बीजगणितीय तर्क: Difference between revisions

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{{short description|Reasoning about equations with free variables}}
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[[गणितीय तर्क]] में, बीजगणितीय तर्क [[मुक्त चर और बाध्य चर]] के साथ समीकरणों में हेरफेर करके प्राप्त किया गया तर्क है।
[[गणितीय तर्क]] में, बीजगणितीय तर्क को [[मुक्त चर और बाध्य चर]] के साथ समीकरणों में परिवर्तन करके प्राप्त किया गया तर्क है।


जिसे अब सामान्यतः मौलिक बीजगणितीय तर्क कहा जाता है, विभिन्न तर्कशास्त्रों के अध्ययन के लिए उपयुक्त [[मॉडल सिद्धांत]] की पहचान और बीजगणितीय विवरण पर केंद्रित है (बीजगणित के वर्गों के रूप में जो इन निगमनात्मक प्रणालियों के लिए [[बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क)]] का गठन करते हैं) और संबंधित समस्याएं [[प्रतिनिधित्व (गणित)]] और द्वंद्व की तरह। बूलियन बीजगणित और स्टोन द्वैत के लिए प्रतिनिधित्व प्रमेय जैसे प्रसिद्ध परिणाम मौलिक बीजगणितीय तर्क की छत्रछाया में आते हैं {{harv|Czelakowski|2003}}.
जिसे अब सामान्यतः मौलिक बीजगणितीय तर्क कहा जाता है, विभिन्न तर्कशास्त्रों के अध्ययन के लिए उपयुक्त [[मॉडल सिद्धांत|प्रारूप सिद्धांत]] की पहचान और बीजगणितीय विवरण पर केंद्रित है (बीजगणित के वर्गों के रूप में जो इन निगमनात्मक प्रणालियों के लिए [[बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क)]] का गठन करते हैं) और इस प्रकार संबंधित समस्याएं [[प्रतिनिधित्व (गणित)]] और द्वंद्व की तरह प्रकट करते हैं। बूलियन बीजगणित और स्टोन द्वैत के लिए प्रतिनिधित्व प्रमेय जैसे प्रसिद्ध परिणाम मौलिक बीजगणितीय तर्क के कार्यसमय में आते हैं।


अधिक हाल के [[सार बीजगणितीय तर्क]] (एएएल) में काम करता है बीजगणित की प्रक्रिया पर ही ध्यान केंद्रित करता है, जैसे [[लीबनिज ऑपरेटर]] का उपयोग करके बीजगणितीयता के विभिन्न रूपों को वर्गीकृत करना {{harv|Czelakowski|2003}}.
इस प्रकार वर्तमान के [[सार बीजगणितीय तर्क|बीजगणितीय तर्क]] (एएएल) में यह तर्र कार्य करता है बीजगणित की प्रक्रिया पर ही ध्यान केंद्रित करता है, जैसे [[लीबनिज ऑपरेटर]] का उपयोग करके बीजगणितीयता के विभिन्न रूपों को वर्गीकृत करना होता हैं।


== संबंधों की गणना ==
== संबंधों की गणना ==
कुछ सेट X के लिए X × X के [[सत्ता स्थापित]] में सजातीय बाइनरी संबंध पाया जाता है, जबकि X × Y के पावर सेट में [[विषम संबंध]] पाया जाता है, जहां X ≠ Y. क्या दिया गया संबंध दो व्यक्तियों के लिए [[अंश]] है सूचना का, इसलिए बूलियन अंकगणित के साथ संबंधों का अध्ययन किया जाता है। पावर सेट के तत्वों को आंशिक रूप से [[समावेशन (सेट सिद्धांत)]] द्वारा आदेश दिया जाता है, और इन सेटों की जाली सापेक्ष गुणन या संबंधों की संरचना के माध्यम से बीजगणित बन जाती है।
कुछ समुच्चय X के लिए X × X के [[सत्ता स्थापित]] में सजातीय बाइनरी संबंध पाया जाता है, जबकि X × Y के पावर समुच्चय में [[विषम संबंध]] पाया जाता है, जहां X ≠ Y दिये गये संबंधों में दो व्यक्तियों के लिए ऐसा [[अंश]] है जिसके लिए सूचना का प्रबंध करना है, इसलिए बूलियन अंकगणित के साथ संबंधों का अध्ययन किया जाता है। इस प्रकार पावर समुच्चय के तत्वों को आंशिक रूप से [[समावेशन (सेट सिद्धांत)|समावेशन (समुच्चय सिद्धांत)]] द्वारा आदेश दिया जाता है, और इन समुच्चयों की असत्यता के सापेक्ष गुणन या संबंधों की संरचना के माध्यम से बीजगणित बन जाती है।


  मूल संचालन सेट-सैद्धांतिक संघ, प्रतिच्छेदन और पूरकता, सापेक्ष गुणन और रूपांतरण हैं।<ref>{{cite book | author=Bjarni Jónsson | year=1984| contribution=Maximal Algebras of Binary Relations  | url= | title=Contributions to Group Theory  | editor1=Kenneth I. Appel |editor2= John G. Ratcliffe |editor3= Paul E. Schupp | location=Providence/RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | series=Contemporary Mathematics | volume=33 | pages=299&ndash;307 |  isbn=978-0-8218-5035-0}}</ref>
  मूल संचालन समुच्चय-सैद्धांतिक संघ, प्रतिच्छेदन और पूरकता, सापेक्ष गुणन और रूपांतरण हैं।<ref>{{cite book | author=Bjarni Jónsson | year=1984| contribution=Maximal Algebras of Binary Relations  | url= | title=Contributions to Group Theory  | editor1=Kenneth I. Appel |editor2= John G. Ratcliffe |editor3= Paul E. Schupp | location=Providence/RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | series=Contemporary Mathematics | volume=33 | pages=299&ndash;307 |  isbn=978-0-8218-5035-0}}</ref>
रूपांतरण [[विपरीत संबंध]] को संदर्भित करता है जो हमेशा मौजूद रहता है, कार्य सिद्धांत के विपरीत। दिए गए संबंध को [[तार्किक मैट्रिक्स]] द्वारा दर्शाया जा सकता है; तब विलोम संबंध को [[खिसकाना]]़ मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। दो अन्य की संरचना के रूप में प्राप्त संबंध तब बूलियन अंकगणित का उपयोग करके [[मैट्रिक्स गुणन]] द्वारा प्राप्त तार्किक मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है।
रूपांतरण [[विपरीत संबंध]] को संदर्भित करता है जो सदैव कार्य सिद्धांत के विपरीत संलग्न रहता है। दिए गए संबंध को [[तार्किक मैट्रिक्स|तार्किक आव्यहू]] द्वारा दर्शाया जा सकता है, इस स्थिति में व्युत्क्रम संबंध को [[खिसकाना]] आव्यहू द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार दो अन्य की संरचना के रूप में प्राप्त संबंध तब बूलियन अंकगणित का उपयोग करके [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यहू गुणन]] द्वारा प्राप्त तार्किक आव्यहू द्वारा दर्शाया जाता है।


=== उदाहरण ===
=== उदाहरण ===
[[कामुक]]ता, प्रश्नों के सिद्धांत में संबंधों की कलन का उदाहरण उत्पन्न होता है। कथनों के ब्रह्मांड में [[कथन (तर्क)]] S और प्रश्न Q हैं। Q से S तक दो संबंध π और α हैं: q α a धारण करता है जब a प्रश्न q का सीधा उत्तर होता है। अन्य संबंध, q π p तब धारण करता है जब p पूर्वधारणा#प्रश्न q की तार्किक रचना है। विलोम संबंध π<sup>T</sup> S से Q तक चलता है जिससे कि रचना π हो<sup>टी</sup>;α एस पर सजातीय संबंध है।{{citation needed|date=May 2021}} पर्याप्त उत्तर प्राप्त करने के लिए सही प्रश्न पूछने की कला को सुकरात पद्धति संवाद में मान्यता प्राप्त है।
[[कामुक|का]][[र्यकर्ता]], प्रश्नों के सिद्धांत में संबंधों की कलन का उदाहरण उत्पन्न होता है। कथनों के ब्रह्मांड में [[कथन (तर्क)]] S और प्रश्न Q हैं। Q से S तक दो संबंध π और α हैं: q α a धारण करता है जब a प्रश्न q का सीधा उत्तर होता है। अन्य संबंध, q π p तब धारण करता है जब p पूर्वधारणा प्रश्न q की तार्किक रचना है। विलोम संबंध π<sup>T</sup> S से Q तक चलता है जिससे कि रचना π<sup>T</sup>,αs पर सजातीय संबंध है। इस प्रकार पर्याप्त उत्तर प्राप्त करने के लिए सही प्रश्न पूछने की कला को सुकरात पद्धति संवाद में मान्यता प्राप्त है।


