विकर्ण आव्यूह: Difference between revisions

Latest revision as of 07:16, 20 October 2023

रैखिक बीजगणित में, एक विकर्ण आव्यूह एक आव्यूह (गणित) होती है जिसमें मुख्य विकर्ण के बाहर की सभी प्रविष्टियाँ शून्य होती हैं; सामान्यतः इस शब्द का उपयोग स्क्वायर आव्यूह के लिए किया जाता है। मुख्य विकर्ण के तत्व या तो शून्य या अशून्य हो सकते हैं। एक 2×2 विकर्ण आव्यूह का एक उदाहरण है $\left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$ , चूँकि 3×3 विकर्ण आव्यूह का एक उदाहरण है $\left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{smallmatrix}}\right]$ . किसी भी आकार का एक आईडेंटिटी आव्यूह, या उसका कोई गुणक (स्केलर आव्यूह), एक विकर्ण आव्यूह होती है। विकर्ण आव्यूह को कभी-कभी एक स्केलिंग आव्यूह के रूप में कहा जाता है, क्योंकि इसके साथ आव्यूहगुणा करने से स्केल (आकार) में परिवर्तन होता है। इसका डिटर्मिनेंट इसके डायगनल मूल्यों का उत्पाद होता है।

परिभाषा

जैसा ऊपर बताया गया है, एक विकर्ण आव्यूह एक आव्यूह है जिसमें सभी ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियां शून्य हैं। अर्थात, n स्तंभों और n पंक्तियों वाली आव्यूह $D = (d i, j)$ n कॉलम और विकर्ण होती है। यदि

\forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.

चूँकि, मुख्य विकर्ण प्रविष्टियाँ प्रतिबंधित नहीं किया गया है।

विकर्ण आव्यूह का शब्द कभी-कभी एक आयताकार डायगनल आव्यूह को संदर्भित कर सकता है, जो एक m-by-n आव्यूह होती है जिसमें d_i_,i के रूप में नहीं होने वाले सभी तत्व शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए:

{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}

या

{\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}

अधिकतर स्थितियों में, विकर्ण आव्यूह वर्गीय आव्यूह को संदर्भित करती है, जो एकवर्गीय विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट की जा सकती है।. एक वर्गीय विकर्ण आव्यूह एक सममित आव्यूह होती है, इसलिए इसे सममित्र विकर्ण मैट्रिक्स भी कहा जा सकता है.

निम्नलिखित आव्यूह वर्ग विकर्ण आव्यूह होती है:

{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}

यदि प्रविष्टियाँ वास्तविक संख्याएँ या सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो यह एक सामान्य आव्यूह भी होती है।

इस लेख के शेष भाग में हम यदि वर्ग विकर्ण आव्यूहों पर विचार करेंगे, और उन्हें सीधे विकर्ण आव्यूहों के रूप में संदर्भित करेंगे।

सदिश-टू-आव्यूह डायग ऑपरेटर

एक विकर्ण आव्यूह $\mathbf {D}$ सदिश से बनाया जा सकता है $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ का उपयोग $\operatorname {diag}$ ऑपरेटर:

\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})

इसे और अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है

\mathbf {D} =\operatorname {diag} (\mathbf {a} )

.

उसी ऑपरेटर का उपयोग ब्लॉक विकर्ण आव्यूह को दर्शाने के लिए भी किया जाता है। $\mathbf {A} =\operatorname {diag} (A_{1},\dots ,A_{n})$ $\operatorname {diag}$ h> ऑपरेटर के रूप में लिखा जा सकता है: जहां प्रत्येक तर्क $A_{i}$ एक आव्यूह है।

\operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I}

कहाँ

\circ

हैडमार्ड उत्पाद (आव्यूह) का प्रतिनि`धित्व करता है और

\mathbf {1}

तत्वों के साथ एक स्थिर सदिश है।

आव्यूह-टू-सदिश डायग ऑपरेटर

उलटा आव्यूह-टू-सदिश $\operatorname {diag}$ ऑपरेटर को कभी-कभी समान नाम से दर्शाया जाता है $\operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ जहां तर्क अब एक आव्यूह है और परिणाम इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का एक सदिश है।

निम्नलिखित संपत्ति रखती है:

\operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)_{ij}

स्केलर आव्यूह

जिस विकर्ण आव्यूह के सभी विकर्ण तत्व समान होते हैं, वह एक स्केलर आव्यूह होती है; अर्थात्, पहचान आव्यूह I के एक स्केलर गुणक λ का। इसका प्रभाव एक सदिश पर λ से स्केलर गुणा करना होता है। उदाहरण के लिए, एक 3×3 स्केलर आव्यूह निम्नलिखित रूप धारण करती है:

{\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}

स्केलर आव्यूह आव्यूह बीजगणित का केंद्र होते हैं: अर्थात्, वे सभी वर्ग आव्यूह के साथ संयुक्त रूप से संयोज्य होती हैं।^{[lower-alpha 1]} इसके विपरीत, एक क्षेत्र (गणित) पर ( जैसे वास्तविक संख्या), सभी विकर्ण तत्व अलग-अलग होने वाली एक विकर्ण आव्यूह यदि विकर्ण आव्यूह के साथ संयुक्त रूप से संयोज्य होती है (इसका केंद्रीकरणकर्ता आव्यूह की समूह होती है)। यह इसलिए है क्योंकि यदि एक विकर्ण आव्यूह

\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})

है

a_{i}\neq a_{j},

फिर एक आव्यूह दिया

\mathbf {M}

साथ

m_{ij}\neq 0,

(i,j)

तो उत्पादों की अवधि हैं:

(\mathbf {D} \mathbf {M} )_{ij}=a_{i}m_{ij}

और

(\mathbf {M} \mathbf {D} )_{ij}=m_{ij}a_{j},

और

a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}

(

m_{ij}

से विभाजित कर सकता है ), इसलिए वे अलग-अलग होते हैं जब तक ऑफ-विकर्ण मान शून्य नहीं हैं।^{[lower-alpha 2]} यदि विकर्ण आव्यूह के सभी विकर्ण तत्व अलग हैं या सभी समान हैं, तो वे यदि विकर्ण आव्यूह के साथ संयुक्त होते हैं । ^[1]

एक सार सदिश स्थान V के लिए (कंक्रीट सदिश स्थान के अतिरिक्त $K^{n}$ ), अदिश आव्यूहों के अनुरूप अदिश परिवर्तन हैं। यह सामान्यतः एक मॉड्यूल (रिंग थ्योरी) M के लिए एक रिंग (बीजगणित) R पर अधिक सच है, जिसमें एंडोमोर्फिज्म बीजगणित End(M) ('M' पर रैखिक ऑपरेटरों का बीजगणित) ) मेट्रिसेस के बीजगणित की जगह। औपचारिक रूप से, अदिश गुणन एक रेखीय मानचित्र है, जो एक मानचित्र को प्रेरित करता है $R\to \operatorname {End} (M),$ (एक स्केलर λ से इसके संबंधित स्केलर परिवर्तन, λ के माध्यम से गुणा) आर-बीजगणित (रिंग थ्योरी) के रूप में एंड (एम) को प्रदर्शित करता है। सदिश रिक्त स्थान के लिए, स्केलर ट्रांसफॉर्म एंडोमोर्फिज्म बीजगणित की अंगूठी का बिल्कुल केंद्र हैं, और इसी प्रकार, उलटा ट्रांसफॉर्म सामान्य रैखिक समूह जीएल (वी) का केंद्र हैं। पूर्व अधिक सामान्यतः सही मुक्त मॉड्यूल है $M\cong R^{n}$ , जिसके लिए एंडोमोर्फिज्म बीजगणित आव्यूह बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है।

सदिश संचालन

एक सदिश को एक विकर्ण आव्यूह से गुणा करने पर प्रत्येक पद को संबंधित विकर्ण प्रविष्टि से गुणा किया जाता है। एक विकर्ण आव्यूह दिया $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ और एक सदिश $\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ उत्पाद है:

\mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.

