सह परिमितता: Difference between revisions

Latest revision as of 10:41, 21 February 2023

गणित में, समुच्चय $X$ का सहपरिमितता उपसमुच्चय एक उप-समुच्चय $A$ है जिसका $X$ में पूरक परिमित समुच्चय है। दूसरे शब्दों में, $A$ मे $X$ के सभी लेकिन बहुत अधिक तत्व सम्मिलित हैं। यदि पूरक परिमित नहीं है, लेकिन यह गणनीय है, तो कोई कहता है कि समुच्चय सहगणनीय है।

ये स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं जब परिमित समुच्चयों पर संरचनाओं को सामान्यीकृत करते हुए विशेष रूप से अनंत उत्पादों पर उत्पाद सांस्थिति या प्रत्यक्ष योग के रूप में व्यवस्थित करते हैं

समुच्चय के पूरक के पास सम्मिलित गुण का वर्णन करने के लिए उपसर्ग "सह" का उपयोग अन्य शब्दों जैसे " सह-अत्यल्प समुच्चय" में इसके उपयोग के अनुरूप है।

बूलियन बीजगणित

$X$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय जो या तो परिमित या सहसंबद्ध हैं बूलियन बीजगणित (संरचना) बनाता है, जिसका अर्थ है कि यह संघ, प्रतिच्छेदन और पूरकता के संचालन के अंतर्गत संवृत है। यह बूलियन बीजगणित $X$ पर परिमित-सहपरिमित बीजगणित है। बूलियन बीजगणित $A$ मे अद्वितीय गैर-व्यावहारिक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक होता है (अर्थात, बीजगणित के तत्व द्वारा उत्पन्न एक अधिकतम शोधन नहीं है) यदि और केवल यदि कोई अनंत समुच्चय $X$ सम्मिलित है जैसे कि $A$ , $X$ पर परिमित -सहपरिमित बीजगणित पर समरूपी है इस स्थिति में, गैर-प्रमुख अतिसूक्ष्मनिस्यंदक सभी सहपरिमित समुच्चय का समूह है।

सहपरिमित सांस्थिति

सहपरिमित सांस्थिति (कभी -कभी परिमित पूरक सांस्थिति कहा जाता है) एक सामयिक समष्टि है जिसे प्रत्येक समुच्चय $X$ पर परिभाषित किया जा सकता है इसमें निश्चित रूप से विवृत समुच्चय $X$ और खाली समुच्चय इसके सभी सहपरिमित उपसमुच्चय होते हैं। परिणामस्वरूप, सहपरिमित सांस्थिति में, केवल संवृत उप-समुच्चय परिमित समुच्चय या सम्पूर्ण $X$ हैं, प्रतीकात्मक रूप से, कोई सांस्थिति को इस रूप में लिखता है

{\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is finite}}\}.

यह सांस्थिति ज़ारिस्की सांस्थिति के संदर्भ में स्वाभाविक रूप से होती है। चूंकि एक क्षेत्र (गणित) पर एक चर में बहुपद है

K

परिमित समुच्चयों पर शून्य हैं, या सम्पूर्ण

K,

ज़ारिस्की सांस्थिति पर

K

(एफ़ाइन लाइन के रूप में माना जाता है) सहपरिमित सांस्थिति है। किसी भी अलघुकरणीय घटक बीजगणितीय वक्र के लिए भी यही सत्य है; यह सत्य नहीं है, उदाहरण के लिए, समतल में

