एकरमैन सेट सिद्धांत: Difference between revisions

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{{Short description|Axiomatic set theory proposed by Wilhelm Ackermann}}
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{{About|समुच्चयों का गणितीय सिद्धांत||
गणित और [[तर्क]]शास्त्र में, रमैन सेट सिद्धांत (एएसटी) 1956 में [[विल्हेम एकरमैन|विल्हेम रमैन]] द्वारा प्रस्तावित स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत है।<ref>{{cite journal |last1=Ackermann |first1=Wilhelm |author-link=Wilhelm Ackermann |date=August 1956 |title=समुच्चय सिद्धांत की स्वयंसिद्धि पर|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01350103 |journal=Mathematische Annalen |volume=131 |issue=4 |pages=336–345 |doi=10.1007/BF01350103 |s2cid=120876778 |access-date=9 September 2022}}</ref>
एकरमैन (बहुविकल्पी)}}
गणित एवं [[तर्क|तर्कशास्त्र]] में, '''एकरमैन समुच्चय सिद्धांत''' (एएसटी) 1956 में [[विल्हेम एकरमैन]] द्वारा प्रस्तावित स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत है।<ref>{{cite journal |last1=Ackermann |first1=Wilhelm |author-link=Wilhelm Ackermann |date=August 1956 |title=समुच्चय सिद्धांत की स्वयंसिद्धि पर|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01350103 |journal=Mathematische Annalen |volume=131 |issue=4 |pages=336–345 |doi=10.1007/BF01350103 |s2cid=120876778 |access-date=9 September 2022}}</ref>


== भाषा ==
== भाषा ==
एएसटी [[प्रथम-क्रम तर्क]] में तैयार किया गया है। [[औपचारिक भाषा]] <math>L_{\{\in,V\}}</math> एएसटी में [[द्विआधारी संबंध]] शामिल है <math>\in</math> सेट सदस्यता और  स्थिरांक को निरूपित करना (गणित) <math>V</math> वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड को दर्शाते हुए (रमैन ने विधेय का उपयोग किया <math>M</math> बजाय)।
एएसटी [[प्रथम-क्रम तर्क]] में प्रस्तुत किया गया है। [[औपचारिक भाषा]] <math>L_{\{\in,V\}}</math> एएसटी में [[द्विआधारी संबंध]] होता है <math>\in</math>/समुच्चय सदस्यता एवं स्थिरांक को दर्शाने में <math>V</math> सभी समुच्चयो के वर्ग को दर्शाता है (एकरमैन ने विधेय का उपयोग किया, इसके अतिरिक्त <math>M</math>)।