=== कार्य ===
=== कार्य ===
संबंधों की कलन के साथ प्रमुख द्विआधारी संबंध गुणों का विवरण तैयार किया गया है। कार्यों की अद्वितीयता संपत्ति संबंध का वर्णन करती है <math>R</math> जो सूत्र को संतुष्ट करता है <math>R^T R \subseteq I ,</math> कहाँ <math>I</math> की सीमा पर पहचान संबंध है <math>R</math>. अंतःक्षेपी गुण की एकरूपता से मेल खाता है <math>R^T</math>, या सूत्र <math>R R^T \subseteq I ,</math> इस बार कहाँ <math>I</math> के डोमेन पर पहचान है <math>R</math>.
इन संबंधों की कलन के साथ प्रमुख द्विआधारी संबंध गुणों का विवरण तैयार किया गया है। इस प्रकार कार्यों की अद्वितीयता <math>R</math> संपत्ति संबंध का वर्णन करती है, जो <math>R^T R \subseteq I ,</math> सूत्र को संतुष्ट करता है, जहाँ <math>I</math> की सीमा पर <math>R</math> की पहचान करना संबंधित है, अंतःक्षेपी गुण की एकरूपता <math>R^T</math> या सूत्र <math>R R^T \subseteq I ,</math>से मेल खाता है, इस बार यहाँ <math>I</math> के डोमेन पर पहचान <math>R</math> है।


किन्तु असमान संबंध केवल आंशिक फलन होता है, जबकि असमान [[कुल संबंध]] फलन (गणित) होता है। समग्रता का सूत्र है <math>I \subseteq R R^T .</math> [[चार्ल्स लोवेनर]] और [[गुंथर श्मिट]] कुल, असमान संबंध के लिए मैपिंग शब्द का उपयोग करते हैं।<ref>G. Schmidt & T. Ströhlein (1993) ''Relations and Graphs'' Discrete Mathematics for Computer Scientists, page 54, EATCS Monographs on Theoretical Computer Science, Springer Verlag, {{ISBN|3-540-56254-0}}</ref><ref>G. Schmidt (2011) ''Relational Mathematics'', Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 132, pages 49 and 57, [[Cambridge University Press]] {{ISBN|978-0-521-76268-7}}</ref>
इस प्रकार असमान संबंध केवल आंशिक फलन होता है, जबकि असमान [[कुल संबंध]] फलन (गणित) होता है। समग्रता का सूत्र है <math>I \subseteq R R^T .</math> [[चार्ल्स लोवेनर]] और [[गुंथर श्मिट]] कुल, असमान संबंध के लिए मैपिंग शब्द का उपयोग करते हैं।<ref>G. Schmidt & T. Ströhlein (1993) ''Relations and Graphs'' Discrete Mathematics for Computer Scientists, page 54, EATCS Monographs on Theoretical Computer Science, Springer Verlag, {{ISBN|3-540-56254-0}}</ref><ref>G. Schmidt (2011) ''Relational Mathematics'', Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 132, pages 49 and 57, [[Cambridge University Press]] {{ISBN|978-0-521-76268-7}}</ref>
[[पूरक संबंध]]ों की सुविधा ने [[ऑगस्टस डी मॉर्गन]] और अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ) को प्रेरित किया। अर्नस्ट श्रोडर ने संबंधों की संरचना # श्रोडर नियमों का उपयोग करके <math>\bar{R}</math> संबंध के पूरक के लिए <math>R</math>. ये तुल्यताएं असमान संबंधों के लिए वैकल्पिक सूत्र प्रदान करती हैं (<math> R \bar{I} \subseteq \bar{R}</math>), और कुल संबंध (<math>\bar{R} \subseteq R \bar{I}</math>).
इसलिए, मानचित्रण सूत्र को संतुष्ट करते हैं <math>\bar{R} = R \bar{I} .</math> श्मिट इस सिद्धांत का उपयोग बाईं ओर से निषेध के नीचे फिसलने के रूप में करते हैं।<ref>G. Schmidt & M. Winter(2018) ''Relational Topology'', page 8, [[Lecture Notes in Mathematics]] vol. 2208, Springer Verlag, {{ISBN|978-3-319-74451-3}}</ref> मैपिंग के लिए <math>f, \quad f\bar{A} = \overline{f A} .</math>


[[पूरक संबंध|पूरक संबंधों]] की सुविधा ने [[ऑगस्टस डी मॉर्गन]] और अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ) को प्रेरित किया। इस प्रकार अर्नस्ट श्रोडर ने संबंधों की संरचना # श्रोडर नियमों का उपयोग करके <math>\bar{R}</math> संबंध के पूरक के लिए <math>R</math>. ये तुल्यताएं असमान संबंधों के लिए वैकल्पिक सूत्र <math> R \bar{I} \subseteq \bar{R}</math> ()  और कुल संबंध (<math>\bar{R} \subseteq R \bar{I}</math>) प्रदान करती हैं।


इसलिए, मानचित्रण सूत्र <math>\bar{R} = R \bar{I} .</math> को संतुष्ट करते हैं, श्मिट इस सिद्धांत का उपयोग बाईं ओर से निषेध मैपिंग के लिए <math>f, \quad f\bar{A} = \overline{f A} .</math> के नीचे फिसलने के रूप में करते हैं।<ref>G. Schmidt & M. Winter(2018) ''Relational Topology'', page 8, [[Lecture Notes in Mathematics]] vol. 2208, Springer Verlag, {{ISBN|978-3-319-74451-3}}</ref>
=== अमूर्त ===
=== अमूर्त ===
सेट थ्योरी पर आधारित संबंध बीजगणित संरचना, टार्स्की द्वारा इसका वर्णन करने वाले स्वयंसिद्धों के साथ पार किया गया था। फिर उसने पूछा कि क्या अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाले प्रत्येक बीजगणित को समुच्चय संबंध द्वारा निरूपित किया जा सकता है। नकारात्मक उत्तर<ref>{{cite journal | mr=0037278 | jstor=1969375 | author=Roger C. Lyndon | author-link=Roger C. Lyndon |title=The representation of Relational Algebras | journal=[[Annals of Mathematics]] | volume=51 | number=3 | pages=707&ndash;729 | date=May 1950 }}</ref> सार बीजगणितीय तर्क की सीमा खोली।<ref>[[Vaughn Pratt]] [http://boole.stanford.edu/pub/ocbr.pdf The Origins of the Calculus of Relations], from [[Stanford University]]</ref><ref>[[Roger Maddux]] (1991) "The Origin of Relation Algebras in the Development and Axiomatization of the Calculus of Relations", [[Studia Logica]] 50'': 421-55</ref><ref name=T41/>
समुच्चय सिद्धांत पर आधारित संबंध बीजगणित संरचना, टार्स्की द्वारा इसका वर्णन करने वाले स्वयंसिद्धों के साथ पार किया गया था। फिर उसने पूछा कि क्या अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाले प्रत्येक बीजगणित को समुच्चय संबंध द्वारा निरूपित किया जा सकता है। इस प्रकार इसका ऋणात्मक उत्तर<ref>{{cite journal | mr=0037278 | jstor=1969375 | author=Roger C. Lyndon | author-link=Roger C. Lyndon |title=The representation of Relational Algebras | journal=[[Annals of Mathematics]] | volume=51 | number=3 | pages=707&ndash;729 | date=May 1950 }}</ref> बीजगणितीय तर्क की सीमा पर निर्भर करता हैं।<ref>[[Vaughn Pratt]] [http://boole.stanford.edu/pub/ocbr.pdf The Origins of the Calculus of Relations], from [[Stanford University]]</ref><ref>[[Roger Maddux]] (1991) "The Origin of Relation Algebras in the Development and Axiomatization of the Calculus of Relations", [[Studia Logica]] 50'': 421-55</ref><ref name=T41/>
 
