विकर्ण आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, एक विकर्ण आव्यूह एक आव्यूह (गणित) होती है जिसमें मुख्य विकर्ण के बाहर की सभी प्रविष्टियाँ शून्य होती हैं; सामान्यतः इस शब्द का उपयोग स्क्वायर आव्यूह के लिए किया जाता है। मुख्य विकर्ण के तत्व या तो शून्य या अशून्य हो सकते हैं। एक 2×2 विकर्ण आव्यूह का एक उदाहरण है $\left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$, चूँकि 3×3 विकर्ण आव्यूह का एक उदाहरण है$\left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{smallmatrix}}\right]$. किसी भी आकार का एक आईडेंटिटी आव्यूह, या उसका कोई गुणक (स्केलर आव्यूह), एक विकर्ण आव्यूह होती है। विकर्ण आव्यूह को कभी-कभी एक स्केलिंग आव्यूह के रूप में कहा जाता है, क्योंकि इसके साथ आव्यूहगुणा करने से स्केल (आकार) में परिवर्तन होता है। इसका डिटर्मिनेंट इसके डायगनल मूल्यों का उत्पाद होता है।

परिभाषा

जैसा ऊपर बताया गया है, एक विकर्ण आव्यूह एक आव्यूह है जिसमें सभी ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियां शून्य हैं। अर्थात, n स्तंभों और n पंक्तियों वाली आव्यूह D = (d_i,j) n कॉलम और विकर्ण होती है। यदि

$$\forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.$$

चूँकि, मुख्य विकर्ण प्रविष्टियाँ प्रतिबंधित नहीं किया गया है।

विकर्ण आव्यूह का शब्द कभी-कभी एक आयताकार डायगनल आव्यूह को संदर्भित कर सकता है, जो एक m-by-n आव्यूह होती है जिसमें d_i,i के रूप में नहीं होने वाले सभी तत्व शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}$ या ${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}$

अधिकतर स्थितियों में, विकर्ण आव्यूह वर्गीय आव्यूह को संदर्भित करती है, जो एकवर्गीय विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट की जा सकती है।. एक वर्गीय विकर्ण आव्यूह एक सममित आव्यूह होती है, इसलिए इसे सममित्र विकर्ण मैट्रिक्स भी कहा जा सकता है.

निम्नलिखित आव्यूह वर्ग विकर्ण आव्यूह होती है:

$${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}$$

यदि प्रविष्टियाँ वास्तविक संख्याएँ या सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो यह एक सामान्य आव्यूह भी होती है।

इस लेख के शेष भाग में हम यदि वर्ग विकर्ण आव्यूहों पर विचार करेंगे, और उन्हें सीधे विकर्ण आव्यूहों के रूप में संदर्भित करेंगे।

सदिश-टू-आव्यूह डायग ऑपरेटर

एक विकर्ण आव्यूह $\mathbf {D}$ सदिश से बनाया जा सकता है $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ का उपयोग $\operatorname {diag}$ ऑपरेटर:

$$\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$$

इसे और अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (\mathbf {a} )$.

उसी ऑपरेटर का उपयोग ब्लॉक विकर्ण आव्यूह को दर्शाने के लिए भी किया जाता है। $\mathbf {A} =\operatorname {diag} (A_{1},\dots ,A_{n})$ $\operatorname {diag}$ h> ऑपरेटर के रूप में लिखा जा सकता है: जहां प्रत्येक तर्क $A_{i}$ एक आव्यूह है।

$$\operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I}$$

कहाँ $\circ$ हैडमार्ड उत्पाद (आव्यूह) का प्रतिनि`धित्व करता है और $\mathbf {1}$ तत्वों के साथ एक स्थिर सदिश है।

आव्यूह-टू-सदिश डायग ऑपरेटर

उलटा आव्यूह-टू-सदिश $\operatorname {diag}$ ऑपरेटर को कभी-कभी समान नाम से दर्शाया जाता है $\operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ जहां तर्क अब एक आव्यूह है और परिणाम इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का एक सदिश है।

निम्नलिखित संपत्ति रखती है:

$$\operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)_{ij}$$

स्केलर आव्यूह

जिस विकर्ण आव्यूह के सभी विकर्ण तत्व समान होते हैं, वह एक स्केलर आव्यूह होती है; अर्थात्, पहचान आव्यूह I के एक स्केलर गुणक λ का। इसका प्रभाव एक सदिश पर λ से स्केलर गुणा करना होता है। उदाहरण के लिए, एक 3×3 स्केलर आव्यूह निम्नलिखित रूप धारण करती है:

$${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}$$

स्केलर आव्यूह आव्यूह बीजगणित का केंद्र होते हैं: अर्थात्, वे सभी वर्ग आव्यूह के साथ संयुक्त रूप से संयोज्य होती हैं। इसके विपरीत, एक क्षेत्र (गणित) पर ( जैसे वास्तविक संख्या), सभी विकर्ण तत्व अलग-अलग होने वाली एक विकर्ण आव्यूह यदि विकर्ण आव्यूह के साथ संयुक्त रूप से संयोज्य होती है (इसका केंद्रीकरणकर्ता आव्यूह की समूह होती है)। यह इसलिए है क्योंकि यदि एक विकर्ण आव्यूह $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ है ${\displaystyle }$