== अभिगृहीत==
== सिद्धांत ==
एएसटी के अभिगृहीत निम्नलिखित हैं:<ref>{{cite journal |last1=Kanamori |first1=Akihiro |author-link=Akihiro Kanamori |date=July 2006 |title=लेवी और सेट सिद्धांत|journal=Annals of Pure and Applied Logic |volume=140 |issue=1 |pages=233–252 |doi=10.1016/j.apal.2005.09.009 |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite web |url=https://plato.stanford.edu/entries/settheory-alternative/#AckeSetTheo |title=वैकल्पिक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत|last=Holmes |first=M. Randall |date=Sep 21, 2021 |website=Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University |access-date=8 September 2022}}</ref><ref name="Fraenkel">{{cite book |last1=Fraenkel |first1=Abraham A. |author-link1=Abraham Fraenkel |last2=Bar-Hillel |first2=Yehoshua |author-link2=Yehoshua Bar-Hillel |last3=Levy |first3=Azriel |author-link3=Azriel Levy |date=December 1, 1973 |title=सेट थ्योरी की नींव|url=https://www.sciencedirect.com/bookseries/studies-in-logic-and-the-foundations-of-mathematics/vol/67/ |isbn=9780080887050 |series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics |volume=67 |chapter=7.7. The System of Ackermann |pages=148–153}}</ref>
एएसटी के सिद्धांत निम्नलिखित हैं:<ref>{{cite journal |last1=Kanamori |first1=Akihiro |author-link=Akihiro Kanamori |date=July 2006 |title=लेवी और सेट सिद्धांत|journal=Annals of Pure and Applied Logic |volume=140 |issue=1 |pages=233–252 |doi=10.1016/j.apal.2005.09.009 |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite web |url=https://plato.stanford.edu/entries/settheory-alternative/#AckeSetTheo |title=वैकल्पिक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत|last=Holmes |first=M. Randall |date=Sep 21, 2021 |website=Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University |access-date=8 September 2022}}</ref><ref name="Fraenkel">{{cite book |last1=Fraenkel |first1=Abraham A. |author-link1=Abraham Fraenkel |last2=Bar-Hillel |first2=Yehoshua |author-link2=Yehoshua Bar-Hillel |last3=Levy |first3=Azriel |author-link3=Azriel Levy |date=December 1, 1973 |title=सेट थ्योरी की नींव|url=https://www.sciencedirect.com/bookseries/studies-in-logic-and-the-foundations-of-mathematics/vol/67/ |isbn=9780080887050 |series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics |volume=67 |chapter=7.7. The System of Ackermann |pages=148–153}}</ref>
#विस्तारता का सिद्धांत
#विस्तारात्मकता का सिद्धांत
#[[आनुवंशिकता का सिद्धांत]]: <math>(x \in y \lor x \subseteq y) \land y \in V \to x \in V</math>
#[[आनुवंशिकता का सिद्धांत]]: <math>(x \in y \lor x \subseteq y) \land y \in V \to x \in V</math>
#[[समझ का सिद्धांत]] <math>V</math>: किसी भी सूत्र के लिए <math>\phi</math> कहाँ <math>x</math> [[मुक्त चर]] नहीं है, <math>\exists x \forall y (y \in x \leftrightarrow y \in V \land \phi)</math>
#[[समझ का सिद्धांत|बुद्धि का सिद्धांत]] <math>V</math>: किसी भी सूत्र के लिए <math>\phi</math> जहाँ <math>x</math> [[मुक्त चर]] नहीं है, <math>\exists x \forall y (y \in x \leftrightarrow y \in V \land \phi)</math>
# रमैन की स्कीमा: किसी भी सूत्र के लिए <math>\phi</math> निःशुल्क चर के साथ <math>a_1, \ldots, a_n, x</math> और कोई घटना नहीं <math>V</math>, <math>a_1, \ldots, a_n \in V \land \forall x (\phi \to x \in V) \to \exists y {\in} V \forall x (x \in y \leftrightarrow \phi)</math>
# एकरमैन की स्कीमा: किसी भी सूत्र के लिए <math>\phi</math> निःशुल्क चर के साथ <math>a_1, \ldots, a_n, x</math> एवं कोई घटना <math>V</math> नहीं है, <math>a_1, \ldots, a_n \in V \land \forall x (\phi \to x \in V) \to \exists y {\in} V \forall x (x \in y \leftrightarrow \phi)</math>
वैकल्पिक स्वयंसिद्धीकरण निम्नलिखित स्वयंसिद्धों का उपयोग करता है:<ref>{{cite book |last=Schindler |first=Ralf |date=23 May 2014 |title=Set Theory: Exploring Independence and Truth |url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-06725-4_2 |publisher=Springer, Cham |pages=20–21 |isbn=978-3-319-06724-7 |chapter=Chapter 2: Axiomatic Set Theory|doi=10.1007/978-3-319-06725-4_2 }}</ref>
वैकल्पिक अक्षीयकरण निम्नलिखित सिद्धांत का उपयोग करता है:<ref>{{cite book |last=Schindler |first=Ralf |date=23 May 2014 |title=Set Theory: Exploring Independence and Truth |url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-06725-4_2 |publisher=Springer, Cham |pages=20–21 |isbn=978-3-319-06724-7 |chapter=Chapter 2: Axiomatic Set Theory|doi=10.1007/978-3-319-06725-4_2 }}</ref>
#विस्तारता
#विस्तारात्मकता का सिद्धांत
# वंशागति
# आनुवंशिकता का सिद्धांत
# समझ
# बोध का सिद्धांत
#[[प्रतिबिंब सिद्धांत]]: किसी भी सूत्र के लिए <math>\phi</math> निःशुल्क चर के साथ <math>a_1, \ldots, a_n</math>, <math>a_1, \ldots, a_n {\in} V \to (\phi \leftrightarrow \phi^V)</math>
#[[प्रतिबिंब सिद्धांत]]: किसी भी सूत्र के लिए <math>\phi</math> निःशुल्क चर के साथ <math>a_1, \ldots, a_n</math>, <math>a_1, \ldots, a_n {\in} V \to (\phi \leftrightarrow \phi^V)</math> होता है। 
# [[नियमितता का सिद्धांत]]
# [[नियमितता का सिद्धांत]]