== [[तर्क]]शास्त्र के प्रारूप के रूप में बीजगणित ==
 
बीजगणितीय तर्क [[बीजगणितीय संरचना]]ओं का व्यवहार करता है, अधिकांशतः [[जाली (आदेश)]], कुछ तर्कों के प्रारूपों की व्याख्या के रूप में, तर्क को [[आदेश सिद्धांत]] की शाखा बनाते हैं।
== [[तर्क]]शास्त्र के मॉडल के रूप में बीजगणित ==
बीजगणितीय तर्क [[बीजगणितीय संरचना]]ओं का व्यवहार करता है, अधिकांशतः [[जाली (आदेश)]], कुछ लॉजिक्स के मॉडल (व्याख्या) के रूप में, तर्क को [[आदेश सिद्धांत]] की शाखा बनाते हैं।


बीजगणितीय तर्क में:
बीजगणितीय तर्क में:
* चर प्रवचन के कुछ ब्रह्मांड पर मौन रूप से [[सार्वभौमिक परिमाणीकरण]] हैं। कोई [[अस्तित्वगत परिमाणीकरण]] या [[वाक्य (गणितीय तर्क)]] नहीं हैं;
* चर प्रवचन के कुछ ब्रह्मांड पर मौन रूप से [[सार्वभौमिक परिमाणीकरण]] हैं। कोई [[अस्तित्वगत परिमाणीकरण]] या [[वाक्य (गणितीय तर्क)]] नहीं हैं,
* टर्म (तर्क) आदिम और परिभाषित ऑपरेशन (गणित) का उपयोग करके चर से निर्मित होते हैं। कोई तार्किक संबंध नहीं हैं;
* टर्म (तर्क) आदिम और परिभाषित ऑपरेशन (गणित) का उपयोग करके चर से निर्मित होते हैं। कोई तार्किक संबंध नहीं हैं,
* सामान्य तरीके से शब्दों से निर्मित सूत्रों की बराबरी की जा सकती है यदि वे तार्किक तुल्यता हैं। तनातनी (तर्क) को व्यक्त करने के लिए, सूत्र को सत्य मान के साथ समान करें;
* सामान्य तरीके से शब्दों से निर्मित सूत्रों की बराबरी की जा सकती है यदि वे तार्किक तुल्यता हैं। तनातनी (तर्क) को व्यक्त करने के लिए, सूत्र को सत्य मान के साथ समान करें,
* सबूत के नियम बराबर के लिए बराबर का प्रतिस्थापन, और समान प्रतिस्थापन हैं। [[मूड सेट करना]] वैध रहता है, किन्तु संभवतः ही कभी इसका उपयोग किया जाता है।
* सबूत के नियम बराबर के लिए बराबर का प्रतिस्थापन, और समान प्रतिस्थापन हैं। [[मूड सेट करना|मूड समुच्चय करना]] वैध रहता है, किन्तु संभवतः ही कभी इसका उपयोग किया जाता है।


नीचे दी गई तालिका में, बाएँ स्तंभ में या अधिक [[तार्किक प्रणाली]] या गणितीय प्रणालियाँ हैं, और बीजगणितीय संरचना जो इसके मॉडल हैं, उसी पंक्ति में दाईं ओर दिखाई गई हैं। इनमें से कुछ संरचनाएं या तो [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] हैं या उनके [[उचित विस्तार]] हैं। [[मॉडल तर्क]] और अन्य गणितीय लॉजिक # नॉनक्लासिकल और मोडल लॉजिक सामान्यतः ऑपरेटरों के साथ बूलियन अल्जेब्रा कहलाते हैं।
नीचे दी गई तालिका में, बाएँ स्तंभ में या अधिक [[तार्किक प्रणाली]] या गणितीय प्रणालियाँ हैं, और बीजगणितीय संरचना जो इसके प्रारूप हैं, उसी पंक्ति में दाईं ओर दिखाई गई हैं। इनमें से कुछ संरचनाएं या तो [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] हैं या उनके [[उचित विस्तार]] हैं। [[मॉडल तर्क|प्रारूप तर्क]] और अन्य गणितीय तर्क, नॉनक्लासिकल और प्रारूप तर्क सामान्यतः ऑपरेटरों के साथ बूलियन बीजगणित कहलाते हैं।


कम से कम कुछ स्थितियों में प्रथम-क्रम तर्क से परे जाने वाली बीजगणितीय औपचारिकताओं में सम्मलित हैं:
कम से कम कुछ स्थितियों में प्रथम-क्रम तर्क से परे जाने वाली बीजगणितीय औपचारिकताओं में सम्मलित हैं:
* [[संयोजन तर्क]], [[समुच्चय सिद्धान्त]] की अभिव्यंजक शक्ति होना;
* [[संयोजन तर्क]], [[समुच्चय सिद्धान्त]] की अभिव्यंजक शक्ति होना,
* [[संबंध बीजगणित]], यकीनन प्रतिमान बीजगणितीय तर्क, [[पियानो अंकगणित]] और सबसे [[स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत]] को व्यक्त कर सकता है, जिसमें विहित [[ZFC]] भी सम्मलित है।
* [[संबंध बीजगणित]], यकीनन प्रतिमान बीजगणितीय तर्क, [[पियानो अंकगणित]] और सबसे [[स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत|स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत]] को व्यक्त कर सकता है, जिसमें विहित [[ZFC]] भी सम्मलित है।


{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
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!Logical system
!तार्किक प्रणाली
![[Lindenbaum–Tarski algebra]]
![[लिनडेनबाॅम टार्सिकी बीजगणित]]
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|-
|Classical [[sentential logic]]
|[[sentential logic|मौलिक सेंटेशियल तर्क]]
|[[Boolean algebra]]
|[[बुलियन बीजगणित]]
|-
|-
|[[Intuitionistic logic|Intuitionistic]] propositional logic
|[[अंतर्ज्ञानवादी प्रस्तावपरक तर्क]]
|[[Heyting algebra]]
|[[Heyting algebra|हेटिंग बीजगणित]]
|-
|-
|[[Łukasiewicz logic]]
|[[Łukasiewicz logic|लुकासिविक्ज़ लॉजिक]]
|[[MV-algebra]]
|[[MV-algebra|एमवी-बीजगणित]]
|-
|-
|Modal logic [[normal modal logic|K]]
|मोडल लॉजिक के
|[[Modal algebra]]
|[[Modal algebra|प्रारूप बीजगणित]]
|-
|-
|[[Clarence Irving Lewis|Lewis]]'s [[modal logic|S4]]
|लुईस का S4
|[[Interior algebra]]
|[[Interior algebra|आंतरिक बीजगणित]]
|-
|-
|Lewis's [[S5 (modal logic)|S5]], [[monadic predicate logic]]
|लुईस का S5, मोनाडिक विधेय तर्क
|[[Monadic Boolean algebra]]
|[[Monadic Boolean algebra|मोनाडिक बूलियन बीजगणित]]
|-
|-
|[[First-order logic]]
|[[First-order logic|प्रथम-क्रम तर्क]]
|[[Boolean-valued model|Complete Boolean algebra]], [[polyadic algebra]], [[predicate functor logic]]
|[[पूर्ण बूलियन बीजगणित, पॉलीएडिक बीजगणित, विधेय functor तर्क]]
|-
|-
|First-order logic with [[equality (mathematics)|equality]]
|[[समानता के साथ प्रथम-क्रम तर्क]]
|[[Cylindric algebra]]
|[[Cylindric algebra|बेलनाकार बीजगणित]]
|-
|-
|[[Set theory]]
|[[Set theory|समुच्चय सिद्धान्त]]
|[[Combinatory logic]], [[relation algebra]]
|[[संयोजन तर्क, संबंध बीजगणित]]
|}
|}
== इतिहास ==
== इतिहास ==
{{see also|Symbolical algebra}}
{{see also|प्रतीकात्मक बीजगणित}}
बीजगणितीय तर्क, संभवतः, औपचारिक तर्क के लिए सबसे पुराना दृष्टिकोण है, यकीनन इसकी प्रारंभ 1680 के दशक में [[गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज]] द्वारा लिखे गए कई ज्ञापनों से हुई थी, जिनमें से कुछ 19वीं शताब्दी में प्रकाशित हुए थे और 1918 में [[क्लेरेंस लुईस]] द्वारा अंग्रेजी में अनुवादित किए गए थे।<ref name=Lewis/>{{rp|291–305}} किन्तु बीजगणितीय तर्क पर लाइबनिट्स का लगभग सभी ज्ञात कार्य केवल 1903 में प्रकाशित हुआ था, जब लुई कॉटुरेट ने लीबनिज के [[जागीर]] में इसकी खोज की थी। {{harvtxt|Parkinson|1966}} और {{harvtxt|Loemker|1969}} Couturat की मात्रा से अंग्रेजी में अनुवादित चयन।
बीजगणितीय तर्क, संभवतः, औपचारिक तर्क के लिए सबसे पुराना दृष्टिकोण है, यकीनन इसकी प्रारंभ 1680 के दशक में [[गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज]] द्वारा लिखे गए कई ज्ञापनों से हुई थी, जिनमें से कुछ 19वीं शताब्दी में प्रकाशित हुए थे और इस प्रकार 1918 में [[क्लेरेंस लुईस]] द्वारा अंग्रेजी में अनुवादित किए गए थे।<ref name=Lewis/>{{rp|291–305}} किन्तु इस प्रकार बीजगणितीय तर्क पर लाइबनिट्स का लगभग सभी ज्ञात कार्य केवल 1903 में प्रकाशित हुआ था, जब लुई कॉटुरेट ने लीबनिज के [[जागीर]] में इसकी खोज की थी। {{harvtxt|पार्किंसंस|1966}} और {{harvtxt|लोमकर|1969}} काउट्यूरत की मात्रा से अंग्रेजी में अनुवादित चयन हैं।


