जालक गेज सिद्धांत: Difference between revisions

Latest revision as of 22:26, 5 December 2023

भौतिकी में, जालक गेज सिद्धांत एक स्पेसटाइम पर गेज सिद्धांत का अध्ययन है जिसे एक जालक (समूह) में विवेकित किया गया है।

कण भौतिकी में गेज सिद्धांत महत्वपूर्ण हैं, और इसमें प्राथमिक कण के प्रचलित सिद्धांत सम्मिलित हैं: क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स, क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (क्यूसीडी) और कण भौतिकी का मानक मॉडल। निरंतर स्पेसटाइम में गैर-विपरीत गेज सिद्धांत गणना में औपचारिक रूप से एक अनंत-आयामी पथ अभिन्न सूत्रीकरण का मूल्यांकन सम्मिलित होता है, जो कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन है। असतत स्पेसटाइम पर काम करने से, कार्यात्मक एकीकरण परिमित-आयामी हो जाता है, और मोंटे कार्लो विधि जैसी स्टोकेस्टिक अनुकरण तकनीकों द्वारा इसका मूल्यांकन किया जा सकता है। जब जालक का आकार असीम रूप से बड़ा लिया जाता है और इसकी साइट एक-दूसरे के बेहद नज़दीक होती हैं, तो सातत्य गेज सिद्धांत पुनः प्राप्त हो जाता है। ^[1]

बुनियादी बातें

जालक गेज सिद्धांत में, स्पेसटाइम को यूक्लिडियन स्पेस (समष्टि) में घुमाया जाता है और दूरी से अलग की गई साइट के साथ एक जालक में विभाजित किया जाता है $a$ और लिंक द्वारा जुड़ा हुआ है। सबसे सामान्यतः माने जाने वाले परिस्थितियों में, जैसे कि जालक क्यूसीडी, फरमिओन्स फ़ील्ड को जालक स्थलों पर परिभाषित किया जाता है (जिससे फ़र्मियन दोगुना हो जाता है), जबकि गेज बोसॉन को लिंक पर परिभाषित किया जाता है। अर्थात्, प्रत्येक लिंक को कॉम्पैक्ट लाई ग्रुप G (बीजगणित नहीं) का एक तत्व यू सौंपा गया है। इसलिए जालक क्यूसीडी को लाई ग्रुप विशेष एकात्मक समूह एसयू(3) के साथ अनुकरण करने के लिए, प्रत्येक लिंक पर एक 3×3 एकात्मक आव्यूह परिभाषित किया गया है। लिंक को एक ओरिएंटेशन सौंपा गया है, जिसमें उलटा तत्व विपरीत ओरिएंटेशन के साथ उसी लिंक के अनुरूप है। और प्रत्येक नोड को एक मान दिया गया है $\mathbb {C} ^{3}$ (एक रंग 3-वेक्टर, वह स्थान जिस पर एसयू(3) का मौलिक प्रतिनिधित्व कार्य करता है), बिस्पिनोर (डिराक 4-स्पिनर) के रूप में, एक n_f वेक्टर, और एक ग्रासमैन संख्या है।

इस प्रकार, एक पथ के साथ लिंक के एसयू(3) तत्वों की संरचना (अर्थात उनके आव्यूहों का क्रमबद्ध गुणन) एक पथ-क्रमित घातीय (ज्यामितीय अभिन्न) का अनुमान लगाती है, जिससे बंद पथ के लिए विल्सन लूप मान की गणना की जा सकती है।

यांग-मिल्स कार्रवाई

यांग-मिल्स सिद्धांत यांग-मिल्स क्रिया विल्सन लूप्स (केनेथ जी. विल्सन के नाम पर) का उपयोग करके जालक पर लिखी गई है, ताकि सीमा $a\to 0$ मूल सातत्य क्रिया को औपचारिक रूप से पुन: प्रस्तुत करता है।^[1] G के एक विश्वसनीय प्रतिनिधित्व अघुलनशील प्रतिनिधित्व ρ को देखते हुए, जालक यांग-मिल्स कार्रवाई, जिसे विल्सन कार्रवाई के रूप में जाना जाता है, n लिंक e₁, ..., e_n पर ट्रेस (आव्यूह) के (वास्तविक घटक) के सभी जालक साइट का योग हैl यह है विल्सन पाश में,

S=\sum _{F}-\Re \{\chi ^{(\rho )}(U(e_{1})\cdots U(e_{n}))\}.

यहाँ, χ वर्ण (गणित) है। यदि ρ एक वास्तविक प्रतिनिधित्व (या छद्म वास्तविक प्रतिनिधित्व) प्रतिनिधित्व है, तो वास्तविक घटक लेना अनावश्यक है, क्योंकि भले ही विल्सन लूप का अभिविन्यास फ़्लिप हो, कार्रवाई में इसका योगदान अपरिवर्तित रहता है।

कई संभावित विल्सन क्रियाएं हैं, यह इस पर निर्भर करता है कि कार्रवाई में विल्सन लूप का उपयोग किया जाता है। सबसे सरल विल्सन क्रिया केवल 1×1 विल्सन लूप का उपयोग करती है, और छोटी जालक रिक्ति के आनुपातिक जालक कलाकृतियों द्वारा सातत्य क्रिया से भिन्न होती है $a$ l बेहतर क्रियाओं के निर्माण के लिए अधिक जटिल विल्सन लूप का उपयोग करके, जालक कलाकृतियों को आनुपातिक रूप से कम किया जा सकता है $a^{2}$ , गणना को अधिक सटीक बनाना।