<math>\phi^V</math> के सापेक्षीकरण को दर्शाता है <math>\phi</math> को <math>V</math>, जो सभी [[परिमाणक (तर्क)]]तर्क) को प्रतिस्थापित करता है <math>\phi</math> रूप का <math>\forall x</math> और <math>\exists x</math> द्वारा <math>\forall x {\in} V</math> और <math>\exists x {\in} V</math>, क्रमश।
<math>\phi^V</math> के सापेक्षीकरण को दर्शाता है <math>\phi</math> को <math>V</math>, जो सभी [[परिमाणक (तर्क)|क्वांटिफायर]] को प्रतिस्थापित करता है, <math>\phi</math> रूप का <math>\forall x</math> एवं <math>\exists x</math> द्वारा उपस्थित है <math>\forall x {\in} V</math> एवं <math>\exists x {\in} V</math>, क्रमशः उपस्थित है।


==जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत से संबंध==
==जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत से संबंध==
होने देना <math>L_{\{\in\}}</math> उन सूत्रों की भाषा बनें जिनका उल्लेख नहीं है <math>V</math>.
मान लीजिये <math>L_{\{\in\}}</math> उन सूत्रों की भाषा बनाता है, जिनका उल्लेख <math>V</math> नहीं है।


1959 में, [[अज्रिएल लेवी]] ने यह साबित कर दिया कि यदि <math>\phi</math> का सूत्र है <math>L_{\{\in\}}</math> और एएसटी सिद्ध होता है <math>\phi^V</math>, तो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत साबित होता है <math>\phi</math>.<ref>{{cite journal |last1=Lévy |first1=Azriel |author-link=Azriel Lévy |date=June 1959 |title=एकरमैन के सेट सिद्धांत पर|url=https://www.jstor.org/stable/2964757 |journal=The Journal of Symbolic Logic |volume=24 |issue=2 |pages=154–166 |doi=10.2307/2964757 |jstor=2964757 |s2cid=31382168 |access-date=9 September 2022}}</ref>
1959 में, [[अज्रिएल लेवी|एज़्रिएल लेवी]] ने यह प्रमाणित कर दिया कि यदि <math>\phi</math> का सूत्र <math>L_{\{\in\}}</math> है एवं एएसटी <math>\phi^V</math> सिद्ध होता है, तो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत <math>\phi</math> प्रमाणित होता है।<ref>{{cite journal |last1=Lévy |first1=Azriel |author-link=Azriel Lévy |date=June 1959 |title=एकरमैन के सेट सिद्धांत पर|url=https://www.jstor.org/stable/2964757 |journal=The Journal of Symbolic Logic |volume=24 |issue=2 |pages=154–166 |doi=10.2307/2964757 |jstor=2964757 |s2cid=31382168 |access-date=9 September 2022}}</ref>  
1970 में, विलियम एन. रेनहार्ड्ट ने यह सिद्ध कर दिया कि यदि <math>\phi</math> का  सूत्र है <math>L_{\{\in\}}</math> और ZF साबित करता है <math>\phi</math>, तो एएसटी सिद्ध होता है <math>\phi^V</math>.<ref>{{cite journal |last1=Reinhardt |first1=William N. |date=October 1970 |title=एकरमैन का समुच्चय सिद्धांत ZF के बराबर है|journal=Annals of Mathematical Logic |volume=2 |issue=2 |pages=189–249 |doi=10.1016/0003-4843(70)90011-2 |doi-access=free }}</ref>
इसलिए, एएसटी और जेडएफ  दूसरे के [[रूढ़िवादी विस्तार]] में परस्पर व्याख्यात्मक हैं। इस प्रकार वे [[समसंगत]] हैं।