यह एक सदिश का उपयोग करके विकर्ण आव्यूह की अतिरिक्त अधिक संक्षिप्त रूप से व्यक्त किया जा सकता है,

\mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}

, और वैक्टर का हैडमार्ड उत्पाद (प्रवेशिका-वार उत्पाद) लेने के लिए यह उपयोग कर सकते हैं, जो निम्न रूप में दर्शाया गया है:

\mathbf {d} \circ \mathbf {v}

:

\mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.

यह गणितीय रूप से समतुल्य है, किन्तु इस विरल आव्यूह के सभी शून्य शब्दों को संग्रहीत करने से बचता है।यह उत्पाद इसलिए यंत्र अधिगम में उपयोग किया जाता है, जैसे बैकपरोपगतिओं में डेरिवेटिव के उत्पादों को गणना करना या टीएफ-आईडीएफ में आईडीएफ वजनों को गुणा करना,^[2] चूंकि कुछ BLAS फ़्रेमवर्क, जो आव्यूह को कुशलतापूर्वक गुणा करते हैं, हैडमार्ड उत्पाद क्षमता को सीधे सम्मलित नहीं करते हैं।^[3]

आव्यूह संचालन

आव्यूह जोड़ और आव्यूह गुणन के संचालन विशेष रूप से विकर्ण आव्यूह के लिए सरल होते हैं। ऊपर से शुरुआत में विकर्ण प्रविष्टियाँ को a₁, ..., a_n रखने के लिए $diag(a 1, ..., a n)$ लिखें। तब जोड़ के लिए, हमें निम्नलिखित होगा:

diag(a 1, ..., a n)

+

diag(b 1, ..., b n)

=

diag(a 1 + b 1, ..., a n + b n)

और आव्यूह गुणन के लिए,

diag(a 1, ..., a n)

diag(b 1, ..., b n)

=

diag(a 1 b 1, ..., a n b n)

.

विकर्ण आव्यूह $diag(a 1, ..., a n)$ उलटा आव्यूह है अगर और यदि प्रविष्टियां a₁, ..., a_n सभी अशून्य हैं। इस स्थितियों में, हमारे पास है

diag(a 1, ..., a n) -1

=

diag(a 1 -1, ..., a n -1)

.

विशेष रूप से, विकर्ण मेट्रिसेस का एक सबरिंग उन सभी n-by-n मेट्रिसेस के रिंग बनाते हैं।

बाईं तरफ से $diag(a 1, ..., a n)$ से n-by-n आव्यूह $A$ को गुणा करना, सभी $i$ के लिए $a i$ के माध्यम से $A$ की $i$ वाली पंक्ति को $a i$ से गुणा करने के समान होता है $diag(a 1, ..., a n)$ से आव्यूह $A$ को दाहिने तरफ से गुणा करना, सभी $i$ के लिए $a i$ के माध्यम से $A$ की $i$ वाली स्तंभ को $a i$ से गुणा करने के समान होता है।

ईजेनबेसिस में ऑपरेटर आव्यूह

जैसा कि परिवर्तन आव्यूह में समझाया गया है # परिवर्तन के आव्यूह को खोजना, एक विशेष आधार है, $e 1, ..., e n$ , जिसके लिए आव्यूह $\mathbf {A}$ तिरछा रूप धारण कर लेता है। इसलिए, परिभाषित समीकरण में ${\textstyle \mathbf {A} \mathbf {e} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$ , सभी गुणांक $a_{i,j}$ साथ $i \neq j$ शून्य हैं, प्रति योग यदि एक पद छोड़ते हैं। जीवित विकर्ण तत्व, $a_{i,i}$ , आइगेनवेल्यूज़ के रूप में जाना जाता है और के साथ नामित किया गया है $\lambda _{i}$ समीकरण में, जो कम हो जाता है $\mathbf {A} \mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}$ . परिणामी समीकरण को इगेनवेल्यूज़ समीकरण के रूप में जाना जाता है^[4] और विशेषता बहुपद और आगे, आइगेनवैल्यू और ईजेनसदिश प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है।

दूसरे शब्दों में, के आइगेनवेल्यूज़ $diag(λ 1, ..., λ n)$ हैं $λ 1, ..., λ n$ के संबद्ध ईजेन सदिशों के साथ $e 1, ..., e n$ .

गुण

$diag(a 1, ..., a n)$ का निर्धारक उत्पाद $a 1 \dots a n$ . होता है।
एक विकर्ण आव्यूह का सहायक फिर से विकर्ण होता है।
जहां सभी मेट्रिसेस वर्गक्षेत्रीय होती हैं,
- एक आव्यूह विकर्ण होती है यदि और यदि यह त्रिकोणीय और सामान्य आव्यूह होती है।
- एक आव्यूह विकर्ण होती है यदि और केवल यदि वह ऊपरी और निचले त्रिकोणीय आव्यूह दोनों होती है।
- एक विकर्ण आव्यूह सममित आव्यूह होती है।
पहचान आव्यूह I_n और शून्य आव्यूह विकर्ण होती हैं।
एक 1×1 आव्यूह हमेशा विकर्ण होता है।

अनुप्रयोग

रैखिक बीजगणित के कई क्षेत्रों में विकर्ण आव्यूह होते हैं। ऊपर दिए गए आव्यूह ऑपरेशन और इगेनवेल्यूज़/इगेनसदिश्स की सरल विवरण के कारण, सामान्यतः एक विकर्ण आव्यूह के माध्यम से दिए गए आव्यूह या रैखिक ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करना उपयुक्त होता है।

वास्तव में, एक दिया गया n-by-n आव्यूह $A$ एक विकर्ण आव्यूह के समान आव्यूह होती है (जिसका अर्थ है कि एक आव्यूह $X$ है ऐसा होती है जिसके लिए $X -1 AX$ विकर्ण है) यदि और यदि तब होता है जब इसके $n$ रैखिक रूप से स्वतंत्र ईजेन सदिश होते हैं।। ऐसे आव्यूहों को विकर्णीय आव्यूह कहा जाता है।

वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या संख्याओं के क्षेत्र (गणित) में, अधिक सत्य होता है। वर्णक्रमीय प्रमेय का कहना है कि प्रत्येक सामान्य आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह के समान होता है (यदि $AA * = A * A$ तो $UAU *$ एक एकात्मक आव्यूह होती है जहाँ $U$ एक यूनिटरी आव्यूह होती है)। इसके अतिरिक्त, एकवचन मूल्य अपघटन का अर्थ है कि किसी भी आव्यूह $A$ के लिए , एकात्मक आव्यूह $U$ और $V$ सम्मलित होती हैं जिससे $U * AV$ सकारात्मक प्रविष्टियों वाली विकर्ण आव्यूह होती है।

ऑपरेटर सिद्धांत

ऑपरेटर सिद्धांत में, विशेष रूप से पीडीई के अध्ययन में, ऑपरेटरों को विशेष रूप से समझना आसान होता है और पीडीई को हल करना आसान होता है यदि ऑपरेटर उस आधार के संबंध में विकर्ण है जिसके साथ कोई काम कर रहा है; यह एक विभाजनीय आंशिक अंतर समीकरण के समान होता है। इसलिए, ऑपरेटरों को समझने के लिए एक महत्वपूर्ण तकनीक निर्देशांक का एक परिवर्तन है - ऑपरेटरों की भाषा में, एक अभिन्न परिवर्तन - जो आधार को आइगेनफंक्शंस के खुद का आधार में बदलता है: जो समीकरण को वियोज्य बनाता है। इसका एक महत्वपूर्ण उदाहरण फूरियर रूपांतरण होता है, जो गर्मी समीकरण में निरंतर गुणांक विभेदन ऑपरेटरों (या अधिक सामान्यतः अनुवाद अपरिवर्तनीय ऑपरेटरों) को विकर्ण करता है, जैसे उदाहरण के लिए हीट समीकरण में लपलेसियन ऑपरेटर।

विशेष रूप से गुणन ऑपरेटर आसान होते हैं, जो एक निश्चित स्थिर फ़ंक्शं के गुणन के माध्यम से परिभाषित होते हैं - प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शं के मान एक आव्यूह के विकर्ण प्रविष्टियों के समान होते हैं।

यह भी देखें

↑ Proof: given the elementary matrix $e_{ij}$ , $Me_{ij}$ is the matrix with only the i-th row of M and $e_{ij}M$ is the square matrix with only the M j-th column, so the non-diagonal entries must be zero, and the ith diagonal entry much equal the jth diagonal entry.
↑ Over more general rings, this does not hold, because one cannot always divide.

