विकर्ण आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, एक विकर्ण आव्यूह एक आव्यूह (गणित) होती है जिसमें मुख्य विकर्ण के बाहर की सभी प्रविष्टियाँ शून्य होती हैं; सामान्यतः इस शब्द का उपयोग स्क्वायर आव्यूह के लिए किया जाता है। मुख्य विकर्ण के तत्व या तो शून्य या अशून्य हो सकते हैं। एक 2×2 विकर्ण आव्यूह का एक उदाहरण है $\left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$, चूँकि 3×3 विकर्ण आव्यूह का एक उदाहरण है$\left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{smallmatrix}}\right]$. किसी भी आकार का एक आईडेंटिटी आव्यूह, या उसका कोई गुणक (स्केलर आव्यूह), एक विकर्ण आव्यूह होती है। विकर्ण आव्यूह को कभी-कभी एक स्केलिंग आव्यूह के रूप में कहा जाता है, क्योंकि इसके साथ आव्यूहगुणा करने से स्केल (आकार) में परिवर्तन होता है। इसका डिटर्मिनेंट इसके डायगनल मूल्यों का उत्पाद होता है।

परिभाषा

जैसा ऊपर बताया गया है, एक विकर्ण आव्यूह एक आव्यूह है जिसमें सभी ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियां शून्य हैं। अर्थात, n स्तंभों और n पंक्तियों वाली आव्यूह D = (d_i,j) n कॉलम और विकर्ण होती है। यदि

$$\forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.$$

चूँकि, मुख्य विकर्ण प्रविष्टियाँ प्रतिबंधित नहीं किया गया है।

विकर्ण आव्यूह का शब्द कभी-कभी एक आयताकार डायगनल आव्यूह को संदर्भित कर सकता है, जो एक m-by-n आव्यूह होती है जिसमें d_i,i के रूप में नहीं होने वाले सभी तत्व शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}$ या ${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}$

अधिकतर स्थितियों में, विकर्ण आव्यूह वर्गीय आव्यूह को संदर्भित करती है, जो एकवर्गीय विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट की जा सकती है।. एक वर्गीय विकर्ण आव्यूह एक सममित आव्यूह होती है, इसलिए इसे सममित्र विकर्ण मैट्रिक्स भी कहा जा सकता है.

निम्नलिखित आव्यूह वर्ग विकर्ण आव्यूह होती है:

$${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}$$

यदि प्रविष्टियाँ वास्तविक संख्याएँ या सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो यह एक सामान्य आव्यूह भी होती है।

इस लेख के शेष भाग में हम यदि वर्ग विकर्ण आव्यूहों पर विचार करेंगे, और उन्हें सीधे विकर्ण आव्यूहों के रूप में संदर्भित करेंगे।

सदिश-टू-आव्यूह डायग ऑपरेटर

एक विकर्ण आव्यूह $\mathbf {D}$ सदिश से बनाया जा सकता है $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ का उपयोग $\operatorname {diag}$ ऑपरेटर:

$$\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$$

इसे और अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (\mathbf {a} )$.

उसी ऑपरेटर का उपयोग ब्लॉक विकर्ण आव्यूह को दर्शाने के लिए भी किया जाता है। $\mathbf {A} =\operatorname {diag} (A_{1},\dots ,A_{n})$ $\operatorname {diag}$ h> ऑपरेटर के रूप में लिखा जा सकता है: जहां प्रत्येक तर्क $A_{i}$ एक आव्यूह है।

$$\operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I}$$

कहाँ $\circ$ हैडमार्ड उत्पाद (आव्यूह) का प्रतिनि`धित्व करता है और $\mathbf {1}$ तत्वों के साथ एक स्थिर सदिश है।

आव्यूह-टू-सदिश डायग ऑपरेटर

उलटा आव्यूह-टू-सदिश $\operatorname {diag}$ ऑपरेटर को कभी-कभी समान नाम से दर्शाया जाता है $\operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ जहां तर्क अब एक आव्यूह है और परिणाम इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का एक सदिश है।

