प्रसंभाव्य (स्टोकेस्टिक) अवकल समीकरण: Difference between revisions

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प्रसंभाव्य (स्टोकेस्टिक) अवकल समीकरण (एसडीई) एक प्रकार का अवकल समीकरण है जिसमें एक या अधिक शब्द एक प्रसंभाव्य प्रक्रम होते है, जिसके परिणामस्वरूप एक हल प्राप्त होता है जो एक प्रसंभाव्य प्रक्रम भी होता है। एसडीई का उपयोग विभिन्न घटनाओं जैसे कि स्टॉक की मूल्य या ऊष्मीय उच्चावच के अधीन भौतिक प्रणालियों को मॉडल करने के लिए किया जाता है। सामान्यतः एसडीई में एक चर होता है जो यादृच्छिक वाइट नॉइज़ का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी गणना ब्राउनियन गति या वीनर प्रक्रम के व्युत्पन्न के रूप में की जाती है। हालाँकि, अन्य प्रकार के यादृच्छिक व्यवहार संभव हैं, जैसे कि जम्प प्रक्रियाएँ। यादृच्छिक अवकल समीकरण प्रसंभाव्य अवकल समीकरण के साथ संयुग्मित होते हैं।^[1]

पृष्ठभूमि

प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों की उत्पत्ति ब्राउनियन गति के सिद्धांत में हुई, जो अल्बर्ट आइंस्टीन और स्मोलुचोव्स्की के फलन में है। ये प्रारंभिक उदाहरण रेखीय प्रसंभाव्य अवकल समीकरण थे, जिन्हें फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी लैंगविन के बाद 'लैंगविन' समीकरण भी कहा जाता है, जो एक यादृच्छिक बल के अधीन एक सरल आवर्ती दोलक की गति का वर्णन करता है। प्रसंभाव्य अवकल समीकरण का गणितीय सिद्धांत 1940 के दशक में जापानी गणितज्ञ कियोसी इटो के अभूतपूर्व फलन के माध्यम से विकसित किया गया था, जिन्होंने प्रसंभाव्य समाकल की अवधारणा प्रस्तुत की और अरैखिक प्रसंभाव्य अवकल समीकरण का अध्ययन प्रारम्भ किया। एक अन्य दृष्टिकोण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो सामान्य कलन के समान एक कलन की ओर की ओर अग्रसर है।

शब्दावली

साहित्य में एसडीई का सबसे साधारण रूप एक साधारण अवकल समीकरण है, जो एक वाइट नॉइज़ चर पर निर्भर एक शब्द से दाहिने हाथ की तरफ से परेशान है। ज्यादातर मामलों में, एसडीई को संबंधित प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। एसडीई की यह समझ अस्पष्ट है और संबंधित समाकल की एक उचित गणितीय परिभाषा द्वारा पूरक होना चाहिए। इस तरह की गणितीय परिभाषा पहली बार 1940 के दशक में कियोसी इटो द्वारा प्रस्तावित की गई थी, जो आज इटो कलन के रूप में जानी जाती है। एक और निर्माण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो कि स्ट्रैटोनोविच समाकल के रूप में जाना जाता है। इटो समाकल और स्ट्रैटोनोविच समाकल संबंधित हैं, लेकिन अलग-अलग, ऑब्जेक्ट्स और उनके बीच की पसंद विचार किए गए एप्लिकेशन पर निर्भर करती है। इटो कैलकुस गैर-प्रत्याशात्मकता या कारणता की अवधारणा पर आधारित है, जो उन अनुप्रयोगों में स्वाभाविक है जहाँ चर समय है। दूसरी ओर, स्ट्रैटोनोविच कलन में ऐसे नियम हैं जो साधारण कलन से मिलते जुलते हैं और इसमें आंतरिक ज्यामितीय गुण हैं जो ज्यामितीय समस्याओं जैसे मैनिफोल्ड पर यादृच्छिक गति से फलन करने के दौरान इसे और अधिक स्वाभाविक बनाते हैं।

एसडीई पर एक वैकल्पिक दृष्टिकोण डिफियोमोर्फिज्म का प्रसंभाव्य प्रवाह है। यह समझ असंदिग्ध है और प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों की निरंतर समय सीमा के स्ट्रैटोनोविच संस्करण के समान प्रतीत होती है। एसडीई के साथ संबद्ध स्मोलुचोव्स्की समीकरण या फोककर-प्लांक समीकरण है, एक समीकरण जो प्रायिकता वितरण फलनों के समय विकास का वर्णन करता है। भिन्न रूपों के अस्थायी विकास के लिए फोकर-प्लैंक विकास का सामान्यीकरण प्रसंभाव्य एवोल्यूशन संकारक की अवधारणा द्वारा प्रदान किया गया है।

भौतिक विज्ञान में, "लैंगविन एसडीई" शब्द के प्रयोग में एक अस्पष्टता है। जबकि लैंगविन एसडीई एक अधिक सामान्य रूप का हो सकता है, यह शब्द सामान्यतः एसडीई के एक संकीर्ण वर्ग को ढाल प्रवाह वेक्टर फ़ील्ड्स के साथ संदर्भित करता है। एसडीई का यह वर्ग विशेष रूप से लोकप्रिय है क्योंकि यह पेरिस-सोरलास स्टोकास्टिक क्वांटिज़ेशन प्रक्रिया का प्रारंभिक बिंदु है,^[2] अति-सममित (सुपरसिमेट्री) क्वांटम यांत्रिकी से बारीकी से संबंधित N=2 अति-सममित मॉडल की ओर अग्रसर है। भौतिक दृष्टिकोण से, हालांकि, एसडीई का यह वर्ग बहुत प्रभावशाली नहीं है क्योंकि यह कभी भी टोपोलॉजिकल अति-सममित के स्वतः विश्लेषण का प्रदर्शन नहीं करता है, अर्थात (अतिअवमंदित (ओवरडम्प्ड) लैंग्विन एसडीई कभी भी संकुल नहीं होते हैं।

प्रसंभाव्य कलन

ब्राउनियन गति या वीनर प्रक्रिया को असाधारण रूप से जटिल गणितीय रूप से खोजा गया था। वीनर प्रक्रिया लगभग निश्चित रूप से कहीं भी अलग नहीं है; इस प्रकार, इसे कलन के अपने स्वयं के नियमों की आवश्यकता होती है। प्रसंभाव्य कलन, इटो प्रसंभाव्य कलन और स्ट्रैटोनोविच प्रसंभाव्य कलन के दो प्रभावी संस्करण हैं। दोनों में से प्रत्येक की लाभ और हानियां होती हैं, और नवागंतुक प्रायः भ्रमित होते हैं कि क्या दी गई स्थिति में एक दूसरे की तुलना में अधिक उपयुक्त है। गाईडलाइन्स (उदाहरण के लिए ऑक्सेंडल (Øksendal), 2003) विद्यमान हैं और साधारण रूप से, एक आईटीओ एसडीई को समकक्ष स्ट्रैटोनोविच एसडीई में परिवर्तित कर सकते हैं और पुनः इसका विपरीत किया जा सकता है। तथापि, जब एसडीई प्रारम्भ में लिखा जाता है तो किस कलन का उपयोग करना चाहिए, इसका विशेष ध्यान रखना चाहिए।

संख्यात्मक हल

प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों में सम्मिलित हैं यूलर-मारुयामा विधि, मिल्स्टीन विधि और रनगे-कुट्टा विधि (एसडीई)।

भौतिकी में प्रयोग करें

भौतिक विज्ञान में, एसडीई में आणविक गतिकी से लेकर तंत्रिकीय गतिकी (न्यूरोडायनामिक्स) और खगोलभौतिकीय वस्तुओं की गतिशीलता तक व्यापक प्रयोज्यता है। अधिक विशेष रूप से, एसडीई सभी गतिशील प्रणालियों का वर्णन करते हैं, जिसमें क्वांटम प्रभाव या तो महत्वहीन हैं या प्रक्षोभ के रूप में ध्यान में रखा जा सकता है। एसडीई को नॉइज़ के साथ मॉडल के लिए गतिशील प्रणाली सिद्धांत के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। यह एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण है क्योंकि वास्तविक प्रणालियों को उनके वातावरण से पूरी तरह से अलग नहीं किया जा सकता है और इस कारण से हमेशा बाहरी प्रसंभाव्य प्रभाव का अनुभव होता है।

नए अज्ञात को प्रस्तुत करके उच्च-क्रम के समीकरणों को कई युग्मित प्रथम-क्रम समीकरणों में परिवर्तन की मानक तकनीकें हैं। इसलिए, निम्नलिखित एसडीई का सबसे सामान्य वर्ग है:

{\frac {dx(t)}{dt}}=F(x(t))+\sum _{\alpha =1}^{n}g_{\alpha }(x(t))\xi ^{\alpha }(t),\,

जहाँ $x\in X$ अपने अवस्था (या चरण) समष्टि में सिस्टम में स्थिति है, $X$ , एक अवकलनीय मैनीफोल्ड माना जाता है, $F\in TX$ एक प्रवाह सदिश फ़ील्ड है जो एवोल्यूशन के नियतात्मक नियम का प्रतिनिधित्व करता है, और $g_{\alpha }\in TX$ सदिश फ़ील्ड्स का एक समूह है जो गॉसियन वाइट नॉइज़, $\xi ^{\alpha }$ के लिए प्रणाली के युग्मन को परिभाषित करता है। यदि $X$ एक रेखीय स्थान है और $g$ स्थिरांक हैं, तो सिस्टम को योज्य नॉइज़ के अधीन कहा जाता है, अन्यथा इसे गुणात्मक नॉइज़ के अधीन कहा जाता है। यह शब्द कुछ हद तक भ्रामक है क्योंकि इसका मतलब सामान्य स्थिति से है, हालांकि ऐसा लगता है कि यह सीमित स्थिति है जिसमें $g(x)\propto x$ है।

