मध्यक्षेत्र

बहुफलक और उसका मध्यक्षेत्र। लाल वृत्त वृत्ताकार कैप्स की सीमाएँ हैं जिनके अन्दर वृत्त की सतह प्रत्येक शीर्ष से दृश्यता (ज्यामिति) होती है। आकार, बहुफलक के प्रत्येक किनारे के स्पर्शरेखा। वृत्त के दृश्य भाग, बहुफलक के बाहर, बहुफलक के प्रत्येक फलक पर दो आकार के वृत्ताकार टोपियां बनाते हैं: त्रिकोणीय फलको में छोटे, और चतुर्भुज फलको में बड़े। वृत्त की सतह पर लाल वृत्त, इन टोपी से निकलते हुए, प्रत्येक बहुफलक शीर्ष से दिखाई देने वाले क्षितिज को चिह्नित करते हैं। लाल वृत्तों के दो आकार वृत्ताकार कैप्स के समान होते हैं: छोटे वृत्त बहुफलक शीर्षों को आवरण करते हैं जहां तीन फलक मिलते हैं, और बड़े वृत्त उन शीर्षों को आवरण करते हैं जहां चार फलक मिलते हैं।

ज्यामिति में, उत्तल बहुफलक का मध्यक्षेत्र या अंतरक्षेत्र एक वृत्त होता है जो बहुफलक के प्रत्येक किनारे पर स्पर्शरेखा है प्रत्येक बहुफलक में मध्यक्षेत्र नहीं होता है, किन्तु एकसमान बहुफलक, जिसमें एकसमान बहुफलक, क्वासि नियमित बहुफलक और सेमीरेगुलर बहुफलक और उनके दोहरे बहुफलक सम्मिलित हैं, इस प्रकार सभी में मध्यक्षेत्र होते हैं। मध्यक्षेत्र की त्रिज्या को मध्यत्रिज्या कहा जाता है। बहुफलक जिसका मध्यक्षेत्र होता है, उसे इस वृत्त के चारों ओर मध्याभिमुख कहा जाता है।

जब बहुफलक का मध्यक्षेत्र होता है, तो मध्यक्षेत्र पर दो लंबवत वृत्त पैकिंग प्रमेय बना सकता है, इस प्रकार बहुफलक के शीर्षों के मध्य आसन्नता के अनुरूप होता है, और दूसरा इसके दोहरे बहुफलक के समान होता है, जिसका मध्यक्षेत्र समान होता है। प्रत्येक बहुफलक किनारे की लंबाई इस सर्कल पैकिंग प्रमेय इसके दो अंतिम बिंदुओं से उनके संबंधित वृत्त तक की दूरी का योग है।

प्रत्येक उत्तल बहुफलक के लिए संयोजन समतुल्य बहुफलक, कैनोनिकल बहुफलक होता है, इस प्रकार जिसमें मध्यक्षेत्र होता है, जो किनारों के स्पर्शरेखा बिंदुओं के केंद्रक पर केंद्रित होता है। संख्यात्मक सन्निकटन एल्गोरिदम इसका निर्माण कर सकते हैं, किन्तु इसके निर्देशांक को क्लोज्ड-फॉर्म एक्सप्रेशन के रूप में पूर्णतः प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। किसी भी कैनोनिकल बहुफलक और उसके ध्रुवीय दोहरे का उपयोग चार-आयामी एंटीप्रिज्म के दो विपरीत फलक बनाने के लिए किया जा सकता है।

