लघुगणकीय अवकलन: Difference between revisions

Latest revision as of 11:53, 12 September 2023

गणना में, लघुगणकीय अवकलन एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग किसी फलन के लघुगणकीय व्युत्पन्न को नियोजित करके व्युत्पन्न फलन (गणित) $f$ के लिए किया जाता है। ,^[1]

(\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad \implies \quad f'=f\cdot (\ln f)'.

तकनीक प्रायः उन स्तिथियों में निष्पादित की जाती है जहां फलन के स्थान पर किसी फलन के लघुगणक को अलग करना आसान होता है। यह सामान्यतः पर उन स्तिथियों में होता है जहां रुचि का कार्य कई भागों के उत्पाद से बना होता है, ताकि एक लघुगणकीय परिवर्तन इसे अलग-अलग हिस्सों के योग में बदल दे (जिसे अलग करना बहुत आसान है)। यह तब भी उपयोगी हो सकता है जब इसे चर या फलन की शक्ति तक बढ़ाए गए फलन पर लागू किया जाता है। लघुगणक अवकलन उत्पादों को योगों में और विभाजनों को घटावों में बदलने के लिए श्रृंखला नियम के साथ-साथ लघुगणक के गुणों (विशेष रूप से, प्राकृतिक लघुगणक, या आधार ई (गणित) के लघुगणक) पर निर्भर करता है। ^[2]^[3] सिद्धांत को, कम से कम आंशिक रूप से, लगभग सभी भिन्न-भिन्न फलनों के अवकलन में लागू किया जा सकता है, बशर्ते कि ये कार्य गैर-शून्य हों।

अवलोकन

विधि का उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि लघुगणक के गुण विभेदित किए जाने वाले सम्मिश्र फलनों को शीघ्रता से सरल बनाने के लिए मार्ग प्रदान करते हैं। ^[4] दोनों पक्षों पर प्राकृतिक लघुगणक लेने के बाद और प्रारंभिक भेदभाव से पहले इन गुणों में क्रमभंग किया जा सकता है। सबसे अधिक उपयोग किये जाने वाले लघुगणक नियम निम्न हैं ^[3]

\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{n})=n\ln(a).

उच्च क्रम व्युत्पन्न

फा डि ब्रूनो के सूत्र का उपयोग करते हुए, n-वें क्रम का लघुगणकीय व्युत्पन्न निम्न है,

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ln f(x)=\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n}{\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot {\frac {(-1)^{m_{1}+\cdots +m_{n}-1}(m_{1}+\cdots +m_{n}-1)!}{f(x)^{m_{1}+\cdots +m_{n}}}}\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {f^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.

अनुप्रयोग

उत्पाद

एक प्राकृतिक लघुगणक दो फलनों के उत्पाद पर लागू किया जाता है

f(x)=g(x)h(x)

उत्पाद को योग में बदलने के लिए

\ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x)).

अवकलन नियमों में श्रृंखला नियम और योग नियम को लागू करके अवकलन करने से परिणाम प्राप्त होते हैं

{\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}},

और, पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, निम्न प्रतिफल मिलता है ^[5]

f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g(x)h(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g'(x)h(x)+g(x)h'(x),

जो व्युत्पन्न के लिए उत्पाद नियम है।

उद्धरण

एक प्राकृतिक लघुगणक दो फलनों के भागफल पर लागू किया जाता है

f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}

भाग को घटाव में बदलना

\ln(f(x))=\ln \left({\frac {g(x)}{h(x)}}\right)=\ln(g(x))-\ln(h(x))

अवकलन नियमों में श्रृंखला नियम और योग नियम को लागू करके अवकलन करने से परिणाम प्राप्त होते हैं

{\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}},

और, पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, निम्न प्रतिफल मिलती है

f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g(x)}{h(x)}}\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}},

जो व्युत्पन्नों के लिए भागफल नियम है।

क्रियात्मक घातांक

प्रपत्र के एक फलन के लिए

f(x)=g(x)^{h(x)}

प्राकृतिक लघुगणक घातांक को निम्न उत्पाद में बदल देता है

\ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))

अवकलन नियमों में श्रृंखला नियम और योग नियम को लागू करके अवकलन करने से परिणाम प्राप्त होते हैं

{\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}},

और, पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, प्रतिफल मिलती है

f'(x)=f(x)\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}=g(x)^{h(x)}\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}.