माप और गणना

लैटिस क्यूसीडी गणना का यह परिणाम एक मेसन को दर्शाता है, जो एक क्वार्क और एक एंटीक्वार्क से बना है। (एम. कार्डोसो एट अल के बाद।^[2])

कण द्रव्यमान जैसी मात्राओं की गणना मोंटे कार्लो विधि जैसी तकनीकों का उपयोग करके स्टोकेस्टिक रूप से की जाती है। गेज फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन संभाव्यता के आनुपातिक के साथ उत्पन्न होते हैं $e^{-\beta S}$ , जहाँ $S$ जालक कार्रवाई है और $\beta$ जालक रिक्ति से संबंधित है $a$ . प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन के लिए ब्याज की मात्रा की गणना की जाती है, और औसत किया जाता है। गणनाएं प्रायः विभिन्न जालक रिक्तियों पर दोहराई जाती हैं $a$ ताकि परिणाम सातत्य का एक्सट्रपलेशन हो सके, $a\to 0$ .

ऐसी गणनाएँ प्रायः कम्प्यूटेशनल रूप से अत्यधिक गहन होती हैं, और सबसे बड़े उपलब्ध सुपर कंप्यूटर के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। कम्प्यूटेशनल बर्डन (अभिकलनात्मक भार) को कम करने के लिए, तथाकथित बुझती सन्निकटन का उपयोग किया जा सकता है, जिसमें फर्मिओनिक क्षेत्रों को गैर-गतिशील ''जमे हुए'' (''फ्रोजेन'') चर के रूप में माना जाता है। हालाँकि प्रारंभिक जालक क्यूसीडी गणनाओं में यह सामान्य था, ''गतिशील'' फ़र्मियन अब मानक हैं।^[3] ये सिमुलेशन सामान्यतः आणविक गतिशीलता या माइक्रोकैनोनिकल पहनावा एल्गोरिदम पर आधारित एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।^[4]^[5]

जालक क्यूसीडी संगणना के परिणाम दिखाते हैं जैसे कि मेसॉन में न केवल कण (क्वार्क और एंटीक्वार्क), बल्कि ग्लूऑन फ़ील्ड के ''फ्लक्स ट्यूब'' भी महत्वपूर्ण हैं।

क्वांटम क्षुद्रता

वास्तविक-स्पेस पुनर्सामान्यीकरण समूह द्वारा क्वांटम क्षुद्रता के अध्ययन के लिए जालक गेज सिद्धांत भी महत्वपूर्ण है।^[6] आरजी प्रवाह में सबसे महत्वपूर्ण जानकारी वह है जिसे निश्चित बिंदु कहा जाता है।

बड़े पैमाने पर सिस्टम की संभावित स्थूल अवस्थाएँ, निश्चित बिंदुओं के इस सेट द्वारा दी जाती हैं। यदि ये निश्चित बिंदु एक मुक्त क्षेत्र सिद्धांत के अनुरूप हैं, तो सिद्धांत को क्षुद्रता या गैर-अंतःक्रियात्मक कहा जाता है। लैटिस हिग्स सिद्धांतों के अध्ययन में कई निश्चित बिंदु सामने आते हैं, लेकिन इनसे जुड़े क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों की प्रकृति एक खुला प्रश्न है।^[7]

क्षुद्रता को अभी भी कठोरता से सिद्ध किया जाना बाकी है, लेकिन जालक गणना ने इसके लिए सशक्त सबूत प्रदान किए हैं। यह तथ्य महत्वपूर्ण है क्योंकि क्वांटम क्षुद्रता का उपयोग हिग्स बॉसन के द्रव्यमान जैसे मापदंडों को सीमित करने या भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जा सकता है।

अन्य अनुप्रयोग

मूल रूप से, हल करने योग्य द्वि-आयामी जालक गेज सिद्धांत पहले से ही 1971 में सिद्धांतकार फ्रांज वेगनर द्वारा दिलचस्प सांख्यिकीय गुणों वाले मॉडल के रूप में पेश किए गए थे, जिन्होंने चरण संक्रमण के क्षेत्र में काम किया था।^[8]

जब केवल 1×1 विल्सन लूप क्रिया में दिखाई देते हैं, तो जालक गेज सिद्धांत को स्पिन फोम मॉडल के बिल्कुल दोहरे रूप में दिखाया जा सकता है।^[9]