परिभाषा एवं उदाहरण

इस प्रकार त्रि-आयामी उत्तल बहुफलक के मध्यक्षेत्र को ऐसे वृत्त के रूप में परिभाषित किया जाता है जो बहुफलक के प्रत्येक किनारे पर स्पर्शरेखा होता है। कहने का तात्पर्य यह है कि, प्रत्येक किनारे को इसे पार किए बिना, किनारे के आंतरिक बिंदु पर स्पर्श करना चाहिए। सामान्यतः, यह ऐसा वृत्त है जिसमें बहुफलक के प्रत्येक फलक का स्पर्शरेखीय बहुभुज सम्मिलित होता है। जब मध्यक्षेत्र उपस्थित होता है, तो यह अद्वितीय होता है। प्रत्येक उत्तल बहुफलक का मध्यक्षेत्र नहीं होता है; मध्यक्षेत्र होने के लिए, प्रत्येक फलक पर उत्कीर्ण वृत्त होना चाहिए (अर्थात्, यह स्पर्शरेखीय बहुभुज होना चाहिए), और यह सभी अंकित वृत्त ही वृत्त से संबंधित होने चाहिए। उदाहरण के लिए, आयताकार घनाभ का मध्यक्षेत्र केवल तभी होता है जब वह घन होता है, क्योंकि अन्यथा इसके फलक के रूप में गैर-वर्गाकार आयत होते हैं, और इनमें अंकित वृत्त नहीं होते हैं।

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल (गणित) पर केंद्रित इकाई घन के लिए, आठ बिंदुओं पर शीर्षों के साथ ${\textstyle (\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}})}$, $1/{\sqrt {2}}$ किनारों के मध्यबिंदु मूल बिंदु से दूरी पर हैं इसलिए, इस घन के लिए, मध्यक्षेत्र त्रिज्या ${\textstyle 1/{\sqrt {2}}}$ के साथ मूल बिंदु पर केन्द्रित है . यह अंकित वृत्त की त्रिज्या ${\textstyle 1/2}$ से बड़ा है, और परिचालित वृत्त की त्रिज्या ${\textstyle {\sqrt {3/4}}}$ से छोटा है, . अधिक सामान्यतः, किनारे की लंबाई $\ell$ के किसी भी प्लेटोनिक ठोस के लिए , मध्य त्रिज्या है

• ${\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}\ell$ नियमित चतुष्फलक के लिए,
• ${\tfrac {1}{2}}\ell$ नियमित अष्टफलक के लिए,
• ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\ell$ नियमित घन के लिए,
• ${\tfrac {\varphi }{2}}\ell$ नियमित विंशतिफलक के लिए, जहां $\varphi$ स्वर्णिम अनुपात को दर्शाता है, और
• ${\tfrac {\varphi ^{2}}{2}}\ell$ नियमित द्वादशफ़लक के लिए।

नियमित बहुफलक, क्वासिरेगुलर बहुफलक और सेमीरेगुलर बहुफलक और उनके दोहरे बहुफलक सहित सभी समान बहुफलक में मध्यक्षेत्र होते हैं। नियमित बहुफलक में, अंकित वृत्त, मध्यक्षेत्र और परिचालित वृत्त सभी उपस्थित हैं और संकेंद्रित वस्तुएं हैं, और मध्यक्षेत्र प्रत्येक किनारे को उसके मध्यबिंदु पर स्पर्श करता है।

चार जोड़ीदार स्पर्शरेखा क्षेत्रों के केंद्र क्रेले के चतुष्फलक के शीर्ष बनाते हैं। यहाँ, चार समान वृत्त नियमित चतुष्फलक बनाते हैं। मध्यक्षेत्र इन वृत्तो के स्पर्शरेखा के छह बिंदुओं से होकर निकलता है, जो इस स्थिति में नियमित अष्टफलक का निर्माण करते हैं।