घातांकीय फलन के संदर्भ में f को फिर से लिखकर और श्रृंखला नियम लागू करके वही परिणाम प्राप्त किया जा सकता है।

सामान्य स्तिथि

गुणन उत्कृष्ठ पाई संकेत पद्धति का उपयोग करते हुए, आइए

f(x)=\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}

कार्यात्मक घातांक वाले फलनों का एक सीमित उत्पाद बनें।

प्राकृतिक लघुगणक के अनुप्रयोग का परिणाम (उत्कृष्ठ सिग्मा संकेत पद्धति के साथ) होता है

\ln(f(x))=\sum _{i}\alpha _{i}(x)\cdot \ln(f_{i}(x)),

और भेदभाव के बाद,

{\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].

मूल फलन का व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें,

f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}.

यह भी देखें

↑ Krantz, Steven G. (2003). कैलकुलस का रहस्योद्घाटन. McGraw-Hill Professional. p. 170. ISBN 0-07-139308-0.
↑ N.P. Bali (2005). गोल्डन डिफरेंशियल कैलकुलस. Firewall Media. p. 282. ISBN 81-7008-152-1.
↑ ^3.0 ^3.1 Bird, John (2006). उच्च इंजीनियरिंग गणित. Newnes. p. 324. ISBN 0-7506-8152-7.
↑ Blank, Brian E. (2006). कैलकुलस, एकल चर. Springer. p. 457. ISBN 1-931914-59-1.
↑ Williamson, Benjamin (2008). डिफरेंशियल कैलकुलस पर एक प्राथमिक ग्रंथ. BiblioBazaar, LLC. pp. 25–26. ISBN 978-0-559-47577-1.

[1] Krantz, Steven G. (2003). कैलकुलस का रहस्योद्घाटन. McGraw-Hill Professional. p. 170. ISBN 0-07-139308-0.

[2] N.P. Bali (2005). गोल्डन डिफरेंशियल कैलकुलस. Firewall Media. p. 282. ISBN 81-7008-152-1.

[Bird-3] 3.0 ^3.1 Bird, John (2006). उच्च इंजीनियरिंग गणित. Newnes. p. 324. ISBN 0-7506-8152-7.

[4] Blank, Brian E. (2006). कैलकुलस, एकल चर. Springer. p. 457. ISBN 1-931914-59-1.