संदर्भ

↑ "Do Diagonal Matrices Always Commute?". Stack Exchange. March 15, 2016. Retrieved August 4, 2018.
↑ Sahami, Mehran (2009-06-15). Text Mining: Classification, Clustering, and Applications. CRC Press. p. 14. ISBN 9781420059458.
↑ "Element-wise vector-vector multiplication in BLAS?". stackoverflow.com. 2011-10-01. Retrieved 2020-08-30.
↑ Nearing, James (2010). "Chapter 7.9: Eigenvalues and Eigenvectors" (PDF). भौतिकी के लिए गणितीय उपकरण. ISBN 978-0486482125. Retrieved January 1, 2012.

स्रोत

Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6

[1] Proof: given the elementary matrix $e_{ij}$ , $Me_{ij}$ is the matrix with only the i-th row of M and $e_{ij}M$ is the square matrix with only the M j-th column, so the non-diagonal entries must be zero, and the ith diagonal entry much equal the jth diagonal entry.

[2] Over more general rings, this does not hold, because one cannot always divide.

[3] "Do Diagonal Matrices Always Commute?". Stack Exchange. March 15, 2016. Retrieved August 4, 2018.

[4] Sahami, Mehran (2009-06-15). Text Mining: Classification, Clustering, and Applications. CRC Press. p. 14. ISBN 9781420059458.

[5] "Element-wise vector-vector multiplication in BLAS?". stackoverflow.com. 2011-10-01. Retrieved 2020-08-30.

[6] Nearing, James (2010). "Chapter 7.9: Eigenvalues and Eigenvectors" (PDF). भौतिकी के लिए गणितीय उपकरण. ISBN 978-0486482125. Retrieved January 1, 2012.

[lower-alpha 1]

[lower-alpha 2]