प्रत्येक अनियमित चतुष्फलक का मध्यक्षेत्र नहीं होता है। जिस चतुष्फलक का मध्यक्षेत्र होता है उसे क्रेले का चतुष्फलक कहा जाता है; वह सभी टेट्राहेड्रा के छह-आयामी समष्टि का चार-आयामी उपवर्ग बनाते हैं (जैसा कि उनकी छह किनारों की लंबाई द्वारा मापदंड किया गया है)। अधिक स्पष्ट रूप से, क्रेले का टेट्राहेड्रा वास्तव में चार क्षेत्रों के केंद्रों द्वारा गठित टेट्राहेड्रा है जो सभी बाहरी रूप से दूसरे के स्पर्शरेखा हैं। इस स्थिति में, चतुष्फलक के छह किनारों की लंबाई इन क्षेत्रों की चार त्रिज्याओं का जोड़ीवार योग है। इस प्रकार ऐसे चतुष्फलक का मध्यक्षेत्र उन बिंदुओं पर इसके किनारों को स्पर्श करता है जहां चार उत्पन्न करने वाले क्षेत्रों में से दो दूसरे के स्पर्शरेखा होते हैं, और सभी चार उत्पन्न करने वाले क्षेत्रों के लंबवत होते हैं।

गुण

स्पर्शरेखा वृत्त

यदि O उत्तल बहुफलक P का मध्यक्षेत्र है , तो P के किसी भी फलक के साथ O का प्रतिच्छेदन एक वृत्त है जो फलक के अन्दर स्थित है, और इसके किनारों पर उन्हीं बिंदुओं पर स्पर्शरेखा है जहां मध्यक्षेत्र स्पर्शरेखा है। इस प्रकार, प्रत्येक फलक P में खुदा हुआ वृत्त है, और यह वृत्त ठीक उसी समय दूसरे के स्पर्शरेखा होते हैं जब यह जिन फलकों पर स्थित होते हैं वह किनारे साझा करते हैं। (चूंकि, इन गुणों वाले वृत्तों की सभी प्रणालियाँ मध्यक्षेत्र से नहीं आती हैं।)

यदि v, P का एक शीर्ष है तो एक शंकु है जिसका शीर्ष v पर है और वह एक वृत्त में O की स्पर्श रेखा है; यह वृत्त वृत्ताकार टोपी की सीमा बनाता है जिसके अन्दर वृत्त की सतह शीर्ष से दृश्यता (ज्यामिति) होती है। अर्थात्, जैसा कि शीर्ष से देखा जाता है, वृत्त मध्यक्षेत्र का क्षितिज है। इस तरह से बने वृत्त ठीक उसी समय एक-दूसरे से स्पर्शरेखा होते हैं, जब वह शीर्ष किनारे से जुड़े होते हैं।

द्वैत

समान मध्यक्षेत्र के साथ घन और अष्टफलक का यौगिक

यदि बहुफलक P का मध्यक्षेत्र O है , पुनः O के संबंध में ध्रुवीय बहुफलक का भी मध्यक्षेत्र O ही है। ध्रुवीय बहुफलक के फलक तल O वृत्तों से होकर निकलते हैं जो P शीर्षों वाले शंकुओं की स्पर्श रेखाएं हैं इस प्रकार उनके शीर्ष के रूप में ध्रुवीय बहुफलक के किनारों में मध्यक्षेत्र के साथ स्पर्शरेखा के समान बिंदु होते हैं, जिस पर वह P किनारों के लंबवत होते हैं .

किनारे की लंबाई

इस प्रकार मध्यक्षेत्र वाले बहुफलक के लिए, प्रत्येक शीर्ष को वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करना संभव है (मध्यक्षेत्र के संबंध में शीर्ष के बिंदु की शक्ति) जो उस शीर्ष से स्पर्श करने वाले प्रत्येक किनारे के स्पर्श बिंदु तक की दूरी के समान होती है यह प्रत्येक किनारे के लिए, उसके अंतिम बिंदुओं को निर्दिष्ट दो संख्याओं का योग केवल किनारे की लंबाई है। उदाहरण के लिए, क्रेले के टेट्राहेड्रा को उनके चार शीर्षों पर इस तरह निर्दिष्ट चार संख्याओं द्वारा पैरामीटराइज़ किया जा सकता है, जिससे पता चलता है कि वह चार-आयामी वर्ग बनाते हैं।