[5] Williamson, Benjamin (2008). डिफरेंशियल कैलकुलस पर एक प्राथमिक ग्रंथ. BiblioBazaar, LLC. pp. 25–26. ISBN 978-0-559-47577-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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-{{Short description|Method of mathematical differentiation}}
+{{Short description|Method of mathematical differentiation}}[[ गणना ]]में, लघुगणकीय अवकलन एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग किसी फलन के [[लघुगणकीय व्युत्पन्न]] को नियोजित करके व्युत्पन्न फलन (गणित) {{math|''f''}} के लिए किया जाता है। ,<ref>{{cite book| title=कैलकुलस का रहस्योद्घाटन| pages=170| first=Steven G.|last=Krantz | publisher=McGraw-Hill Professional| year=2003 | isbn=0-07-139308-0}}</ref>
-{{For|व्युत्पादित|लघुगणकीय व्युत्पन्न}}
-{{Calculus}}
-[[ गणना ]]में, लघुगणकीय विभेदन या लघुगणक लेकर विभेदन एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग किसी फलन के [[लघुगणकीय व्युत्पन्न]] को नियोजित करके व्युत्पन्न [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] {{math|''f''}} के लिए किया जाता है। ,<ref>{{cite book| title=कैलकुलस का रहस्योद्घाटन| pages=170| first=Steven G.|last=Krantz | publisher=McGraw-Hill Professional| year=2003 | isbn=0-07-139308-0}}</ref>
 <math display="block">(\ln f)' = \frac{f'}{f} \quad \implies \quad  f' = f \cdot (\ln f)'.</math>
-तकनीक प्रायः उन स्तिथियों में निष्पादित की जाती है जहां फलन के स्थान पर किसी फलन के [[लघुगणक]] को अलग करना आसान होता है। यह सामान्यतः पर उन स्तिथियों में होता है जहां रुचि का कार्य कई भागों के उत्पाद से बना होता है, ताकि एक लघुगणकीय परिवर्तन इसे अलग-अलग हिस्सों के योग में बदल दे (जिसे अलग करना बहुत आसान है)। यह तब भी उपयोगी हो सकता है जब इसे चर या फलन की शक्ति तक बढ़ाए गए फलन पर लागू किया जाता है। लघुगणक विभेदन उत्पादों को योगों में और विभाजनों को घटावों में बदलने के लिए [[श्रृंखला नियम]] के साथ-साथ लघुगणक के गुणों (विशेष रूप से, [[प्राकृतिक]] लघुगणक, या आधार [[ई (गणित)]] के लघुगणक) पर निर्भर करता है। <ref>{{cite book| title=गोल्डन डिफरेंशियल कैलकुलस| pages=282|author=N.P. Bali| publisher=Firewall Media | year=2005 | isbn=81-7008-152-1}}</ref><ref name="Bird">{{cite book|title=उच्च इंजीनियरिंग गणित| first=John|last=Bird|pages=324 | publisher=Newnes |year=2006 | isbn=0-7506-8152-7}}</ref> सिद्धांत को, कम से कम आंशिक रूप से, लगभग सभी भिन्न-भिन्न कार्यों के विभेदन में लागू किया जा सकता है, बशर्ते कि ये कार्य गैर-शून्य हों।
+तकनीक प्रायः उन स्तिथियों में निष्पादित की जाती है जहां फलन के स्थान पर किसी फलन के [[लघुगणक]] को अलग करना आसान होता है। यह सामान्यतः पर उन स्तिथियों में होता है जहां रुचि का कार्य कई भागों के उत्पाद से बना होता है, ताकि एक लघुगणकीय परिवर्तन इसे अलग-अलग हिस्सों के योग में बदल दे (जिसे अलग करना बहुत आसान है)। यह तब भी उपयोगी हो सकता है जब इसे चर या फलन की शक्ति तक बढ़ाए गए फलन पर लागू किया जाता है। लघुगणक अवकलन उत्पादों को योगों में और विभाजनों को घटावों में बदलने के लिए [[श्रृंखला नियम]] के साथ-साथ लघुगणक के गुणों (विशेष रूप से, [[प्राकृतिक]] लघुगणक, या आधार [[ई (गणित)]] के लघुगणक) पर निर्भर करता है। <ref>{{cite book| title=गोल्डन डिफरेंशियल कैलकुलस| pages=282|author=N.P. Bali| publisher=Firewall Media | year=2005 | isbn=81-7008-152-1}}</ref><ref name="Bird">{{cite book|title=उच्च इंजीनियरिंग गणित| first=John|last=Bird|pages=324 | publisher=Newnes |year=2006 | isbn=0-7506-8152-7}}</ref> सिद्धांत को, कम से कम आंशिक रूप से, लगभग सभी भिन्न-भिन्न फलनों के अवकलन में लागू किया जा सकता है, बशर्ते कि ये कार्य गैर-शून्य हों।
 ==अवलोकन==
-विधि का उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि लघुगणक के गुण विभेदित किए जाने वाले जटिल कार्यों को शीघ्रता से सरल बनाने के लिए मार्ग प्रदान करते हैं। <ref>{{cite book| title=कैलकुलस, एकल चर| first=Brian E.|last=Blank | pages=457| publisher=Springer| year=2006| isbn=1-931914-59-1}}</ref> दोनों पक्षों पर प्राकृतिक लघुगणक लेने के बाद और प्रारंभिक भेदभाव से पहले इन गुणों में क्रमभंग किया जा सकता है। सबसे अधिक उपयोग किये जाने वाले लघुगणक नियम निम्न हैं <ref name="Bird" />