XY=0

के लिए।

गुण

उपसमष्‍टि: सहपरिमित सांस्थिति का प्रत्येक उप -समूह सांस्थिति भी एक सहपरिमित सांस्थिति है।
सुसंहिति: चूंकि प्रत्येक विवृत समुच्चय में $X,$ के बहुत से बिंदुओं को छोड़कर सभी सम्मिलित होते हैं, इसलिए समष्टि $X$ सुसंहत समुच्चय और क्रमिक रूप से सुसंहत है।
पृथक्करण: सहपरिमित सांस्थिति T₁ स्वयंसिद्ध को पूरा करने वाली अपरिष्कृत सांस्थिति है; अर्थात्, यह सबसे छोटी सांस्थिति है जिसके लिए प्रत्येक एकल समुच्चय संवृत है। वास्तव में, $X$ पर एकपक्षीय सांस्थिति T₁ स्वयंसिद्ध को पूरा करता है यदि और केवल यदि इसमें सहपरिमित सांस्थिति सम्मिलित है। यदि $X$ परिमित है तो सहपरिमित सांस्थिति केवल असतत सांस्थिति है। यदि $X$ परिमित नहीं है तो यह सांस्थिति हॉसडॉर्फ समष्टि नहीं है (T)₂, नियमित या सामान्य है क्योंकि कोई भी दो अरिक्त विवृत समुच्चय अलग नहीं होते हैं (अर्थात, यह अतिसंयोजित समष्टि है)।

द्विक बिन्दु सहपरिमित सांस्थिति

द्विक बिन्दु सहपरिमित सांस्थिति सहपरिमित सांस्थिति है जिसमें प्रत्येक बिंदु दोगुना हो गया है; अर्थात यह दो-तत्व समुच्चय पर अविच्छिन्न सांस्थिति के साथ सहपरिमित सांस्थिति का संस्थानिक उत्पाद है। यह T₀ या T₁ नहीं है, क्योंकि द्विक के बिंदु सांस्थितिक रूप से अप्रभेद्य हैं। हालाँकि, यह R₀ है क्योंकि स्थैतिक रूप से अलग-अलग बिंदुओं को अलग किया जा सकता है।

गणनीय योग्य द्विक बिन्दु सहपरिमित सांस्थिति का एक उदाहरण सम और विषम पूर्णांक का समुच्चय है, एक सांस्थिति के साथ जो उन्हें एक साथ समूहित करता है। माना $X$ पूर्णांक का समुच्चय हो, और मान लीजिए $O_{A}$ पूर्णांक का एक उप-समुच्चय बनें जिसका पूरक समुच्चय $A$ है किसी भी पूर्णांक के लिए विवृत समुच्चयों के एक उप-आधार को परिभाषित करें $G_{x}$ किसी भी पूर्णांक के लिए $x$ है $G_{x}=O_{x,x+1}$ यदि $x$ एक सम संख्या है, और $G_{x}=O_{x-1,x}$ यदि $x$ विषम संख्या है। तब $X$ आधार (सांस्थिति) समुच्चय परिमित प्रतिच्छेदन द्वारा उत्पन्न होते हैं, अर्थात् परिमित के लिए $A,$ सांस्थिति के विवृत समुच्चय हैं

U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}

परिणामी स्थान T₀ नहीं है (और इसलिए T₁ नहीं), क्योंकि बिन्दु

x

और

x+1

(के लिए

x

यहां तक कि) संस्थानिक रूप से अप्रभेद्य हैं। हालांकि, समष्टि प्रत्येक के बाद से एक सुसंहत समष्टि है,

U_{A}

में सभी लेकिन निश्चित रूप से कई बिंदु सम्मिलित हैं।

अन्य उदाहरण

उत्पाद सांस्थिति

संस्थानिक समष्टि के उत्पाद पर उत्पाद सांस्थिति $\prod X_{i}$ आधार (सांस्थिति) है $\prod U_{i}$ जहाँ $U_{i}\subseteq X_{i}$ विवृत है, और निश्चित रूप से कई $U_{i}=X_{i}$ है।

समानता (आवश्यकता के बिना कि सह-परिमितता मे कई पूर्ण समष्टि हैं) वर्ग सांस्थिति है।

प्रत्यक्ष योग

मापांक के प्रत्यक्ष योग के तत्व $\bigoplus M_{i}$ अनुक्रम हैं $\alpha _{i}\in M_{i}$ जहां सह-अंतिम रूप से कई $\alpha _{i}=0$ है।

