समुच्चय-मान फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 19:08, 22 August 2023

एक समुच्चय-मान फलन (या पत्राचार) एक गणितीय फलन है जो तत्वों को एक समुच्चय, फलन के डोमेन से उपसमुच्चय तक मैप करता है।

समुच्चय-मान फलन का उपयोग अनुकूलन, नियंत्रण सिद्धांत और खेल सिद्धांत सहित विभिन्न गणितीय क्षेत्रों में किया जाता है।

कुछ सन्दर्भों में समुच्चय-मान फलन को बहु-मान फलन के रूप में भी जाना जाता है,^[1] लेकिन यहां और गणितीय विश्लेषण में कई अन्य संदर्भों में, बहु मानवान फलन एक समुच्चय-मानवान फलन $f$ हैं जिसमें एक और सतत कार्य गुण है, अर्थात् समुच्चय में एक तत्व का चुनाव $f(x)$ प्रत्येक समुच्चय में एक संगत तत्व को परिभाषित करता है $f(y)$ x के करीब y के लिए और इस प्रकार स्थानीय रूप से एक सामान्य फलन को परिभाषित करता है।

यह आरेख एक बहु- मानवान, लेकिन उचित (एकल- मानवान) फलन (गणित) का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, क्योंकि X में तत्व 3, Y में दो तत्वों, b और c से जुड़ा हुआ है।

उदाहरण

किसी फलन का आर्गमैक्स सामान्यतः बहु मानवान होता है। उदाहरण के लिए, $\operatorname {argmax} _{x\in \mathbb {R} }\cos(x)=\{2\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}$ .

समुच्चय-मान विश्लेषण

समुच्चय-मान विश्लेषण गणितीय विश्लेषण और सामान्य टोपोलॉजी की भावना में समुच्चय का अध्ययन है।

केवल अंकों के संग्रह पर विचार करने के बजाय समुच्चय-मान विश्लेषण समुच्चय के संग्रह पर विचार करता है। यदि समुच्चयों का संग्रह टोपोलॉजी से संपन्न है या अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस से उपयुक्त टोपोलॉजी प्राप्त करता है, तो समुच्चयों के अभिसरण का अध्ययन किया जा सकता है।

अधिकांश समुच्चय-मान विश्लेषण गणितीय अर्थशास्त्र और इष्टतम नियंत्रण के अध्ययन के माध्यम से उत्पन्न हुआ, आंशिक रूप से उत्तल विश्लेषण के सामान्यीकरण के रूप में शब्द "वेरिएशनल एनालिसिस" का उपयोग आर. टायरेल रॉकफेलर और रोजर जे-बी वेट्स, जोनाथन बोरवीन और एड्रियन लुईस और बोरिस मोर्दुखोविच जैसे लेखकों द्वारा किया जाता है। अनुकूलन सिद्धांत में किसी भी न्यूनतम बिंदु के लिए आवश्यक या पर्याप्त स्थितियों को समझने के लिए उपविभेदकों को उपविभेदकों में सन्निकटन करने का अभिसरण महत्वपूर्ण है।

बिंदु-मान विश्लेषण से निम्नलिखित अवधारणाओं के समुच्चय-मान विस्तार स्थित हैं: निरंतरता (गणित), विभेदन (गणित), अभिन्न,^[2] अंतर्निहित फलन प्रमेय, संकुचन मानचित्रण, माप सिद्धांत, निश्चित-बिंदु प्रमेय,^[3] अनुकूलन (गणित) और टोपोलॉजिकल डिग्री सिद्धांत। विशेष रूप से समीकरणों को समावेशन के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, जबकि विभेदन समीकरणों को विभेदक समावेशन के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

निरंतरता (गणित) को सामान्य बनाने वाली कई अवधारणाओं को अलग किया जा सकता है, जैसे संवृत ग्राफ गुण और ऊपरी और निचला हेमिकॉन्टिनिटी^{[lower-alpha 1]}। बहुकार्यों के माप (गणित) के विभिन्न सामान्यीकरण भी हैं।