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Matrix whose only nonzero elements are on its main diagonal}}
-रैखिक बीजगणित में, एक विकर्ण मैट्रिक्स एक [[मैट्रिक्स (गणित)]] होती है जिसमें [[मुख्य विकर्ण]] के बाहर की सभी प्रविष्टियाँ शून्य होती हैं; आमतौर पर इस शब्द का उपयोग [[स्क्वायर मैट्रिसेस]] के लिए किया जाता है। मुख्य विकर्ण के तत्व या तो शून्य या अशून्य हो सकते हैं। एक 2×2 विकर्ण मैट्रिक्स का एक उदाहरण है <math>\left[\begin{smallmatrix}
+रैखिक बीजगणित में, एक '''विकर्ण आव्यूह''' एक [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] होती है जिसमें [[मुख्य विकर्ण]] के बाहर की सभी प्रविष्टियाँ शून्य होती हैं; सामान्यतः इस शब्द का उपयोग स्क्वायर आव्यूह के लिए किया जाता है। मुख्य विकर्ण के तत्व या तो शून्य या अशून्य हो सकते हैं। एक 2×2 विकर्ण आव्यूह का एक उदाहरण है <math>\left[\begin{smallmatrix}
 & 0 \\
-& 2 \end{smallmatrix}\right]</math>, जबकि 3×3 विकर्ण मैट्रिक्स का एक उदाहरण है<math>
+& 2 \end{smallmatrix}\right]</math>, चूँकि 3×3 विकर्ण आव्यूह का एक उदाहरण है<math>
 \left[\begin{smallmatrix}
 & 0 & 0 \\
 & 0 & 0 \\
 & 0 & 0
-\end{smallmatrix}\right]</math>. किसी भी आकार का एक आईडेंटिटी मैट्रिक्स, या उसका कोई गुणक (स्केलर मैट्रिक्स), एक विकर्ण मैट्रिक्स होती  है। विकर्ण मैट्रिक्स को कभी-कभी एक [[स्केलिंग मैट्रिक्स]] के रूप में कहा जाता है, क्योंकि इसके साथ मैट्रिक्सगुणा करने से स्केल (आकार) में परिवर्तन होता है। इसका डिटर्मिनेंट इसके डायगनल मूल्यों का उत्पाद होता है।
+\end{smallmatrix}\right]</math>. किसी भी आकार का एक आईडेंटिटी आव्यूह, या उसका कोई गुणक (स्केलर आव्यूह), एक विकर्ण आव्यूह होती  है। विकर्ण आव्यूह को कभी-कभी एक स्केलिंग आव्यूह के रूप में कहा जाता है, क्योंकि इसके साथ आव्यूहगुणा करने से स्केल (आकार) में परिवर्तन होता है। इसका डिटर्मिनेंट इसके डायगनल मूल्यों का उत्पाद होता है।
 == परिभाषा ==
-जैसा ऊपर बताया गया है, एक विकर्ण मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें सभी ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियां शून्य हैं। अर्थात, n स्तंभों और n पंक्तियों वाली मैट्रिक्स {{math|1=''D'' = (''d''<sub>''i'',''j''</sub>)}} n कॉलम और  विकर्ण होती है। यदि
+जैसा ऊपर बताया गया है, एक विकर्ण आव्यूह एक आव्यूह है जिसमें सभी ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियां शून्य हैं। अर्थात, n स्तंभों और n पंक्तियों वाली आव्यूह {{math|1=''D'' = (''d''<sub>''i'',''j''</sub>)}} n कॉलम और  विकर्ण होती है। यदि
 <math display="block">\forall i,j \in \{1, 2, \ldots, n\}, i \ne j \implies d_{i,j} = 0.</math>
-हालाँकि, मुख्य विकर्ण प्रविष्टियाँ प्रतिबंधित नहीं किया गया है।
+चूँकि, मुख्य विकर्ण प्रविष्टियाँ प्रतिबंधित नहीं किया गया है।
-विकर्ण मैट्रिक्स का शब्द कभी-कभी एक आयताकार डायगनल मैट्रिक्स को संदर्भित कर सकता है, जो एक m-by-n मैट्रिक्स होती है जिसमें ''d<sub>i</sub>''<sub>,''i''</sub> के रूप में नहीं होने वाले सभी तत्व शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए:
+विकर्ण आव्यूह का शब्द कभी-कभी एक आयताकार डायगनल आव्यूह को संदर्भित कर सकता है, जो एक m-by-n आव्यूह होती है जिसमें ''d<sub>i</sub>''<sub>,''i''</sub> के रूप में नहीं होने वाले सभी तत्व शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए:
 :<math>\begin{bmatrix}
 & 0 & 0\\
@@ Line 27: / Line 27: @@
 & 0 & -3& 0 & 0
 \end{bmatrix}</math>
-अधिकतर मामलों में, विकर्ण मैट्रिक्स वर्गीय मैट्रिक्स को संदर्भित करती है, जो एक{{visible anchor|वर्गीय विकर्ण मैट्रिक्स}}  के रूप में स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट की जा सकती है।. एक वर्गीय  विकर्ण मैट्रिक्स एक [[सममित मैट्रिक्स]] होती  है, इसलिए इसे {{visible anchor|सममित्र विकर्ण मैट्रिक्स}} भी कहा जा सकता है.
+अधिकतर स्थितियों में, विकर्ण आव्यूह वर्गीय आव्यूह को संदर्भित करती है, जो एक{{visible anchor|वर्गीय विकर्ण मैट्रिक्स}}  के रूप में स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट की जा सकती है।. एक वर्गीय  विकर्ण आव्यूह एक [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] होती  है, इसलिए इसे {{visible anchor|सममित्र विकर्ण मैट्रिक्स}} भी कहा जा सकता है.
-निम्नलिखित मैट्रिक्स वर्ग विकर्ण मैट्रिक्स होती  है:
+निम्नलिखित आव्यूह वर्ग विकर्ण आव्यूह होती  है:
 <math display="block">\begin{bmatrix}
 & 0 & 0\\
@@ Line 35: / Line 35: @@
 & 0 & -2
 \end{bmatrix}</math>
-यदि प्रविष्टियाँ [[वास्तविक संख्या]]एँ या जटिल संख्याएँ हैं, तो यह एक [[सामान्य मैट्रिक्स]] भी होती  है।
+यदि प्रविष्टियाँ [[वास्तविक संख्या]]एँ या सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो यह एक [[सामान्य मैट्रिक्स|सामान्य आव्यूह]] भी होती  है।
-इस लेख के शेष भाग में हम केवल वर्ग विकर्ण आव्यूहों पर विचार करेंगे, और उन्हें सीधे विकर्ण आव्यूहों के रूप में संदर्भित करेंगे।
+इस लेख के शेष भाग में हम यदि वर्ग विकर्ण आव्यूहों पर विचार करेंगे, और उन्हें सीधे विकर्ण आव्यूहों के रूप में संदर्भित करेंगे।
-== वेक्टर-टू-मैट्रिक्स डायग ऑपरेटर ==
+== सदिश-टू-आव्यूह डायग ऑपरेटर ==
-एक विकर्ण मैट्रिक्स <math>\mathbf{D}</math> वेक्टर से बनाया जा सकता है <math>\mathbf{a} = \begin{bmatrix}a_1 & \dotsm & a_n\end{bmatrix}^\textsf{T}</math> का उपयोग <math>\operatorname{diag}</math> ऑपरेटर:
+एक विकर्ण आव्यूह <math>\mathbf{D}</math> सदिश से बनाया जा सकता है <math>\mathbf{a} = \begin{bmatrix}a_1 & \dotsm & a_n\end{bmatrix}^\textsf{T}</math> का उपयोग <math>\operatorname{diag}</math> ऑपरेटर:
 <math display="block">\mathbf{D} = \operatorname{diag}(a_1, \dots, a_n)</math>
 इसे और अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है <math>\mathbf{D} = \operatorname{diag}(\mathbf{a})</math>.
-उसी ऑपरेटर का उपयोग ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स को दर्शाने के लिए भी किया जाता है।  <math> \mathbf{A} = \operatorname{diag}(A_1, \dots, A_n)</math>  <math>\operatorname{diag}</math> h> ऑपरेटर के रूप में लिखा जा सकता है: जहां प्रत्येक तर्क <math>A_i</math> एक मैट्रिक्स है।
+उसी ऑपरेटर का उपयोग ब्लॉक विकर्ण आव्यूह को दर्शाने के लिए भी किया जाता है।  <math> \mathbf{A} = \operatorname{diag}(A_1, \dots, A_n)</math>  <math>\operatorname{diag}</math> h> ऑपरेटर के रूप में लिखा जा सकता है: जहां प्रत्येक तर्क <math>A_i</math> एक आव्यूह है।
 <math display="block">\operatorname{diag}(\mathbf{a}) = \left(\mathbf{a} \mathbf{1}^\textsf{T}\right) \circ \mathbf{I}</math>
-कहाँ <math>\circ</math> [[हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस)]] का प्रतिनिधित्व करता है और <math>\mathbf{1}</math> तत्वों  के साथ एक स्थिर वेक्टर है।