समानता (इसकी आवश्यकता के बिना कि बहुत से शून्य हैं) प्रत्यक्ष उत्पाद है।

यह भी देखें

संदर्भ

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 (See example 18)

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Being a subset whose complement is a finite set}}
-{{Distinguish|cofinality}}
+''[[सह-अन्तिमता]] से भ्रमित न हो।''
-गणित में, एक सेट का एक cofinite [[सबसेट]] <math>X</math> एक सबसेट है <math>A</math> जिसका पूरक (सेट थ्योरी) में <math>X</math> एक [[परिमित सेट]] है।दूसरे शब्दों में, <math>A</math> सभी के सभी तत्व शामिल हैं <math>X.</math> यदि पूरक परिमित नहीं है, लेकिन यह गिनती योग्य है, तो एक कहता है कि सेट [[कूड़े के योग्य]] है।
-ये स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होते हैं जब परिमित सेटों पर संरचनाओं को सामान्य करने के लिए अनंत सेटों पर, विशेष रूप से अनंत उत्पादों पर, जैसा कि #Product टोपोलॉजी या #Direct Sum में होता है।
+गणित में, समुच्चय <math>X</math> का '''सहपरिमितता''' उपसमुच्चय एक उप-समुच्चय <math>A</math> है जिसका <math>X</math> में पूरक परिमित समुच्चय है। दूसरे शब्दों में, <math>A</math> मे <math>X</math> के सभी लेकिन बहुत अधिक तत्व सम्मिलित हैं। यदि पूरक परिमित नहीं है, लेकिन यह गणनीय है, तो कोई कहता है कि समुच्चय सहगणनीय है।
-उपसर्ग का यह उपयोग{{em|co}}एक सेट के पूरक (सेट सिद्धांत) के पास एक संपत्ति का वर्णन करने के लिए |{{em|co}}कार्यान्वयन अन्य शब्दों में इसके उपयोग के अनुरूप है जैसे कि तुलना सेट |{{em|co}}अल्प सेट।
+ये स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं जब परिमित समुच्चयों पर संरचनाओं को सामान्यीकृत करते हुए विशेष रूप से अनंत उत्पादों पर उत्पाद सांस्थिति या प्रत्यक्ष योग के रूप में व्यवस्थित करते हैं
+समुच्चय के पूरक के पास सम्मिलित गुण का वर्णन करने के लिए उपसर्ग "सह" का उपयोग अन्य शब्दों जैसे " सह-अत्यल्प समुच्चय" में इसके उपयोग के अनुरूप है।
 == बूलियन बीजगणित ==
-के सभी सबसेट का सेट <math>X</math> यह या तो परिमित या कोफिनाइट एक [[बूलियन बीजगणित]] (संरचना) बनाता है, जिसका अर्थ है कि यह [[संघ (गणित)]], चौराहे और पूरक के संचालन के तहत बंद है।यह बूलियन बीजगणित है{{visible anchor|finite–cofinite algebra}}पर <math>X.</math> एक बूलियन बीजगणित <math>A</math> एक अद्वितीय गैर-व्यावहारिक [[अल्ट्राफिल्टर]] है (यानी, बीजगणित के एक तत्व द्वारा उत्पन्न एक [[अधिकतम फ़िल्टर]] नहीं है) यदि और केवल अगर कोई अनंत सेट मौजूद है <math>X</math> ऐसा है कि <math>A</math> परिमित -कोफिनाइट बीजगणित पर आइसोमोर्फिक है <math>X.</math> इस मामले में, गैर-प्रिन्किपल अल्ट्राफिल्टर सभी कोफिनाइट सेट का सेट है।