अनुप्रयोग

समुच्चय-मान फलन इष्टतम नियंत्रण सिद्धांत में उत्पन्न होते हैं, विशेष रूप से विभेदक समावेशन और खेल सिद्धांत के रूप में संबंधित विषयों में जहां नैश संतुलन के अस्तित्व को साबित करने के लिए समुच्चय-मान फलन के लिए काकुतानी निश्चित-बिंदु प्रमेय लागू किया गया है। कई अन्य गुणों के बीच यह निरंतर कार्यों के माध्यम से ऊपरी हेमिकॉन्टिन्युअस बहुफलन की अनुमानितता से जुड़ा हुआ है, यह बताता है कि निचले हेमिकॉन्टिनिटी की तुलना में ऊपरी हेमिकॉन्टिनिटी को अधिक पसंद क्यों किया जाता है।

फिर भी, निचले अर्ध-निरंतर बहु फलन में सामान्यतौर पर निरंतर चयन होते हैं जैसा कि माइकल चयन प्रमेय में कहा गया है, जो पैराकॉम्पैक्ट रिक्त स्थान का एक और लक्षण वर्णन प्रदान करता है।^[4]^[5] अन्य चयन प्रमेय जैसे ब्रेसन-कोलंबो दिशात्मक निरंतर चयन, कुराटोस्की और रील-नार्डजेवस्की मापनीय चयन प्रमेय, औमन मापनीय चयन और विघटित मानचित्रों के लिए फ्राइज़कोव्स्की चयन इष्टतम नियंत्रण और विभेदक समावेशन के सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं।

संदर्भ

↑ Repovš, Dušan (1998). बहुमूल्यवान मैपिंग का निरंतर चयन. Pavel Vladimirovič. Semenov. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 0-7923-5277-7. OCLC 39739641.
↑ Aumann, Robert J. (1965). "सेट-वैल्यू फ़ंक्शंस के इंटीग्रल". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 12 (1): 1–12. doi:10.1016/0022-247X(65)90049-1.
↑ Kakutani, Shizuo (1941). "ब्रौवर के निश्चित बिंदु प्रमेय का सामान्यीकरण". Duke Mathematical Journal. 8 (3): 457–459. doi:10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
↑ Ernest Michael (Mar 1956). "सतत चयन. मैं" (PDF). Annals of Mathematics. Second Series. 63 (2): 361–382. doi:10.2307/1969615. hdl:10338.dmlcz/119700. JSTOR 1969615.
↑ Dušan Repovš; P.V. Semenov (2008). "अर्नेस्ट माइकल और सतत चयन का सिद्धांत". Topology Appl. 155 (8): 755–763. arXiv:0803.4473. doi:10.1016/j.topol.2006.06.011. S2CID 14509315.

अग्रिम पठन

K. Deimling, Multivalued Differential Equations, Walter de Gruyter, 1992
C. D. Aliprantis and K. C. Border, Infinite dimensional analysis. Hitchhiker's guide, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
J. Andres and L. Górniewicz, Topological Fixed Point Principles for Boundary Value Problems, Kluwer Academic Publishers, 2003
J.-P. Aubin and A. Cellina, Differential Inclusions, Set-Valued Maps And Viability Theory, Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, Berlin, 1984
J.-P. Aubin and H. Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhäuser, Basel, 1990
D. Repovš and P.V. Semenov, Continuous Selections of Multivalued Mappings, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
E. U. Tarafdar and M. S. R. Chowdhury, Topological methods for set-valued nonlinear analysis, World Scientific, Singapore, 2008
Mitroi, F.-C.; Nikodem, K.; Wąsowicz, S. (2013). "Hermite-Hadamard inequalities for convex set-valued functions". Demonstratio Mathematica. 46 (4): 655–662. doi:10.1515/dema-2013-0483.

यह भी देखें

चयन प्रमेय
उर्सेस्कु प्रमेय

श्रेणी:विभिन्न विश्लेषण श्रेणी:गणितीय अनुकूलन श्रेणी:नियंत्रण सिद्धांत

[4] Some authors use the term ‘semicontinuous’ instead of ‘hemicontinuous’.

[1] Repovš, Dušan (1998). बहुमूल्यवान मैपिंग का निरंतर चयन. Pavel Vladimirovič. Semenov. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 0-7923-5277-7. OCLC 39739641.

[2] Aumann, Robert J. (1965). "सेट-वैल्यू फ़ंक्शंस के इंटीग्रल". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 12 (1): 1–12. doi:10.1016/0022-247X(65)90049-1.

[kakutani-3] Kakutani, Shizuo (1941). "ब्रौवर के निश्चित बिंदु प्रमेय का सामान्यीकरण". Duke Mathematical Journal. 8 (3): 457–459. doi:10.1215/S0012-7094-41-00838-4.