+कहाँ <math>\circ</math> [[हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस)|हैडमार्ड उत्पाद (आव्यूह)]] का प्रतिनि`धित्व करता है और <math>\mathbf{1}</math> तत्वों  के साथ एक स्थिर सदिश है।
-== मैट्रिक्स-टू-वेक्टर डायग ऑपरेटर ==
+== आव्यूह-टू-सदिश डायग ऑपरेटर ==
-उलटा मैट्रिक्स-टू-वेक्टर <math>\operatorname{diag}</math> ऑपरेटर को कभी-कभी समान नाम से दर्शाया जाता है <math>\operatorname{diag}(\mathbf{D}) = \begin{bmatrix}a_1 & \dotsm & a_n\end{bmatrix}^\textsf{T}</math> जहां तर्क अब एक मैट्रिक्स है और परिणाम इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का एक सदिश है।
+उलटा आव्यूह-टू-सदिश <math>\operatorname{diag}</math> ऑपरेटर को कभी-कभी समान नाम से दर्शाया जाता है <math>\operatorname{diag}(\mathbf{D}) = \begin{bmatrix}a_1 & \dotsm & a_n\end{bmatrix}^\textsf{T}</math> जहां तर्क अब एक आव्यूह है और परिणाम इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का एक सदिश है।
 निम्नलिखित संपत्ति रखती है:
@@ Line 57: / Line 57: @@
-== स्केलर मैट्रिक्स ==
+== स्केलर आव्यूह ==
-जिस विकर्ण मैट्रिक्स के सभी विकर्ण तत्व बराबर होते हैं, वह एक स्केलर मैट्रिक्स होती है; अर्थात्, पहचान मैट्रिक्स I के एक स्केलर गुणक ''λ'' का। इसका प्रभाव एक वेक्टर पर λ से स्केलर गुणा करना होता है। उदाहरण के लिए, एक 3×3 स्केलर मैट्रिक्स निम्नलिखित रूप धारण करती है:
+जिस विकर्ण आव्यूह के सभी विकर्ण तत्व समान होते हैं, वह एक स्केलर आव्यूह होती है; अर्थात्, पहचान आव्यूह I के एक स्केलर गुणक ''λ'' का। इसका प्रभाव एक सदिश पर λ से स्केलर गुणा करना होता है। उदाहरण के लिए, एक 3×3 स्केलर आव्यूह निम्नलिखित रूप धारण करती है:
 <math display="block">
    \begin{bmatrix}
@@ Line 67: / Line 67: @@
    \end{bmatrix} \equiv \lambda \boldsymbol{I}_3
 </math>
-स्केलर मैट्रिक्स मैट्रिक्स बीजगणित का केंद्र होते हैं: अर्थात्, वे सभी वर्ग मैट्रिक्स के साथ संयुक्त रूप से संयोज्य होती हैं।{{efn|Proof: given the [[elementary matrix]] <math>e_{ij}</math>, <math>Me_{ij}</math> is the matrix with only the ''i''-th row of ''M'' and <math>e_{ij}M</math> is the square matrix with only the ''M'' ''j''-th column, so the non-diagonal entries must be zero, and the ''i''th diagonal entry much equal the ''j''th diagonal entry.}} इसके विपरीत, एक [[क्षेत्र (गणित)]] पर ( जैसे वास्तविक संख्या), सभी विकर्ण  तत्व अलग-अलग होने वाली एक विकर्ण मैट्रिक्स केवल विकर्ण मैट्रिक्स के साथ संयुक्त रूप से संयोज्य होती है (इसका [[केंद्रक|केंद्रीकरणकर्ता]]  मैट्रिक्स की समूह होती है)। यह इसलिए है क्योंकि यदि एक विकर्ण मैट्रिक्स <math>\mathbf{D} = \operatorname{diag}(a_1, \dots, a_n)</math> है <math>a_i \neq a_j,</math> फिर एक मैट्रिक्स दिया <math>\mathbf{M}</math> साथ <math>m_{ij} \neq 0,</math>  <math>(i, j)</math> तो उत्पादों की अवधि हैं: <math>(\mathbf{D}\mathbf{M})_{ij} = a_im_{ij}</math> और <math>(\mathbf{M}\mathbf{D})_{ij} = m_{ij}a_j,</math> और <math>a_jm_{ij} \neq m_{ij}a_i</math> (<math>m_{ij}</math> से विभाजित कर सकता है ), इसलिए वे अलग-अलग होते हैं जब तक ऑफ-विकर्ण मान शून्य नहीं हैं।{{efn|Over more general rings, this does not hold, because one cannot always divide.}} यदि विकर्ण मैट्रिक्स के सभी विकर्ण तत्व अलग हैं या सभी बराबर हैं, तो वे केवल विकर्ण मैट्रिक्स के साथ संयुक्त होते हैं । <ref>{{cite web |url=https://math.stackexchange.com/q/1697991 |title=Do Diagonal Matrices Always Commute? |author=<!--Not stated--> |date=March 15, 2016 |publisher=Stack Exchange |access-date=August 4, 2018 }}</ref>
+स्केलर आव्यूह आव्यूह बीजगणित का केंद्र होते हैं: अर्थात्, वे सभी वर्ग आव्यूह के साथ संयुक्त रूप से संयोज्य होती हैं।{{efn|Proof: given the [[elementary matrix]] <math>e_{ij}</math>, <math>Me_{ij}</math> is the matrix with only the ''i''-th row of ''M'' and <math>e_{ij}M</math> is the square matrix with only the ''M'' ''j''-th column, so the non-diagonal entries must be zero, and the ''i''th diagonal entry much equal the ''j''th diagonal entry.}} इसके विपरीत, एक [[क्षेत्र (गणित)]] पर ( जैसे वास्तविक संख्या), सभी विकर्ण  तत्व अलग-अलग होने वाली एक विकर्ण आव्यूह यदि विकर्ण आव्यूह के साथ संयुक्त रूप से संयोज्य होती है (इसका [[केंद्रक|केंद्रीकरणकर्ता]] आव्यूह की समूह होती है)। यह इसलिए है क्योंकि यदि एक विकर्ण आव्यूह <math>\mathbf{D} = \operatorname{diag}(a_1, \dots, a_n)</math> है <math>a_i \neq a_j,</math> फिर एक आव्यूह दिया <math>\mathbf{M}</math> साथ <math>m_{ij} \neq 0,</math>  <math>(i, j)</math> तो उत्पादों की अवधि हैं: <math>(\mathbf{D}\mathbf{M})_{ij} = a_im_{ij}</math> और <math>(\mathbf{M}\mathbf{D})_{ij} = m_{ij}a_j,</math> और <math>a_jm_{ij} \neq m_{ij}a_i</math> (<math>m_{ij}</math> से विभाजित कर सकता है ), इसलिए वे अलग-अलग होते हैं जब तक ऑफ-विकर्ण मान शून्य नहीं हैं।{{efn|Over more general rings, this does not hold, because one cannot always divide.}} यदि विकर्ण आव्यूह के सभी विकर्ण तत्व अलग हैं या सभी समान हैं, तो वे यदि विकर्ण आव्यूह के साथ संयुक्त होते हैं । <ref>{{cite web |url=https://math.stackexchange.com/q/1697991 |title=Do Diagonal Matrices Always Commute? |author=<!--Not stated--> |date=March 15, 2016 |publisher=Stack Exchange |access-date=August 4, 2018 }}</ref>
-एक सार सदिश स्थान V के लिए (कंक्रीट सदिश स्थान के बजाय <math>K^n</math>), अदिश आव्यूहों के अनुरूप अदिश परिवर्तन हैं। यह आमतौर पर एक [[मॉड्यूल (रिंग थ्योरी)]] ''M'' के लिए एक रिंग (बीजगणित) ''R'' पर अधिक सच है, जिसमें [[एंडोमोर्फिज्म बीजगणित]] End(''M'') ('M' पर रैखिक ऑपरेटरों का बीजगणित) '') मेट्रिसेस के बीजगणित की जगह। औपचारिक रूप से, अदिश गुणन एक रेखीय मानचित्र है, जो एक मानचित्र को प्रेरित करता है <math>R \to \operatorname{End}(M),</math> (एक स्केलर λ से इसके संबंधित स्केलर परिवर्तन, λ द्वारा गुणा) आर-बीजगणित (रिंग थ्योरी) के रूप में एंड (एम) को प्रदर्शित करता है। वेक्टर रिक्त स्थान के लिए, स्केलर ट्रांसफॉर्म एंडोमोर्फिज्म बीजगणित की अंगूठी का बिल्कुल केंद्र हैं, और इसी प्रकार, उलटा ट्रांसफॉर्म [[सामान्य रैखिक समूह]] जीएल (वी) का केंद्र हैं। पूर्व अधिक आम तौर पर सही मुक्त मॉड्यूल है <math>M \cong R^n</math>, जिसके लिए एंडोमोर्फिज्म बीजगणित मैट्रिक्स बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है।''