+<math>X</math> के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय जो या तो परिमित या सहसंबद्ध हैं [[बूलियन बीजगणित]] (संरचना) बनाता है, जिसका अर्थ है कि यह संघ, प्रतिच्छेदन और पूरकता के संचालन के अंतर्गत संवृत है। यह बूलियन बीजगणित <math>X</math> पर परिमित-सहपरिमित बीजगणित है। बूलियन बीजगणित <math>A</math> मे अद्वितीय गैर-व्यावहारिक [[अल्ट्राफिल्टर|अतिसूक्ष्मनिस्यंदक]] होता है (अर्थात, बीजगणित के तत्व द्वारा उत्पन्न एक [[अधिकतम फ़िल्टर|अधिकतम शोधन]] नहीं है) यदि और केवल यदि कोई अनंत समुच्चय <math>X</math> सम्मिलित है जैसे कि <math>A</math>, <math>X</math> पर परिमित -सहपरिमित बीजगणित पर समरूपी है इस स्थिति में, गैर-प्रमुख अतिसूक्ष्मनिस्यंदक सभी सहपरिमित समुच्चय का समूह है।
-== कोफिनाइट टोपोलॉजी ==
+== सहपरिमित सांस्थिति ==
-कोफिनाइट टोपोलॉजी (कभी -कभी परिमित पूरक टोपोलॉजी कहा जाता है) एक [[सामयिक स्थान]] है जिसे हर सेट पर परिभाषित किया जा सकता है <math>X.</math> यह ठीक से [[खाली सेट]] और सभी cofinite सबसेट है <math>X</math> खुले सेट के रूप में।परिणामस्वरूप, कोफिनाइट टोपोलॉजी में, केवल बंद सबसेट परिमित सेट हैं, या पूरे पूरे <math>X.</math> प्रतीकात्मक रूप से, एक टोपोलॉजी के रूप में लिखता है
+सहपरिमित सांस्थिति (कभी -कभी परिमित पूरक सांस्थिति कहा जाता है) एक [[सामयिक स्थान|सामयिक समष्टि]] है जिसे प्रत्येक समुच्चय <math>X</math> पर परिभाषित किया जा सकता है इसमें निश्चित रूप से विवृत समुच्चय <math>X</math> और खाली समुच्चय इसके सभी सहपरिमित उपसमुच्चय होते हैं। परिणामस्वरूप, सहपरिमित सांस्थिति में, केवल संवृत उप-समुच्चय परिमित समुच्चय या सम्पूर्ण <math>X</math> हैं, प्रतीकात्मक रूप से, कोई सांस्थिति को इस रूप में लिखता है
 <math display=block>\mathcal{T} = \{A \subseteq X : A = \varnothing \mbox{ or } X \setminus A \mbox{ is finite} \}.</math>
-यह टोपोलॉजी [[ज़ारिस्की टोपोलॉजी]] के संदर्भ में स्वाभाविक रूप से होती है।चूंकि एक [[क्षेत्र (गणित)]] पर एक चर में [[बहुपद]] <math>K</math> परिमित सेटों पर शून्य हैं, या पूरे <math>K,</math> ज़ारिस्की टोपोलॉजी ऑन <math>K</math> (Affine लाइन के रूप में माना जाता है) कोफिनाइट टोपोलॉजी है।किसी भी Irreducible घटक बीजगणितीय वक्र के लिए भी यही सच है;यह सच नहीं है, उदाहरण के लिए, के लिए <math>XY = 0</math> प्लेन में।
+यह सांस्थिति [[ज़ारिस्की टोपोलॉजी|ज़ारिस्की सांस्थिति]] के संदर्भ में स्वाभाविक रूप से होती है। चूंकि एक [[क्षेत्र (गणित)]] पर एक चर में [[बहुपद]] है <math>K</math> परिमित समुच्चयों पर शून्य हैं, या सम्पूर्ण <math>K,</math> ज़ारिस्की सांस्थिति पर <math>K</math> (एफ़ाइन लाइन के रूप में माना जाता है) सहपरिमित सांस्थिति है। किसी भी अलघुकरणीय घटक बीजगणितीय वक्र के लिए भी यही सत्य है; यह सत्य नहीं है, उदाहरण के लिए, समतल में <math>XY = 0</math> के लिए।