उदाहरण के रूप में, चार बिंदु (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), और (0,0,1) क्रेले के टेट्राहेड्रा में से बनाते हैं, जिसमें तीन समद्विबाहु समकोण होते हैं और फलक के लिए समबाहु त्रिभुज यह चार बिंदु त्रिज्या वाले चार जोड़ीदार स्पर्शरेखा क्षेत्रों के केंद्र हैं समबाहु त्रिभुज पर तीन गैर-शून्य बिंदुओं के लिए त्रिज्या ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.707$ और $1-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.293$ है यह चार संख्याएँ (तीन समान और छोटी) वह चार संख्याएँ हैं जो इस चतुष्फलक को मानकीकृत करती हैं। चतुष्फलक के तीन किनारे दो बिंदुओं को जोड़ते हैं और दोनों की त्रिज्या बड़ी होती है; इस प्रकार इन किनारों की लंबाई इन समान त्रिज्याओं ${\sqrt {2}}$ का योग है, अन्य तीन किनारे भिन्न-भिन्न त्रिज्याओं वाले दो बिंदुओं को जोड़ते हैं जिनका योग एक होता है।

जब मध्यक्षेत्र वाले बहुफलक में हैमिल्टनियन चक्र होता है, तो चक्र में किनारों की लंबाई के योग को शीर्षों की शक्तियों के योग के दोगुने में उसी तरह विभाजित किया जा सकता है। क्योंकि शीर्षों की शक्तियों का यह योग चक्र में किनारों की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, सभी हैमिल्टनियन चक्रों की लंबाई समान होती है।

कैनोनिकल बहुफलक

अष्टफलक के मध्यक्षेत्र पर क्षितिज वृत्तों को स्टीरियोग्राफिक रूप से प्रक्षेपित करके समतल (नीला) में वृत्त पैकिंग प्राप्त की जाती है। पीले कोने और लाल किनारे स्वयं अष्टफलक का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो केंद्रीय रूप से मध्यक्षेत्र पर प्रक्षेपित होता है और फिर स्टीरियोग्राफिक रूप से समतल पर प्रक्षेपित होता है।

इस प्रकार स्पर्शरेखा वृत्तों की प्रणालियों द्वारा समतलीय आरेख का प्रतिनिधित्व करने पर सर्कल पैकिंग प्रमेय का सशक्त रूप बताता है कि प्रत्येक बहुफलकीय आरेख को मध्यक्षेत्र के साथ बहुफलक के शीर्ष और किनारों द्वारा दर्शाया जा सकता है। सामान्यतः, किसी भी उत्तल बहुफलक को संगत शीर्षों, किनारों और फलकों के साथ संयोजनात्मक रूप से समतुल्य रूप में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसमें मध्यक्षेत्र होता है। परिणामी बहुफलक के क्षितिज वृत्तों को, त्रिविम प्रक्षेपण द्वारा, यूक्लिडियन प्लेन में वृत्त पैकिंग में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसका प्रतिच्छेदन आरेख दिया गया आरेख है: इसके वृत्त एक-दूसरे को पार नहीं करते हैं और एक-दूसरे के स्पर्शरेखा होते हैं, ठीक उसी समय जब वह शीर्षों के अनुरूप होते हैं यद्यपि प्रत्येक बहुफलक का मध्यक्षेत्र के साथ संयोजनात्मक रूप से समतुल्य रूप होता है, कुछ बहुफलक का उत्कीर्ण वृत्त के साथ, या परिचालित वृत्त के साथ कोई समतुल्य रूप नहीं होता है।