नॉइज़ के एक निश्चित विन्यास के लिए, एसडीई के पास प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष अवकलनीय विशिष्ट हल है।^[3] प्रसंभाव्य स्थिति की गैर-नगण्यता तब दिखाई देती है जब कोई नॉइज़ विन्यास पर रुचि की विभिन्न वस्तुओं को औसत करने का प्रयास करता है। इस अर्थ में, एक एसडीई विशिष्ट रूप से परिभाषित इकाई नहीं है जब नॉइज़ गुणक होता है और जब एसडीई को प्रसंभाव्य अवकल समीकरण की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। इस स्थिति में, एसडीई को "एसडीई की व्याख्या" के रूप में जाना जाता है, जैसे कि आईटीओ या एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्याओं द्वारा पूरक होना चाहिए। फिर भी, जब एसडीई को डिफियोमॉर्फिज़्म के निरंतर-समय के प्रसंभाव्य प्रवाह के रूप में देखा जाता है, तो यह एक विशिष्ट रूप से परिभाषित गणितीय वस्तु है जो स्ट्रैटोनोविच के दृष्टिकोण से एक प्रसंभाव्य अवकल समीकरण की निरंतर समय सीमा से मेल खाती है।

भौतिकी में, हल का मुख्य तरीका समतुल्य फोकर-प्लैंक समीकरण (एफपीई) का उपयोग करते हुए समय के एक समारोह के रूप में प्रायिकता वितरण फलन को खोजना है। फोकर-प्लैंक समीकरण एक नियतात्मक आंशिक अवकल समीकरण है। यह बताता है कि प्रायिकता वितरण फलन समय के साथ कैसे विकसित होता है उसी तरह जैसे श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम तरंग फलन का समय विकास देता है या विसरण समीकरण रासायनिक एकाग्रता का समय विकास देता है। वैकल्पिक रूप से, मोंटे कार्लो अनुकरण द्वारा संख्यात्मक हल प्राप्त किया जा सकता है। अन्य तकनीकों में पथ समाकलन सम्मिलित है जो सांख्यिकीय भौतिकी और क्वांटम यांत्रिकी (उदाहरण के लिए, फोकर-प्लैंक समीकरण को कुछ वेरिएबल्स को रीस्केल करके श्रोडिंगर समीकरण में बदला जा सकता है) या प्रायिकता वितरण समारोह के सांख्यिकीय क्षणों के लिए सामान्य अवकल समीकरणों को लिखकर सादृश्यता पर आधारित है।

प्रायिकता और गणितीय वित्त में प्रयोग करें

प्रायिकता सिद्धांत (और प्रायिकता सिद्धांत के कई अनुप्रयोगों में, उदाहरण के लिए गणितीय वित्त) में प्रयुक्त संकेतन नगण्यतापूर्वक अलग है। यह स्टोकास्टिक अवकल समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों पर प्रकाशनों में प्रयुक्त संकेतन भी है। यह अंकन भौतिकी सूत्रीकरण में समय $\eta _{m}$ के यादृच्छिक फलन की विजातीय प्रकृति को और अधिक स्पष्ट करता है। यथार्थ गणितीय पदों में, $\eta _{m}$ सामान्य फलन के रूप में चयनित नहीं किया जा सकता है, बल्कि केवल सामान्यीकृत फलन के रूप में चयनित किया जा सकता है। गणितीय सूत्रीकरण इस समस्या को भौतिकी सूत्रीकरण की तुलना में कम अस्पष्टता के साथ संसाधित करता है।

एक विशिष्ट समीकरण रूप का है

\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},

जहाँ $B$ एक वीनर प्रक्रिया (मानक ब्राउनियन गति) को दर्शाता है।

इस समीकरण की व्याख्या संबंधित समाकल समीकरण को व्यक्त करने के अनौपचारिक विधि के रूप में की जानी चाहिए

X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}.

उपरोक्त समीकरण निरंतर समय प्रसंभाव्य प्रक्रम X_t के व्यवहार को एक साधारण लेबेस्ग समाकल और एक इटो समाकल के योग के रूप में दर्शाता है। प्रसंभाव्य अवकल समीकरण की अन्वेषणात्मक (लेकिन बहुत उपयोगी) व्याख्या यह है कि लंबाई के एक छोटे से समय अंतराल में प्रसंभाव्य प्रक्रम X_t एक राशि से अपना मान बदलती है जो सामान्य रूप से अपेक्षा μ(X_t, t) δ और विचरण σ(X_t, t)² δ और प्रक्रिया के पूर्व क्रियाविधि से स्वतंत्र है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक वीनर प्रक्रिया की वृद्धि स्वतंत्र होती है और सामान्य रूप से वितरित होती है। फलन μ को प्रक्षेप (ड्रिफ्ट) गुणांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, जबकि σ को विसरण गुणांक कहा जाता है। प्रसंभाव्य प्रक्रम X_t को विसरण प्रक्रिया कहा जाता है, और यह मार्कोव गुणधर्म को संतुष्ट करती है।

एसडीई के हल के गठन के संदर्भ में एक एसडीई की औपचारिक व्याख्या दी गई है। एसडीई के हल की दो मुख्य परिभाषाएँ हैं, एक मजबूत हल और एक कमजोर हल। दोनों को एक ऐसी प्रक्रम X_t के अस्तित्व की आवश्यकता है जो एसडीई के समाकल समीकरण संस्करण को हल करती है। दोनों के बीच का अंतर अंतर्निहित प्रायिकता समष्टि ( $\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P$ ) में है। एक दुर्बल हल में एक प्रायिकता समष्टि और एक प्रक्रिया होती है जो समाकल समीकरण को संतुष्ट करती है, जबकि एक प्रबल हल एक ऐसी प्रक्रिया है जो समीकरण को संतुष्ट करती है और किसी दिए गए प्रायिकता समष्टि पर परिभाषित होती है।

एक महत्वपूर्ण उदाहरण ज्यामितीय ब्राउनियन गति के लिए समीकरण है

\mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}.

जो ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में स्टॉक के मूल्य की गतिशीलता के लिए समीकरण है | ब्लैक-स्कोल्स विकल्प वित्तीय गणित के मूल्य निर्धारण मॉडल।

अधिक सामान्य प्रसंभाव्य अवकल समीकरण भी हैं जहाँ गुणांक μ और σ न केवल प्रक्रिया X_t के वर्तमान मूल्य पर निर्भर करते हैं, बल्कि प्रक्रिया के पिछले मूल्यों पर भी और संभवत: अन्य प्रक्रियाओं के वर्तमान या पिछले मूल्यों पर भी निर्भर करते हैं। उस स्थिति में हल प्रक्रिया, X, मार्कोव प्रक्रिया नहीं है, और इसे इटो प्रक्रिया कहा जाता है, न कि विसरण प्रक्रिया। जब गुणांक केवल X के वर्तमान और पिछले मूल्यों पर निर्भर करता है, तो परिभाषित समीकरण को प्रसंभाव्य डिले अवकल समीकरण कहा जाता है।

हल का अस्तित्व और विशिष्टता

नियतात्मक सामान्य और आंशिक अवकल समीकरणों के साथ, यह जानना महत्वपूर्ण है कि क्या किसी दिए गए एसडीई का हल है, और यह विशिष्ट है या नहीं। आईटीओ एसडीई के लिए n-विमीय यूक्लिडियन समष्टि Rⁿ में मूल्य प्राप्त करने और m-विमीय ब्राउनियन गति B द्वारा संचालित एक विशिष्ट अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय निम्नलिखित है; प्रमाण ऑक्सेंडल (Øksendal) (2003, §5.2) में प्राप्त किया जा सकता है।

मान लीजिए T > 0, और मान लीजिए

\mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};

\sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};

मापने योग्य फलन हो जिसके लिए स्थिरांक C और D विद्यमान हैं

{\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};

{\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;

सभी t ∈ [0, T] और सभी x और y ∈ Rⁿ के लिए, जहाँ

|\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.

मान लीजिए Z एक यादृच्छिक चर है जो B द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित से स्वतंत्र है, B_s, s ≥ 0, और परिमित दूसरे क्षण के साथ:

\mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .

फिर प्रसंभाव्य अवकल समीकरण/समीकरण/प्रारंभिक मूल्य समस्या

\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}{\mbox{ for }}t\in [0,T];

X_{0}=Z;

में एक P-लगभग निश्चित रूप से विशिष्ट t-निरंतर समाधान (t, ω) ↦ X_t(ω) है जैसे कि X को Z और B_s, s ≤ t, और द्वारा उत्पन्न निस्पंदन F_t^Z के अनुकूल बनाया गया है।

\mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .

कुछ स्पष्ट रूप से हल करने योग्य एसडीई^[4]

रैखिक एसडीई: सामान्य स्थिति

dX_{t}=(a(t)X_{t}+c(t))dt+(b(t)X_{t}+d(t))dW_{t}

X_{t}=\Phi _{t,t_{0}}\left(X_{t_{0}}+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}(c(s)-b(s)d(s))ds+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}d(s)dW_{s}\right)

जहाँ

\Phi _{t,t_{0}}=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\left(a(s)-{\frac {b^{2}(s)}{2}}\right)ds+\int _{t_{0}}^{t}b(s)dW_{s}\right)

परिवर्ती (रिड्यूसिबल) एसडीई: स्थिति 1

dX_{t}={\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})dt+f(X_{t})dW_{t}

किसी दिए गए अवकलनीय फलन के लिए $f$ स्ट्रैटोनोविच एसडीई के बराबर है

dX_{t}=f(X_{t})\circ W_{t}

जिसका एक सामान्य हल है

X_{t}=h^{-1}(W_{t}+h(X_{0}))

जहाँ

h(x)=\int ^{x}{\frac {ds}{f(s)}}

परिवर्ती (रिड्यूसिबल) एसडीई: स्थिति 2

dX_{t}=\left(\alpha f(X_{t})+{\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\right)dt+f(X_{t})dW_{t}

किसी दिए गए अवकलनीय फलन के लिए $f$ स्ट्रैटोनोविच एसडीई के बराबर है

dX_{t}=\alpha f(X_{t})dt+f(X_{t})\circ W_{t}

जो कम करने योग्य है

dY_{t}=\alpha dt+dW_{t}

जहाँ $Y_{t}=h(X_{t})$ जहाँ $h$ पहले के रूप में परिभाषित किया गया है।

इसका सामान्य हल है

X_{t}=h^{-1}(\alpha t+W_{t}+h(X_{0}))

एसडीई और अति सममिती

एसडीई के अति-सममित सिद्धांत में, प्रसंभाव्य गतिशीलता को मॉडल के चरण स्थान पर विभेदक रूपों पर अभिनय करने वाले प्रसंभाव्य विकास ऑपरेटर के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। प्रसंभाव्य गतिकी के इस सटीक सूत्रीकरण में, सभी एसडीई में टोपोलॉजिकल अति-सममित होती है जो निरंतर समय प्रवाह द्वारा फेज स्पेस की निरंतरता के संरक्षण का प्रतिनिधित्व करती है। इस अति-सममित का सहज टूटना अराजकता, अशांति, स्व-संगठित आलोचनात्मकता आदि के रूप में अनुशासनों में जानी जाने वाली सर्वव्यापी गतिशील घटना का गणितीय सार है और गोल्डस्टोन प्रमेय संबंधित लंबी दूरी के गतिशील व्यवहार की व्याख्या करता है, अर्थात, तितली प्रभाव, 1/f और कर्कश नॉइज़, और भूकंप, तंत्रिका हिमस्खलन, सौर फ्लेयर्स आदि के पैमाने-मुक्त आँकड़े है।

यह भी देखें

लैंग्विन गतिकी
स्थानीय अस्थिरता
अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया
प्रसंभाव्य अस्थिरता
प्रसंभाव्य आंशिक अवकल समीकरण
विसरण प्रक्रिया
प्रसंभाव्य अवकल समीकरण

संदर्भ

↑ Imkeller, Peter; Schmalfuss, Björn (2001). "स्टोचैस्टिक और रैंडम डिफरेंशियल इक्वेशन की कंज्यूगेसी और ग्लोबल अट्रैक्टर्स का अस्तित्व". Journal of Dynamics and Differential Equations. 13 (2): 215–249. doi:10.1023/a:1016673307045. ISSN 1040-7294. S2CID 3120200.
↑ Parisi, G.; Sourlas, N. (1979). "यादृच्छिक चुंबकीय क्षेत्र, सुपरसिमेट्री और नकारात्मक आयाम". Physical Review Letters. 43 (11): 744–745. Bibcode:1979PhRvL..43..744P. doi:10.1103/PhysRevLett.43.744.
↑ Slavík, A. (2013). "सामान्यीकृत अंतर समीकरण: प्रारंभिक स्थितियों और मापदंडों के संबंध में समाधान की भिन्नता". Journal of Mathematical Analysis and Applications (in English). 402 (1): 261–274. doi:10.1016/j.jmaa.2013.01.027.
↑ Kloeden 1995, pag.118

अग्रसर पाठ्यक्रम

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Adomian, George (1986). Nonlinear stochastic operator equations. Orlando, FL: Academic Press Inc.
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Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1.
Teugels, J. and Sund B. (eds.) (2004). Encyclopedia of Actuarial Science. Chichester: Wiley. pp. 523–527. {{cite book}}: |author= has generic name (help)
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Thomas Mikosch (1998). Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. Singapore: World Scientific Publishing. p. 212. ISBN 981-02-3543-7.
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Desmond Higham and Peter Kloeden: "An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations", SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).

[1] Imkeller, Peter; Schmalfuss, Björn (2001). "स्टोचैस्टिक और रैंडम डिफरेंशियल इक्वेशन की कंज्यूगेसी और ग्लोबल अट्रैक्टर्स का अस्तित्व". Journal of Dynamics and Differential Equations. 13 (2): 215–249. doi:10.1023/a:1016673307045. ISSN 1040-7294. S2CID 3120200.

[2] Parisi, G.; Sourlas, N. (1979). "यादृच्छिक चुंबकीय क्षेत्र, सुपरसिमेट्री और नकारात्मक आयाम". Physical Review Letters. 43 (11): 744–745. Bibcode:1979PhRvL..43..744P. doi:10.1103/PhysRevLett.43.744.

[3] Slavík, A. (2013). "सामान्यीकृत अंतर समीकरण: प्रारंभिक स्थितियों और मापदंडों के संबंध में समाधान की भिन्नता". Journal of Mathematical Analysis and Applications (in English). 402 (1): 261–274. doi:10.1016/j.jmaa.2013.01.027.