[5] Ernest Michael (Mar 1956). "सतत चयन. मैं" (PDF). Annals of Mathematics. Second Series. 63 (2): 361–382. doi:10.2307/1969615. hdl:10338.dmlcz/119700. JSTOR 1969615.

[6] Dušan Repovš; P.V. Semenov (2008). "अर्नेस्ट माइकल और सतत चयन का सिद्धांत". Topology Appl. 155 (8): 755–763. arXiv:0803.4473. doi:10.1016/j.topol.2006.06.011. S2CID 14509315.

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[lower-alpha 1]

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 {{About||multi-valued functions of mathematical analysis|Multivalued function|functions whose arguments are sets|Set function}}
-एक सेट-वैल्यू फ़ंक्शन (या पत्राचार) एक गणितीय फ़ंक्शन है जो तत्वों को एक सेट, फ़ंक्शन के डोमेन से सबसेट तक मैप करता है। {{Functions}}एक और सेट. [[गणितीय अनुकूलन]], [[नियंत्रण सिद्धांत]] और गेम सिद्धांत सहित विभिन्न गणितीय क्षेत्रों में सेट-वैल्यू फ़ंक्शंस का उपयोग किया जाता है।
+एक समुच्चय-मान फलन (या पत्राचार) एक गणितीय फलन है जो तत्वों को एक समुच्चय, फलन के डोमेन से उपसमुच्चय तक मैप करता है। {{Functions}}
+[[गणितीय अनुकूलन|'''समुच्चय-मान फलन''' का उपयोग अनुकूलन]], [[नियंत्रण सिद्धांत]] और खेल सिद्धांत सहित विभिन्न गणितीय क्षेत्रों में किया जाता है।
-कुछ सन्दर्भों में सेट-वैल्यू फ़ंक्शंस को बहु-वैल्यू फ़ंक्शंस के रूप में भी जाना जाता है,<ref>{{Cite book |last=Repovš |first=Dušan |url=https://www.worldcat.org/oclc/39739641 |title=बहुमूल्यवान मैपिंग का निरंतर चयन|date=1998 |publisher=Kluwer Academic |others=Pavel Vladimirovič. Semenov |isbn=0-7923-5277-7 |location=Dordrecht |oclc=39739641}}</ref> लेकिन यहां और [[गणितीय विश्लेषण]] में कई अन्य संदर्भों में, एक बहुमूल्यवान फ़ंक्शन एक सेट-मूल्यवान फ़ंक्शन है {{mvar|f}} जिसमें एक और [[सतत कार्य]] गुण है, अर्थात् सेट में एक तत्व का चुनाव <math>f(x)</math> प्रत्येक सेट में एक संगत तत्व को परिभाषित करता है <math>f(y)</math> के लिए {{mvar|y}} के करीब {{mvar|x}}, और इस प्रकार [[स्थानीय रूप से]] एक सामान्य फ़ंक्शन को परिभाषित करता है।
+कुछ सन्दर्भों में '''समुच्चय-मान फलन''' को बहु-मान फलन के रूप में भी जाना जाता है,<ref>{{Cite book |last=Repovš |first=Dušan |url=https://www.worldcat.org/oclc/39739641 |title=बहुमूल्यवान मैपिंग का निरंतर चयन|date=1998 |publisher=Kluwer Academic |others=Pavel Vladimirovič. Semenov |isbn=0-7923-5277-7 |location=Dordrecht |oclc=39739641}}</ref> लेकिन यहां और [[गणितीय विश्लेषण]] में कई अन्य संदर्भों में, बहु मानवान फलन एक  समुच्चय-मानवान फलन {{mvar|f}} हैं जिसमें एक और [[सतत कार्य]] गुण है, अर्थात् समुच्चय में एक तत्व का चुनाव <math>f(x)</math> प्रत्येक समुच्चय में एक संगत तत्व को परिभाषित करता है <math>f(y)</math> x के करीब y के लिए और इस प्रकार [[स्थानीय रूप से]] एक सामान्य फलन को परिभाषित करता है।
-  [[File:Multivalued_function.svg|right|frame|यह आरेख एक बहु-मूल्यवान, लेकिन उचित (एकल-मूल्यवान) [[फ़ंक्शन (गणित)]] का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, क्योंकि एक्स में तत्व 3, वाई में दो तत्वों, बी और सी से जुड़ा हुआ है।]]