+एक सार सदिश स्थान V के लिए (कंक्रीट सदिश स्थान के अतिरिक्त <math>K^n</math>), अदिश आव्यूहों के अनुरूप अदिश परिवर्तन हैं। यह सामान्यतः एक मॉड्यूल (रिंग थ्योरी) ''M'' के लिए एक रिंग (बीजगणित) ''R'' पर अधिक सच है, जिसमें एंडोमोर्फिज्म बीजगणित End(''M'') ('M' पर रैखिक ऑपरेटरों का बीजगणित) '') मेट्रिसेस के बीजगणित की जगह। औपचारिक रूप से, अदिश गुणन एक रेखीय मानचित्र है, जो एक मानचित्र को प्रेरित करता है <math>R \to \operatorname{End}(M),</math> (एक स्केलर λ से इसके संबंधित स्केलर परिवर्तन, λ  के माध्यम से गुणा) आर-बीजगणित (रिंग थ्योरी) के रूप में एंड (एम) को प्रदर्शित करता है। सदिश रिक्त स्थान के लिए, स्केलर ट्रांसफॉर्म एंडोमोर्फिज्म बीजगणित की अंगूठी का बिल्कुल केंद्र हैं, और इसी प्रकार, उलटा ट्रांसफॉर्म [[सामान्य रैखिक समूह]] जीएल (वी) का केंद्र हैं। पूर्व अधिक सामान्यतः सही मुक्त मॉड्यूल है <math>M \cong R^n</math>, जिसके लिए एंडोमोर्फिज्म बीजगणित आव्यूह बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है।''
-== वेक्टर संचालन ==
+== सदिश संचालन ==
-एक वेक्टर को एक विकर्ण मैट्रिक्स से गुणा करने पर प्रत्येक पद को संबंधित विकर्ण प्रविष्टि से गुणा किया जाता है। एक विकर्ण मैट्रिक्स दिया <math>\mathbf{D} = \operatorname{diag}(a_1, \dots, a_n)</math> और एक वेक्टर <math>\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x_1 & \dotsm & x_n \end{bmatrix}^\textsf{T}</math>उत्पाद है:
+एक सदिश को एक विकर्ण आव्यूह से गुणा करने पर प्रत्येक पद को संबंधित विकर्ण प्रविष्टि से गुणा किया जाता है। एक विकर्ण आव्यूह दिया <math>\mathbf{D} = \operatorname{diag}(a_1, \dots, a_n)</math> और एक सदिश <math>\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x_1 & \dotsm & x_n \end{bmatrix}^\textsf{T}</math>उत्पाद है:
 <math display="block">\mathbf{D}\mathbf{v} = \operatorname{diag}(a_1, \dots, a_n)\begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix} =
    \begin{bmatrix}
@@ Line 82: / Line 82: @@
    \begin{bmatrix}a_1 x_1 \\ \vdots \\ a_n x_n\end{bmatrix}.
 </math>
-यह एक विकर्ण मैट्रिक्स के बजाय एक सदिश का उपयोग करके अधिक सघन रूप से व्यक्त किया जा सकता है, <math>\mathbf{d} = \begin{bmatrix} a_1 & \dotsm & a_n \end{bmatrix}^\textsf{T}</math>, और वैक्टर (एंट्रीवाइज प्रोडक्ट) के हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस) को निरूपित किया <math>\mathbf{d} \circ \mathbf{v}</math>:
+यह एक सदिश का उपयोग करके विकर्ण आव्यूह की अतिरिक्त अधिक संक्षिप्त रूप से व्यक्त किया जा सकता है, <math>\mathbf{d} = \begin{bmatrix} a_1 & \dotsm & a_n \end{bmatrix}^\textsf{T}</math>, और वैक्टर का हैडमार्ड उत्पाद (प्रवेशिका-वार उत्पाद) लेने के लिए यह उपयोग कर सकते हैं, जो निम्न रूप में दर्शाया गया है: <math>\mathbf{d} \circ \mathbf{v}</math>:
 <math display="block">\mathbf{D}\mathbf{v} = \mathbf{d} \circ \mathbf{v} =
@@ Line 88: / Line 88: @@
    \begin{bmatrix} a_1 x_1 \\ \vdots \\ a_n x_n \end{bmatrix}.
 </math>
-यह गणितीय रूप से समतुल्य है, लेकिन इस [[विरल मैट्रिक्स]] के सभी शून्य शब्दों को संग्रहीत करने से बचता है। इस प्रकार इस उत्पाद का उपयोग [[ यंत्र अधिगम ]] में किया जाता है, जैसे [[backpropagation]] में डेरिवेटिव के उत्पादों की गणना करना या [[TF-IDF]] में IDF भार को गुणा करना,<ref>{{cite book |last=Sahami |first=Mehran |date=2009-06-15 |title=Text Mining: Classification, Clustering, and Applications |url=https://www.google.com/books/edition/Text_Mining/BnvYaYhMl-MC?gbpv=1&pg=PA14 |publisher=CRC Press |page=14 |isbn=9781420059458}}</ref> चूंकि कुछ बीएलएएस ढांचे, जो मैट्रिसेस को कुशलतापूर्वक गुणा करते हैं, हैडमार्ड उत्पाद क्षमता को सीधे शामिल नहीं करते हैं।<ref>{{cite web |url=https://stackoverflow.com/questions/7621520/element-wise-vector-vector-multiplication-in-blas |title=Element-wise vector-vector multiplication in BLAS? |author=<!--Not stated--> |date=2011-10-01 |website=stackoverflow.com |access-date=2020-08-30}}</ref>
+यह गणितीय रूप से समतुल्य है, किन्तु इस [[विरल मैट्रिक्स|विरल आव्यूह]] के सभी शून्य शब्दों को संग्रहीत करने से बचता है।यह उत्पाद इसलिए [[ यंत्र अधिगम ]] में उपयोग किया जाता है, जैसे [[backpropagation|बैकपरोपगतिओं]] में डेरिवेटिव के उत्पादों को गणना करना या टीएफ-आईडीएफ में आईडीएफ वजनों को गुणा करना,<ref>{{cite book |last=Sahami |first=Mehran |date=2009-06-15 |title=Text Mining: Classification, Clustering, and Applications |url=https://www.google.com/books/edition/Text_Mining/BnvYaYhMl-MC?gbpv=1&pg=PA14 |publisher=CRC Press |page=14 |isbn=9781420059458}}</ref> चूंकि कुछ BLAS फ़्रेमवर्क, जो आव्यूह को कुशलतापूर्वक गुणा करते हैं, हैडमार्ड उत्पाद क्षमता को सीधे सम्मलित नहीं करते हैं।<ref>{{cite web |url=https://stackoverflow.com/questions/7621520/element-wise-vector-vector-multiplication-in-blas |title=Element-wise vector-vector multiplication in BLAS? |author=<!--Not stated--> |date=2011-10-01 |website=stackoverflow.com |access-date=2020-08-30}}</ref>
-== मैट्रिक्स संचालन ==
+== आव्यूह संचालन ==
-मैट्रिक्स जोड़ और [[मैट्रिक्स गुणन]] के संचालन विशेष रूप से विकर्ण मैट्रिसेस के लिए सरल हैं। लिखना {{math|diag(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} एक विकर्ण मैट्रिक्स के लिए जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ ऊपरी बाएँ कोने में शुरू होती हैं<sub>1</sub>, ..., ए<sub>''n''</sub>. फिर, जोड़ने के लिए, हमारे पास है
+आव्यूह जोड़ और [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यूह गुणन]] के संचालन विशेष रूप से विकर्ण आव्यूह के लिए सरल होते  हैं। ऊपर से शुरुआत में विकर्ण प्रविष्टियाँ को a<sub>1</sub>, ..., a<sub>''n''</sub> रखने के लिए {{math|diag(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} लिखें। तब जोड़ के लिए, हमें निम्नलिखित होगा:
 :{{math|diag(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} + {{math|diag(''b''<sub>1</sub>, ..., ''b''<sub>''n''</sub>)}} = {{math|diag(''a''<sub>1</sub> + ''b''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub> + ''b''<sub>''n''</sub>)}}
-और मैट्रिक्स गुणन के लिए,
+और आव्यूह गुणन के लिए,
 :{{math|diag(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} {{math|diag(''b''<sub>1</sub>, ..., ''b''<sub>''n''</sub>)}} = {{math|diag(''a''<sub>1</sub>''b''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>''b''<sub>''n''</sub>)}}.
-विकर्ण मैट्रिक्स {{math|diag(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} [[उलटा मैट्रिक्स]] है [[अगर और केवल अगर]] प्रविष्टियां ए<sub>1</sub>, ..., ए<sub>''n''</sub> सभी अशून्य हैं। इस मामले में, हमारे पास है
+विकर्ण आव्यूह {{math|diag(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} [[उलटा मैट्रिक्स|उलटा आव्यूह]] है [[अगर और केवल अगर|अगर और यदि]]  प्रविष्टियां a<sub>1</sub>, ..., a<sub>''n''</sub> सभी अशून्य हैं। इस स्थितियों में, हमारे पास है