[Kloeden-4] Kloeden 1995, pag.118

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Differential equations involving stochastic processes}}
-{{more footnotes|date=July 2013}}
 {{Differential equations}}
-एक स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (SDE) एक डिफरेंशियल इक्वेशन है जिसमें एक या अधिक शब्द एक स्टोचैस्टिक प्रक्रिया है, जिसके परिणामस्वरूप एक समाधान होता है जो एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया भी है। एसडीई का उपयोग विभिन्न घटनाओं जैसे कि स्टॉक की कीमतों या [[थर्मल उतार-चढ़ाव]] के अधीन भौतिक प्रणालियों को मॉडल करने के लिए किया जाता है। आमतौर पर, एसडीई में एक चर होता है जो यादृच्छिक सफेद शोर का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी गणना [[ब्राउनियन गति]] या [[वीनर प्रक्रिया]] के व्युत्पन्न के रूप में की जाती है। हालाँकि, अन्य प्रकार के यादृच्छिक व्यवहार संभव हैं, जैसे कि कूद प्रक्रियाएँ। [[अंतर समीकरण|रैंडम डिफरेंशियल इक्वेशन]] स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन के साथ संयुग्मित होते हैं।<ref>{{Cite journal|last1=Imkeller|first1=Peter|last2=Schmalfuss|first2=Björn|date=2001|title=स्टोचैस्टिक और रैंडम डिफरेंशियल इक्वेशन की कंज्यूगेसी और ग्लोबल अट्रैक्टर्स का अस्तित्व|url=http://dx.doi.org/10.1023/a:1016673307045|journal=Journal of Dynamics and Differential Equations|volume=13|issue=2|pages=215–249|doi=10.1023/a:1016673307045|s2cid=3120200|issn=1040-7294}}</ref>
+'''प्रसंभाव्य (स्टोकेस्टिक) अवकल समीकरण''' ('''एसडीई''') एक प्रकार का अवकल समीकरण है जिसमें एक या अधिक शब्द एक प्रसंभाव्य प्रक्रम होते है, जिसके परिणामस्वरूप एक हल प्राप्त होता है जो एक प्रसंभाव्य प्रक्रम भी होता है। एसडीई का उपयोग विभिन्न घटनाओं जैसे कि स्टॉक की मूल्य या [[थर्मल उतार-चढ़ाव|ऊष्मीय उच्चावच]] के अधीन भौतिक प्रणालियों को मॉडल करने के लिए किया जाता है। सामान्यतः एसडीई में एक चर होता है जो यादृच्छिक वाइट नॉइज़ का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी गणना [[ब्राउनियन गति]] या [[वीनर प्रक्रिया|वीनर प्रक्रम]] के व्युत्पन्न के रूप में की जाती है। हालाँकि, अन्य प्रकार के यादृच्छिक व्यवहार संभव हैं, जैसे कि जम्प प्रक्रियाएँ। [[अंतर समीकरण|यादृच्छिक अवकल समीकरण]] प्रसंभाव्य अवकल समीकरण के साथ संयुग्मित होते हैं।<ref>{{Cite journal|last1=Imkeller|first1=Peter|last2=Schmalfuss|first2=Björn|date=2001|title=स्टोचैस्टिक और रैंडम डिफरेंशियल इक्वेशन की कंज्यूगेसी और ग्लोबल अट्रैक्टर्स का अस्तित्व|url=http://dx.doi.org/10.1023/a:1016673307045|journal=Journal of Dynamics and Differential Equations|volume=13|issue=2|pages=215–249|doi=10.1023/a:1016673307045|s2cid=3120200|issn=1040-7294}}</ref>
 == पृष्ठभूमि ==
-स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन की उत्पत्ति अल्बर्ट आइंस्टीन और स्मोलुचोव्स्की के काम में ब्राउनियन गति के सिद्धांत में हुई। ये शुरुआती उदाहरण रेखीय स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण थे, जिन्हें फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी लैंगविन के बाद '[[पॉल लैंगविन|लैंगविन]]' समीकरण भी कहा जाता है, जो एक यादृच्छिक बल के अधीन एक हार्मोनिक ऑसिलेटर की गति का वर्णन करता है। स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन का गणितीय सिद्धांत 1940 के दशक में जापानी गणितज्ञ कियोसी इतो के ज़बरदस्त काम के माध्यम से विकसित किया गया था, जिन्होंने [[स्टोकेस्टिक इंटीग्रल]] की अवधारणा पेश की और नॉनलाइनियर स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन का अध्ययन शुरू किया। एक अन्य दृष्टिकोण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो सामान्य कैलकुलस के समान एक कलन की ओर ले जाता है।
+प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों की उत्पत्ति ब्राउनियन गति के सिद्धांत में हुई, जो अल्बर्ट आइंस्टीन और स्मोलुचोव्स्की के फलन में है। ये प्रारंभिक उदाहरण रेखीय प्रसंभाव्य अवकल समीकरण थे, जिन्हें फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी लैंगविन के बाद '[[पॉल लैंगविन|लैंगविन]]' समीकरण भी कहा जाता है, जो एक यादृच्छिक बल के अधीन एक सरल आवर्ती दोलक की गति का वर्णन करता है। प्रसंभाव्य अवकल समीकरण का गणितीय सिद्धांत 1940 के दशक में जापानी गणितज्ञ कियोसी इटो के अभूतपूर्व फलन के माध्यम से विकसित किया गया था, जिन्होंने [[स्टोकेस्टिक इंटीग्रल|प्रसंभाव्य समाकल]] की अवधारणा प्रस्तुत की और अरैखिक प्रसंभाव्य अवकल समीकरण का अध्ययन प्रारम्भ किया। एक अन्य दृष्टिकोण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो सामान्य कलन के समान एक कलन की ओर की ओर अग्रसर है।
 === शब्दावली ===
-साहित्य में एसडीई का सबसे आम रूप एक [[साधारण अंतर समीकरण]] है, जो एक सफेद शोर चर पर निर्भर एक शब्द से दाहिने हाथ की तरफ से परेशान है। ज्यादातर मामलों में, SDEs को संबंधित स्टोकेस्टिक अंतर समीकरणों की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। SDEs की यह समझ अस्पष्ट है और संबंधित इंटीग्रल की एक उचित गणितीय परिभाषा द्वारा पूरक होना चाहिए। इस तरह की गणितीय परिभाषा पहली बार 1940 के दशक में कियोसी इतो द्वारा प्रस्तावित की गई थी, जो आज इटो कलन के रूप में जानी जाती है। एक और निर्माण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो कि [[स्ट्रैटोनोविच अभिन्न]] के रूप में जाना जाता है। इटो इंटीग्रल और स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल संबंधित हैं, लेकिन अलग-अलग, ऑब्जेक्ट्स और उनके बीच की पसंद विचार किए गए एप्लिकेशन पर निर्भर करती है। इटो कैलकुस गैर-प्रत्याशात्मकता या कारणता की अवधारणा पर आधारित है, जो उन अनुप्रयोगों में स्वाभाविक है जहां चर समय है। दूसरी ओर, स्ट्रैटोनोविच कैलकुलस में ऐसे नियम हैं जो साधारण कैलकुलस से मिलते जुलते हैं और इसमें आंतरिक ज्यामितीय गुण हैं जो ज्यामितीय समस्याओं जैसे [[कई गुना]] पर यादृच्छिक गति से निपटने के दौरान इसे और अधिक स्वाभाविक बनाते हैं।
+साहित्य में एसडीई का सबसे साधारण रूप एक [[साधारण अंतर समीकरण|साधारण अवकल समीकरण]] है, जो एक वाइट नॉइज़ चर पर निर्भर एक शब्द से दाहिने हाथ की तरफ से परेशान है। ज्यादातर मामलों में, एसडीई को संबंधित प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। एसडीई की यह समझ अस्पष्ट है और संबंधित समाकल की एक उचित गणितीय परिभाषा द्वारा पूरक होना चाहिए। इस तरह की गणितीय परिभाषा पहली बार 1940 के दशक में कियोसी इटो द्वारा प्रस्तावित की गई थी, जो आज इटो कलन के रूप में जानी जाती है। एक और निर्माण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो कि [[स्ट्रैटोनोविच अभिन्न|स्ट्रैटोनोविच समाकल]] के रूप में जाना जाता है। इटो समाकल और स्ट्रैटोनोविच समाकल संबंधित हैं, लेकिन अलग-अलग, ऑब्जेक्ट्स और उनके बीच की पसंद विचार किए गए एप्लिकेशन पर निर्भर करती है। इटो कैलकुस गैर-प्रत्याशात्मकता या कारणता की अवधारणा पर आधारित है, जो उन अनुप्रयोगों में स्वाभाविक है जहाँ चर समय है। दूसरी ओर, स्ट्रैटोनोविच कलन में ऐसे नियम हैं जो साधारण कलन से मिलते जुलते हैं और इसमें आंतरिक ज्यामितीय गुण हैं जो ज्यामितीय समस्याओं जैसे [[कई गुना|मैनिफोल्ड]] पर यादृच्छिक गति से फलन करने के दौरान इसे और अधिक स्वाभाविक बनाते हैं।
-SDEs पर एक वैकल्पिक दृष्टिकोण डिफियोमोर्फिज्म का स्टोकेस्टिक प्रवाह है। यह समझ असंदिग्ध है और [[स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण|स्टोकेस्टिक अंतर समीकरणों]] की निरंतर समय सीमा के स्ट्रैटोनोविच संस्करण से मेल खाती है। SDEs के साथ संबद्ध Smoluchowski समीकरण या Fokker-Planck समीकरण है, एक समीकरण जो संभाव्यता वितरण कार्यों के समय विकास का वर्णन करता है। भिन्न रूपों के अस्थायी विकास के लिए फोकर-प्लैंक विकास का सामान्यीकरण स्टोकेस्टिक विकास संचालिका की अवधारणा द्वारा प्रदान किया गया है।
+एसडीई पर एक वैकल्पिक दृष्टिकोण डिफियोमोर्फिज्म का प्रसंभाव्य प्रवाह है। यह समझ असंदिग्ध है और [[स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण|प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों]] की निरंतर समय सीमा के स्ट्रैटोनोविच संस्करण के समान प्रतीत होती है। एसडीई के साथ संबद्ध स्मोलुचोव्स्की समीकरण या फोककर-प्लांक समीकरण है, एक समीकरण जो प्रायिकता वितरण फलनों के समय विकास का वर्णन करता है। भिन्न रूपों के अस्थायी विकास के लिए फोकर-प्लैंक विकास का सामान्यीकरण प्रसंभाव्य एवोल्यूशन संकारक की अवधारणा द्वारा प्रदान किया गया है।
-भौतिक विज्ञान में, "लैंगविन एसडीई" शब्द के प्रयोग में एक अस्पष्टता है। जबकि लैंगविन एसडीई एक अधिक सामान्य रूप का हो सकता है, यह शब्द आमतौर पर एसडीई के एक संकीर्ण वर्ग को ढाल प्रवाह वेक्टर क्षेत्रों के साथ संदर्भित करता है। एसडीई का यह वर्ग विशेष रूप से लोकप्रिय है क्योंकि यह पेरिस-सोरलास स्टोकास्टिक क्वांटिज़ेशन प्रक्रिया का प्रारंभिक बिंदु है,<ref>{{Cite journal|last1=Parisi|first1=G.|last2=Sourlas|first2=N.|date=1979|title=यादृच्छिक चुंबकीय क्षेत्र, सुपरसिमेट्री और नकारात्मक आयाम|journal=Physical Review Letters|volume=43|issue=11|pages=744–745|doi=10.1103/PhysRevLett.43.744|bibcode=1979PhRvL..43..744P}}</ref> [[सुपरसिमेट्रिक क्वांटम यांत्रिकी]] से बारीकी से संबंधित एन = 2 सुपरसिमेट्रिक मॉडल की ओर अग्रसर है। भौतिक दृष्टिकोण से, हालांकि, एसडीई का यह वर्ग बहुत दिलचस्प नहीं है क्योंकि यह कभी भी टोपोलॉजिकल सुपरसिमेट्री के सहज टूटने का प्रदर्शन नहीं करता है, यानी (ओवरडम्प्ड) लैंग्विन एसडीई कभी भी अराजक नहीं होते हैं।