इस प्रकार समान फलक जालक और समान मध्यक्षेत्र वाले किसी भी दो उत्तल बहुफलक को त्रि-आयामी समष्टि के प्रक्षेप्य परिवर्तन द्वारा दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है जो मध्यक्षेत्र को एक ही स्थिति में छोड़ देता है। यह परिवर्तन वृत्त को उसकी समष्टि पर छोड़ देता है, किन्तु मोबियस परिवर्तन के अनुसार बिंदुओं को वृत्त के अन्दर ले जाता है। मध्यक्षेत्र वाला कोई भी बहुफलक, इस प्रकार स्केल किया गया हो कि मध्यक्षेत्र इकाई क्षेत्र हो, इस तरह से बहुफलक में परिवर्तित किया जा सकता है जिसके लिए स्पर्शरेखा बिंदुओं का केन्द्रक वृत्त के केंद्र में होता है। इस परिवर्तन का परिणाम दिए गए बहुफलक का समतुल्य रूप है, जिसे कैनोनिकल बहुफलक कहा जाता है, इस प्रोपाईटरी के साथ कि सभी कॉम्बिनेटरियल समकक्ष बहुफलक एक-दूसरे के समान कैनोनिकल बहुफलक का उत्पादन करेंगे, सर्वांगसमता (ज्यामिति) तक परिवर्तन का भिन्न विकल्प मध्यक्षेत्र वाले किसी भी बहुफलक को ऐसे बहुफलक में ले जाता है जो मध्यक्षेत्र से शीर्ष की न्यूनतम दूरी को अधिकतम करता है। इसे रैखिक समय में पाया जा सकता है, और इस वैकल्पिक विधि से परिभाषित कैनोनिकल बहुफलक में ही बहुफलक के सभी संयोजक समकक्ष रूपों के मध्य अधिकतम समरूपता होती है। इस प्रकार अभिविन्यास-संरक्षण समरूपता के गैर-चक्रीय समूह वाले बहुफलक के लिए, परिवर्तन के दो विकल्प मेल खाते हैं। उदाहरण के लिए, घनाभ का कैनोनिकल बहुफलक, जिसे इन दोनों विधियों से परिभाषित किया गया है, एक घन है, जिसके केन्द्रक से उसके किनारे के मध्य बिंदु की दूरी के समान है और इसके किनारे की लंबाई ${\sqrt {2}}$ के समान है .

निर्माण

इस प्रकार किसी दिए गए बहुफलकीय आरेख के लिए कैनोनिकल बहुफलक का संख्यात्मक सन्निकटन आरेख और उसके दोहरे आरेख को यूक्लिडियन विमान में लंबवत सर्कल पैकिंग प्रमेय के रूप में प्रस्तुत करके बनाया जा सकता है, इसे वृत्त पर सर्कल पैकिंग की जोड़ी में परिवर्तित करने के लिए स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण को प्रयुक्त करना, मोबियस परिवर्तन के लिए संख्यात्मक रूप से खोज करना जो क्रॉसिंग पॉइंट्स के सेंट्रोइड को वृत्त के केंद्र में लाता है, और इस प्रकार बहुफलक के कोने को समष्टि में बिंदुओं पर रखता है परिवर्तित पैकिंग के दोहरे वृत्तों को उनके क्षितिज के रूप में रखना। चूंकि, वृत्त पैकिंग चरण में वृत्तों के निर्देशांक और त्रिज्याएँ रचनात्मक संख्या या गैर-रचनात्मक संख्याएँ हो सकती हैं जिनमें अंकगणित और nवें-रूट संचालन का उपयोग करके कोई स्पष्ट बंद-रूप अभिव्यक्ति नहीं होती है।

वैकल्पिक रूप से, जॉर्ज डब्लू. हार्ट द्वारा प्रस्तावित कैनोनिकल बहुफलक के निर्माण के लिए सरल संख्यात्मक विधि प्रत्यक्ष बहुफलक शीर्षों के निर्देशांक के साथ कार्य करती है, किनारों को मूल से समान दूरी बनाने के प्रयास में उनकी स्थिति को समायोजित करती है, जिससे न्यूनतम बिंदु बनाए जा सके। इस प्रकार मूल बिंदु से दूरी का मूल उनके केन्द्रक के रूप में होता है, और बहुफलक के फलक समतल बने रहते हैं। सर्कल पैकिंग विधि के विपरीत, यह कैनोनिकल बहुफलक में परिवर्तित होने के लिए सिद्ध नहीं हुआ है, और यह दिए गए बहुफलक के संयोजन के समान बहुफलक का उत्पादन करने की गारंटी भी नहीं देता है, किन्तु यह छोटे उदाहरणों पर अच्छी तरह से कार्य करता प्रतीत होता है।