निम्नलिखित संपत्ति रखती है:

$$\operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)_{ij}$$

स्केलर आव्यूह

जिस विकर्ण आव्यूह के सभी विकर्ण तत्व समान होते हैं, वह एक स्केलर आव्यूह होती है; अर्थात्, पहचान आव्यूह I के एक स्केलर गुणक λ का। इसका प्रभाव एक सदिश पर λ से स्केलर गुणा करना होता है। उदाहरण के लिए, एक 3×3 स्केलर आव्यूह निम्नलिखित रूप धारण करती है:

$${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}$$

स्केलर आव्यूह आव्यूह बीजगणित का केंद्र होते हैं: अर्थात्, वे सभी वर्ग आव्यूह के साथ संयुक्त रूप से संयोज्य होती हैं। इसके विपरीत, एक क्षेत्र (गणित) पर ( जैसे वास्तविक संख्या), सभी विकर्ण तत्व अलग-अलग होने वाली एक विकर्ण आव्यूह यदि विकर्ण आव्यूह के साथ संयुक्त रूप से संयोज्य होती है (इसका केंद्रीकरणकर्ता आव्यूह की समूह होती है)। यह इसलिए है क्योंकि यदि एक विकर्ण आव्यूह $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ है $a_{i}\neq a_{j},$ फिर एक आव्यूह दिया $\mathbf {M}$ साथ $m_{ij}\neq 0,$ $(i,j)$ तो उत्पादों की अवधि हैं: $(\mathbf {D} \mathbf {M} )_{ij}=a_{i}m_{ij}$ और $(\mathbf {M} \mathbf {D} )_{ij}=m_{ij}a_{j},$ और $a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}$ ($m_{ij}$ से विभाजित कर सकता है ), इसलिए वे अलग-अलग होते हैं जब तक ऑफ-विकर्ण मान शून्य नहीं हैं। यदि विकर्ण आव्यूह के सभी विकर्ण तत्व अलग हैं या सभी समान हैं, तो वे यदि विकर्ण आव्यूह के साथ संयुक्त होते हैं ।

एक सार सदिश स्थान V के लिए (कंक्रीट सदिश स्थान के अतिरिक्त $K^{n}$), अदिश आव्यूहों के अनुरूप अदिश परिवर्तन हैं। यह सामान्यतः एक मॉड्यूल (रिंग थ्योरी) M के लिए एक रिंग (बीजगणित) R पर अधिक सच है, जिसमें एंडोमोर्फिज्म बीजगणित End(M) ('M' पर रैखिक ऑपरेटरों का बीजगणित) ) मेट्रिसेस के बीजगणित की जगह। औपचारिक रूप से, अदिश गुणन एक रेखीय मानचित्र है, जो एक मानचित्र को प्रेरित करता है $R\to \operatorname {End} (M),$ (एक स्केलर λ से इसके संबंधित स्केलर परिवर्तन, λ के माध्यम से गुणा) आर-बीजगणित (रिंग थ्योरी) के रूप में एंड (एम) को प्रदर्शित करता है। सदिश रिक्त स्थान के लिए, स्केलर ट्रांसफॉर्म एंडोमोर्फिज्म बीजगणित की अंगूठी का बिल्कुल केंद्र हैं, और इसी प्रकार, उलटा ट्रांसफॉर्म सामान्य रैखिक समूह जीएल (वी) का केंद्र हैं। पूर्व अधिक सामान्यतः सही मुक्त मॉड्यूल है $M\cong R^{n}$, जिसके लिए एंडोमोर्फिज्म बीजगणित आव्यूह बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है।

सदिश संचालन

एक सदिश को एक विकर्ण आव्यूह से गुणा करने पर प्रत्येक पद को संबंधित विकर्ण प्रविष्टि से गुणा किया जाता है। एक विकर्ण आव्यूह दिया $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ और एक सदिश $\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$उत्पाद है:

$$\mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$$

यह एक सदिश का उपयोग करके विकर्ण आव्यूह की अतिरिक्त अधिक संक्षिप्त रूप से व्यक्त किया जा सकता है, $\mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$, और वैक्टर का हैडमार्ड उत्पाद (प्रवेशिका-वार उत्पाद) लेने के लिए यह उपयोग कर सकते हैं, जो निम्न रूप में दर्शाया गया है: $\mathbf {d} \circ \mathbf {v}$:

$$\mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$$

यह गणितीय रूप से समतुल्य है, किन्तु इस विरल आव्यूह के सभी शून्य शब्दों को संग्रहीत करने से बचता है।यह उत्पाद इसलिए यंत्र अधिगम में उपयोग किया जाता है, जैसे बैकपरोपगतिओं में डेरिवेटिव के उत्पादों को गणना करना या टीएफ-आईडीएफ में आईडीएफ वजनों को गुणा करना, चूंकि कुछ BLAS फ़्रेमवर्क, जो आव्यूह को कुशलतापूर्वक गुणा करते हैं, हैडमार्ड उत्पाद क्षमता को सीधे सम्मलित नहीं करते हैं।

आव्यूह संचालन

आव्यूह जोड़ और आव्यूह गुणन के संचालन विशेष रूप से विकर्ण आव्यूह के लिए सरल होते हैं। ऊपर से शुरुआत में विकर्ण प्रविष्टियाँ को a₁, ..., a_n रखने के लिए diag(a₁, ..., a_n) लिखें। तब जोड़ के लिए, हमें निम्नलिखित होगा:

diag(a₁, ..., a_n) + diag(b₁, ..., b_n) = diag(a₁ + b₁, ..., a_n + b_n)

और आव्यूह गुणन के लिए,

diag(a₁, ..., a_n) diag(b₁, ..., b_n) = diag(a₁b₁, ..., a_nb_n).

विकर्ण आव्यूह diag(a₁, ..., a_n) उलटा आव्यूह है अगर और यदि प्रविष्टियां a₁, ..., a_n सभी अशून्य हैं। इस स्थितियों में, हमारे पास है

diag(a₁, ..., a_n)⁻¹ = diag(a₁⁻¹, ..., a_n⁻¹).

विशेष रूप से, विकर्ण मेट्रिसेस का एक सबरिंग उन सभी n-by-n मेट्रिसेस के रिंग बनाते हैं।

बाईं तरफ से diag(a₁, ..., a_n) से n-by-n आव्यूह A को गुणा करना, सभी i के लिए a_i के माध्यम से A की i वाली पंक्ति को a_i से गुणा करने के समान होता है diag(a₁, ..., a_n) से आव्यूह A को दाहिने तरफ से गुणा करना, सभी i के लिए a_i के माध्यम से A की i वाली स्तंभ को a_i से गुणा करने के समान होता है।

ईजेनबेसिस में ऑपरेटर आव्यूह

Main articles: परिवर्तन मैट्रिक्स §  एक परिवर्तन के मैट्रिक्स ढूँढना, and आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स

जैसा कि परिवर्तन आव्यूह में समझाया गया है # परिवर्तन के आव्यूह को खोजना, एक विशेष आधार है, e₁, ..., e_n, जिसके लिए आव्यूह $\mathbf {A}$ तिरछा रूप धारण कर लेता है। इसलिए, परिभाषित समीकरण में ${\textstyle \mathbf {A} \mathbf {e} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$, सभी गुणांक $a_{i,j}$ साथ i ≠ j शून्य हैं, प्रति योग यदि एक पद छोड़ते हैं। जीवित विकर्ण तत्व, $a_{i,i}$, आइगेनवेल्यूज़ ​​​​के रूप में जाना जाता है और के साथ नामित किया गया है $\lambda _{i}$ समीकरण में, जो कम हो जाता है $\mathbf {A} \mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}$. परिणामी समीकरण को इगेनवेल्यूज़ समीकरण के रूप में जाना जाता है और विशेषता बहुपद और आगे, आइगेनवैल्यू और ईजेनसदिश प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है।

दूसरे शब्दों में, के आइगेनवेल्यूज़ diag(λ₁, ..., λ_n) हैं λ₁, ..., λ_n के संबद्ध ईजेन सदिशों के साथ e₁, ..., e_n.