+भौतिक विज्ञान में, "लैंगविन एसडीई" शब्द के प्रयोग में एक अस्पष्टता है। जबकि लैंगविन एसडीई एक अधिक सामान्य रूप का हो सकता है, यह शब्द सामान्यतः एसडीई के एक संकीर्ण वर्ग को ढाल प्रवाह वेक्टर फ़ील्ड्स के साथ संदर्भित करता है। एसडीई का यह वर्ग विशेष रूप से लोकप्रिय है क्योंकि यह पेरिस-सोरलास स्टोकास्टिक क्वांटिज़ेशन प्रक्रिया का प्रारंभिक बिंदु है,<ref>{{Cite journal|last1=Parisi|first1=G.|last2=Sourlas|first2=N.|date=1979|title=यादृच्छिक चुंबकीय क्षेत्र, सुपरसिमेट्री और नकारात्मक आयाम|journal=Physical Review Letters|volume=43|issue=11|pages=744–745|doi=10.1103/PhysRevLett.43.744|bibcode=1979PhRvL..43..744P}}</ref> [[सुपरसिमेट्रिक क्वांटम यांत्रिकी|अति-सममित (सुपरसिमेट्री) क्वांटम यांत्रिकी]] से बारीकी से संबंधित N=2 अति-सममित मॉडल की ओर अग्रसर है। भौतिक दृष्टिकोण से, हालांकि, एसडीई का यह वर्ग बहुत प्रभावशाली नहीं है क्योंकि यह कभी भी टोपोलॉजिकल अति-सममित के स्वतः विश्लेषण का प्रदर्शन नहीं करता है, अर्थात (अतिअवमंदित (ओवरडम्प्ड) लैंग्विन एसडीई कभी भी संकुल नहीं होते हैं।
-=== स्टोचैस्टिक कैलकुलस ===
+=== प्रसंभाव्य कलन ===
-ब्राउनियन गति या वीनर प्रक्रिया को असाधारण रूप से जटिल गणितीय रूप से खोजा गया था। वीनर प्रक्रिया लगभग निश्चित रूप से कहीं भी अलग नहीं है; इस प्रकार, इसे कलन के अपने स्वयं के नियमों की आवश्यकता होती है। स्टोचैस्टिक कैलकुलस, इटो स्टोचैस्टिक कैलकुलस और [[स्ट्रैटोनोविच स्टोचैस्टिक कैलकुलस]] के दो प्रभावी संस्करण हैं। दोनों में से प्रत्येक के फायदे और नुकसान हैं, और नवागंतुक अक्सर भ्रमित होते हैं कि क्या दी गई स्थिति में एक दूसरे की तुलना में अधिक उपयुक्त है। दिशानिर्देश मौजूद हैं (उदाहरण के लिए Øksendal, 2003) और आसानी से, कोई आसानी से एक आईटीओ एसडीई को समकक्ष स्ट्रैटोनोविच एसडीई में परिवर्तित कर सकता है और फिर से वापस आ सकता है। फिर भी, किसी को सावधान रहना चाहिए कि जब SDE को शुरू में लिखा जाता है तो किस कैलकुलेशन का उपयोग करना चाहिए।
+ब्राउनियन गति या वीनर प्रक्रिया को असाधारण रूप से जटिल गणितीय रूप से खोजा गया था। वीनर प्रक्रिया लगभग निश्चित रूप से कहीं भी अलग नहीं है; इस प्रकार, इसे कलन के अपने स्वयं के नियमों की आवश्यकता होती है। प्रसंभाव्य कलन, इटो प्रसंभाव्य कलन और [[स्ट्रैटोनोविच स्टोचैस्टिक कैलकुलस|स्ट्रैटोनोविच प्रसंभाव्य कलन]] के दो प्रभावी संस्करण हैं। दोनों में से प्रत्येक की लाभ और हानियां होती हैं, और नवागंतुक प्रायः भ्रमित होते हैं कि क्या दी गई स्थिति में एक दूसरे की तुलना में अधिक उपयुक्त है। गाईडलाइन्स (उदाहरण के लिए ऑक्सेंडल (Øksendal), 2003) विद्यमान हैं और साधारण रूप से, एक आईटीओ एसडीई को समकक्ष स्ट्रैटोनोविच एसडीई में परिवर्तित कर सकते हैं और पुनः इसका विपरीत किया जा सकता है। तथापि, जब एसडीई प्रारम्भ में लिखा जाता है तो किस कलन का उपयोग करना चाहिए, इसका विशेष ध्यान रखना चाहिए।
-=== संख्यात्मक समाधान ===
+=== संख्यात्मक हल ===
-स्टोचैस्टिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों में शामिल हैं यूलर-मारुयामा विधि, मिल्स्टीन विधि और रनगे-कुट्टा विधि (एसडीई)।
+प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों में सम्मिलित हैं यूलर-मारुयामा विधि, मिल्स्टीन विधि और रनगे-कुट्टा विधि (एसडीई)।
 == भौतिकी में प्रयोग करें ==
-{{See also|Langevin equation}}
+{{See also|लैंग्विन समीकरण}}
-भौतिक विज्ञान में, एसडीई में आणविक गतिकी से लेकर न्यूरोडायनामिक्स और खगोलभौतिकीय वस्तुओं की गतिशीलता तक व्यापक प्रयोज्यता है। अधिक विशेष रूप से, एसडीई सभी गतिशील प्रणालियों का वर्णन करते हैं, जिसमें क्वांटम प्रभाव या तो महत्वहीन हैं या गड़बड़ी के रूप में ध्यान में रखा जा सकता है। एसडीई को शोर के साथ मॉडल के लिए गतिशील प्रणाली सिद्धांत के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। यह एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण है क्योंकि वास्तविक प्रणालियों को उनके वातावरण से पूरी तरह से अलग नहीं किया जा सकता है और इस कारण से हमेशा बाहरी स्टोचैस्टिक प्रभाव का अनुभव होता है।
-नए अज्ञात को प्रस्तुत करके उच्च-क्रम के समीकरणों को कई युग्मित प्रथम-क्रम समीकरणों में बदलने की मानक तकनीकें हैं। इसलिए, निम्नलिखित SDE का सबसे सामान्य वर्ग है:
+भौतिक विज्ञान में, एसडीई में आणविक गतिकी से लेकर तंत्रिकीय गतिकी (न्यूरोडायनामिक्स) और खगोलभौतिकीय वस्तुओं की गतिशीलता तक व्यापक प्रयोज्यता है। अधिक विशेष रूप से, एसडीई सभी गतिशील प्रणालियों का वर्णन करते हैं, जिसमें क्वांटम प्रभाव या तो महत्वहीन हैं या प्रक्षोभ के रूप में ध्यान में रखा जा सकता है। एसडीई को नॉइज़ के साथ मॉडल के लिए गतिशील प्रणाली सिद्धांत के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। यह एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण है क्योंकि वास्तविक प्रणालियों को उनके वातावरण से पूरी तरह से अलग नहीं किया जा सकता है और इस कारण से हमेशा बाहरी प्रसंभाव्य प्रभाव का अनुभव होता है।
+नए अज्ञात को प्रस्तुत करके उच्च-क्रम के समीकरणों को कई युग्मित प्रथम-क्रम समीकरणों में परिवर्तन की मानक तकनीकें हैं। इसलिए, निम्नलिखित एसडीई का सबसे सामान्य वर्ग है:
 :<math>\frac{dx(t)}{dt} = F(x(t)) + \sum_{\alpha=1}^ng_\alpha(x(t))\xi^\alpha(t),\,</math>
-जहां <math>x\in X </math> अपने चरण (या राज्य) स्थान में सिस्टम में स्थिति है, <math>X</math>, एक अलग-अलग कई गुना माना जाता है, <math>F\in TX</math> एक प्रवाह सदिश क्षेत्र है जो विकास के नियतात्मक नियम का प्रतिनिधित्व करता है, और <math>g_\alpha\in TX </math> सदिश क्षेत्रों का एक समूह है जो गॉसियन श्वेत शोर, <math>\xi^\alpha</math> के लिए प्रणाली के युग्मन को परिभाषित करता है। यदि <math> X </math> एक रेखीय स्थान है और <math>g</math> स्थिरांक हैं, तो सिस्टम को योज्य शोर के अधीन कहा जाता है, अन्यथा इसे गुणात्मक शोर के अधीन कहा जाता है। यह शब्द कुछ हद तक भ्रामक है क्योंकि इसका मतलब सामान्य मामले से है, हालांकि ऐसा लगता है कि यह सीमित मामला है जिसमें <math> g(x) \propto x</math> है।
+जहाँ <math>x\in X </math> अपने अवस्था (या चरण) समष्टि में सिस्टम में स्थिति है, <math>X</math>, एक अवकलनीय मैनीफोल्ड माना जाता है, <math>F\in TX</math> एक प्रवाह सदिश फ़ील्ड है जो एवोल्यूशन के नियतात्मक नियम का प्रतिनिधित्व करता है, और <math>g_\alpha\in TX </math> सदिश फ़ील्ड्स का एक समूह है जो गॉसियन वाइट नॉइज़, <math>\xi^\alpha</math> के लिए प्रणाली के युग्मन को परिभाषित करता है। यदि <math> X </math> एक रेखीय स्थान है और <math>g</math> स्थिरांक हैं, तो सिस्टम को योज्य नॉइज़ के अधीन कहा जाता है, अन्यथा इसे गुणात्मक नॉइज़ के अधीन कहा जाता है। यह शब्द कुछ हद तक भ्रामक है क्योंकि इसका मतलब सामान्य स्थिति से है, हालांकि ऐसा लगता है कि यह सीमित स्थिति है जिसमें <math> g(x) \propto x</math> है।
-शोर के एक निश्चित विन्यास के लिए, SDE के पास प्रारंभिक स्थिति के संबंध में अलग-अलग एक अनूठा समाधान है।<ref>{{Cite journal|last=Slavík|first=A.|title=सामान्यीकृत अंतर समीकरण: प्रारंभिक स्थितियों और मापदंडों के संबंध में समाधान की भिन्नता|journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications|language=en|volume=402|issue=1|pages=261–274|doi=10.1016/j.jmaa.2013.01.027|year=2013|doi-access=free}}</ref> स्टोकेस्टिक मामले की गैर-तुच्छता तब दिखाई देती है जब कोई शोर विन्यास पर ब्याज की विभिन्न वस्तुओं को औसत करने का प्रयास करता है। इस अर्थ में, एक एसडीई विशिष्ट रूप से परिभाषित इकाई नहीं है जब शोर गुणक होता है और जब एसडीई को स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। इस मामले में, एसडीई को "एसडीई की व्याख्या" के रूप में जाना जाता है, जैसे कि आईटीओ या एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्याओं द्वारा पूरक होना चाहिए। फिर भी, जब SDE को डिफियोमॉर्फिज़्म के निरंतर-समय के स्टोकेस्टिक प्रवाह के रूप में देखा जाता है, तो यह एक विशिष्ट रूप से परिभाषित गणितीय वस्तु है जो स्ट्रैटोनोविच के दृष्टिकोण से एक स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण की निरंतर समय सीमा से मेल खाती है।
+नॉइज़ के एक निश्चित विन्यास के लिए, एसडीई के पास प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष अवकलनीय विशिष्ट हल है।<ref>{{Cite journal|last=Slavík|first=A.|title=सामान्यीकृत अंतर समीकरण: प्रारंभिक स्थितियों और मापदंडों के संबंध में समाधान की भिन्नता|journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications|language=en|volume=402|issue=1|pages=261–274|doi=10.1016/j.jmaa.2013.01.027|year=2013|doi-access=free}}</ref> प्रसंभाव्य स्थिति की गैर-नगण्यता तब दिखाई देती है जब कोई नॉइज़ विन्यास पर रुचि की विभिन्न वस्तुओं को औसत करने का प्रयास करता है। इस अर्थ में, एक एसडीई विशिष्ट रूप से परिभाषित इकाई नहीं है जब नॉइज़ गुणक होता है और जब एसडीई को प्रसंभाव्य अवकल समीकरण की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। इस स्थिति में, एसडीई को "एसडीई की व्याख्या" के रूप में जाना जाता है, जैसे कि आईटीओ या एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्याओं द्वारा पूरक होना चाहिए। फिर भी, जब एसडीई को डिफियोमॉर्फिज़्म के निरंतर-समय के प्रसंभाव्य प्रवाह के रूप में देखा जाता है, तो यह एक विशिष्ट रूप से परिभाषित गणितीय वस्तु है जो स्ट्रैटोनोविच के दृष्टिकोण से एक प्रसंभाव्य अवकल समीकरण की निरंतर समय सीमा से मेल खाती है।