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Wilson, K. (1974). "क्वार्कों का परिरोध". Physical Review D. 10 (8): 2445. Bibcode:1974PhRvD..10.2445W. doi:10.1103/PhysRevD.10.2445.
↑ Cardoso, M.; Cardoso, N.; Bicudo, P. (2010-02-03). "स्थैतिक हाइब्रिड क्वार्क-ग्लूऑन-एंटीक्वार्क प्रणाली के लिए रंग क्षेत्रों की जाली क्यूसीडी गणना, और कासिमिर स्केलिंग का सूक्ष्म अध्ययन". Physical Review D. 81 (3): 034504. arXiv:0912.3181. Bibcode:2010PhRvD..81c4504C. doi:10.1103/physrevd.81.034504. ISSN 1550-7998. S2CID 119216789.
↑ A. Bazavov; et al. (2010). "Nonperturbative QCD simulations with 2+1 flavors of improved staggered quarks". Reviews of Modern Physics. 82 (2): 1349–1417. arXiv:0903.3598. Bibcode:2010RvMP...82.1349B. doi:10.1103/RevModPhys.82.1349. S2CID 119259340.
↑ David J. E. Callaway and Aneesur Rahman (1982). "लैटिस गेज सिद्धांत का माइक्रोकैनोनिकल एन्सेम्बल फॉर्मूलेशन". Physical Review Letters. 49 (9): 613–616. Bibcode:1982PhRvL..49..613C. doi:10.1103/PhysRevLett.49.613.
↑ David J. E. Callaway and Aneesur Rahman (1983). "माइक्रोकैनोनिकल पहनावा में जाली गेज सिद्धांत" (PDF). Physical Review. D28 (6): 1506–1514. Bibcode:1983PhRvD..28.1506C. doi:10.1103/PhysRevD.28.1506.
↑ Wilson, Kenneth G. (1975-10-01). "The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo problem". Reviews of Modern Physics. American Physical Society (APS). 47 (4): 773–840. Bibcode:1975RvMP...47..773W. doi:10.1103/revmodphys.47.773. ISSN 0034-6861.
↑ D. J. E. Callaway (1988). "Triviality Pursuit: Can Elementary Scalar Particles Exist?". Physics Reports. 167 (5): 241–320. Bibcode:1988PhR...167..241C. doi:10.1016/0370-1573(88)90008-7.
↑ F. Wegner, "Duality in Generalized Ising Models and Phase Transitions without Local Order Parameter", J. Math. Phys. 12 (1971) 2259-2272. Reprinted in Claudio Rebbi (ed.), Lattice Gauge Theories and Monte-Carlo-Simulations, World Scientific, Singapore (1983), p. 60-73. Abstract
↑ R. Oeckl; H. Pfeiffer (2001). "स्पिन फोम मॉडल के रूप में शुद्ध गैर-एबेलियन जाली गेज सिद्धांत का दोहराव". Nuclear Physics B. 598 (1–2): 400–426. arXiv:hep-th/0008095. Bibcode:2001NuPhB.598..400O. doi:10.1016/S0550-3213(00)00770-7. S2CID 3606117.

अग्रिम पठन

Creutz, M., Quarks, gluons and lattices, Cambridge University Press, Cambridge, (1985). ISBN 978-0521315357
Montvay, I., Münster, G., Quantum Fields on a Lattice, Cambridge University Press, Cambridge, (1997). ISBN 978-0521599177
Makeenko, Y., Methods of contemporary gauge theory, Cambridge University Press, Cambridge, (2002). ISBN 0-521-80911-8.
Smit, J., Introduction to Quantum Fields on a Lattice, Cambridge University Press, Cambridge, (2002). ISBN 978-0521890519
Rothe, H., Lattice Gauge Theories, An Introduction, World Scientific, Singapore, (2005). ISBN 978-9814365857
DeGrand, T., DeTar, C., Lattice Methods for Quantum Chromodynamics, World Scientific, Singapore, (2006). ISBN 978-9812567277
Gattringer, C., Lang, C. B., Quantum Chromodynamics on the Lattice, Springer, (2010). ISBN 978-3642018497
Knechtli, F., Günther, M., Peardon, M., Lattice Quantum Chromodynamics: Practical Essentials, Springer, (2016). ISBN 978-9402409970
Weisz Peter, Majumdar Pushan (2012). "Lattice gauge theories". Scholarpedia. 7 (4): 8615. Bibcode:2012SchpJ...7.8615W. doi:10.4249/scholarpedia.8615.

बाहरी संबंध

[wilson-1] 1.0 ^1.1 Wilson, K. (1974). "क्वार्कों का परिरोध". Physical Review D. 10 (8): 2445. Bibcode:1974PhRvD..10.2445W. doi:10.1103/PhysRevD.10.2445.

[2] Cardoso, M.; Cardoso, N.; Bicudo, P. (2010-02-03). "स्थैतिक हाइब्रिड क्वार्क-ग्लूऑन-एंटीक्वार्क प्रणाली के लिए रंग क्षेत्रों की जाली क्यूसीडी गणना, और कासिमिर स्केलिंग का सूक्ष्म अध्ययन". Physical Review D. 81 (3): 034504. arXiv:0912.3181. Bibcode:2010PhRvD..81c4504C. doi:10.1103/physrevd.81.034504. ISSN 1550-7998. S2CID 119216789.

[3] A. Bazavov; et al. (2010). "Nonperturbative QCD simulations with 2+1 flavors of improved staggered quarks". Reviews of Modern Physics. 82 (2): 1349–1417. arXiv:0903.3598. Bibcode:2010RvMP...82.1349B. doi:10.1103/RevModPhys.82.1349. S2CID 119259340.

[4] David J. E. Callaway and Aneesur Rahman (1982). "लैटिस गेज सिद्धांत का माइक्रोकैनोनिकल एन्सेम्बल फॉर्मूलेशन". Physical Review Letters. 49 (9): 613–616. Bibcode:1982PhRvL..49..613C. doi:10.1103/PhysRevLett.49.613.

[5] David J. E. Callaway and Aneesur Rahman (1983). "माइक्रोकैनोनिकल पहनावा में जाली गेज सिद्धांत" (PDF). Physical Review. D28 (6): 1506–1514. Bibcode:1983PhRvD..28.1506C. doi:10.1103/PhysRevD.28.1506.

[6] Wilson, Kenneth G. (1975-10-01). "The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo problem". Reviews of Modern Physics. American Physical Society (APS). 47 (4): 773–840. Bibcode:1975RvMP...47..773W. doi:10.1103/revmodphys.47.773. ISSN 0034-6861.

[7] D. J. E. Callaway (1988). "Triviality Pursuit: Can Elementary Scalar Particles Exist?". Physics Reports. 167 (5): 241–320. Bibcode:1988PhR...167..241C. doi:10.1016/0370-1573(88)90008-7.