आधुनिक गणितीय तर्क 1847 में दो पैम्फलेट के साथ प्रारंभ हुआ, जिसके संबंधित लेखक [[जॉर्ज बूले]] थे<ref>[[George Boole]], [https://books.google.com/books?id=zv4YAQAAIAAJ&pg=PP9#v=onepage&q&f=false ''The Mathematical Analysis of Logic, Being an Essay towards a Calculus of Deductive Reasoning''] (London, England: Macmillan, Barclay, & Macmillan, 1847).</ref> और ऑगस्टस डी मॉर्गन।<ref>[[Augustus De Morgan]] (1847), ''[https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015026440449;view=1up;seq=6 Formal Logic]'', London: Taylor & Walton, link from [[Hathi Trust]]</ref> 1870 में [[चार्ल्स सैंडर्स पियर्स]] ने रिश्तेदारों के तर्क पर कई कार्यों में से पहला प्रकाशित किया। [[अलेक्जेंडर मैकफर्लेन]] ने तर्क के बीजगणित के सिद्धांतों को प्रकाशित किया<ref>[[Alexander Macfarlane]] (1879), ''[https://archive.org/details/principlesalgeb03macfgoog/page/n6/mode/2up Principles of the Algebra of Logic]'', via Internet Archive</ref> 1879 में, और 1883 में, [[जॉन्स हॉपकिन्स विश्वविद्यालय]] में पियर्स के छात्र [[क्रिस्टीन लैड]] ने तर्क के बीजगणित पर प्रकाशित किया।<ref>[[Christine Ladd]] (1883), ''[https://books.google.ca/books?id=A48XAAAAIAAJ&pg=PA17 On the Algebra of Logic]'' via [[Google Books]]</ref> तर्क अधिक बीजगणितीय हो गया जब द्विआधारी संबंधों को संबंधों की संरचना के साथ जोड़ दिया गया। सेट ए और बी के लिए, संबंधों को पहले [[बूलियन बीजगणित]] द्वारा वर्णित गुणों के साथ ए × बी के पावर सेट के तत्वों के रूप में समझा गया था। संबंधों की गणना<ref name=T41/>तार्किक रूप से तर्क के प्रति लीबनिज के दृष्टिकोण की पराकाष्ठा है। हॉशचुले कार्लज़ूए में संबंधों की गणना का वर्णन अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ)|अर्नस्ट श्रोडर द्वारा किया गया था।<ref>[[Ernst Schröder (mathematician)|Ernst Schröder]], (1895), ''[https://archive.org/details/vorlesungenberd03mlgoog Algebra der Logik (Exakte Logik) Dritter Band, Algebra und Logik der Relative]'', Leibzig: [[B. G. Teubner]] via [[Internet Archive]]</ref> विशेष रूप से उन्होंने संबंधों की संरचना#श्रोडर नियम|श्रोडर नियम तैयार किए, चूंकि डी मॉर्गन ने अपने प्रमेय K के साथ उनका अनुमान लगाया था।
आधुनिक गणितीय तर्क 1847 में दो पैम्फलेट के साथ प्रारंभ हुआ, जिसके संबंधित लेखक [[जॉर्ज बूले]] थे<ref>[[George Boole]], [https://books.google.com/books?id=zv4YAQAAIAAJ&pg=PP9#v=onepage&q&f=false ''The Mathematical Analysis of Logic, Being an Essay towards a Calculus of Deductive Reasoning''] (London, England: Macmillan, Barclay, & Macmillan, 1847).</ref> और ऑगस्टस डी मॉर्गन ने प्रस्तावित किये थे।<ref>[[Augustus De Morgan]] (1847), ''[https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015026440449;view=1up;seq=6 Formal Logic]'', London: Taylor & Walton, link from [[Hathi Trust]]</ref> 1870 में [[चार्ल्स सैंडर्स पियर्स]] ने रिश्तेदारों के तर्क पर कई कार्यों में से पहला प्रकाशित किया था। [[अलेक्जेंडर मैकफर्लेन]] ने तर्क के बीजगणित के सिद्धांतों को प्रकाशित किया था,<ref>[[Alexander Macfarlane]] (1879), ''[https://archive.org/details/principlesalgeb03macfgoog/page/n6/mode/2up Principles of the Algebra of Logic]'', via Internet Archive</ref> 1879 में, और 1883 में, [[जॉन्स हॉपकिन्स विश्वविद्यालय]] में पियर्स के छात्र [[क्रिस्टीन लैड]] ने तर्क के बीजगणित पर प्रकाशित किया।<ref>[[Christine Ladd]] (1883), ''[https://books.google.ca/books?id=A48XAAAAIAAJ&pg=PA17 On the Algebra of Logic]'' via [[Google Books]]</ref> तर्क अधिक बीजगणितीय हो गया जब द्विआधारी संबंधों को संबंधों की संरचना के साथ जोड़ दिया गया। समुच्चय ए और बी के लिए, संबंधों को पहले [[बूलियन बीजगणित]] द्वारा वर्णित गुणों के साथ a × b के पावर समुच्चय के तत्वों के रूप में समझा गया था। इस प्रकार संबंधों की गणना<ref name=T41/>तार्किक रूप से तर्क के प्रति लीबनिज के दृष्टिकोण की पराकाष्ठा है। हॉशचुले कार्लज़ूए में संबंधों की गणना का वर्णन अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ)|अर्नस्ट श्रोडर द्वारा किया गया था।<ref>[[Ernst Schröder (mathematician)|Ernst Schröder]], (1895), ''[https://archive.org/details/vorlesungenberd03mlgoog Algebra der Logik (Exakte Logik) Dritter Band, Algebra und Logik der Relative]'', Leibzig: [[B. G. Teubner]] via [[Internet Archive]]</ref> विशेष रूप से उन्होंने संबंधों की संरचना श्रोडर नियम|श्रोडर नियम तैयार किए, चूंकि डी मॉर्गन ने अपने प्रमेय K के साथ उनका अनुमान लगाया था।


1903 में [[बर्ट्रेंड रसेल]] ने आदिम धारणा # रसेल के प्रिमिटिव के रूप में कैलकुलस के संचालन के आधार पर शुद्ध गणित के अपने संस्करण के रूप में संबंधों और [[तर्कवाद]] की कलन को विकसित किया।<ref>B. Russell (1903) ''[[The Principles of  Mathematics]]''</ref> 1918 में क्लेरेंस लुईस द्वारा पाठ्यपुस्तक में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, बर्कले में तर्क के बूले-श्रोडर बीजगणित का विकास किया गया था।<ref name=Lewis>[[Clarence Lewis]] (1918) ''A Survey of Symbolic Logic'', [[University of California Press]], second edition 1932, Dover edition 1960</ref> उन्होंने संबंधों के तर्क को दो या दो से अधिक चरों के प्रस्तावात्मक कार्यों से प्राप्त किया।
1903 में [[बर्ट्रेंड रसेल]] ने आदिम धारणा रसेल के प्रिमिटिव के रूप में कैलकुलस के संचालन के आधार पर शुद्ध गणित के अपने संस्करण के रूप में संबंधों और [[तर्कवाद]] की कलन को विकसित किया।<ref>B. Russell (1903) ''[[The Principles of  Mathematics]]''</ref> इस प्रकार 1918 में क्लेरेंस लुईस द्वारा पाठ्यपुस्तक में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, बर्कले में तर्क के बूले-श्रोडर बीजगणित का विकास किया गया था।<ref name=Lewis>[[Clarence Lewis]] (1918) ''A Survey of Symbolic Logic'', [[University of California Press]], second edition 1932, Dover edition 1960</ref> उन्होंने संबंधों के तर्क को दो या दो से अधिक चरों के प्रस्तावात्मक कार्यों से प्राप्त किया था।