अनुप्रयोग

इस प्रकार कैनोनिकल बहुफलक और इसके ध्रुवीय दोहरे का उपयोग एंटीप्रिज्म के चार-आयामी एनालॉग के निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिसके दो विपरीत फलको में से किसी भी दिए गए त्रि-आयामी बहुफलक के संयोजन के समान है। यह अज्ञात है कि क्या प्रत्येक त्रि-आयामी बहुफलक को प्रत्यक्ष चार-आयामी एंटीप्रिज्म के फलक के रूप में उपयोग किया जा सकता है, इसे इसके कैनोनिकल बहुफलक द्वारा प्रतिस्थापित किए बिना, किन्तु इच्छानुसार त्रि-आयामी बहुफलक और इसके दोनों का उपयोग करके ऐसा करना सदैव संभव नहीं होता है

काजिंग एन एग

इस प्रकार कैनोनिकल बहुफलक के निर्माण में मध्यक्षेत्र को किसी भी स्मूथ उत्तल पिंड द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। ऐसे निकाय को देखते हुए, प्रत्येक बहुफलक में संयोजनात्मक रूप से समतुल्य अनुभूति होती है जिसके किनारे इस निकाय के स्पर्शरेखा होते हैं। इसे काजिंग एन एग के रूप में वर्णित किया गया है: स्मूथ निकाय एग है और बहुफलकीय अनुभव इसका काजिंग है। इसके अतिरिक्त, एग पर स्पर्शरेखा के तीन निर्दिष्ट बिंदुओं के लिए काजिंग के तीन किनारों को सही करने से यह अनुहाव अद्वितीय हो जाता है।

यह भी देखें

• आदर्श बहुफलक, अतिपरवलयिक बहुफलक जिसमें प्रत्येक शीर्ष अनंत पर वृत्त पर स्थित होता है