[8] F. Wegner, "Duality in Generalized Ising Models and Phase Transitions without Local Order Parameter", J. Math. Phys. 12 (1971) 2259-2272. Reprinted in Claudio Rebbi (ed.), Lattice Gauge Theories and Monte-Carlo-Simulations, World Scientific, Singapore (1983), p. 60-73. Abstract

[9] R. Oeckl; H. Pfeiffer (2001). "स्पिन फोम मॉडल के रूप में शुद्ध गैर-एबेलियन जाली गेज सिद्धांत का दोहराव". Nuclear Physics B. 598 (1–2): 400–426. arXiv:hep-th/0008095. Bibcode:2001NuPhB.598..400O. doi:10.1016/S0550-3213(00)00770-7. S2CID 3606117.

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 {{short description|Theory of quantum gauge fields on a lattice}}
-भौतिकी में, जाली [[गेज सिद्धांत]] एक [[ अंतरिक्ष समय ]] पर गेज सिद्धांत का अध्ययन है जिसे एक [[जाली (समूह)]] में [[विवेक]]ित किया गया है।
+भौतिकी में, '''जालक [[गेज सिद्धांत]]''' एक [[ अंतरिक्ष समय |स्पेसटाइम]] पर गेज सिद्धांत का अध्ययन है जिसे एक [[जाली (समूह)|जालक (समूह)]] में [[विवेक]]ित किया गया है।
-[[कण भौतिकी]] में गेज सिद्धांत महत्वपूर्ण हैं, और इसमें [[प्राथमिक कण]]ों के प्रचलित सिद्धांत शामिल हैं: [[क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स]], [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] (क्यूसीडी) और कण भौतिकी का [[मानक मॉडल]]। निरंतर स्पेसटाइम में गैर-विपरीत गेज सिद्धांत गणना में औपचारिक रूप से एक अनंत-आयामी [[पथ अभिन्न सूत्रीकरण]] का मूल्यांकन शामिल होता है, जो कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन है। असतत स्पेसटाइम पर काम करने से, [[कार्यात्मक एकीकरण]] परिमित-आयामी हो जाता है, और [[मोंटे कार्लो विधि]] जैसी [[स्टोकेस्टिक अनुकरण]] तकनीकों द्वारा इसका मूल्यांकन किया जा सकता है। जब जाली का आकार असीम रूप से बड़ा लिया जाता है और इसकी साइटें एक-दूसरे के बेहद करीब होती हैं, तो सातत्य गेज सिद्धांत पुनः प्राप्त हो जाता है।<ref name="wilson">{{cite journal | authorlink=Kenneth G. Wilson | first=K. | last= Wilson | journal=[[Physical Review D]]| volume=10 | issue=8 | page=2445 | title=क्वार्कों का परिरोध| year= 1974 | doi=10.1103/PhysRevD.10.2445|bibcode = 1974PhRvD..10.2445W }}</ref>
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 ==बुनियादी बातें==
-जाली गेज सिद्धांत में, स्पेसटाइम को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घुमाया जाता है और दूरी से अलग की गई साइटों के साथ एक जाली में विभाजित किया जाता है <math>a</math> और लिंक द्वारा जुड़ा हुआ है। सबसे आम तौर पर माने जाने वाले मामलों में, जैसे कि जाली क्यूसीडी, [[फरमिओन्स]] फ़ील्ड को जाली स्थलों पर परिभाषित किया जाता है (जिससे फ़र्मियन दोगुना हो जाता है), जबकि गेज बोसॉन को लिंक पर परिभाषित किया जाता है। अर्थात्, प्रत्येक लिंक को [[ सघन समूह ]] [[झूठ समूह]] जी (ली बीजगणित नहीं) का एक तत्व यू सौंपा गया है। इसलिए[[जाली QCD]] को लाई समूह [[विशेष एकात्मक समूह]]|एसयू(3) के साथ अनुकरण करने के लिए, प्रत्येक लिंक पर एक 3×3 [[एकात्मक मैट्रिक्स]] परिभाषित किया गया है। लिंक को एक ओरिएंटेशन सौंपा गया है, जिसमें [[उलटा तत्व]] विपरीत ओरिएंटेशन के साथ उसी लिंक के अनुरूप है। और प्रत्येक नोड को एक मान दिया गया है <math>\mathbb{C}^3</math> (एक रंग 3-वेक्टर, वह स्थान जिस पर एसयू(3) का [[मौलिक प्रतिनिधित्व]] कार्य करता है), [[बिस्पिनोर]] (डिराक 4-स्पिनर) के रूप में, एक एन<sub>f</sub>वेक्टर, और एक [[ग्रासमैन संख्या]]।
+जालक गेज सिद्धांत में, स्पेसटाइम को यूक्लिडियन स्पेस (समष्टि) में घुमाया जाता है और दूरी से अलग की गई साइट के साथ एक जालक में विभाजित किया जाता है <math>a</math> और लिंक द्वारा जुड़ा हुआ है। सबसे सामान्यतः माने जाने वाले परिस्थितियों में, जैसे कि जालक क्यूसीडी, [[फरमिओन्स]] फ़ील्ड को जालक स्थलों पर परिभाषित किया जाता है (जिससे फ़र्मियन दोगुना हो जाता है), जबकि गेज बोसॉन को लिंक पर परिभाषित किया जाता है। अर्थात्, प्रत्येक लिंक को [[ सघन समूह | कॉम्पैक्ट]] [[झूठ समूह|लाई ग्रुप]] ''G'' (बीजगणित नहीं) का एक तत्व यू सौंपा गया है। इसलिए [[जाली QCD|जालक क्यूसीडी]] को लाई [[झूठ समूह|ग्रुप]] [[विशेष एकात्मक समूह]] एसयू(3) के साथ अनुकरण करने के लिए, प्रत्येक लिंक पर एक 3×3 [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक आव्यूह]] परिभाषित किया गया है। लिंक को एक ओरिएंटेशन सौंपा गया है, जिसमें [[उलटा तत्व]] विपरीत ओरिएंटेशन के साथ उसी लिंक के अनुरूप है। और प्रत्येक नोड को एक मान दिया गया है <math>\mathbb{C}^3</math> (एक रंग 3-वेक्टर, वह स्थान जिस पर एसयू(3) का [[मौलिक प्रतिनिधित्व]] कार्य करता है), [[बिस्पिनोर]] (डिराक 4-स्पिनर) के रूप में, एक ''n<sub>f</sub>'' वेक्टर, और एक [[ग्रासमैन संख्या]] है।