-भौतिकी में, समाधान का मुख्य तरीका समतुल्य फोकर-प्लैंक समीकरण (एफपीई) का उपयोग करते हुए समय के एक समारोह के रूप में संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन को खोजना है। फोकर-प्लैंक समीकरण एक नियतात्मक आंशिक अवकल समीकरण है। यह बताता है कि संभाव्यता वितरण फलन समय के साथ कैसे विकसित होता है उसी तरह जैसे श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम तरंग फलन का समय विकास देता है या [[प्रसार समीकरण]] रासायनिक एकाग्रता का समय विकास देता है। वैकल्पिक रूप से, [[मोंटे कार्लो विधि|मोंटे कार्लो अनुकरण]] द्वारा संख्यात्मक समाधान प्राप्त किया जा सकता है। अन्य तकनीकों में [[पथ अभिन्न सूत्रीकरण|पथ एकीकरण]] शामिल है जो सांख्यिकीय भौतिकी और [[क्वांटम यांत्रिकी]] (उदाहरण के लिए, फोकर-प्लैंक समीकरण को कुछ वेरिएबल्स को रीस्केल करके श्रोडिंगर समीकरण में बदला जा सकता है) या प्रायिकता वितरण समारोह के सांख्यिकीय क्षणों के लिए सामान्य अंतर समीकरणों को लिखकर सादृश्यता पर आधारित है।{{Citation needed|date=August 2011}}
+भौतिकी में, हल का मुख्य तरीका समतुल्य फोकर-प्लैंक समीकरण (एफपीई) का उपयोग करते हुए समय के एक समारोह के रूप में प्रायिकता वितरण फलन को खोजना है। फोकर-प्लैंक समीकरण एक नियतात्मक आंशिक अवकल समीकरण है। यह बताता है कि प्रायिकता वितरण फलन समय के साथ कैसे विकसित होता है उसी तरह जैसे श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम तरंग फलन का समय विकास देता है या [[प्रसार समीकरण|विसरण समीकरण]] रासायनिक एकाग्रता का समय विकास देता है। वैकल्पिक रूप से, [[मोंटे कार्लो विधि|मोंटे कार्लो]] अनुकरण द्वारा संख्यात्मक हल प्राप्त किया जा सकता है। अन्य तकनीकों में [[पथ अभिन्न सूत्रीकरण|पथ समाकलन]] सम्मिलित है जो सांख्यिकीय भौतिकी और [[क्वांटम यांत्रिकी]] (उदाहरण के लिए, फोकर-प्लैंक समीकरण को कुछ वेरिएबल्स को रीस्केल करके श्रोडिंगर समीकरण में बदला जा सकता है) या प्रायिकता वितरण समारोह के सांख्यिकीय क्षणों के लिए सामान्य अवकल समीकरणों को लिखकर सादृश्यता पर आधारित है।
-== संभाव्यता और [[गणितीय वित्त]] में प्रयोग करें ==
+== प्रायिकता और गणितीय वित्त में प्रयोग करें ==
-संभाव्यता सिद्धांत (और संभाव्यता सिद्धांत के कई अनुप्रयोगों में, उदाहरण के लिए गणितीय वित्त) में प्रयुक्त संकेतन थोड़ा अलग है। यह स्टोकास्टिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों पर प्रकाशनों में प्रयुक्त संकेतन भी है। यह अंकन समय के यादृच्छिक कार्य की विदेशी प्रकृति बनाता है <math>\eta_m</math> भौतिकी सूत्रीकरण में और अधिक स्पष्ट। सख्त गणितीय शब्दों में,  <math>\eta_m</math> सामान्य कार्य के रूप में नहीं चुना जा सकता है, बल्कि केवल सामान्यीकृत कार्य के रूप में चुना जा सकता है। गणितीय सूत्रीकरण इस जटिलता को भौतिकी सूत्रीकरण की तुलना में कम अस्पष्टता के साथ मानता है।
+प्रायिकता सिद्धांत (और प्रायिकता सिद्धांत के कई अनुप्रयोगों में, उदाहरण के लिए [[गणितीय वित्त]]) में प्रयुक्त संकेतन नगण्यतापूर्वक अलग है। यह स्टोकास्टिक अवकल समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों पर प्रकाशनों में प्रयुक्त संकेतन भी है। यह अंकन भौतिकी सूत्रीकरण में समय <math>\eta_m</math> के यादृच्छिक फलन की विजातीय प्रकृति को और अधिक स्पष्ट करता है। यथार्थ गणितीय पदों में,  <math>\eta_m</math> सामान्य फलन के रूप में चयनित नहीं किया जा सकता है, बल्कि केवल सामान्यीकृत फलन के रूप में चयनित किया जा सकता है। गणितीय सूत्रीकरण इस समस्या को भौतिकी सूत्रीकरण की तुलना में कम अस्पष्टता के साथ संसाधित करता है।
 एक विशिष्ट समीकरण रूप का है
 :<math> \mathrm{d} X_t = \mu(X_t,t)\, \mathrm{d} t +  \sigma(X_t,t)\, \mathrm{d} B_t , </math>
-कहां <math>B</math> एक वीनर प्रक्रिया (मानक ब्राउनियन गति) को दर्शाता है।
+जहाँ <math>B</math> एक वीनर प्रक्रिया (मानक ब्राउनियन गति) को दर्शाता है।
-इस समीकरण की व्याख्या संबंधित [[अभिन्न समीकरण]] को व्यक्त करने के अनौपचारिक तरीके के रूप में की जानी चाहिए
+इस समीकरण की व्याख्या संबंधित [[अभिन्न समीकरण|समाकल समीकरण]] को व्यक्त करने के अनौपचारिक विधि के रूप में की जानी चाहिए
 :<math> X_{t+s} - X_{t} = \int_t^{t+s} \mu(X_u,u) \mathrm{d} u + \int_t^{t+s} \sigma(X_u,u)\, \mathrm{d} B_u . </math>
-उपरोक्त समीकरण [[निरंतर समय]] स्टोकेस्टिक प्रक्रिया Xt के व्यवहार को एक साधारण [[लेबेस्ग इंटीग्रल]] और एक इओ इंटीग्रल के योग के रूप में दर्शाता है। स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन की एक [[अनुमानी]] (लेकिन बहुत मददगार) व्याख्या यह है कि लंबाई के एक छोटे से समय अंतराल में स्टोचैस्टिक प्रक्रिया Xt एक राशि से अपना मान बदलती है जो सामान्य रूप से अपेक्षा μ(Xt, t) δ और विचरण σ( एक्सटी, टी)2 δ और प्रक्रिया के पिछले व्यवहार से स्वतंत्र है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक वीनर प्रक्रिया की वृद्धि स्वतंत्र होती है और [[सामान्य वितरण|सामान्य रूप से वितरित]] होती है। फ़ंक्शन μ को बहाव गुणांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, जबकि σ को प्रसार गुणांक कहा जाता है। स्टोकेस्टिक प्रक्रिया Xt को [[प्रसार प्रक्रिया]] कहा जाता है, और यह [[मार्कोव संपत्ति]] को संतुष्ट करती है।
+उपरोक्त समीकरण [[निरंतर समय]] प्रसंभाव्य प्रक्रम ''X<sub>t</sub>'' के व्यवहार को एक साधारण [[लेबेस्ग इंटीग्रल|लेबेस्ग समाकल]] और एक इटो समाकल के योग के रूप में दर्शाता है। प्रसंभाव्य अवकल समीकरण की [[अनुमानी|अन्वेषणात्मक]] (लेकिन बहुत उपयोगी) व्याख्या यह है कि लंबाई के एक छोटे से समय अंतराल में प्रसंभाव्य प्रक्रम ''X<sub>t</sub>'' एक राशि से अपना मान बदलती है जो सामान्य रूप से अपेक्षा ''μ(X<sub>t</sub>, t) δ'' और विचरण ''σ''(''X<sub>t</sub>'', ''t'')<sup>2</sup> ''δ'' और प्रक्रिया के पूर्व क्रियाविधि से स्वतंत्र है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक वीनर प्रक्रिया की वृद्धि स्वतंत्र होती है और [[सामान्य वितरण|सामान्य रूप से वितरित]] होती है। फलन ''μ'' को प्रक्षेप (ड्रिफ्ट) गुणांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, जबकि ''σ'' को विसरण गुणांक कहा जाता है। प्रसंभाव्य प्रक्रम ''X<sub>t</sub>'' को [[प्रसार प्रक्रिया|विसरण प्रक्रिया]] कहा जाता है, और यह [[मार्कोव संपत्ति|मार्कोव गुणधर्म]] को संतुष्ट करती है।
-एसडीई के समाधान के गठन के संदर्भ में एक एसडीई की औपचारिक व्याख्या दी गई है। एसडीई के समाधान की दो मुख्य परिभाषाएँ हैं, एक मजबूत समाधान और एक कमजोर समाधान। दोनों को एक प्रक्रिया X के अस्तित्व की आवश्यकता होती है<sub>''t''</sub> जो SDE के अभिन्न समीकरण संस्करण को हल करता है। दोनों के बीच का अंतर अंतर्निहित संभावना स्थान में है (<math>\Omega,\, \mathcal{F},\, P</math>). एक कमजोर समाधान में प्रायिकता स्थान और एक प्रक्रिया होती है जो अभिन्न समीकरण को संतुष्ट करती है, जबकि एक मजबूत समाधान एक ऐसी प्रक्रिया है जो समीकरण को संतुष्ट करती है और किसी दिए गए प्रायिकता स्थान पर परिभाषित होती है।
+एसडीई के हल के गठन के संदर्भ में एक एसडीई की औपचारिक व्याख्या दी गई है। एसडीई के हल की दो मुख्य परिभाषाएँ हैं, एक मजबूत हल और एक कमजोर हल। दोनों को एक ऐसी प्रक्रम ''X<sub>t</sub>'' के अस्तित्व की आवश्यकता है जो एसडीई के समाकल समीकरण संस्करण को हल करती है। दोनों के बीच का अंतर अंतर्निहित प्रायिकता समष्टि (<math>\Omega,\, \mathcal{F},\, P</math>) में है। एक दुर्बल हल में एक प्रायिकता समष्टि और एक प्रक्रिया होती है जो समाकल समीकरण को संतुष्ट करती है, जबकि एक प्रबल हल एक ऐसी प्रक्रिया है जो समीकरण को संतुष्ट करती है और किसी दिए गए  प्रायिकता  समष्टि पर परिभाषित होती है।
 एक महत्वपूर्ण उदाहरण [[ज्यामितीय ब्राउनियन गति]] के लिए समीकरण है
 :<math>\mathrm{d} X_t = \mu X_t \, \mathrm{d} t +  \sigma X_t \, \mathrm{d} B_t.</math>
-जो ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में [[भण्डार]] की कीमत की गतिशीलता के लिए समीकरण है | ब्लैक-स्कोल्स विकल्प वित्तीय गणित के मूल्य निर्धारण मॉडल।
+जो ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में [[भण्डार|स्टॉक]] के मूल्य की गतिशीलता के लिए समीकरण है | ब्लैक-स्कोल्स विकल्प वित्तीय गणित के मूल्य निर्धारण मॉडल।
-अधिक सामान्य स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण भी हैं जहां गुणांक μ और σ न केवल प्रक्रिया X के वर्तमान मूल्य पर निर्भर करते हैं<sub>''t''</sub>, बल्कि प्रक्रिया के पिछले मूल्यों पर भी और संभवतः अन्य प्रक्रियाओं के वर्तमान या पिछले मूल्यों पर भी। उस मामले में समाधान प्रक्रिया, एक्स, मार्कोव प्रक्रिया नहीं है, और इसे इटो प्रक्रिया कहा जाता है, न कि प्रसार प्रक्रिया। जब गुणांक केवल एक्स के वर्तमान और पिछले मूल्यों पर निर्भर करता है, तो परिभाषित समीकरण को स्टोकास्टिक विलंब अंतर समीकरण कहा जाता है।
+अधिक सामान्य प्रसंभाव्य अवकल समीकरण भी हैं जहाँ गुणांक ''μ'' और ''σ'' न केवल प्रक्रिया ''X<sub>t</sub>'' के वर्तमान मूल्य पर निर्भर करते हैं, बल्कि प्रक्रिया के पिछले मूल्यों पर भी और संभवत: अन्य प्रक्रियाओं के वर्तमान या पिछले मूल्यों पर भी निर्भर करते हैं। उस स्थिति में हल प्रक्रिया, ''X'', मार्कोव प्रक्रिया नहीं है, और इसे इटो प्रक्रिया कहा जाता है, न कि विसरण प्रक्रिया। जब गुणांक केवल ''X'' के वर्तमान और पिछले मूल्यों पर निर्भर करता है, तो परिभाषित समीकरण को प्रसंभाव्य डिले अवकल समीकरण कहा जाता है।