संदर्भ

• Aravind, P. K. (March 2011), "How spherical are the Archimedean solids and their duals?", The College Mathematics Journal, 42 (2): 98–107, doi:10.4169/college.math.j.42.2.098, JSTOR 10.4169/college.math.j.42.2.098, MR 2793141, S2CID 116393034, Zbl 1272.97023
• Bannister, Michael J.; Devanny, William E.; Eppstein, David; Goodrich, Michael T. (2015), "The Galois complexity of graph drawing: why numerical solutions are ubiquitous for force-directed, spectral, and circle packing drawings", Journal of Graph Algorithms & Applications, 19 (2): 619–656, arXiv:1408.1422, doi:10.7155/jgaa.00349, MR 3430492, Zbl 1328.05128
• Bern, M.; Eppstein, D. (2001), "Optimal Möbius transformations for information visualization and meshing", Proceedings of the 7th Workshop on Algorithms and Data Structures, Lecture Notes in Computer Science, vol. 2125, Providence, Rhode Island: Springer-Verlag, pp. 14–25, arXiv:cs.CG/0101006, doi:10.1007/3-540-44634-6_3, MR 1936397, S2CID 3266233, Zbl 0997.68536
• Byer, Owen D.; Smeltzer, Deirdre L. (2015), "Mutually tangent spheres in n-space", Mathematics Magazine, 88 (2): 146–150, doi:10.4169/math.mag.88.2.146, JSTOR 10.4169/math.mag.88.2.146, MR 3359040, S2CID 125524102, Zbl 1325.51011
• Coxeter, H. S. M. (1973), "2.1 Regular polyhedra; 2.2 Reciprocation", Regular Polytopes (3rd ed.), Dover, pp. 16–17, ISBN 0-486-61480-8, MR 0370327
• Cundy, H. M.; Rollett, A. P. (1961), Mathematical Models (2nd ed.), Oxford University Press, pp. 79, 117, MR 0124167, Zbl 0095.38001
• Fetter, Hans L. (2012), "A polyhedron full of surprises", Mathematics Magazine, 85 (5): 334–342, doi:10.4169/math.mag.85.5.334, JSTOR 10.4169/math.mag.85.5.334, MR 3007214, S2CID 118482074, Zbl 1274.52018
• Grünbaum, Branko (2005), "Are prisms and antiprisms really boring? (Part 3)" (PDF), Geombinatorics, 15 (2): 69–78, MR 2298896, Zbl 1094.52007
• Hart, George W. (1997), "Calculating canonical polyhedra", Mathematica in Education and Research, 6 (3): 5–10
• Koebe, Paul (1936), "Kontaktprobleme der Konformen Abbildung", Ber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Phys. Kl., 88: 141–164, JFM 62.1217.04, Zbl 0017.21701
• László, Lajos (2017), "An inequality and some equalities for the midradius of a tetrahedron" (PDF), Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae, 46: 165–176, MR 3722672, Zbl 1399.51014
• Liu, Jinsong; Zhou, Ze (2016), "How many cages midscribe an egg", Inventiones Mathematicae, 203 (2): 655–673, arXiv:1412.5430, Bibcode:2016InMat.203..655L, doi:10.1007/s00222-015-0602-z, MR 3455159, S2CID 253741720, Zbl 1339.52010
• Mohar, Bojan (1993), "A polynomial time circle packing algorithm", Discrete Mathematics, 117 (1–3): 257–263, doi:10.1016/0012-365X(93)90340-Y, MR 1226147, Zbl 0785.52006
• Pugh, Anthony (1976), Polyhedra: A Visual Approach, University of California Press, p. 4, ISBN 9780520030565, MR 0451161, Zbl 0387.52006
• Sachs, Horst (1994), "Coin graphs, polyhedra, and conformal mapping", Discrete Mathematics, 134 (1–3): 133–138, doi:10.1016/0012-365X(93)E0068-F, MR 1303402, Zbl 0808.05043
• Schramm, Oded (1992), "How to cage an egg", Inventiones Mathematicae, 107 (3): 543–560, Bibcode:1992InMat.107..543S, doi:10.1007/BF01231901, MR 1150601, S2CID 189830473, Zbl 0726.52003
• Springborn, Boris A. (2005), "A unique representation of polyhedral types: Centering via Möbius transformations", Mathematische Zeitschrift, 249 (3): 513–517, arXiv:math/0401005, doi:10.1007/s00209-004-0713-5, MR 2121737, S2CID 7624380, Zbl 1068.52015
• Steinitz, E. (1928), "Über isoperimetrische Probleme bei konvexen Polyedern", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1928 (159): 133–143, doi:10.1515/crll.1928.159.133, JFM 54.0527.04, MR 1581158, S2CID 199546274
• Wheeler, Roger F. (December 1958), "25. Quadrilaterals", Classroom Notes, The Mathematical Gazette, 42 (342): 275–276, doi:10.2307/3610439, JSTOR 3610439, S2CID 250434576
• Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer-Verlag, pp. 117–118, ISBN 0-387-94365-X, MR 1311028, Zbl 0823.52002
• Ziegler, Günter M. (2007), "Convex polytopes: extremal constructions and f-vector shapes", in Miller, Ezra; Reiner, Victor; Sturmfels, Bernd (eds.), Geometric Combinatorics, IAS/Park City Mathematics Series, vol. 13, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 617–691, arXiv:math/0411400, doi:10.1090/pcms/013/10, MR 2383133, S2CID 11167900, Zbl 1134.52018