-इस प्रकार, एक पथ के साथ लिंक के एसयू(3) तत्वों की संरचना (अर्थात उनके आव्यूहों का क्रमबद्ध गुणन) एक पथ-क्रमित घातीय (ज्यामितीय अभिन्न) का अनुमान लगाती है, जिससे बंद पथों के लिए [[विल्सन लूप]] मान की गणना की जा सकती है।
+इस प्रकार, एक पथ के साथ लिंक के एसयू(3) तत्वों की संरचना (अर्थात उनके आव्यूहों का क्रमबद्ध गुणन) एक पथ-क्रमित घातीय (ज्यामितीय अभिन्न) का अनुमान लगाती है, जिससे बंद पथ के लिए [[विल्सन लूप]] मान की गणना की जा सकती है।
 ==यांग-मिल्स कार्रवाई==
-यांग-मिल्स सिद्धांत|यांग-मिल्स क्रिया विल्सन लूप्स (केनेथ जी. विल्सन के नाम पर) का उपयोग करके जाली पर लिखी गई है, ताकि सीमा <math>a \to 0</math> मूल सातत्य क्रिया को औपचारिक रूप से पुन: प्रस्तुत करता है।<ref name="wilson" />  जी के एक विश्वसनीय प्रतिनिधित्व [[अघुलनशील प्रतिनिधित्व]] ρ को देखते हुए, जाली यांग-मिल्स कार्रवाई, जिसे विल्सन कार्रवाई के रूप में जाना जाता है, एन लिंक ई पर [[ट्रेस (मैट्रिक्स)]] के (वास्तविक घटक) के सभी जाली साइटों का योग है<sub>1</sub>, ..., यह है<sub>n</sub> विल्सन पाश में,
+यांग-मिल्स सिद्धांत यांग-मिल्स क्रिया विल्सन लूप्स (केनेथ जी. विल्सन के नाम पर) का उपयोग करके जालक पर लिखी गई है, ताकि सीमा <math>a \to 0</math> मूल सातत्य क्रिया को औपचारिक रूप से पुन: प्रस्तुत करता है।<ref name="wilson" />  ''G'' के एक विश्वसनीय प्रतिनिधित्व [[अघुलनशील प्रतिनिधित्व]] ρ को देखते हुए, जालक यांग-मिल्स कार्रवाई, जिसे विल्सन कार्रवाई के रूप में जाना जाता है, ''n'' लिंक ''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>n</sub> पर [[ट्रेस (मैट्रिक्स)|ट्रेस (आव्यूह)]] के (वास्तविक घटक) के सभी जालक साइट का योग हैl यह है विल्सन पाश में,
 :<math>S=\sum_F -\Re\{\chi^{(\rho)}(U(e_1)\cdots U(e_n))\}.</math>
 यहाँ, χ वर्ण (गणित) है। यदि ρ एक [[वास्तविक प्रतिनिधित्व]] (या छद्म वास्तविक प्रतिनिधित्व) प्रतिनिधित्व है, तो वास्तविक घटक लेना अनावश्यक है, क्योंकि भले ही विल्सन लूप का अभिविन्यास फ़्लिप हो, कार्रवाई में इसका योगदान अपरिवर्तित रहता है।
-कई संभावित विल्सन क्रियाएं हैं, यह इस पर निर्भर करता है कि कार्रवाई में विल्सन लूप का उपयोग किया जाता है। सबसे सरल विल्सन क्रिया केवल 1×1 विल्सन लूप का उपयोग करती है, और छोटी जाली रिक्ति के आनुपातिक जाली कलाकृतियों द्वारा सातत्य क्रिया से भिन्न होती है <math>a</math>. बेहतर क्रियाओं के निर्माण के लिए अधिक जटिल विल्सन लूप का उपयोग करके, जाली कलाकृतियों को आनुपातिक रूप से कम किया जा सकता है <math>a^2</math>, गणना को अधिक सटीक बनाना।
+कई संभावित विल्सन क्रियाएं हैं, यह इस पर निर्भर करता है कि कार्रवाई में विल्सन लूप का उपयोग किया जाता है। सबसे सरल विल्सन क्रिया केवल 1×1 विल्सन लूप का उपयोग करती है, और छोटी जालक रिक्ति के आनुपातिक जालक कलाकृतियों द्वारा सातत्य क्रिया से भिन्न होती है <math>a</math>l बेहतर क्रियाओं के निर्माण के लिए अधिक जटिल विल्सन लूप का उपयोग करके, जालक कलाकृतियों को आनुपातिक रूप से कम किया जा सकता है <math>a^2</math>, गणना को अधिक सटीक बनाना।
 ==माप और गणना==