 :{{math|diag(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)<sup>−1</sup>}} = {{math|diag(''a''<sub>1</sub><sup>−1</sup>, ..., ''a''<sub>''n''</sub><sup>−1</sup>)}}.
-विशेष रूप से, विकर्ण मेट्रिसेस सभी एन-बाय-एन मेट्रिसेस की रिंग का एक [[सबरिंग]] बनाते हैं।
+विशेष रूप से, विकर्ण मेट्रिसेस का एक [[सबरिंग]] उन सभी n-by-n मेट्रिसेस के रिंग बनाते हैं।
-n-by-n मैट्रिक्स को गुणा करना {{mvar|A}} बाएँ से {{math|diag(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} गुणा करने के बराबर है {{mvar|i}}-वीं पंक्ति {{mvar|A}} द्वारा {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} सभी के लिए {{mvar|i}}; मैट्रिक्स को गुणा करना {{mvar|A}} के साथ दाएँ से {{math|diag(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} गुणा करने के बराबर है {{mvar|i}}-वाँ स्तंभ {{mvar|A}} द्वारा {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} सभी के लिए {{mvar|i}}.
+बाईं तरफ से {{math|diag(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} से n-by-n आव्यूह {{mvar|A}} को गुणा करना, सभी {{mvar|i}} के लिए {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} के माध्यम से {{mvar|A}} की {{mvar|i}} वाली पंक्ति को  {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} से गुणा करने के समान होता है {{math|diag(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} से आव्यूह {{mvar|A}} को दाहिने तरफ से गुणा करना, सभी {{mvar|i}} के लिए {{math|''a''<sub>''i''</sub>}}   के माध्यम से  {{mvar|A}} की {{mvar|i}} वाली स्तंभ को {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} से गुणा करने के समान होता है।
-== ईजेनबेसिस में ऑपरेटर मैट्रिक्स ==
+== ईजेनबेसिस में ऑपरेटर आव्यूह ==
-{{Main|Transformation matrix#Finding the matrix of a transformation|Eigenvalues and eigenvectors}}
+{{Main|परिवर्तन मैट्रिक्स # एक परिवर्तन के मैट्रिक्स ढूँढना|आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स}}
-जैसा कि परिवर्तन मैट्रिक्स में समझाया गया है # परिवर्तन के मैट्रिक्स को खोजना, एक विशेष आधार है, {{math|'''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>}}, जिसके लिए मैट्रिक्स <math>\mathbf{A}</math> तिरछा रूप धारण कर लेता है। इसलिए, परिभाषित समीकरण में <math display="inline">\mathbf{A} \mathbf e_j = \sum_i a_{i,j} \mathbf e_i</math>, सभी गुणांक <math>a_{i,j} </math> साथ {{math|''i'' ≠ ''j''}} शून्य हैं, प्रति योग केवल एक पद छोड़ते हैं। जीवित विकर्ण तत्व, <math>a_{i,i}</math>, eigenvalues के रूप में जाना जाता है और के साथ नामित किया गया है <math>\lambda_i</math> समीकरण में, जो कम हो जाता है <math>\mathbf{A} \mathbf e_i = \lambda_i \mathbf e_i</math>. परिणामी समीकरण को eigenvalue समीकरण के रूप में जाना जाता है<ref>{{cite book |last=Nearing |first=James |year=2010 |title=भौतिकी के लिए गणितीय उपकरण|url=http://www.physics.miami.edu/nearing/mathmethods |chapter=Chapter 7.9: Eigenvalues and Eigenvectors |chapter-url= http://www.physics.miami.edu/~nearing/mathmethods/operators.pdf |access-date=January 1, 2012|isbn=978-0486482125}}</ref> और [[विशेषता बहुपद]] और आगे, आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है।
+जैसा कि परिवर्तन आव्यूह में समझाया गया है # परिवर्तन के आव्यूह को खोजना, एक विशेष आधार है, {{math|'''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>}}, जिसके लिए आव्यूह <math>\mathbf{A}</math> तिरछा रूप धारण कर लेता है। इसलिए, परिभाषित समीकरण में <math display="inline">\mathbf{A} \mathbf e_j = \sum_i a_{i,j} \mathbf e_i</math>, सभी गुणांक <math>a_{i,j} </math> साथ {{math|''i'' ≠ ''j''}} शून्य हैं, प्रति योग यदि एक पद छोड़ते हैं। जीवित विकर्ण तत्व, <math>a_{i,i}</math>, आइगेनवेल्यूज़ के रूप में जाना जाता है और के साथ नामित किया गया है <math>\lambda_i</math> समीकरण में, जो कम हो जाता है <math>\mathbf{A} \mathbf e_i = \lambda_i \mathbf e_i</math>. परिणामी समीकरण को इगेनवेल्यूज़ समीकरण के रूप में जाना जाता है<ref>{{cite book |last=Nearing |first=James |year=2010 |title=भौतिकी के लिए गणितीय उपकरण|url=http://www.physics.miami.edu/nearing/mathmethods |chapter=Chapter 7.9: Eigenvalues and Eigenvectors |chapter-url= http://www.physics.miami.edu/~nearing/mathmethods/operators.pdf |access-date=January 1, 2012|isbn=978-0486482125}}</ref> और [[विशेषता बहुपद]] और आगे, आइगेनवैल्यू और ईजेनसदिश प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है।
-दूसरे शब्दों में, के [[eigenvalue]]s {{math|diag(''λ''<sub>1</sub>, ..., ''λ''<sub>''n''</sub>)}} हैं {{math|''λ''<sub>1</sub>, ..., ''λ''<sub>''n''</sub>}} के संबद्ध ईजेनवेक्टरों के साथ {{math|'''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>}}.
+दूसरे शब्दों में, के आइगेनवेल्यूज़ {{math|diag(''λ''<sub>1</sub>, ..., ''λ''<sub>''n''</sub>)}} हैं {{math|''λ''<sub>1</sub>, ..., ''λ''<sub>''n''</sub>}} के संबद्ध ईजेन सदिशों के साथ {{math|'''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>}}.
 == गुण ==
-* का निर्धारक {{math|diag(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} उत्पाद है {{math|''a''<sub>1</sub>⋯''a''<sub>''n''</sub>}}.
+* {{math|diag(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} का निर्धारक उत्पाद  {{math|''a''<sub>1</sub>⋯''a''<sub>''n''</sub>}}. होता है।
-* एक विकर्ण मैट्रिक्स का सहायक फिर से विकर्ण है।
+* एक विकर्ण आव्यूह का सहायक फिर से विकर्ण होता है।
-* जहां सभी मेट्रिसेस वर्गाकार होते हैं,
+* जहां सभी मेट्रिसेस वर्गक्षेत्रीय होती हैं,
-** एक मैट्रिक्स विकर्ण है अगर और केवल अगर यह त्रिकोणीय और सामान्य मैट्रिक्स है।
+** एक आव्यूह विकर्ण होती  है यदि और यदि यह त्रिकोणीय और सामान्य आव्यूह होती है।
-** एक मैट्रिक्स विकर्ण है अगर और केवल अगर यह [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स]] दोनों है | ऊपरी- और त्रिकोणीय मैट्रिक्स | निचला-त्रिकोणीय।
+** एक आव्यूह विकर्ण होती है यदि और केवल यदि वह ऊपरी और निचले [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय आव्यूह]] दोनों होती है।
-** एक विकर्ण मैट्रिक्स सममित मैट्रिक्स है।
+** एक विकर्ण आव्यूह सममित आव्यूह होती है।
-* पहचान मैट्रिक्स मैं<sub>''n''</sub> और [[शून्य मैट्रिक्स]] विकर्ण हैं।
+* पहचान आव्यूह I<sub>''n''</sub> और [[शून्य मैट्रिक्स|शून्य आव्यूह]] विकर्ण होती हैं।
-* एक 1×1 मैट्रिक्स हमेशा विकर्ण होता है।
+* एक 1×1 आव्यूह हमेशा विकर्ण होता है।
 == अनुप्रयोग ==