एएसटी की  उल्लेखनीय विशेषता यह है कि, वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत और इसके वेरिएंट के विपरीत, [[उचित वर्ग]] दूसरे उचित वर्ग का  तत्व हो सकता है।<ref name="Fraenkel"/>
1970 में, विलियम एन. रेनहार्ड्ट ने यह सिद्ध कर दिया कि यदि <math>\phi</math> का सूत्र <math>L_{\{\in\}}</math> है एवं ज़र्मेलो-फ्रेंकेल <math>\phi</math> प्रमाणित करता है, तो एएसटी <math>\phi^V</math> सिद्ध होता है।<ref>{{cite journal |last1=Reinhardt |first1=William N. |date=October 1970 |title=एकरमैन का समुच्चय सिद्धांत ZF के बराबर है|journal=Annals of Mathematical Logic |volume=2 |issue=2 |pages=189–249 |doi=10.1016/0003-4843(70)90011-2 |doi-access=free }}</ref>  


== एएसटी और [[श्रेणी सिद्धांत]] ==
इसलिए, एएसटी एवं जेडएफ एक दूसरे के [[रूढ़िवादी विस्तार]] में परस्पर व्याख्या योग्य हैं। इस प्रकार वे [[समसंगत]] हैं।
एएसटी का विस्तार जिसे एआरसी कहा जाता है, एफ.ए. मुलर द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने कहा था कि एआरसी कैंटोरियन सेट-सिद्धांत के साथ-साथ श्रेणी-सिद्धांत को भी स्थापित करता है और इसलिए इसे संपूर्ण गणित के संस्थापक सिद्धांत के रूप में पारित किया जा सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Muller |first1=F. A. |date=Sep 2001 |title=सेट, वर्ग और श्रेणियाँ|url=https://www.jstor.org/stable/3541928 |journal=The British Journal for the Philosophy of Science |volume=52 |issue=3 |pages=539–573 |doi=10.1093/bjps/52.3.539 |jstor=3541928 |access-date=9 September 2022}}</ref>
 
एएसटी की उल्लेखनीय विशेषता यह है कि, एनबीजी एवं इसके वेरिएंट के विपरीत, [[उचित वर्ग]] किसी अन्य उचित वर्ग का तत्व हो सकता है।<ref name="Fraenkel" />
 
== एएसटी एवं [[श्रेणी सिद्धांत]] ==
एएसटी का विस्तार जिसे एआरसी कहा जाता है, एफ ए मुलर द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने कहा था कि एआरसी कैंटोरियन समुच्चय-सिद्धांत के साथ-साथ श्रेणी-सिद्धांत भी पाता है एवं इसलिए इसे संपूर्ण गणित के संस्थापक सिद्धांत के रूप में पारित हो सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Muller |first1=F. A. |date=Sep 2001 |title=सेट, वर्ग और श्रेणियाँ|url=https://www.jstor.org/stable/3541928 |journal=The British Journal for the Philosophy of Science |volume=52 |issue=3 |pages=539–573 |doi=10.1093/bjps/52.3.539 |jstor=3541928 |access-date=9 September 2022}}</ref>


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[गणित की नींव]]
* [[गणित की नींव|गणित का आधार]]  
* [[ज़र्मेलो सेट सिद्धांत]]
* [[ज़र्मेलो सेट सिद्धांत|ज़र्मेलो समुच्चय सिद्धांत]]
*[[वैकल्पिक समुच्चय सिद्धांत]]
*[[वैकल्पिक समुच्चय सिद्धांत]]


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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Latest revision as of 18:07, 21 August 2023

This article is about समुच्चयों का गणितीय सिद्धांत. For other uses, see एकरमैन (बहुविकल्पी).

गणित एवं तर्कशास्त्र में, एकरमैन समुच्चय सिद्धांत (एएसटी) 1956 में विल्हेम एकरमैन द्वारा प्रस्तावित स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत है।[1]

भाषा

एएसटी प्रथम-क्रम तर्क में प्रस्तुत किया गया है। औपचारिक भाषा एएसटी में द्विआधारी संबंध होता है /समुच्चय सदस्यता एवं स्थिरांक को दर्शाने में सभी समुच्चयो के वर्ग को दर्शाता है (एकरमैन ने विधेय का उपयोग किया, इसके अतिरिक्त )।

सिद्धांत

एएसटी के सिद्धांत निम्नलिखित हैं:[2][3][4]

  1. विस्तारात्मकता का सिद्धांत
  2. आनुवंशिकता का सिद्धांत:
  3. बुद्धि का सिद्धांत : किसी भी सूत्र के लिए जहाँ मुक्त चर नहीं है,
  4. एकरमैन की स्कीमा: किसी भी सूत्र के लिए निःशुल्क चर के साथ एवं कोई घटना नहीं है,