-[[File:Fluxtube_meson.png|thumb|150px|लैटिस क्यूसीडी गणना का यह परिणाम एक [[मेसन]] को दर्शाता है, जो एक क्वार्क और एक एंटीक्वार्क से बना है। (एम. कार्डोसो एट अल के बाद।<ref>{{cite journal | last1=Cardoso | first1=M. | last2=Cardoso | first2=N. | last3=Bicudo | first3=P. | title=स्थैतिक हाइब्रिड क्वार्क-ग्लूऑन-एंटीक्वार्क प्रणाली के लिए रंग क्षेत्रों की जाली क्यूसीडी गणना, और कासिमिर स्केलिंग का सूक्ष्म अध्ययन| journal=Physical Review D | volume=81 | issue=3 | date=2010-02-03 | issn=1550-7998 | doi=10.1103/physrevd.81.034504 | page=034504|arxiv=0912.3181| bibcode=2010PhRvD..81c4504C | s2cid=119216789 }}</ref>)]]कण द्रव्यमान जैसी मात्राओं की गणना मोंटे कार्लो विधि जैसी तकनीकों का उपयोग करके स्टोकेस्टिक रूप से की जाती है। गेज फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन संभाव्यता के आनुपातिक के साथ उत्पन्न होते हैं <math>e^{-\beta S}</math>, कहाँ <math>S</math> जाली कार्रवाई है और <math>\beta</math> जाली रिक्ति से संबंधित है <math>a</math>. प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन के लिए ब्याज की मात्रा की गणना की जाती है, और औसत किया जाता है। गणनाएं अक्सर विभिन्न जाली रिक्तियों पर दोहराई जाती हैं <math>a</math> ताकि परिणाम सातत्य का [[एक्सट्रपलेशन]] हो सके, <math>a \to 0</math>.
+[[File:Fluxtube_meson.png|thumb|150px|लैटिस क्यूसीडी गणना का यह परिणाम एक [[मेसन]] को दर्शाता है, जो एक क्वार्क और एक एंटीक्वार्क से बना है। (एम. कार्डोसो एट अल के बाद।<ref>{{cite journal | last1=Cardoso | first1=M. | last2=Cardoso | first2=N. | last3=Bicudo | first3=P. | title=स्थैतिक हाइब्रिड क्वार्क-ग्लूऑन-एंटीक्वार्क प्रणाली के लिए रंग क्षेत्रों की जाली क्यूसीडी गणना, और कासिमिर स्केलिंग का सूक्ष्म अध्ययन| journal=Physical Review D | volume=81 | issue=3 | date=2010-02-03 | issn=1550-7998 | doi=10.1103/physrevd.81.034504 | page=034504|arxiv=0912.3181| bibcode=2010PhRvD..81c4504C | s2cid=119216789 }}</ref>)]]कण द्रव्यमान जैसी मात्राओं की गणना मोंटे कार्लो विधि जैसी तकनीकों का उपयोग करके स्टोकेस्टिक रूप से की जाती है। गेज फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन संभाव्यता के आनुपातिक के साथ उत्पन्न होते हैं <math>e^{-\beta S}</math>, जहाँ <math>S</math> जालक कार्रवाई है और <math>\beta</math> जालक रिक्ति से संबंधित है <math>a</math>. प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन के लिए ब्याज की मात्रा की गणना की जाती है, और औसत किया जाता है। गणनाएं  प्रायः विभिन्न जालक रिक्तियों पर दोहराई जाती हैं <math>a</math> ताकि परिणाम सातत्य का [[एक्सट्रपलेशन]] हो सके, <math>a \to 0</math>.
-ऐसी गणनाएँ अक्सर कम्प्यूटेशनल रूप से अत्यधिक गहन होती हैं, और सबसे बड़े उपलब्ध [[सुपर कंप्यूटर]] के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। कम्प्यूटेशनल बोझ को कम करने के लिए, तथाकथित बुझती सन्निकटन का उपयोग किया जा सकता है, जिसमें फर्मिओनिक क्षेत्रों को गैर-गतिशील जमे हुए चर के रूप में माना जाता है। हालाँकि प्रारंभिक जाली QCD गणनाओं में यह सामान्य था, गतिशील फ़र्मियन अब मानक हैं।<ref>{{cite journal | author=A. Bazavov| title=Nonperturbative QCD simulations with 2+1 flavors of improved staggered quarks | journal=Reviews of Modern Physics | volume=82 | issue=2 | year=2010 | pages=1349–1417 | doi=10.1103/RevModPhys.82.1349 | arxiv=0903.3598 | bibcode=2010RvMP...82.1349B| s2cid=119259340 |display-authors=etal}}</ref> ये सिमुलेशन आम तौर पर [[आणविक गतिशीलता]] या [[माइक्रोकैनोनिकल पहनावा]] एल्गोरिदम पर आधारित एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।<ref>{{cite journal | author=[[David Callaway|David J. E. Callaway]] and [[Aneesur Rahman]] | title=लैटिस गेज सिद्धांत का माइक्रोकैनोनिकल एन्सेम्बल फॉर्मूलेशन| journal=Physical Review Letters | volume=49 | year=1982 | issue=9 |pages=613–616 | doi=10.1103/PhysRevLett.49.613 | bibcode=1982PhRvL..49..613C}}</ref><ref>{{cite journal | author=[[David Callaway|David J. E. Callaway]] and [[Aneesur Rahman]] | title=माइक्रोकैनोनिकल पहनावा में जाली गेज सिद्धांत| journal=Physical Review | volume=D28 |year=1983 | issue=6 | pages=1506–1514 | doi=10.1103/PhysRevD.28.1506|bibcode = 1983PhRvD..28.1506C | url=https://cds.cern.ch/record/144746/files/PhysRevD.28.1506.pdf }}</ref>