-== समाधान का अस्तित्व और विशिष्टता ==
+== हल का अस्तित्व और विशिष्टता ==
-नियतात्मक सामान्य और आंशिक अंतर समीकरणों के साथ, यह जानना महत्वपूर्ण है कि क्या किसी दिए गए SDE का समाधान है, और यह अद्वितीय है या नहीं। एन-[[आयाम]]ी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] 'आर' में मान लेने वाले आईटीओ एसडीई के लिए निम्नलिखित एक विशिष्ट अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय है<sup>n</sup> और m-आयामी ब्राउनियन गति B द्वारा संचालित; प्रमाण Øksendal (2003, §5.2) में पाया जा सकता है।
+नियतात्मक सामान्य और आंशिक अवकल समीकरणों के साथ, यह जानना महत्वपूर्ण है कि क्या किसी दिए गए एसडीई का हल है, और यह विशिष्ट है या नहीं। आईटीओ एसडीई के लिए ''n''-[[आयाम|विमीय]][[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] '''R'''<sup>''n''</sup> में मूल्य प्राप्त करने और ''m''-विमीय ब्राउनियन गति ''B'' द्वारा संचालित एक विशिष्ट अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय निम्नलिखित है; प्रमाण ऑक्सेंडल (Øksendal) (2003, §5.2) में प्राप्त किया जा सकता है।
-चलो T > 0, और चलो
+मान लीजिए T > 0, और मान लीजिए
 :<math>\mu : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n};</math>
 :<math>\sigma : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n \times m};</math>
-मापने योग्य कार्य हो जिसके लिए निरंतर सी और डी मौजूद हैं
+मापने योग्य फलन हो जिसके लिए स्थिरांक ''C'' और ''D'' विद्यमान हैं
 :<math>\big| \mu (x, t) \big| + \big| \sigma (x, t) \big| \leq C \big( 1 + | x | \big);</math>
 :<math>\big| \mu (x, t) - \mu (y, t) \big| + \big| \sigma (x, t) - \sigma (y, t) \big| \leq D | x - y |;</math>
-सभी t ∈ [0, T] और सभी x और y ∈ 'R' के लिए<sup>एन</sup>, जहां
+सभी ''t'' ∈ [0, ''T''] और सभी ''x'' और ''y'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup> के लिए, जहाँ
 :<math>| \sigma |^{2} = \sum_{i, j = 1}^{n} | \sigma_{ij} |^{2}.</math>
-मान लीजिए Z एक यादृच्छिक चर है जो B द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित से स्वतंत्र है<sub>''s''</sub>, s ≥ 0, और परिमित क्षण (गणित) के साथ:
+मान लीजिए ''Z'' एक यादृच्छिक चर है जो ''B'' द्वारा उत्पन्न ''σ''-बीजगणित से स्वतंत्र है, ''B<sub>s</sub>'', ''s'' ≥ 0, और परिमित दूसरे क्षण के साथ:
 :<math>\mathbb{E} \big[ | Z |^{2} \big] < + \infty.</math>
-फिर स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन/इनिशियल वैल्यू प्रॉब्लम
+फिर प्रसंभाव्य अवकल समीकरण/समीकरण/प्रारंभिक मूल्य समस्या
 :<math>\mathrm{d} X_{t} = \mu (X_{t}, t) \, \mathrm{d} t + \sigma (X_{t}, t) \, \mathrm{d} B_{t} \mbox{ for } t \in [0, T];</math>
 :<math>X_{0} = Z;</math>
-एक पी-[[लगभग निश्चित रूप से]] अद्वितीय टी-निरंतर समाधान (टी, ω) ↦ एक्स है<sub>''t''</sub>(ω) ऐसा है कि एक्स [[निस्पंदन (सार बीजगणित)]] एफ के लिए [[अनुकूलित प्रक्रिया]] है<sub>''t''</sub><sup>Z</sup> Z और B द्वारा जनरेट किया गया<sub>''s''</sub>, एस ≤ टी, और
+में एक P-[[लगभग निश्चित रूप से]] विशिष्ट ''t''-निरंतर समाधान (''t'', ''ω'') ↦ ''X<sub>t</sub>''(''ω'') है जैसे कि ''X'' को ''Z'' और ''B<sub>s</sub>'', ''s'' ≤ ''t'', और द्वारा उत्पन्न [[निस्पंदन (सार बीजगणित)|निस्पंदन]] ''F<sub>t</sub><sup>Z</sup>'' के [[अनुकूलित प्रक्रिया|अनुकूल]] बनाया गया है।
 :<math>\mathbb{E} \left[ \int_{0}^{T} | X_{t} |^{2} \, \mathrm{d} t \right] < + \infty.</math>
 == कुछ स्पष्ट रूप से हल करने योग्य एसडीई<ref name="Kloeden">Kloeden 1995, pag.118</ref>==
-=== रैखिक एसडीई: सामान्य मामला ===
+=== रैखिक एसडीई: सामान्य स्थिति ===
 :<math>dX_t=(a(t)X_t+c(t))dt+(b(t)X_t+d(t))dW_t</math>
 :<math>X_t=\Phi_{t,t_0}\left(X_{t_0}+\int_{t_0}^t\Phi^{-1}_{s,t_0}(c(s)-b(s)d(s))ds+\int_{t_0}^t\Phi^{-1}_{s,t_0}d(s)dW_s\right)</math>
-कहां
+जहाँ
 :<math>\Phi_{t,t_0}=\exp\left(\int_{t_0}^t\left(a(s)-\frac{b^2(s)}{2}\right)ds+\int_{t_0}^tb(s)dW_s\right)</math>
+=== परिवर्ती (रिड्यूसिबल) एसडीई: स्थिति 1 ===
-=== कम करने योग्य एसडीई: केस 1 ===
 :<math>dX_t=\frac12f(X_t)f'(X_t)dt+f(X_t)dW_t</math>
-किसी दिए गए अलग-अलग फ़ंक्शन के लिए <math>f</math> स्ट्रैटोनोविच एसडीई के बराबर है
+किसी दिए गए अवकलनीय फलन के लिए <math>f</math> स्ट्रैटोनोविच एसडीई के बराबर है
 :<math>dX_t=f(X_t)\circ W_t</math>
-जिसका एक सामान्य समाधान है
+जिसका एक सामान्य हल है
 :<math>X_t=h^{-1}(W_t+h(X_0))</math>
-कहां
+जहाँ
 :<math>h(x)=\int^{x}\frac{ds}{f(s)}</math>
+:
+=== परिवर्ती (रिड्यूसिबल) एसडीई: स्थिति 2 ===
-=== कम करने योग्य एसडीई: केस 2 ===
 :<math>dX_t=\left(\alpha f(X_t)+\frac12 f(X_t)f'(X_t)\right)dt+f(X_t)dW_t</math>
-किसी दिए गए अलग-अलग फ़ंक्शन के लिए <math>f</math> स्ट्रैटोनोविच एसडीई के बराबर है
+किसी दिए गए अवकलनीय फलन के लिए <math>f</math> स्ट्रैटोनोविच एसडीई के बराबर है
 :<math>dX_t=\alpha f(X_t)dt + f(X_t)\circ W_t</math>
 जो कम करने योग्य है
 :<math>dY_t=\alpha dt+dW_t</math>
-कहां <math>Y_t=h(X_t)</math> कहां <math>h</math> पहले के रूप में परिभाषित किया गया है।
+जहाँ <math>Y_t=h(X_t)</math> जहाँ <math>h</math> पहले के रूप में परिभाषित किया गया है।
-इसका सामान्य समाधान है
+इसका सामान्य हल है
 :<math>X_t=h^{-1}(\alpha t+W_t+h(X_0))</math>
+== एसडीई और अति सममिती ==
+{{Main|प्रसंभाव्य गतिकी का अति सममित सिद्धांत}}
-== एसडीई और सुपरसममेट्री ==
+एसडीई के अति-सममित सिद्धांत में, प्रसंभाव्य गतिशीलता को मॉडल के चरण स्थान पर विभेदक रूपों पर अभिनय करने वाले प्रसंभाव्य विकास ऑपरेटर के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। प्रसंभाव्य गतिकी के इस सटीक सूत्रीकरण में, सभी एसडीई में टोपोलॉजिकल [[सुपरसिमेट्री|अति-सममित]] होती है जो निरंतर समय प्रवाह द्वारा फेज स्पेस की निरंतरता के संरक्षण का प्रतिनिधित्व करती है। इस अति-सममित का सहज टूटना अराजकता, [[अशांति]], [[स्व-संगठित आलोचना|स्व-संगठित आलोचनात्मकता]] आदि के रूप में अनुशासनों में जानी जाने वाली सर्वव्यापी गतिशील घटना का गणितीय सार है और [[गोल्डस्टोन प्रमेय]] संबंधित लंबी दूरी के गतिशील व्यवहार की व्याख्या करता है, अर्थात, [[तितली प्रभाव]], ''1/f'' और [[कर्कश शोर|कर्कश नॉइज़]], और भूकंप, तंत्रिका हिमस्खलन, सौर फ्लेयर्स आदि के पैमाने-मुक्त आँकड़े है।
-{{Main|Supersymmetric theory of stochastic dynamics}}
-एसडीई के सुपरसिमेट्रिक सिद्धांत में, स्टोचैस्टिक गतिशीलता को मॉडल के चरण स्थान पर विभेदक रूपों पर अभिनय करने वाले स्टोकेस्टिक विकास ऑपरेटर के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। स्टोचैस्टिक गतिकी के इस सटीक सूत्रीकरण में, सभी एसडीई में टोपोलॉजिकल [[सुपरसिमेट्री]] होती है जो निरंतर समय प्रवाह द्वारा फेज स्पेस की निरंतरता के संरक्षण का प्रतिनिधित्व करती है। इस सुपरसिमेट्री का सहज टूटना अराजकता, [[अशांति]], [[स्व-संगठित आलोचना|स्व-संगठित आलोचनात्मकता]] आदि के रूप में अनुशासनों में जानी जाने वाली सर्वव्यापी गतिशील घटना का गणितीय सार है और [[गोल्डस्टोन प्रमेय]] संबंधित लंबी दूरी के गतिशील व्यवहार की व्याख्या करता है, अर्थात, [[तितली प्रभाव]], 1/f और [[कर्कश शोर]], और भूकंप, तंत्रिका हिमस्खलन, सौर फ्लेयर्स आदि के पैमाने-मुक्त आँकड़े।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 117: / Line 115: @@
 * [[स्थानीय अस्थिरता]]
 * अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया
-* [[स्टोकेस्टिक अस्थिरता]]
+* [[स्टोकेस्टिक अस्थिरता|प्रसंभाव्य अस्थिरता]]
-* स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरण
+* प्रसंभाव्य आंशिक अवकल समीकरण
-* प्रसार प्रक्रिया
+* विसरण प्रक्रिया
-* स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण
+* प्रसंभाव्य अवकल समीकरण
 ==संदर्भ==
 {{Reflist}}
+==अग्रसर पाठ्यक्रम ==
-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
-*अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया
-*श्वेत रव
-*शेयर की कीमत
-*कूदने की प्रक्रिया
-*गणित का मॉडल
-*स्मोलुचोव्स्की समीकरण
-*संभाव्यता सघनता फ़ंक्शन
-*मिलस्टीन विधि
-*गतिशील प्रणाली सिद्धांत
-*आंशिक विभेदक समीकरण
-*पल (गणित)
-*सामान्य अवकल समीकरण
-*संख्यात्मक तरीके
-*सिद्धांत संभावना
-*सामान्यीकृत समारोह
-*अपेक्षित मूल्य
-*झगड़ा
-*संभाव्यता स्थान
-*मापने योग्य समारोह
-*अराजकता सिद्धांत
-*विभेदक रूप
-*स्टोचैस्टिक आंशिक अंतर समीकरण
-==आगे की पढाई==
 * {{cite book
 | last = Adomian
@@ Line 236: / Line 208: @@
 * Desmond Higham and Peter Kloeden: "An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations", SIAM, {{ISBN|978-1-611976-42-7}} (2021).
-{{Authority control}}
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
-[[श्रेणी:स्टोकेस्टिक अवकल समीकरण| ]]
+[[Category:Articles with short description]]
-[[श्रेणी:विभेदक समीकरण]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
-[[श्रेणी: स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं]]
+[[Category:CS1 errors]]
-[[श्रेणी:गणितीय वित्त| ]]
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 [[Category:Created On 19/12/2022]]
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पृष्ठभूमि