 === गुण ===
-* सबस्पेस: कोफिनाइट टोपोलॉजी का प्रत्येक [[उप -समूह टोपोलॉजी]] भी एक कोफिनाइट टोपोलॉजी है।
+* उपसमष्‍टि: सहपरिमित सांस्थिति का प्रत्येक [[उप -समूह टोपोलॉजी|उप -समूह सांस्थिति]] भी एक सहपरिमित सांस्थिति है।
-* कॉम्पैक्टनेस: चूंकि हर [[खुला सेट]] में सभी लेकिन बारीक रूप से कई बिंदु होते हैं <math>X,</math> अंतरिक्ष <math>X</math> [[कॉम्पैक्ट सेट]] और [[क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट]] है।
+* सुसंहिति: चूंकि प्रत्येक [[खुला सेट|विवृत समुच्चय]] में <math>X,</math> के बहुत से बिंदुओं को छोड़कर सभी सम्मिलित होते हैं, इसलिए समष्टि <math>X</math> [[कॉम्पैक्ट सेट|सुसंहत समुच्चय]] और [[क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट|क्रमिक रूप से सुसंहत]] है।
-* पृथक्करण: कोफिनाइट टोपोलॉजी T1 स्पेस को संतुष्ट करने वाले [[टोपोलॉजी की तुलना]] है। टी। टी। टी।<sub>1</sub> स्वयंसिद्ध;यही है, यह सबसे छोटी टोपोलॉजी है जिसके लिए प्रत्येक [[सिंगलटन सेट]] बंद है।वास्तव में, एक मनमानी टोपोलॉजी पर <math>X</math> टी को संतुष्ट करता है<sub>1</sub> Axiom यदि और केवल अगर इसमें कोफिनाइट टोपोलॉजी शामिल है।अगर <math>X</math> परिमित है तो कोफिनाइट टोपोलॉजी केवल [[असतत स्थान]] है।अगर <math>X</math> परिमित नहीं है तो यह टोपोलॉजी हॉसडॉर्फ स्पेस नहीं है | हॉसडॉर्फ (टी (टी)<sub>2</sub>), [[नियमित स्थान]] या [[सामान्य स्थान]] क्योंकि कोई भी दो गैर -खुले खुले सेट असंतुष्ट नहीं हैं (यानी, यह [[हाइपरकोनेक्टेड स्पेस]] है)।
+* पृथक्करण: सहपरिमित सांस्थिति T<sub>1</sub> स्वयंसिद्ध को पूरा करने वाली अपरिष्कृत सांस्थिति है; अर्थात्, यह सबसे छोटी सांस्थिति है जिसके लिए प्रत्येक एकल समुच्चय संवृत है। वास्तव में, <math>X</math> पर एकपक्षीय सांस्थिति T<sub>1</sub> स्वयंसिद्ध को पूरा करता है यदि और केवल यदि इसमें सहपरिमित सांस्थिति सम्मिलित है। यदि <math>X</math> परिमित है तो सहपरिमित सांस्थिति केवल [[असतत स्थान|असतत सांस्थिति]] है। यदि <math>X</math> परिमित नहीं है तो यह सांस्थिति हॉसडॉर्फ समष्टि नहीं है (T)<sub>2</sub>, [[नियमित स्थान|नियमित]] या [[सामान्य स्थान|सामान्य]] है क्योंकि कोई भी दो अरिक्त विवृत समुच्चय अलग नहीं होते हैं (अर्थात, यह [[हाइपरकोनेक्टेड स्पेस|अतिसंयोजित समष्टि]] है)।
-=== डबल-पॉइंटेड कोफिनाइट टोपोलॉजी ===
+=== द्विक बिन्दु सहपरिमित सांस्थिति ===
-डबल-पॉइंटेड कोफिनाइट टोपोलॉजी कोफिनाइट टोपोलॉजी है जिसमें हर बिंदु दोगुना हो गया है;यही है, यह दो-तत्व सेट पर अंधाधुंध टोपोलॉजी के साथ कोफिनाइट टोपोलॉजी का टोपोलॉजिकल उत्पाद है।यह t0 स्थान नहीं है | t<sub>0</sub>या t1 अंतरिक्ष | t<sub>1</sub>, चूंकि डबल के अंक टोपोलॉजिकल रूप से अप्रभेद्य हैं।यह, हालांकि, r0 स्थान है | r<sub>0</sub>चूंकि टोपोलॉजिकल रूप से अलग -अलग बिंदु अलग -अलग हैं।