+ऐसी गणनाएँ  प्रायः कम्प्यूटेशनल रूप से अत्यधिक गहन होती हैं, और सबसे बड़े उपलब्ध [[सुपर कंप्यूटर]] के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। कम्प्यूटेशनल बर्डन (अभिकलनात्मक भार)  को कम करने के लिए, तथाकथित बुझती सन्निकटन का उपयोग किया जा सकता है, जिसमें फर्मिओनिक क्षेत्रों को गैर-गतिशील <nowiki>''</nowiki>जमे हुए<nowiki>''</nowiki> (<nowiki>''</nowiki>फ्रोजेन<nowiki>''</nowiki>) चर के रूप में माना जाता है। हालाँकि प्रारंभिक जालक क्यूसीडी गणनाओं में यह सामान्य था, <nowiki>''</nowiki>गतिशील<nowiki>''</nowiki> फ़र्मियन अब मानक हैं।<ref>{{cite journal | author=A. Bazavov| title=Nonperturbative QCD simulations with 2+1 flavors of improved staggered quarks | journal=Reviews of Modern Physics | volume=82 | issue=2 | year=2010 | pages=1349–1417 | doi=10.1103/RevModPhys.82.1349 | arxiv=0903.3598 | bibcode=2010RvMP...82.1349B| s2cid=119259340 |display-authors=etal}}</ref> ये सिमुलेशन सामान्यतः [[आणविक गतिशीलता]] या [[माइक्रोकैनोनिकल पहनावा]] एल्गोरिदम पर आधारित एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।<ref>{{cite journal | author=[[David Callaway|David J. E. Callaway]] and [[Aneesur Rahman]] | title=लैटिस गेज सिद्धांत का माइक्रोकैनोनिकल एन्सेम्बल फॉर्मूलेशन| journal=Physical Review Letters | volume=49 | year=1982 | issue=9 |pages=613–616 | doi=10.1103/PhysRevLett.49.613 | bibcode=1982PhRvL..49..613C}}</ref><ref>{{cite journal | author=[[David Callaway|David J. E. Callaway]] and [[Aneesur Rahman]] | title=माइक्रोकैनोनिकल पहनावा में जाली गेज सिद्धांत| journal=Physical Review | volume=D28 |year=1983 | issue=6 | pages=1506–1514 | doi=10.1103/PhysRevD.28.1506|bibcode = 1983PhRvD..28.1506C | url=https://cds.cern.ch/record/144746/files/PhysRevD.28.1506.pdf }}</ref>
-जाली QCD संगणना के परिणाम दिखाते हैं जैसे कि मेसॉन में न केवल कण (क्वार्क और एंटीक्वार्क), बल्कि ग्लूऑन फ़ील्ड के [[फ्लक्स ट्यूब]] भी महत्वपूर्ण हैं।{{citation needed|date=May 2016}}
-==[[क्वांटम तुच्छता]]==
+जालक क्यूसीडी संगणना के परिणाम दिखाते हैं जैसे कि मेसॉन में न केवल कण (क्वार्क और एंटीक्वार्क), बल्कि ग्लूऑन फ़ील्ड के <nowiki>''</nowiki>[[फ्लक्स ट्यूब]]<nowiki>''</nowiki> भी महत्वपूर्ण हैं।
-वास्तविक-अंतरिक्ष [[पुनर्सामान्यीकरण समूह]] द्वारा क्वांटम तुच्छता के अध्ययन के लिए जाली गेज सिद्धांत भी महत्वपूर्ण है।<ref>{{cite journal | last=Wilson | first=Kenneth G. |author-link=Kenneth G. Wilson| title=The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo problem | journal=Reviews of Modern Physics | publisher=American Physical Society (APS) | volume=47 | issue=4 | date=1975-10-01 | issn=0034-6861 | doi=10.1103/revmodphys.47.773 | pages=773–840| bibcode=1975RvMP...47..773W }}</ref> आरजी प्रवाह में सबसे महत्वपूर्ण जानकारी वह है जिसे निश्चित बिंदु कहा जाता है।
-बड़े पैमाने पर सिस्टम की संभावित स्थूल अवस्थाएँ, निश्चित बिंदुओं के इस सेट द्वारा दी जाती हैं। यदि ये निश्चित बिंदु एक मुक्त क्षेत्र सिद्धांत के अनुरूप हैं, तो सिद्धांत को तुच्छ या गैर-अंतःक्रियात्मक कहा जाता है। लैटिस हिग्स सिद्धांतों के अध्ययन में कई निश्चित बिंदु सामने आते हैं, लेकिन इनसे जुड़े क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों की प्रकृति एक खुला प्रश्न बनी हुई है।<ref>{{cite journal
+==[[क्वांटम तुच्छता|क्वांटम क्षुद्रता]]==
+वास्तविक-स्पेस [[पुनर्सामान्यीकरण समूह]] द्वारा क्वांटम क्षुद्रता के अध्ययन के लिए जालक गेज सिद्धांत भी महत्वपूर्ण है।<ref>{{cite journal | last=Wilson | first=Kenneth G. |author-link=Kenneth G. Wilson| title=The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo problem | journal=Reviews of Modern Physics | publisher=American Physical Society (APS) | volume=47 | issue=4 | date=1975-10-01 | issn=0034-6861 | doi=10.1103/revmodphys.47.773 | pages=773–840| bibcode=1975RvMP...47..773W }}</ref> आरजी प्रवाह में सबसे महत्वपूर्ण जानकारी वह है जिसे ''निश्चित बिंदु'' कहा जाता है।