शब्दावली

प्रसंभाव्य कलन

संख्यात्मक हल

भौतिकी में प्रयोग करें

प्रायिकता और गणितीय वित्त में प्रयोग करें

हल का अस्तित्व और विशिष्टता

कुछ स्पष्ट रूप से हल करने योग्य एसडीई^[4]

रैखिक एसडीई: सामान्य स्थिति

परिवर्ती (रिड्यूसिबल) एसडीई: स्थिति 1

परिवर्ती (रिड्यूसिबल) एसडीई: स्थिति 2

एसडीई और अति सममिती

यह भी देखें

संदर्भ

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प्रसंभाव्य (स्टोकेस्टिक) अवकल समीकरण: Difference between revisions

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शब्दावली

प्रसंभाव्य कलन

संख्यात्मक हल

भौतिकी में प्रयोग करें

प्रायिकता और गणितीय वित्त में प्रयोग करें

हल का अस्तित्व और विशिष्टता

कुछ स्पष्ट रूप से हल करने योग्य एसडीई[4]

रैखिक एसडीई: सामान्य स्थिति

परिवर्ती (रिड्यूसिबल) एसडीई: स्थिति 1

परिवर्ती (रिड्यूसिबल) एसडीई: स्थिति 2

एसडीई और अति सममिती

यह भी देखें

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कुछ स्पष्ट रूप से हल करने योग्य एसडीई^[4]