+  [[File:Multivalued_function.svg|right|frame|यह आरेख एक बहु- मानवान, लेकिन उचित (एकल- मानवान)  [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, क्योंकि X में तत्व 3, Y में दो तत्वों, b और c से जुड़ा हुआ है।]]
 == उदाहरण ==
-किसी फ़ंक्शन का [[argmax]] सामान्यतः बहुमूल्यवान होता है। उदाहरण के लिए, <math>\operatorname{argmax}_{x \in \mathbb{R}}  \cos(x) = \{2 \pi k\mid k \in \mathbb{Z}\}</math>.
+किसी  फलन का आर्गमैक्स सामान्यतः बहु मानवान होता है। उदाहरण के लिए, <math>\operatorname{argmax}_{x \in \mathbb{R}}  \cos(x) = \{2 \pi k\mid k \in \mathbb{Z}\}</math>.
-== सेट-मूल्य विश्लेषण ==
+== समुच्चय-मान विश्लेषण ==
-सेट-वैल्यू विश्लेषण गणितीय विश्लेषण और [[सामान्य टोपोलॉजी]] की भावना में सेट का अध्ययन है।
+समुच्चय-मान विश्लेषण गणितीय विश्लेषण और [[सामान्य टोपोलॉजी]] की भावना में समुच्चय का अध्ययन है।
-केवल अंकों के संग्रह पर विचार करने के बजाय, सेट-वैल्यू विश्लेषण सेट के संग्रह पर विचार करता है। यदि सेटों का संग्रह टोपोलॉजी से संपन्न है, या अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस से उपयुक्त टोपोलॉजी प्राप्त करता है, तो सेटों के अभिसरण का अध्ययन किया जा सकता है।
+केवल अंकों के संग्रह पर विचार करने के बजाय समुच्चय-मान विश्लेषण समुच्चय के संग्रह पर विचार करता है। यदि समुच्चयों का संग्रह टोपोलॉजी से संपन्न है या अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस से उपयुक्त टोपोलॉजी प्राप्त करता है, तो समुच्चयों के अभिसरण का अध्ययन किया जा सकता है।
-अधिकांश सेट-वैल्यू विश्लेषण [[गणितीय अर्थशास्त्र]] और [[इष्टतम नियंत्रण]] के अध्ययन के माध्यम से उत्पन्न हुआ, आंशिक रूप से [[उत्तल विश्लेषण]] के सामान्यीकरण के रूप में; वैरिएबल विश्लेषण शब्द का उपयोग आर. टायरेल रॉकफेलर और [[रोजर जे-बी वेट्स]], [[जोनाथन बोरवेइन]] और [[एड्रियन लुईस]] और [[बोरिस मोर्दुखोविच]] जैसे लेखकों द्वारा किया जाता है। अनुकूलन सिद्धांत में, किसी भी न्यूनतम बिंदु के लिए आवश्यक या पर्याप्त शर्तों को समझने के लिए [[उपविभेदक]] को उपविभेदक के सन्निकटन का अभिसरण महत्वपूर्ण है।
+अधिकांश समुच्चय-मान विश्लेषण [[गणितीय अर्थशास्त्र]] और [[इष्टतम नियंत्रण]] के अध्ययन के माध्यम से उत्पन्न हुआ, आंशिक रूप से [[उत्तल विश्लेषण]] के सामान्यीकरण के रूप में शब्द "वेरिएशनल एनालिसिस" का उपयोग आर. टायरेल रॉकफेलर और [[रोजर जे-बी वेट्स]], [[जोनाथन बोरवेइन|जोनाथन बोरवीन]] और [[एड्रियन लुईस]] और [[बोरिस मोर्दुखोविच]] जैसे लेखकों द्वारा किया जाता है। अनुकूलन सिद्धांत में किसी भी न्यूनतम बिंदु के लिए आवश्यक या पर्याप्त स्थितियों को समझने के लिए [[उपविभेदक|उपविभेदकों]] को उपविभेदकों में सन्निकटन करने का अभिसरण महत्वपूर्ण है।
-बिंदु-मूल्य विश्लेषण से निम्नलिखित अवधारणाओं के सेट-मूल्य विस्तार मौजूद हैं: [[सतत (गणित)]], [[विभेदन (गणित)]], [[अभिन्न]],<ref>{{cite journal |last=Aumann |first=Robert J. |author-link=Robert Aumann |year=1965 |title=सेट-वैल्यू फ़ंक्शंस के इंटीग्रल|journal=[[Journal of Mathematical Analysis and Applications]] |volume=12 |issue=1 |pages=1–12 |doi=10.1016/0022-247X(65)90049-1 |doi-access=free}}</ref> अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय, [[संकुचन