वैकल्पिक अक्षीयकरण निम्नलिखित सिद्धांत का उपयोग करता है:[5]

  1. विस्तारात्मकता का सिद्धांत
  2. आनुवंशिकता का सिद्धांत
  3. बोध का सिद्धांत
  4. प्रतिबिंब सिद्धांत: किसी भी सूत्र के लिए निःशुल्क चर के साथ , होता है।
  5. नियमितता का सिद्धांत

के सापेक्षीकरण को दर्शाता है को , जो सभी क्वांटिफायर को प्रतिस्थापित करता है, रूप का एवं द्वारा उपस्थित है एवं , क्रमशः उपस्थित है।

जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत से संबंध

मान लीजिये उन सूत्रों की भाषा बनाता है, जिनका उल्लेख नहीं है।

1959 में, एज़्रिएल लेवी ने यह प्रमाणित कर दिया कि यदि का सूत्र है एवं एएसटी सिद्ध होता है, तो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत प्रमाणित होता है।[6]

1970 में, विलियम एन. रेनहार्ड्ट ने यह सिद्ध कर दिया कि यदि का सूत्र है एवं ज़र्मेलो-फ्रेंकेल प्रमाणित करता है, तो एएसटी सिद्ध होता है।[7]

इसलिए, एएसटी एवं जेडएफ एक दूसरे के रूढ़िवादी विस्तार में परस्पर व्याख्या योग्य हैं। इस प्रकार वे समसंगत हैं।

एएसटी की उल्लेखनीय विशेषता यह है कि, एनबीजी एवं इसके वेरिएंट के विपरीत, उचित वर्ग किसी अन्य उचित वर्ग का तत्व हो सकता है।[4]

एएसटी एवं श्रेणी सिद्धांत

एएसटी का विस्तार जिसे एआरसी कहा जाता है, एफ ए मुलर द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने कहा था कि एआरसी कैंटोरियन समुच्चय-सिद्धांत के साथ-साथ श्रेणी-सिद्धांत भी पाता है एवं इसलिए इसे संपूर्ण गणित के संस्थापक सिद्धांत के रूप में पारित हो सकता है।[8]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Ackermann, Wilhelm (August 1956). "समुच्चय सिद्धांत की स्वयंसिद्धि पर". Mathematische Annalen. 131 (4): 336–345. doi:10.1007/BF01350103. S2CID 120876778. Retrieved 9 September 2022.
  2. ↑ Kanamori, Akihiro (July 2006). "लेवी और सेट सिद्धांत". Annals of Pure and Applied Logic. 140 (1): 233–252. doi:10.1016/j.apal.2005.09.009.
  3. ↑ Holmes, M. Randall (Sep 21, 2021). "वैकल्पिक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Retrieved 8 September 2022.
  4. ↑ 4.0 4.1 Fraenkel, Abraham A.; Bar-Hillel, Yehoshua; Levy, Azriel (December 1, 1973). "7.7. The System of Ackermann". सेट थ्योरी की नींव. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 67. pp. 148–153. ISBN 9780080887050.
  5. ↑ Schindler, Ralf (23 May 2014). "Chapter 2: Axiomatic Set Theory". Set Theory: Exploring Independence and Truth. Springer, Cham. pp. 20–21. doi:10.1007/978-3-319-06725-4_2. ISBN 978-3-319-06724-7.
  6. ↑ Lévy, Azriel (June 1959). "एकरमैन के सेट सिद्धांत पर". The Journal of Symbolic Logic. 24 (2): 154–166. doi:10.2307/2964757. JSTOR 2964757. S2CID 31382168. Retrieved 9 September 2022.
  7. ↑ Reinhardt, William N. (October 1970). "एकरमैन का समुच्चय सिद्धांत ZF के बराबर है". Annals of Mathematical Logic. 2 (2): 189–249. doi:10.1016/0003-4843(70)90011-2.
  8. ↑ Muller, F. A. (Sep 2001). "सेट, वर्ग और श्रेणियाँ". The British Journal for the Philosophy of Science. 52 (3): 539–573. doi:10.1093/bjps/52.3.539. JSTOR 3541928. Retrieved 9 September 2022.
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