+द्विक बिन्दु सहपरिमित सांस्थिति सहपरिमित सांस्थिति है जिसमें प्रत्येक बिंदु दोगुना हो गया है; अर्थात यह दो-तत्व समुच्चय पर अविच्छिन्न सांस्थिति के साथ सहपरिमित सांस्थिति का संस्थानिक उत्पाद है। यह T<sub>0</sub> या T<sub>1</sub> नहीं है, क्योंकि द्विक के बिंदु सांस्थितिक रूप से अप्रभेद्य हैं। हालाँकि, यह R<sub>0</sub> है क्योंकि स्थैतिक रूप से अलग-अलग बिंदुओं को अलग किया जा सकता है।
-एक गिनती योग्य डबल-पॉइंटेड कोफिनाइट टोपोलॉजी का एक उदाहरण सम और विषम पूर्णांक का सेट है, एक टोपोलॉजी के साथ जो उन्हें एक साथ समूहित करता है।होने देना <math>X</math> पूर्णांक का सेट हो, और चलो <math>O_A</math> पूर्णांक का एक सबसेट बनें जिसका पूरक सेट है <math>A.</math> खुले सेटों के एक [[सब बेस]] को परिभाषित करें <math>G_x</math> किसी भी पूर्णांक के लिए <math>x</math> होना <math>G_x = O_{x,x+1}</math> अगर <math>x</math> एक समान संख्या है, और <math>G_x = O_{x-1,x}</math> अगर <math>x</math> अजीब है।फिर [[आधार (टोपोलॉजी)]] सेट <math>X</math> परिमित चौराहों द्वारा उत्पन्न होते हैं, अर्थात् परिमित के लिए <math>A,</math> टोपोलॉजी के खुले सेट हैं
+गणनीय योग्य द्विक बिन्दु सहपरिमित सांस्थिति का एक उदाहरण सम और विषम पूर्णांक का समुच्चय है, एक सांस्थिति के साथ जो उन्हें एक साथ समूहित करता है। माना <math>X</math> पूर्णांक का समुच्चय हो, और मान लीजिए <math>O_A</math> पूर्णांक का एक उप-समुच्चय बनें जिसका पूरक समुच्चय <math>A</math> है किसी भी पूर्णांक के लिए विवृत समुच्चयों के एक उप-आधार को परिभाषित करें <math>G_x</math> किसी भी पूर्णांक के लिए <math>x</math> है <math>G_x = O_{x,x+1}</math> यदि <math>x</math> एक सम संख्या है, और <math>G_x = O_{x-1,x}</math> यदि <math>x</math> विषम संख्या है। तब <math>X</math> [[आधार (टोपोलॉजी)|आधार (सांस्थिति)]] समुच्चय परिमित प्रतिच्छेदन द्वारा उत्पन्न होते हैं, अर्थात् परिमित के लिए <math>A,</math> सांस्थिति के विवृत समुच्चय हैं
 <math display=block>U_A := \bigcap_{x \in A} G_x</math>
-परिणामी स्थान टी नहीं है<sub>0</sub> (और इसलिए टी नहीं<sub>1</sub>), क्योंकि अंक <math>x</math> और <math>x + 1</math> (के लिए <math>x</math> यहां तक कि) टोपोलॉजिकल रूप से अप्रभेद्य हैं।हालांकि, अंतरिक्ष एक [[कॉम्पैक्ट स्पेस]] है, प्रत्येक के बाद से <math>U_A</math> सभी लेकिन बारीक रूप से कई बिंदु शामिल हैं।
+परिणामी स्थान T<sub>0</sub> नहीं है (और इसलिए T<sub>1</sub> नहीं), क्योंकि बिन्दु <math>x</math> और <math>x + 1</math> (के लिए <math>x</math> यहां तक कि) संस्थानिक रूप से अप्रभेद्य हैं। हालांकि, समष्टि प्रत्येक के बाद से एक [[कॉम्पैक्ट स्पेस|सुसंहत समष्टि]] है, <math>U_A</math> में सभी लेकिन निश्चित रूप से कई बिंदु सम्मिलित हैं।