-रैखिक बीजगणित के कई क्षेत्रों में विकर्ण मैट्रिक्स होते हैं। ऊपर दिए गए मैट्रिक्स ऑपरेशन और eigenvalues/eigenvectors के सरल विवरण के कारण, आमतौर पर एक विकर्ण मैट्रिक्स द्वारा दिए गए मैट्रिक्स या [[रैखिक ऑपरेटर]] का प्रतिनिधित्व करना वांछनीय है।
+रैखिक बीजगणित के कई क्षेत्रों में विकर्ण आव्यूह होते हैं। ऊपर दिए गए आव्यूह ऑपरेशन और इगेनवेल्यूज़/इगेनसदिश्स की सरल विवरण के कारण, सामान्यतः एक विकर्ण आव्यूह  के माध्यम से दिए गए आव्यूह या रैखिक ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करना उपयुक्त होता है।
-वास्तव में, एक दिया गया n-by-n मैट्रिक्स {{mvar|A}} एक विकर्ण मैट्रिक्स के [[समान मैट्रिक्स]] है (जिसका अर्थ है कि एक मैट्रिक्स है {{mvar|X}} ऐसा है कि {{math|''X''<sup>−1</sup>''AX''}} विकर्ण है) अगर और केवल अगर यह है {{mvar|n}} [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] ईजेनवेक्टर। ऐसे आव्यूहों को विकर्णीय आव्यूह कहा जाता है।
+वास्तव में, एक दिया गया n-by-n आव्यूह {{mvar|A}} एक विकर्ण आव्यूह के समान आव्यूह होती है (जिसका अर्थ है कि एक आव्यूह {{mvar|X}} है  ऐसा होती है जिसके लिए {{math|''X''<sup>−1</sup>''AX''}}  विकर्ण है) यदि और यदि तब होता है जब इसके {{mvar|n}} रैखिक रूप से स्वतंत्र ईजेन सदिश होते हैं।। ऐसे आव्यूहों को विकर्णीय आव्यूह कहा जाता है।
-[[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]] संख्याओं के क्षेत्र (गणित) में, अधिक सत्य है। [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] का कहना है कि प्रत्येक सामान्य मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स (यदि {{math|1=''AA''<sup>∗</sup> = ''A''<sup>∗</sup>''A''}} तो एक [[एकात्मक मैट्रिक्स]] मौजूद है {{mvar|U}} ऐसा है कि {{math|''UAU''<sup>∗</sup>}} विकर्ण है)। इसके अलावा, एकवचन मूल्य अपघटन का अर्थ है कि किसी भी मैट्रिक्स के लिए {{mvar|A}}, एकात्मक मैट्रिसेस मौजूद हैं {{mvar|U}} और {{mvar|V}} ऐसा है कि {{math|''U<sup>∗</sup>AV''}} सकारात्मक प्रविष्टियों के साथ विकर्ण है।
+[[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]] संख्याओं के क्षेत्र (गणित) में, अधिक सत्य होता है। [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] का कहना है कि प्रत्येक सामान्य आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह के समान होता है (यदि {{math|1=''AA''<sup>∗</sup> = ''A''<sup>∗</sup>''A''}} तो {{math|''UAU''<sup>∗</sup>}} एक [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक आव्यूह]] होती है जहाँ  {{mvar|U}}  एक यूनिटरी आव्यूह होती है)। इसके अतिरिक्त, एकवचन मूल्य अपघटन का अर्थ है कि किसी भी आव्यूह {{mvar|A}} के लिए , एकात्मक आव्यूह {{mvar|U}} और {{mvar|V}}  सम्मलित होती हैं जिससे  {{math|''U<sup>∗</sup>AV''}} सकारात्मक प्रविष्टियों वाली विकर्ण आव्यूह होती है।
 == [[ऑपरेटर सिद्धांत]] ==
-ऑपरेटर सिद्धांत में, विशेष रूप से [[पीडीई]] के अध्ययन में, ऑपरेटरों को विशेष रूप से समझना आसान होता है और पीडीई को हल करना आसान होता है यदि ऑपरेटर उस आधार के संबंध में विकर्ण है जिसके साथ कोई काम कर रहा है; यह एक [[वियोज्य आंशिक अंतर समीकरण]] के अनुरूप है। इसलिए, ऑपरेटरों को समझने के लिए एक महत्वपूर्ण तकनीक निर्देशांक का एक परिवर्तन है - ऑपरेटरों की भाषा में, एक [[अभिन्न परिवर्तन]] - जो आधार को [[eigenfunction]] के [[खुद का आधार]] में बदलता है: जो समीकरण को वियोज्य बनाता है। इसका एक महत्वपूर्ण उदाहरण [[फूरियर रूपांतरण]] है, जो गर्मी समीकरण में निरंतर गुणांक विभेदन संचालकों (या अधिक सामान्यतः अनुवाद अपरिवर्तनीय संचालकों) को तिरछा करता है, जैसे कि लाप्लासियन संचालिका।
+ऑपरेटर सिद्धांत में, विशेष रूप से [[पीडीई]] के अध्ययन में, ऑपरेटरों को विशेष रूप से समझना आसान होता है और पीडीई को हल करना आसान होता है यदि ऑपरेटर उस आधार के संबंध में विकर्ण है जिसके साथ कोई काम कर रहा है; यह एक [[वियोज्य आंशिक अंतर समीकरण|विभाजनीय आंशिक अंतर समीकरण]] के समान होता है। इसलिए, ऑपरेटरों को समझने के लिए एक महत्वपूर्ण तकनीक निर्देशांक का एक परिवर्तन है - ऑपरेटरों की भाषा में, एक [[अभिन्न परिवर्तन]] - जो आधार को [[eigenfunction|आइगेनफंक्शंस]] के [[खुद का आधार]] में बदलता है: जो समीकरण को वियोज्य बनाता है। इसका एक महत्वपूर्ण उदाहरण [[फूरियर रूपांतरण]] होता है, जो गर्मी समीकरण में निरंतर गुणांक विभेदन  ऑपरेटरों (या अधिक सामान्यतः अनुवाद अपरिवर्तनीय  ऑपरेटरों) को विकर्ण करता है, जैसे उदाहरण के लिए हीट समीकरण में लपलेसियन ऑपरेटर।
-गुणन संचालक विशेष रूप से आसान होते हैं, जिन्हें एक निश्चित फ़ंक्शन द्वारा गुणन (के मान) के रूप में परिभाषित किया जाता है - प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन के मान एक मैट्रिक्स की विकर्ण प्रविष्टियों के अनुरूप होते हैं।
+विशेष रूप से गुणन  ऑपरेटर आसान होते हैं, जो एक निश्चित स्थिर फ़ंक्शं के गुणन  के माध्यम से परिभाषित होते हैं - प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शं के मान एक आव्यूह के विकर्ण प्रविष्टियों के समान होते हैं।
 == यह भी देखें ==
 {{colbegin}}
-* [[विरोधी विकर्ण मैट्रिक्स]]
+* [[विरोधी विकर्ण आव्यूह]]
-* [[बैंडेड मैट्रिक्स]]
+* [[बैंडेड आव्यूह]]
-* [[बिडायगोनल मैट्रिक्स]]
+* [[बिडायगोनल आव्यूह]]
-* [[तिरछे प्रमुख मैट्रिक्स]]
+* [[प्रमुख आव्यूह]]
-* विकर्ण मैट्रिक्स
+* विकर्ण आव्यूह
 * [[जॉर्डन सामान्य रूप]]
 * गुणा ऑपरेटर
-* त्रिविकर्ण मैट्रिक्स
+* त्रिविकर्ण आव्यूह
-* [[टोप्लिट्ज मैट्रिक्स]]
+* [[टोप्लिट्ज आव्यूह]]
-* [[तोरल झूठ बीजगणित]]
+* [[परिचालित आव्यूह]]
-* [[ परिचालित मैट्रिक्स ]]
 {{colend}}
+[[Category:Created On 17/03/2023]]
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 == टिप्पणियाँ ==
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 == स्रोत ==
 *{{Citation|last1=Horn|first1=Roger Alan|title=Matrix Analysis|year=1985|publisher=[[Cambridge University Press]]| isbn=978-0-521-38632-6|last2=Johnson|first2=Charles Royal|author-link=Roger Horn|authorlink2=Charles Royal Johnson}}
-{{Matrix classes}}
-श्रेणी:मैट्रिक्स सामान्य रूप
-श्रेणी: विरल मैट्रिसेस
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Latest revision as of 07:16, 20 October 2023

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परिभाषा

सदिश-टू-आव्यूह डायग ऑपरेटर

आव्यूह-टू-सदिश डायग ऑपरेटर

स्केलर आव्यूह

सदिश संचालन

आव्यूह संचालन

ईजेनबेसिस में ऑपरेटर आव्यूह

गुण

अनुप्रयोग

ऑपरेटर सिद्धांत

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विकर्ण आव्यूह: Difference between revisions

Latest revision as of 07:16, 20 October 2023

परिभाषा

सदिश-टू-आव्यूह डायग ऑपरेटर

आव्यूह-टू-सदिश डायग ऑपरेटर

स्केलर आव्यूह

सदिश संचालन

आव्यूह संचालन

ईजेनबेसिस में ऑपरेटर आव्यूह

गुण

अनुप्रयोग

ऑपरेटर सिद्धांत

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