मानचित्रण]], [[माप सिद्धांत]], [[निश्चित-बिंदु प्रमेय]] | निश्चित-बिंदु प्रमेय,<ref name="kakutani">{{cite journal |last=Kakutani |first=Shizuo |author-link=Shizuo Kakutani |year=1941 |title=ब्रौवर के निश्चित बिंदु प्रमेय का सामान्यीकरण|journal=[[Duke Mathematical Journal]] |volume=8 |issue=3 |pages=457–459 |doi=10.1215/S0012-7094-41-00838-4}}</ref> [[अनुकूलन (गणित)]], और [[टोपोलॉजिकल डिग्री सिद्धांत]]। विशेष रूप से, [[समीकरण]]ों को [[समावेशन (सेट सिद्धांत)]] के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, जबकि अंतर समीकरणों को [[विभेदक समावेशन]] के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।
+बिंदु-मान विश्लेषण से निम्नलिखित अवधारणाओं के समुच्चय-मान विस्तार स्थित हैं: [[सतत (गणित)|निरंतरता (गणित)]], [[विभेदन (गणित)]], [[अभिन्न]],<ref>{{cite journal |last=Aumann |first=Robert J. |author-link=Robert Aumann |year=1965 |title=सेट-वैल्यू फ़ंक्शंस के इंटीग्रल|journal=[[Journal of Mathematical Analysis and Applications]] |volume=12 |issue=1 |pages=1–12 |doi=10.1016/0022-247X(65)90049-1 |doi-access=free}}</ref> अंतर्निहित फलन प्रमेय, [[संकुचन मानचित्रण]], [[माप सिद्धांत]], [[निश्चित-बिंदु प्रमेय]],<ref name="kakutani">{{cite journal |last=Kakutani |first=Shizuo |author-link=Shizuo Kakutani |year=1941 |title=ब्रौवर के निश्चित बिंदु प्रमेय का सामान्यीकरण|journal=[[Duke Mathematical Journal]] |volume=8 |issue=3 |pages=457–459 |doi=10.1215/S0012-7094-41-00838-4}}</ref> [[अनुकूलन (गणित)]] और [[टोपोलॉजिकल डिग्री सिद्धांत]]। विशेष रूप से [[समीकरण|समीकरणों]] को [[समावेशन (सेट सिद्धांत)|समावेशन]] के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, जबकि विभेदन समीकरणों को [[विभेदक समावेशन]] के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।
-[[निरंतरता (गणित)]] को सामान्य बनाने वाली कई अवधारणाओं को अलग किया जा सकता है, जैसे [[बंद ग्राफ]]़ संपत्ति और हेमिकॉन्टिनिटी{{efn|Some authors use the term ‘semicontinuous’ instead of ‘hemicontinuous’.}}. मल्टीफ़ंक्शन के लिए [[माप (गणित)]] के विभिन्न सामान्यीकरण भी हैं।
+[[निरंतरता (गणित)]] को सामान्य बनाने वाली कई अवधारणाओं को अलग किया जा सकता है, जैसे [[बंद ग्राफ|संवृत ग्राफ]] गुण और ऊपरी और निचला हेमिकॉन्टिनिटी{{efn|Some authors use the term ‘semicontinuous’ instead of ‘hemicontinuous’.}}। बहुकार्यों के [[माप (गणित)]] के विभिन्न सामान्यीकरण भी हैं।
 == अनुप्रयोग ==
-सेट-वैल्यू फ़ंक्शंस इष्टतम नियंत्रण में उत्पन्न होते हैं, विशेष रूप से विभेदक समावेशन और गेम सिद्धांत के रूप में संबंधित विषय, जहां [[नैश संतुलन]] के अस्तित्व को साबित करने के लिए सेट-वैल्यू फ़ंक्शंस के लिए काकुतानी निश्चित-बिंदु प्रमेय लागू किया गया है। कई अन्य गुणों के बीच यह निरंतर कार्यों के माध्यम से ऊपरी हेमिकॉन्टिन्युअस मल्टीफंक्शन की अनुमानितता से जुड़ा हुआ है, यह बताता है कि निचले हेमिकॉन्टिनिटी की तुलना में ऊपरी हेमिकॉन्टिनिटी को अधिक पसंद क्यों किया जाता है।