 == अन्य उदाहरण ==
-=== [[उत्पाद टोपोलॉजी]] ===
+=== [[उत्पाद टोपोलॉजी|उत्पाद सांस्थिति]] ===
-टोपोलॉजिकल स्पेस के उत्पाद पर उत्पाद टोपोलॉजी <math>\prod X_i</math> आधार (टोपोलॉजी) है <math>\prod U_i</math> कहाँ <math>U_i \subseteq X_i</math> खुला है, और बहुत से लोग हैं <math>U_i = X_i.</math>
+संस्थानिक समष्टि के उत्पाद पर उत्पाद सांस्थिति <math>\prod X_i</math> आधार (सांस्थिति) है <math>\prod U_i</math> जहाँ <math>U_i \subseteq X_i</math> विवृत है, और निश्चित रूप से कई <math>U_i = X_i</math> है।
-एनालॉग (आवश्यकता के बिना कि cofinitely कई पूरे स्थान हैं) [[बॉक्स टोपोलॉजी]] है।
+समानता (आवश्यकता के बिना कि सह-परिमितता मे कई पूर्ण समष्टि हैं) वर्ग [[बॉक्स टोपोलॉजी|सांस्थिति]] है।
 === प्रत्यक्ष योग ===
-मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के तत्व <math>\bigoplus M_i</math> अनुक्रम हैं <math>\alpha_i \in M_i</math> जहां बहुत से लोग <math>\alpha_i = 0.</math>
+मापांक के प्रत्यक्ष योग के तत्व <math>\bigoplus M_i</math> अनुक्रम हैं <math>\alpha_i \in M_i</math> जहां सह-अंतिम रूप से कई <math>\alpha_i = 0</math> है।
-एनालॉग (आवश्यकता के बिना कि cofinitely कई शून्य हैं) [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] है।
+समानता (इसकी आवश्यकता के बिना कि बहुत से शून्य हैं) प्रत्यक्ष उत्पाद है।
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Comeagre set}}
+* {{annotated link|सह-अल्प समुच्चय - एक सामयिक स्थान का "छोटा" उपसमुच्चय}}
-* {{annotated link|Fréchet filter}}
+* {{annotated link|फ्रेचेट फिल्टर}}
-* {{annotated link|List of topologies}}
+* {{annotated link|सांस्थिति की सूची - मूर्त सांस्थिति और संस्थानिक समष्टि की सूची}}
@@ Line 53: / Line 56: @@
 * {{Citation|last1=Steen|first1=Lynn Arthur|author1-link=Lynn Arthur Steen|last2=Seebach|first2=J. Arthur Jr.|author2-link=J. Arthur Seebach, Jr.|title=[[Counterexamples in Topology]]|orig-year=1978|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978|isbn=978-0-486-68735-3|mr=507446|year=1995}} ''(See example 18)''
-[[Category: अनंत सेट सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाएं]] [[Category: सामान्य टोपोलॉजी]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 14/02/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
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+[[Category:अनंत सेट सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाएं]]
+[[Category:सामान्य टोपोलॉजी]]

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