गुण

• diag(a₁, ..., a_n) का निर्धारक उत्पाद a₁⋯a_n. होता है।
• एक विकर्ण आव्यूह का सहायक फिर से विकर्ण होता है।
• जहां सभी मेट्रिसेस वर्गक्षेत्रीय होती हैं,
  • एक आव्यूह विकर्ण होती है यदि और यदि यह त्रिकोणीय और सामान्य आव्यूह होती है।
  • एक आव्यूह विकर्ण होती है यदि और केवल यदि वह ऊपरी और निचले त्रिकोणीय आव्यूह दोनों होती है।
  • एक विकर्ण आव्यूह सममित आव्यूह होती है।
• पहचान आव्यूह I_n और शून्य आव्यूह विकर्ण होती हैं।
• एक 1×1 आव्यूह हमेशा विकर्ण होता है।

अनुप्रयोग

रैखिक बीजगणित के कई क्षेत्रों में विकर्ण आव्यूह होते हैं। ऊपर दिए गए आव्यूह ऑपरेशन और इगेनवेल्यूज़/इगेनसदिश्स की सरल विवरण के कारण, सामान्यतः एक विकर्ण आव्यूह के माध्यम से दिए गए आव्यूह या रैखिक ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करना उपयुक्त होता है।

वास्तव में, एक दिया गया n-by-n आव्यूह A एक विकर्ण आव्यूह के समान आव्यूह होती है (जिसका अर्थ है कि एक आव्यूह X है ऐसा होती है जिसके लिए X⁻¹AX विकर्ण है) यदि और यदि तब होता है जब इसके n रैखिक रूप से स्वतंत्र ईजेन सदिश होते हैं।। ऐसे आव्यूहों को विकर्णीय आव्यूह कहा जाता है।

वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या संख्याओं के क्षेत्र (गणित) में, अधिक सत्य होता है। वर्णक्रमीय प्रमेय का कहना है कि प्रत्येक सामान्य आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह के समान होता है (यदि AA^∗ = A^∗A तो UAU^∗ एक एकात्मक आव्यूह होती है जहाँ U एक यूनिटरी आव्यूह होती है)। इसके अतिरिक्त, एकवचन मूल्य अपघटन का अर्थ है कि किसी भी आव्यूह A के लिए , एकात्मक आव्यूह U और V सम्मलित होती हैं जिससे U^∗AV सकारात्मक प्रविष्टियों वाली विकर्ण आव्यूह होती है।

ऑपरेटर सिद्धांत

ऑपरेटर सिद्धांत में, विशेष रूप से पीडीई के अध्ययन में, ऑपरेटरों को विशेष रूप से समझना आसान होता है और पीडीई को हल करना आसान होता है यदि ऑपरेटर उस आधार के संबंध में विकर्ण है जिसके साथ कोई काम कर रहा है; यह एक विभाजनीय आंशिक अंतर समीकरण के समान होता है। इसलिए, ऑपरेटरों को समझने के लिए एक महत्वपूर्ण तकनीक निर्देशांक का एक परिवर्तन है - ऑपरेटरों की भाषा में, एक अभिन्न परिवर्तन - जो आधार को आइगेनफंक्शंस के खुद का आधार में बदलता है: जो समीकरण को वियोज्य बनाता है। इसका एक महत्वपूर्ण उदाहरण फूरियर रूपांतरण होता है, जो गर्मी समीकरण में निरंतर गुणांक विभेदन ऑपरेटरों (या अधिक सामान्यतः अनुवाद अपरिवर्तनीय ऑपरेटरों) को विकर्ण करता है, जैसे उदाहरण के लिए हीट समीकरण में लपलेसियन ऑपरेटर।

विशेष रूप से गुणन ऑपरेटर आसान होते हैं, जो एक निश्चित स्थिर फ़ंक्शं के गुणन के माध्यम से परिभाषित होते हैं - प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शं के मान एक आव्यूह के विकर्ण प्रविष्टियों के समान होते हैं।

यह भी देखें

• विरोधी विकर्ण आव्यूह
• बैंडेड आव्यूह
• बिडायगोनल आव्यूह
• प्रमुख आव्यूह
• विकर्ण आव्यूह
• जॉर्डन सामान्य रूप
• गुणा ऑपरेटर
• त्रिविकर्ण आव्यूह
• टोप्लिट्ज आव्यूह
• परिचालित आव्यूह

स्रोत

• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6