[[ह्यूग मैककॉल]], [[भगवान फ्रीज का शुक्र है]], [[जोसेफ पीनो]] और ए.एन. व्हाइटहेड सभी ने लीबनिज के [[प्रतीकात्मक तर्क]], गणित और [[दर्शन]] के संयोजन के सपने को साझा किया।
[[ह्यूग मैककॉल]], [[भगवान फ्रीज का शुक्र है]], [[जोसेफ पीनो]] और ए.एन. व्हाइटहेड सभी ने लीबनिज के [[प्रतीकात्मक तर्क]], गणित और [[दर्शन]] के संयोजन के सपने को साझा किया था।


[[गणितीय सिद्धांत]] पर लियोपोल्ड लोवेनहेम और [[थोराल्फ़ स्कोलेम]] के कुछ लेख 1910-13 में प्रिन्सिपिया [[अंक शास्त्र]] के प्रकाशन के बाद प्रकट हुए, और टार्स्की ने अपने 1941 के निबंध ऑन द कैलकुलस ऑफ़ रिलेशंस के साथ संबंधों में रुचि को पुनर्जीवित किया।<ref name=T41/>
[[गणितीय सिद्धांत]] पर लियोपोल्ड लोवेनहेम और [[थोराल्फ़ स्कोलेम]] के कुछ लेख 1910-13 में प्रिन्सिपिया [[अंक शास्त्र]] के प्रकाशन के बाद प्रकट हुए, और इस प्रकार टार्स्की ने अपने 1941 के निबंध ऑन द कैलकुलस ऑफ़ रिलेशंस के साथ संबंधों में रुचि को पुनर्जीवित किया था।<ref name=T41/>


[[हेलेना रसिओवा]] के अनुसार, 1920-40 के वर्षों में, विशेष रूप से पोलिश स्कूल ऑफ लॉजिक में, गैर-मौलिक प्रस्तावपरक गणना पर शोध किया गया, जिसे तार्किक मैट्रिक्स विधि कहा जाता है। चूँकि तार्किक आव्यूह कुछ अमूर्त बीजगणित होते हैं, इसने तर्क में बीजगणितीय पद्धति का उपयोग किया।<ref>[[Helena Rasiowa]] (1974), "Post Algebras as Semantic Foundations of m-valued Logics", pages 92–142 in ''Studies in Algebraic Logic'', edited by Aubert Daigneault, [[Mathematical Association of America]] {{ISBN|0-88385-109-1}}</ref>
[[हेलेना रसिओवा]] के अनुसार, 1920-40 के वर्षों में, विशेष रूप से पोलिश स्कूल ऑफ तर्क में, गैर-मौलिक प्रस्तावपरक गणना पर शोध किया गया, जिसे तार्किक आव्यहू विधि कहा जाता है। चूँकि इस प्रकार तार्किक आव्यूह कुछ बीजगणित होते हैं, इसने तर्क में बीजगणितीय पद्धति का उपयोग किया था।<ref>[[Helena Rasiowa]] (1974), "Post Algebras as Semantic Foundations of m-valued Logics", pages 92–142 in ''Studies in Algebraic Logic'', edited by Aubert Daigneault, [[Mathematical Association of America]] {{ISBN|0-88385-109-1}}</ref>


{{harvtxt|Brady|2000}} बीजगणितीय तर्क और मॉडल सिद्धांत के बीच समृद्ध ऐतिहासिक संबंधों पर चर्चा करता है। मॉडल सिद्धांत के संस्थापक, अर्नस्ट श्रोडर और लियोपोल्ड लोवेनहेम, बीजगणितीय परंपरा में तार्किक थे। समकालीन गणितीय तर्क की प्रमुख शाखा के रूप में सेट थ्योरी मॉडल थ्योरी के संस्थापक [[अल्फ्रेड टार्स्की]] भी:
{{harvtxt|ब्रैडी|2000}} बीजगणितीय तर्क और प्रारूप सिद्धांत के बीच समृद्ध ऐतिहासिक संबंधों पर चर्चा करता है। इस प्रकार प्रारूप सिद्धांत के संस्थापक, अर्नस्ट श्रोडर और लियोपोल्ड लोवेनहेम, बीजगणितीय परंपरा में तार्किक थे। समकालीन गणितीय तर्क की प्रमुख शाखा के रूप में समुच्चय सिद्धांत प्रारूप सिद्धांत के संस्थापक [[अल्फ्रेड टार्स्की]] भी:
* संबंध बीजगणित के साथ अमूर्त बीजगणितीय तर्क की प्रारंभ की<ref name="T41">[[Alfred Tarski]] (1941), "On the Calculus of Relations", ''[[Journal of Symbolic Logic]]'' 6: 73–89 {{doi|10.2307/2268577 }}</ref>
* संबंध बीजगणित के साथ बीजगणितीय तर्क की प्रारंभ की<ref name="T41">[[Alfred Tarski]] (1941), "On the Calculus of Relations", ''[[Journal of Symbolic Logic]]'' 6: 73–89 {{doi|10.2307/2268577 }}</ref>
* [[बेलनाकार बीजगणित]] का आविष्कार किया
* [[बेलनाकार बीजगणित]] का आविष्कार किया
* सह-खोज लिंडेनबाम-टार्स्की बीजगणित।
* सह-खोज लिंडेनबाम-टार्स्की बीजगणित।


संबंधों की कलन के अभ्यास में, [[जैक्स रिगुएट]] ने उपयोगी अवधारणाओं को आगे बढ़ाने के लिए बीजगणितीय तर्क का उपयोग किया: उन्होंने विषम संबंध की धारणा के साथ समतुल्य संबंध (एक सेट पर) की अवधारणा को विषम स्थिति में विस्तारित किया। रिगुएट ने अपने नोट द्वारा विषम संदर्भ में आदेश देने का विस्तार किया कि सीढ़ी तार्किक मैट्रिक्स में पूरक है जो सीढ़ी भी है, और यह कि एनएम फेरर्स का प्रमेय सीढ़ी के स्थानान्तरण की व्याख्या से होता है। रिगुएट ने तार्किक सदिशों के बाह्य गुणनफल को लेकर आयताकार संबंध उत्पन्न किए; ये [[औपचारिक अवधारणा विश्लेषण]] के गैर-विस्तारित आयतों में योगदान करते हैं।
संबंधों की कलन के अभ्यास में, [[जैक्स रिगुएट]] ने उपयोगी अवधारणाओं को आगे बढ़ाने के लिए बीजगणितीय तर्क का उपयोग किया: उन्होंने विषम संबंध की धारणा के साथ समतुल्य संबंधित की एक ही समुच्चय की अवधारणा को विषम स्थिति में विस्तारित किया था। इस प्रकार रिगुएट ने अपने नोट द्वारा विषम संदर्भ में आदेश देने का विस्तार किया कि सीढ़ी तार्किक आव्यहू में पूरक है जो सीढ़ी भी है, और इस प्रकार यह एनएम फेरर्स की प्रमेय सीढ़ी के स्थानान्तरण की व्याख्या से होता है। इस प्रकार रिगुएट ने तार्किक सदिशों के बाह्य गुणनफल को लेकर आयताकार संबंध उत्पन्न किए, ये [[औपचारिक अवधारणा विश्लेषण]] के गैर-विस्तारित आयतों में योगदान करते हैं।