+समुच्चय-मान फलन इष्टतम नियंत्रण सिद्धांत में उत्पन्न होते हैं, विशेष रूप से विभेदक समावेशन और खेल सिद्धांत के रूप में संबंधित विषयों में जहां [[नैश संतुलन]] के अस्तित्व को साबित करने के लिए समुच्चय-मान फलन के लिए काकुतानी निश्चित-बिंदु प्रमेय लागू किया गया है। कई अन्य गुणों के बीच यह निरंतर कार्यों के माध्यम से ऊपरी हेमिकॉन्टिन्युअस बहुफलन की अनुमानितता से जुड़ा हुआ है, यह बताता है कि निचले हेमिकॉन्टिनिटी की तुलना में ऊपरी हेमिकॉन्टिनिटी को अधिक पसंद क्यों किया जाता है।
-फिर भी, निचले अर्ध-निरंतर मल्टीफ़ंक्शन में आमतौर पर निरंतर चयन होते हैं जैसा कि [[माइकल चयन प्रमेय]] में कहा गया है, जो [[ परा-सुसंहत ]] रिक्त स्थान का एक और लक्षण वर्णन प्रदान करता है।<ref>{{cite journal |author=Ernest Michael |author-link=Ernest Michael |date=Mar 1956 |title=सतत चयन. मैं|url=http://www.renyi.hu/~descript/papers/Michael_1.pdf |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=63 |pages=361–382 |doi=10.2307/1969615 |jstor=1969615 |number=2 |hdl=10338.dmlcz/119700}}</ref><ref>{{cite journal |author1=Dušan Repovš |author1-link=Dušan Repovš |author2=P.V. Semenov |year=2008 |title=अर्नेस्ट माइकल और सतत चयन का सिद्धांत|journal=Topology Appl. |volume=155 |pages=755–763 |arxiv=0803.4473 |doi=10.1016/j.topol.2006.06.011 |number=8|s2cid=14509315 }}</ref> अन्य चयन प्रमेय, जैसे ब्रेसन-कोलंबो दिशात्मक निरंतर चयन, कुराटोस्की और रील-नार्डजेवस्की मापनीय चयन प्रमेय, औमन मापनीय चयन, और विघटित मानचित्रों के लिए फ्राइस्ज़कोव्स्की चयन इष्टतम नियंत्रण और विभेदक समावेशन के सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं।
+फिर भी, निचले अर्ध-निरंतर बहु फलन में सामान्यतौर पर निरंतर चयन होते हैं जैसा कि [[माइकल चयन प्रमेय]] में कहा गया है, जो [[ परा-सुसंहत | पैराकॉम्पैक्ट]] रिक्त स्थान का एक और लक्षण वर्णन प्रदान करता है।<ref>{{cite journal |author=Ernest Michael |author-link=Ernest Michael |date=Mar 1956 |title=सतत चयन. मैं|url=http://www.renyi.hu/~descript/papers/Michael_1.pdf |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=63 |pages=361–382 |doi=10.2307/1969615 |jstor=1969615 |number=2 |hdl=10338.dmlcz/119700}}</ref><ref>{{cite journal |author1=Dušan Repovš |author1-link=Dušan Repovš |author2=P.V. Semenov |year=2008 |title=अर्नेस्ट माइकल और सतत चयन का सिद्धांत|journal=Topology Appl. |volume=155 |pages=755–763 |arxiv=0803.4473 |doi=10.1016/j.topol.2006.06.011 |number=8|s2cid=14509315 }}</ref> अन्य चयन प्रमेय जैसे ब्रेसन-कोलंबो दिशात्मक निरंतर चयन, कुराटोस्की और रील-नार्डजेवस्की मापनीय चयन प्रमेय, औमन मापनीय चयन और विघटित मानचित्रों के लिए फ्राइज़कोव्स्की चयन इष्टतम नियंत्रण और विभेदक समावेशन के सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं।
 == टिप्पणियाँ ==
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फ़ंक्शन
$x \mapsto f (x)$
डोमेन और कोडोमैन के उदाहरण
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ → $X$
कक्षाएं/गुण
स्थिर पहचान रैखिक बहुपद तर्कसंगत बीजगणितीय विश्लेषणात्मक चिकनी निरंतर औसत दर्जे का इंजेक्शन सर्जिकल बायजजे
कंस्ट्रक्शन
प्रतिबंध रचना λ उलटा
सामान्यीकरण
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