+विधि का उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि लघुगणक के गुण विभेदित किए जाने वाले सम्मिश्र फलनों को शीघ्रता से सरल बनाने के लिए मार्ग प्रदान करते हैं। <ref>{{cite book| title=कैलकुलस, एकल चर| first=Brian E.|last=Blank | pages=457| publisher=Springer| year=2006| isbn=1-931914-59-1}}</ref> दोनों पक्षों पर प्राकृतिक लघुगणक लेने के बाद और प्रारंभिक भेदभाव से पहले इन गुणों में क्रमभंग किया जा सकता है। सबसे अधिक उपयोग किये जाने वाले लघुगणक नियम निम्न हैं <ref name="Bird" />
 <math display="block">\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b), \qquad
 \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b), \qquad
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 \prod_{j=1}^n \left(\frac{f^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}.</math>
-इसका उपयोग करते हुए, पहले चार व्युत्पन्न हैं,
-<math display="block">
- \frac{d^2}{dx^2} \ln f(x) &= \frac{f''(x)}{f(x)} - \left(\frac{f'(x)}{f(x)} \right)^2 \\[1ex]
- \frac{d^3}{dx^3} \ln f(x) &= \frac{f^{(3)}(x)}{f(x)} - 3 \frac{f'(x) f''(x)}{f(x)^2} + 2 \left(\frac{f'(x)}{f(x)} \right)^3 \\[1ex]
- \frac{d^4}{dx^4} \ln f(x) &= \frac{f^{(4)}(x)}{f(x)} - 4 \frac{f'(x) f^{(3)}(x)}{f(x)^2} - 3 \left(\frac{f''(x)}{f(x)}\right)^2 + 12 \frac{f'(x)^2 f''(x)}{f(x)^3} - 6 \left(\frac{f'(x)}{f(x)} \right)^4
-</math>
 ==अनुप्रयोग==
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 ===उत्पाद===
 {{Main|उत्पाद नियम}}
-एक प्राकृतिक लघुगणक दो कार्यों के उत्पाद पर लागू किया जाता है
+एक प्राकृतिक लघुगणक दो फलनों के उत्पाद पर लागू किया जाता है
 <math display="block">f(x) = g(x) h(x)</math>
 उत्पाद को योग में बदलने के लिए
 <math display="block">\ln(f(x))=\ln(g(x)h(x)) = \ln(g(x)) + \ln(h(x)). </math>
-विभेदन नियमों में श्रृंखला नियम और योग नियम को लागू करके विभेदन करने से परिणाम प्राप्त होते हैं
+अवकलन नियमों में श्रृंखला नियम और योग नियम को लागू करके अवकलन करने से परिणाम प्राप्त होते हैं
 <math display="block">\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)} + \frac{h'(x)}{h(x)},</math>
 और, पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, निम्न प्रतिफल मिलता है <ref>{{cite book | title=डिफरेंशियल कैलकुलस पर एक प्राथमिक ग्रंथ| first=Benjamin|last=Williamson | publisher=BiblioBazaar, LLC | year=2008 | pages=25–26 | isbn=978-0-559-47577-1}}</ref>
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 ===उद्धरण===
 {{Main|भागफल नियम}}
-एक प्राकृतिक लघुगणक दो कार्यों के भागफल पर लागू किया जाता है
+एक प्राकृतिक लघुगणक दो फलनों के भागफल पर लागू किया जाता है
 <math display="block">f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}</math>
 भाग को घटाव में बदलना
 <math display="block">\ln(f(x)) = \ln\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right) = \ln(g(x)) - \ln(h(x))</math>
-विभेदन नियमों में श्रृंखला नियम और योग नियम को लागू करके विभेदन करने से परिणाम प्राप्त होते हैं
+अवकलन नियमों में श्रृंखला नियम और योग नियम को लागू करके अवकलन करने से परिणाम प्राप्त होते हैं
 <math display="block">\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)} - \frac{h'(x)}{h(x)},</math>
 और, पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, निम्न प्रतिफल मिलती है
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 प्राकृतिक लघुगणक घातांक को निम्न उत्पाद में बदल देता है
 <math display="block">\ln(f(x)) = \ln\left(g(x)^{h(x)}\right) = h(x) \ln(g(x))</math>
-विभेदन नियमों में श्रृंखला नियम और योग नियम को लागू करके विभेदन करने से परिणाम प्राप्त होते हैं
+अवकलन नियमों में श्रृंखला नियम और योग नियम को लागू करके अवकलन करने से परिणाम प्राप्त होते हैं
 <math display="block">\frac{f'(x)}{f(x)} = h'(x) \ln(g(x)) + h(x) \frac{g'(x)}{g(x)},</math>
 और, पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, प्रतिफल मिलती है
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 गुणन उत्कृष्ठ पाई संकेत पद्धति का उपयोग करते हुए, आइए
 <math display="block">f(x) = \prod_i (f_i(x))^{\alpha_i(x)}</math>
-कार्यात्मक घातांक वाले कार्यों का एक सीमित उत्पाद बनें।
+कार्यात्मक घातांक वाले फलनों का एक सीमित उत्पाद बनें।
 प्राकृतिक लघुगणक के अनुप्रयोग का परिणाम (उत्कृष्ठ सिग्मा संकेत पद्धति के साथ) होता है
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 {{Calculus topics}}
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v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

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