.282n.2C R.29|वास्तविक सिंपलेक्टिक समूह के समूह क्रिया (गणित) के बराबर है, Sp(2n, R), चरण स्थान पर।

यह भी देखें

• हैमिल्टनियन यांत्रिकी
• मेटाप्लेक्टिक समूह
• ऑर्थोगोनल समूह
• पैरामॉड्यूलर समूह
• प्रक्षेपी एकात्मक समूह
• शास्त्रीय झूठ समूहों का प्रतिनिधित्व
• सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड, सिंपलेक्टिक मैट्रिक्स, सिंपलेक्टिक वेक्टर स्पेस, सिंपलेक्टिक प्रतिनिधित्व
• एकात्मक समूह
• Θ10

संदर्भ

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• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Fulton, W.; Harris, J. (1991), Representation Theory, A first Course, Graduate Texts in Mathematics, vol. 129, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8.
• Goldstein, H. (1980) [1950]. "Chapter 7". Classical Mechanics (2nd ed.). Reading MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Lee, J. M. (2003), Introduction to Smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 218, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95448-1
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• Ferraro, Alessandro; Olivares, Stefano; Paris, Matteo G. A. (March 2005), "Gaussian states in continuous variable quantum information", arXiv:quant-ph/0503237.