+बड़े पैमाने पर सिस्टम की संभावित स्थूल अवस्थाएँ, निश्चित बिंदुओं के इस सेट द्वारा दी जाती हैं। यदि ये निश्चित बिंदु एक मुक्त क्षेत्र सिद्धांत के अनुरूप हैं, तो सिद्धांत को [[क्वांटम तुच्छता|''क्षुद्रता'']] या गैर-अंतःक्रियात्मक कहा जाता है। लैटिस हिग्स सिद्धांतों के अध्ययन में कई निश्चित बिंदु सामने आते हैं, लेकिन इनसे जुड़े क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों की प्रकृति एक खुला प्रश्न है।<ref>{{cite journal
   | author=[[David J E Callaway|D. J. E. Callaway]]
   | year=1988
@@ Line 38: / Line 37: @@
   | doi=10.1016/0370-1573(88)90008-7
 |bibcode = 1988PhR...167..241C }}</ref>
-तुच्छता को अभी भी कठोरता से सिद्ध किया जाना बाकी है, लेकिन जाली गणना ने इसके लिए मजबूत सबूत प्रदान किए हैं। यह तथ्य महत्वपूर्ण है क्योंकि क्वांटम तुच्छता का उपयोग [[हिग्स बॉसन]] के द्रव्यमान जैसे मापदंडों को सीमित करने या भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जा सकता है।
+क्षुद्रता को अभी भी कठोरता से सिद्ध किया जाना बाकी है, लेकिन जालक गणना ने इसके लिए सशक्त सबूत प्रदान किए हैं। यह तथ्य महत्वपूर्ण है क्योंकि क्वांटम क्षुद्रता का उपयोग [[हिग्स बॉसन]] के द्रव्यमान जैसे मापदंडों को सीमित करने या भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जा सकता है।
 ==अन्य अनुप्रयोग==
-मूल रूप से, हल करने योग्य द्वि-आयामी जाली गेज सिद्धांत पहले से ही 1971 में सिद्धांतकार [[फ्रांज वेगनर]] द्वारा दिलचस्प सांख्यिकीय गुणों वाले मॉडल के रूप में पेश किए गए थे, जिन्होंने चरण संक्रमण के क्षेत्र में काम किया था।<ref>F. Wegner, "Duality in Generalized Ising Models and Phase Transitions without Local Order Parameter", ''J. Math. Phys.'' '''12''' (1971) 2259-2272. Reprinted in [[Claudio Rebbi]] (ed.), ''Lattice Gauge Theories and Monte-Carlo-Simulations'', World Scientific, Singapore (1983), p. 60-73. [http://www.tphys.uni-heidelberg.de/~wegner/Abstracts.html#12 Abstract]</ref>
+मूल रूप से, हल करने योग्य द्वि-आयामी जालक गेज सिद्धांत पहले से ही 1971 में सिद्धांतकार [[फ्रांज वेगनर]] द्वारा दिलचस्प सांख्यिकीय गुणों वाले मॉडल के रूप में पेश किए गए थे, जिन्होंने चरण संक्रमण के क्षेत्र में काम किया था।<ref>F. Wegner, "Duality in Generalized Ising Models and Phase Transitions without Local Order Parameter", ''J. Math. Phys.'' '''12''' (1971) 2259-2272. Reprinted in [[Claudio Rebbi]] (ed.), ''Lattice Gauge Theories and Monte-Carlo-Simulations'', World Scientific, Singapore (1983), p. 60-73. [http://www.tphys.uni-heidelberg.de/~wegner/Abstracts.html#12 Abstract]</ref>
-जब केवल 1×1 विल्सन लूप क्रिया में दिखाई देते हैं, तो जाली गेज सिद्धांत को [[स्पिन फोम]] मॉडल के बिल्कुल दोहरे रूप में दिखाया जा सकता है।<ref>{{cite journal |author1=R. Oeckl |author2=H. Pfeiffer |year=2001 |title=स्पिन फोम मॉडल के रूप में शुद्ध गैर-एबेलियन जाली गेज सिद्धांत का दोहराव|arxiv=hep-th/0008095 |doi=10.1016/S0550-3213(00)00770-7 |volume=598 |issue=1–2 |journal=Nuclear Physics B |pages=400–426|bibcode=2001NuPhB.598..400O |s2cid=3606117 }}</ref>
+जब केवल 1×1 विल्सन लूप क्रिया में दिखाई देते हैं, तो जालक गेज सिद्धांत को [[स्पिन फोम]] मॉडल के बिल्कुल दोहरे रूप में दिखाया जा सकता है।<ref>{{cite journal |author1=R. Oeckl |author2=H. Pfeiffer |year=2001 |title=स्पिन फोम मॉडल के रूप में शुद्ध गैर-एबेलियन जाली गेज सिद्धांत का दोहराव|arxiv=hep-th/0008095 |doi=10.1016/S0550-3213(00)00770-7 |volume=598 |issue=1–2 |journal=Nuclear Physics B |pages=400–426|bibcode=2001NuPhB.598..400O |s2cid=3606117 }}</ref>
 ==यह भी देखें==
-*[[हैमिल्टनियन जाली गेज सिद्धांत]]
+*[[हैमिल्टनियन जाली गेज सिद्धांत|हैमिल्टनियन जालक गेज सिद्धांत]]
-*जालक क्षेत्र सिद्धांत
+*[[जालक क्षेत्र सिद्धांत]]
-*जाली QCD
+*[[जालक क्यूसीडी]]
-*क्वांटम तुच्छता
+*[[क्वांटम क्षुद्रता]]
-*विल्सन एक्शन
+*[[विल्सन एक्शन]]
 ==संदर्भ==
@@ Line 78: / Line 77: @@
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 [[Category:Created On 18/11/2023]]
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माप और गणना

क्वांटम क्षुद्रता

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