लीबनिज का बीजगणितीय तर्क के उदय पर कोई प्रभाव नहीं था क्योंकि पार्किंसंस और लोएमकर अनुवादों से पहले उनके तार्किक लेखन का बहुत कम अध्ययन किया गया था। तर्कशास्त्री के रूप में लीबनिज की हमारी वर्तमान समझ मुख्य रूप से वोल्फगैंग लेनजेन के कार्य से उपजी है, जिसका सारांश निम्नलिखित में दिया गया है: {{harvtxt|Lenzen|2004}}. यह देखने के लिए कि कैसे तर्क और तत्वमीमांसा में वर्तमान समय का कार्य लीबनिज के विचारों से प्रेरणा ले सकता है और उन पर प्रकाश डाल सकता है, देखें {{harvtxt|Zalta|2000}}.
लीबनिज का बीजगणितीय तर्क के उदय पर कोई प्रभाव नहीं था क्योंकि पार्किंसंस और लोएमकर अनुवादों से पहले उनके तार्किक लेखन का बहुत कम अध्ययन किया गया था। तर्कशास्त्री के रूप में लीबनिज की हमारी वर्तमान समझ मुख्य रूप से वोल्फगैंग लेनजेन के कार्य से उत्पन्न हुई हैं, इस प्रकार जिसका सारांश निम्नलिखित में दिया गया है: {{harvtxt|लेनजेन|2004}}. यह देखने के लिए कि कैसे तर्क और तत्वमीमांसा में वर्तमान समय का कार्य लीबनिज के विचारों से प्रेरणा ले सकता है और उन पर प्रकाश डाल सकता है, इसके लिए {{harvtxt|जैल्टा|2000}}. देखें।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
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==अग्रिम पठन==
==अग्रिम पठन==
* {{cite book|author1=J. Michael Dunn|author2=Gary M. Hardegree|title=Algebraic Methods in Philosophical Logic|year=2001|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-853192-0}} Good introduction for readers with prior exposure to [[non-classical logic]]s but without much background in order theory and/or universal algebra; the book covers these prerequisites at length. This book however has been criticized for poor and sometimes incorrect presentation of AAL results. [https://www.jstor.org/stable/3094793 Review by Janusz Czelakowski]
* {{cite book|author1=J. Michael Dunn|author2=Gary M. Hardegree|title=Algebraic Methods in Philosophical Logic|year=2001|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-853192-0}} Good introduction for readers with prior exposure to [[non-classical logic|non-मौलिक तर्क]]s but without much background in order theory and/or universal algebra, the book covers these prerequisites at length. This book however has been criticized for poor and sometimes incorrect presentation of AAL results. [https://www.jstor.org/stable/3094793 Review by Janusz Czelakowski]
* {{cite book|editor=Dov M. Gabbay, Franz Guenthner|title=Handbook of Philosophical Logic, vol 2|year=2001|edition=2nd|publisher=Springer|isbn=978-0-7923-7126-7|author=[[Hajnal Andréka]], István Németi and Ildikó Sain|chapter=Algebraic logic}} [https://web.archive.org/web/20111005123012/http://www.math-inst.hu/pub/algebraic-logic/handbook.pdf Draft].
* {{cite book|editor=Dov M. Gabbay, Franz Guenthner|title=Handbook of Philosophical Logic, vol 2|year=2001|edition=2nd|publisher=Springer|isbn=978-0-7923-7126-7|author=[[Hajnal Andréka]], István Németi and Ildikó Sain|chapter=Algebraic logic}} [https://web.archive.org/web/20111005123012/http://www.math-inst.hu/pub/algebraic-logic/handbook.pdf Draft].
* Ramon Jansana (2011), "[http://plato.stanford.edu/entries/consequence-algebraic/ Propositional Consequence Relations and Algebraic Logic]". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Mainly about abstract algebraic logic.
* Ramon Jansana (2011), "[http://plato.stanford.edu/entries/consequence-algebraic/ Propositional Consequence Relations and Algebraic तर्क]". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Mainly about abstract algebraic तर्क.
* Stanley Burris (2015), "[http://plato.stanford.edu/entries/algebra-logic-tradition/ The Algebra of Logic Tradition]". Stanford Encyclopedia of Philosophy.
* Stanley Burris (2015), "[http://plato.stanford.edu/entries/algebra-logic-tradition/ The Algebra of तर्क Tradition]". Stanford Encyclopedia of Philosophy.
*[[Willard Quine]], 1976, "Algebraic Logic and Predicate Functors" pages 283 to 307 in ''The Ways of Paradox'', [[Harvard University Press]].
*[[Willard Quine]], 1976, "Algebraic तर्क and Predicate Functors" pages 283 to 307 in ''The Ways of Paradox'', [[Harvard University Press]].


'''Historical perspective'''
'''Historical perspective'''
* [[Ivor Grattan-Guinness]], 2000. ''The Search for Mathematical Roots''. Princeton University Press.
* [[Ivor Grattan-Guinness]], 2000. ''The Search for Mathematical Roots''. Princeton University Press.
* [[Irving Anellis]] & N. Houser (1991) "Nineteenth Century Roots of Algebraic Logic and Universal Algebra", pages 1–36 in ''Algebraic Logic'', Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai # 54, [[János Bolyai Mathematical Society]] & [[Elsevier]] {{ISBN|0444885439}}
* [[Irving Anellis]] & N. Houser (1991) "Nineteenth Century Roots of Algebraic तर्क and Universal Algebra", pages 1–36 in ''Algebraic तर्क'', Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai # 54, [[János Bolyai Mathematical Society]] & [[Elsevier]] {{ISBN|0444885439}}




==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
* [https://philpapers.org/s/algebraic%20logic Algebraic logic] at [[PhilPapers]]
* [https://philpapers.org/s/algebraic%20logic Algebraic तर्क] at [[PhilPapers]]
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Latest revision as of 11:07, 23 February 2023

गणितीय तर्क में, बीजगणितीय तर्क को मुक्त चर और बाध्य चर के साथ समीकरणों में परिवर्तन करके प्राप्त किया गया तर्क है।

जिसे अब सामान्यतः मौलिक बीजगणितीय तर्क कहा जाता है, विभिन्न तर्कशास्त्रों के अध्ययन के लिए उपयुक्त प्रारूप सिद्धांत की पहचान और बीजगणितीय विवरण पर केंद्रित है (बीजगणित के वर्गों के रूप में जो इन निगमनात्मक प्रणालियों के लिए बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) का गठन करते हैं) और इस प्रकार संबंधित समस्याएं प्रतिनिधित्व (गणित) और द्वंद्व की तरह प्रकट करते हैं। बूलियन बीजगणित और स्टोन द्वैत के लिए प्रतिनिधित्व प्रमेय जैसे प्रसिद्ध परिणाम मौलिक बीजगणितीय तर्क के कार्यसमय में आते हैं।

इस प्रकार वर्तमान के बीजगणितीय तर्क (एएएल) में यह तर्र कार्य करता है बीजगणित की प्रक्रिया पर ही ध्यान केंद्रित करता है, जैसे लीबनिज ऑपरेटर का उपयोग करके बीजगणितीयता के विभिन्न रूपों को वर्गीकृत करना होता हैं।

संबंधों की गणना

कुछ समुच्चय X के लिए X × X के सत्ता स्थापित में सजातीय बाइनरी संबंध पाया जाता है, जबकि X × Y के पावर समुच्चय में विषम संबंध पाया जाता है, जहां X ≠ Y दिये गये संबंधों में दो व्यक्तियों के लिए ऐसा अंश है जिसके लिए सूचना का प्रबंध करना है, इसलिए बूलियन अंकगणित के साथ संबंधों का अध्ययन किया जाता है। इस प्रकार पावर समुच्चय के तत्वों को आंशिक रूप से समावेशन (समुच्चय सिद्धांत) द्वारा आदेश दिया जाता है, और इन समुच्चयों की असत्यता के सापेक्ष गुणन या संबंधों की संरचना के माध्यम से बीजगणित बन जाती है। 

मूल संचालन समुच्चय-सैद्धांतिक संघ, प्रतिच्छेदन और पूरकता, सापेक्ष गुणन और रूपांतरण हैं।[1]

रूपांतरण विपरीत संबंध को संदर्भित करता है जो सदैव कार्य सिद्धांत के विपरीत संलग्न रहता है। दिए गए संबंध को तार्किक आव्यहू द्वारा दर्शाया जा सकता है, इस स्थिति में व्युत्क्रम संबंध को खिसकाना आव्यहू द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार दो अन्य की संरचना के रूप में प्राप्त संबंध तब बूलियन अंकगणित का उपयोग करके आव्यहू गुणन द्वारा प्राप्त तार्किक आव्यहू द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण

कार्यकर्ता, प्रश्नों के सिद्धांत में संबंधों की कलन का उदाहरण उत्पन्न होता है। कथनों के ब्रह्मांड में कथन (तर्क) S और प्रश्न Q हैं। Q से S तक दो संबंध π और α हैं: q α a धारण करता है जब a प्रश्न q का सीधा उत्तर होता है। अन्य संबंध, q π p तब धारण करता है जब p पूर्वधारणा प्रश्न q की तार्किक रचना है। विलोम संबंध πT S से Q तक चलता है जिससे कि रचना πT,αs पर सजातीय संबंध है। इस प्रकार पर्याप्त उत्तर प्राप्त करने के लिए सही प्रश्न पूछने की कला को सुकरात पद्धति संवाद में मान्यता प्राप्त है।

कार्य

इन संबंधों की कलन के साथ प्रमुख द्विआधारी संबंध गुणों का विवरण तैयार किया गया है। इस प्रकार कार्यों की अद्वितीयता संपत्ति संबंध का वर्णन करती है, जो सूत्र को संतुष्ट करता है, जहाँ की सीमा पर की पहचान करना संबंधित है, अंतःक्षेपी गुण की एकरूपता या सूत्र से मेल खाता है, इस बार यहाँ के डोमेन पर पहचान है।

इस प्रकार असमान संबंध केवल आंशिक फलन होता है, जबकि असमान कुल संबंध फलन (गणित) होता है। समग्रता का सूत्र है चार्ल्स लोवेनर और गुंथर श्मिट कुल, असमान संबंध के लिए मैपिंग शब्द का उपयोग करते हैं।[2][3]

पूरक संबंधों की सुविधा ने ऑगस्टस डी मॉर्गन और अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ) को प्रेरित किया। इस प्रकार अर्नस्ट श्रोडर ने संबंधों की संरचना # श्रोडर नियमों का उपयोग करके संबंध के पूरक के लिए . ये तुल्यताएं असमान संबंधों के लिए वैकल्पिक सूत्र () और कुल संबंध () प्रदान करती हैं।

इसलिए, मानचित्रण सूत्र को संतुष्ट करते हैं, श्मिट इस सिद्धांत का उपयोग बाईं ओर से निषेध मैपिंग के लिए के नीचे फिसलने के रूप में करते हैं।[4]

अमूर्त

समुच्चय सिद्धांत पर आधारित संबंध बीजगणित संरचना, टार्स्की द्वारा इसका वर्णन करने वाले स्वयंसिद्धों के साथ पार किया गया था। फिर उसने पूछा कि क्या अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाले प्रत्येक बीजगणित को समुच्चय संबंध द्वारा निरूपित किया जा सकता है। इस प्रकार इसका ऋणात्मक उत्तर[5] बीजगणितीय तर्क की सीमा पर निर्भर करता हैं।[6][7][8]

तर्कशास्त्र के प्रारूप के रूप में बीजगणित

बीजगणितीय तर्क बीजगणितीय संरचनाओं का व्यवहार करता है, अधिकांशतः जाली (आदेश), कुछ तर्कों के प्रारूपों की व्याख्या के रूप में, तर्क को आदेश सिद्धांत की शाखा बनाते हैं।

बीजगणितीय तर्क में:

  • चर प्रवचन के कुछ ब्रह्मांड पर मौन रूप से सार्वभौमिक परिमाणीकरण हैं। कोई अस्तित्वगत परिमाणीकरण या वाक्य (गणितीय तर्क) नहीं हैं,
  • टर्म (तर्क) आदिम और परिभाषित ऑपरेशन (गणित) का उपयोग करके चर से निर्मित होते हैं। कोई तार्किक संबंध नहीं हैं,
  • सामान्य तरीके से शब्दों से निर्मित सूत्रों की बराबरी की जा सकती है यदि वे तार्किक तुल्यता हैं। तनातनी (तर्क) को व्यक्त करने के लिए, सूत्र को सत्य मान के साथ समान करें,
  • सबूत के नियम बराबर के लिए बराबर का प्रतिस्थापन, और समान प्रतिस्थापन हैं। मूड समुच्चय करना वैध रहता है, किन्तु संभवतः ही कभी इसका उपयोग किया जाता है।

नीचे दी गई तालिका में, बाएँ स्तंभ में या अधिक तार्किक प्रणाली या गणितीय प्रणालियाँ हैं, और बीजगणितीय संरचना जो इसके प्रारूप हैं, उसी पंक्ति में दाईं ओर दिखाई गई हैं। इनमें से कुछ संरचनाएं या तो बूलियन बीजगणित (संरचना) हैं या उनके उचित विस्तार हैं। प्रारूप तर्क और अन्य गणितीय तर्क, नॉनक्लासिकल और प्रारूप तर्क सामान्यतः ऑपरेटरों के साथ बूलियन बीजगणित कहलाते हैं।

कम से कम कुछ स्थितियों में प्रथम-क्रम तर्क से परे जाने वाली बीजगणितीय औपचारिकताओं में सम्मलित हैं:

तार्किक प्रणाली लिनडेनबाॅम टार्सिकी बीजगणित
मौलिक सेंटेशियल तर्क बुलियन बीजगणित
अंतर्ज्ञानवादी प्रस्तावपरक तर्क हेटिंग बीजगणित
लुकासिविक्ज़ लॉजिक एमवी-बीजगणित
मोडल लॉजिक के प्रारूप बीजगणित
लुईस का S4 आंतरिक बीजगणित
लुईस का S5, मोनाडिक विधेय तर्क मोनाडिक बूलियन बीजगणित
प्रथम-क्रम तर्क पूर्ण बूलियन बीजगणित, पॉलीएडिक बीजगणित, विधेय functor तर्क
समानता के साथ प्रथम-क्रम तर्क बेलनाकार बीजगणित
समुच्चय सिद्धान्त संयोजन तर्क, संबंध बीजगणित

इतिहास

See also: प्रतीकात्मक बीजगणित

बीजगणितीय तर्क, संभवतः, औपचारिक तर्क के लिए सबसे पुराना दृष्टिकोण है, यकीनन इसकी प्रारंभ 1680 के दशक में गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज द्वारा लिखे गए कई ज्ञापनों से हुई थी, जिनमें से कुछ 19वीं शताब्दी में प्रकाशित हुए थे और इस प्रकार 1918 में क्लेरेंस लुईस द्वारा अंग्रेजी में अनुवादित किए गए थे।[9]: 291–305  किन्तु इस प्रकार बीजगणितीय तर्क पर लाइबनिट्स का लगभग सभी ज्ञात कार्य केवल 1903 में प्रकाशित हुआ था, जब लुई कॉटुरेट ने लीबनिज के जागीर में इसकी खोज की थी। पार्किंसंस (1966) और लोमकर (1969) काउट्यूरत की मात्रा से अंग्रेजी में अनुवादित चयन हैं।

आधुनिक गणितीय तर्क 1847 में दो पैम्फलेट के साथ प्रारंभ हुआ, जिसके संबंधित लेखक जॉर्ज बूले थे[10] और ऑगस्टस डी मॉर्गन ने प्रस्तावित किये थे।[11] 1870 में चार्ल्स सैंडर्स पियर्स ने रिश्तेदारों के तर्क पर कई कार्यों में से पहला प्रकाशित किया था। अलेक्जेंडर मैकफर्लेन ने तर्क के बीजगणित के सिद्धांतों को प्रकाशित किया था,[12] 1879 में, और 1883 में, जॉन्स हॉपकिन्स विश्वविद्यालय में पियर्स के छात्र क्रिस्टीन लैड ने तर्क के बीजगणित पर प्रकाशित किया।[13] तर्क अधिक बीजगणितीय हो गया जब द्विआधारी संबंधों को संबंधों की संरचना के साथ जोड़ दिया गया। समुच्चय ए और बी के लिए, संबंधों को पहले बूलियन बीजगणित द्वारा वर्णित गुणों के साथ a × b के पावर समुच्चय के तत्वों के रूप में समझा गया था। इस प्रकार संबंधों की गणना[8]तार्किक रूप से तर्क के प्रति लीबनिज के दृष्टिकोण की पराकाष्ठा है। हॉशचुले कार्लज़ूए में संबंधों की गणना का वर्णन अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ)|अर्नस्ट श्रोडर द्वारा किया गया था।[14] विशेष रूप से उन्होंने संबंधों की संरचना श्रोडर नियम|श्रोडर नियम तैयार किए, चूंकि डी मॉर्गन ने अपने प्रमेय K के साथ उनका अनुमान लगाया था।

1903 में बर्ट्रेंड रसेल ने आदिम धारणा रसेल के प्रिमिटिव के रूप में कैलकुलस के संचालन के आधार पर शुद्ध गणित के अपने संस्करण के रूप में संबंधों और तर्कवाद की कलन को विकसित किया।[15] इस प्रकार 1918 में क्लेरेंस लुईस द्वारा पाठ्यपुस्तक में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, बर्कले में तर्क के बूले-श्रोडर बीजगणित का विकास किया गया था।[9] उन्होंने संबंधों के तर्क को दो या दो से अधिक चरों के प्रस्तावात्मक कार्यों से प्राप्त किया था।

ह्यूग मैककॉल, भगवान फ्रीज का शुक्र है, जोसेफ पीनो और ए.एन. व्हाइटहेड सभी ने लीबनिज के प्रतीकात्मक तर्क, गणित और दर्शन के संयोजन के सपने को साझा किया था।

गणितीय सिद्धांत पर लियोपोल्ड लोवेनहेम और थोराल्फ़ स्कोलेम के कुछ लेख 1910-13 में प्रिन्सिपिया अंक शास्त्र के प्रकाशन के बाद प्रकट हुए, और इस प्रकार टार्स्की ने अपने 1941 के निबंध ऑन द कैलकुलस ऑफ़ रिलेशंस के साथ संबंधों में रुचि को पुनर्जीवित किया था।[8]

हेलेना रसिओवा के अनुसार, 1920-40 के वर्षों में, विशेष रूप से पोलिश स्कूल ऑफ तर्क में, गैर-मौलिक प्रस्तावपरक गणना पर शोध किया गया, जिसे तार्किक आव्यहू विधि कहा जाता है। चूँकि इस प्रकार तार्किक आव्यूह कुछ बीजगणित होते हैं, इसने तर्क में बीजगणितीय पद्धति का उपयोग किया था।[16]

ब्रैडी (2000) बीजगणितीय तर्क और प्रारूप सिद्धांत के बीच समृद्ध ऐतिहासिक संबंधों पर चर्चा करता है। इस प्रकार प्रारूप सिद्धांत के संस्थापक, अर्नस्ट श्रोडर और लियोपोल्ड लोवेनहेम, बीजगणितीय परंपरा में तार्किक थे। समकालीन गणितीय तर्क की प्रमुख शाखा के रूप में समुच्चय सिद्धांत प्रारूप सिद्धांत के संस्थापक अल्फ्रेड टार्स्की भी:

  • संबंध बीजगणित के साथ बीजगणितीय तर्क की प्रारंभ की[8]
  • बेलनाकार बीजगणित का आविष्कार किया
  • सह-खोज लिंडेनबाम-टार्स्की बीजगणित।

संबंधों की कलन के अभ्यास में, जैक्स रिगुएट ने उपयोगी अवधारणाओं को आगे बढ़ाने के लिए बीजगणितीय तर्क का उपयोग किया: उन्होंने विषम संबंध की धारणा के साथ समतुल्य संबंधित की एक ही समुच्चय की अवधारणा को विषम स्थिति में विस्तारित किया था। इस प्रकार रिगुएट ने अपने नोट द्वारा विषम संदर्भ में आदेश देने का विस्तार किया कि सीढ़ी तार्किक आव्यहू में पूरक है जो सीढ़ी भी है, और इस प्रकार यह एनएम फेरर्स की प्रमेय सीढ़ी के स्थानान्तरण की व्याख्या से होता है। इस प्रकार रिगुएट ने तार्किक सदिशों के बाह्य गुणनफल को लेकर आयताकार संबंध उत्पन्न किए, ये औपचारिक अवधारणा विश्लेषण के गैर-विस्तारित आयतों में योगदान करते हैं।

लीबनिज का बीजगणितीय तर्क के उदय पर कोई प्रभाव नहीं था क्योंकि पार्किंसंस और लोएमकर अनुवादों से पहले उनके तार्किक लेखन का बहुत कम अध्ययन किया गया था। तर्कशास्त्री के रूप में लीबनिज की हमारी वर्तमान समझ मुख्य रूप से वोल्फगैंग लेनजेन के कार्य से उत्पन्न हुई हैं, इस प्रकार जिसका सारांश निम्नलिखित में दिया गया है: लेनजेन (2004). यह देखने के लिए कि कैसे तर्क और तत्वमीमांसा में वर्तमान समय का कार्य लीबनिज के विचारों से प्रेरणा ले सकता है और उन पर प्रकाश डाल सकता है, इसके लिए जैल्टा (2000). देखें।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Bjarni Jónsson (1984). "Maximal Algebras of Binary Relations". In Kenneth I. Appel; John G. Ratcliffe; Paul E. Schupp (eds.). Contributions to Group Theory. Contemporary Mathematics. Vol. 33. Providence/RI: American Mathematical Society. pp. 299–307. ISBN 978-0-8218-5035-0.
  2. ↑ G. Schmidt & T. Ströhlein (1993) Relations and Graphs Discrete Mathematics for Computer Scientists, page 54, EATCS Monographs on Theoretical Computer Science, Springer Verlag, ISBN 3-540-56254-0
  3. ↑ G. Schmidt (2011) Relational Mathematics, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 132, pages 49 and 57, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-76268-7
  4. ↑ G. Schmidt & M. Winter(2018) Relational Topology, page 8, Lecture Notes in Mathematics vol. 2208, Springer Verlag, ISBN 978-3-319-74451-3
  5. ↑ Roger C. Lyndon (May 1950). "The representation of Relational Algebras". Annals of Mathematics. 51 (3): 707–729. JSTOR 1969375. MR 0037278.
  6. ↑ Vaughn Pratt The Origins of the Calculus of Relations, from Stanford University
  7. ↑ Roger Maddux (1991) "The Origin of Relation Algebras in the Development and Axiomatization of the Calculus of Relations", Studia Logica 50: 421-55
  8. ↑ 8.0 8.1 8.2 8.3 Alfred Tarski (1941), "On the Calculus of Relations", Journal of Symbolic Logic 6: 73–89 doi:10.2307/2268577
  9. ↑ 9.0 9.1 Clarence Lewis (1918) A Survey of Symbolic Logic, University of California Press, second edition 1932, Dover edition 1960
  10. ↑ George Boole, The Mathematical Analysis of Logic, Being an Essay towards a Calculus of Deductive Reasoning (London, England: Macmillan, Barclay, & Macmillan, 1847).
  11. ↑ Augustus De Morgan (1847), Formal Logic, London: Taylor & Walton, link from Hathi Trust
  12. ↑ Alexander Macfarlane (1879), Principles of the Algebra of Logic, via Internet Archive
  13. ↑ Christine Ladd (1883), On the Algebra of Logic via Google Books
  14. ↑ Ernst Schröder, (1895), Algebra der Logik (Exakte Logik) Dritter Band, Algebra und Logik der Relative, Leibzig: B. G. Teubner via Internet Archive
  15. ↑ B. Russell (1903) The Principles of Mathematics
  16. ↑ Helena Rasiowa (1974), "Post Algebras as Semantic Foundations of m-valued Logics", pages 92–142 in Studies in Algebraic Logic, edited by Aubert Daigneault, Mathematical Association of America ISBN 0-88385-109-1


स्रोत

  • Brady, Geraldine (2000). पियर्स से स्कोलेम तक: तर्क के इतिहास में एक उपेक्षित अध्याय. Amsterdam, Netherlands: North-Holland/Elsevier Science BV. Archived from the original on 2009-04-02. Retrieved 2009-05-15.
  • Czelakowski, Janusz (2003). "समीक्षा: जे. माइकल डन और गैरी एम. हार्डग्री द्वारा दार्शनिक तर्क में बीजगणितीय तरीके". The Bulletin of Symbolic Logic. Association for Symbolic Logic, Cambridge University Press. 9. ISSN 1079-8986. JSTOR 3094793.
  • Lenzen, Wolfgang, 2004, "Leibniz’s Logic" in Gabbay, D., and Woods, J., eds., Handbook of the History of Logic, Vol. 3: The Rise of Modern Logic from Leibniz to Frege. North-Holland: 1-84.
  • Loemker, Leroy (1969) [First edition 1956], Leibniz: Philosophical Papers and Letters (2nd ed.), Reidel.
  • Parkinson, G.H.R (1966). लीबनिज: लॉजिकल पेपर्स. Oxford University Press.
  • Zalta, E. N., 2000, "A (Leibnizian) Theory of Concepts," Philosophiegeschichte und logische Analyse / Logical Analysis and History of Philosophy 3: 137-183.


अग्रिम पठन

Historical perspective


बाहरी संबंध

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