उरेलमेंट: Difference between revisions
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समुच्चय सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, यूरेलेमेंट या यूआर-एलिमेंट एक वस्तु है जो [[समुच्चय सिद्धान्त|समुच्चय]] नहीं है, परंतु यह समुच्चय का एक तत्व हो सकता है। इसे परमाणु या वैयक्तिक रूप में भी जाना जाता है। | |||
== सिद्धांत == | === सिद्धांत === | ||
प्रथम-क्रम सिद्धांत में | प्रथम-क्रम सिद्धांत में उरेलमेंट के अभ्यास के कई अलग-अलग अनिवार्य समकक्ष नियम हैं। एक नियम यह है कि प्रथम क्रम के सिद्धांत में दो प्रकार,के [[समुच्चय सिद्धान्त|समुच्चय]] और यूरेलेमेंट के साथ काम किया जाए,जिसमें a e b केवल परिभाषित हो जब b एक समुच्चय हो,इस विषय में,यदि u उरेलमेंट है तो यह कहने का कोई उद्देश्य नहीं है की यह <math>X \in U</math>, यद्यपि <math>U \in X</math> पूरी तरह से वैध है। | ||
दूसरा तरीका क्रमबद्ध सिद्धांत का उपयोग करना है, जिसमें समुच्चय और यूरेलेमेंट्स को विभेदित करने के लिए एकल सम्बन्ध का प्रयोग किया जाता है। चूंकि गैर-रिक्त समुच्चय में सदस्य होते हैं लेकिन उरेलमेंट मे कोई भी सदस्य नहीं होते हैं, एकल संबंध केवल रिक्त समुच्चय को उरेलमेंट से अलग करने के लिए आवश्यक है, कि इस सम्बन्ध में,विस्तारण के स्वयंसिद्ध को सिर्फ उन वस्तुओं पर लागू करने के लिए तैयार किया जाना चाहिए जो उरेलमेंट नहीं हैं। | |||
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यह स्थिति समुच्चय और वर्ग के सिद्धांतों के उपचार के अनुरूप है। वास्तव में,उरेलमेंट कुछ अर्थों में [[उचित वर्ग|उचित वर्गों]] के लिए दोगुने हैं: उरेलमेंट में उचित वर्ग सदस्य नहीं हो सकते। उरेलमेंट अलग -अलग तरीके से [[न्यूनतम तत्व]] वस्तु हैं, जबकि उचित वर्ग सदस्यता संबंध द्वारा अधिकतम वस्तुएं हैं जो निश्चित रूप से,एक आदेश संबंध नहीं है, इसलिए इस सादृश्य को शाब्दिक रूप से नहीं लिया जाता है। | |||
=== समुच्चय सिद्धांत में उरेलमेंट === | |||
ज़र्मेलो के1908 के समुच्चय सिद्धांत में उरेलमेंट सम्मिलित थे,और इसलिए यह एक संस्करण है जिसे अब जेडएफए या जेडएफसीए कहा जाता है।<ref>Dexter Chua et al.: [https://ncatlab.org/nlab/show/ZFA ZFA: Zermelo–Fraenkel set theory with atoms], on: ncatlab.org: nLab, revised on July 16, 2016.</ref> जल्द ही यह अनुभव किया गया कि इससे संबंधित स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांतों के संदर्भ में, यूरेलेमेंट्स की आवश्यकता नहीं थी क्योंकि यूरेलेमेंट्स के बिना उन्हें सरलता से सिद्धांत प्रारूप में संदर्भित किया जा सकता है।<ref name="Jech">{{cite book|last=Jech|first=Thomas J.|author-link=Thomas Jech|title=The Axiom of Choice|url=https://archive.org/details/axiomofchoice0000jech|url-access=registration|year=1973|publisher=Dover Publ.|location=Mineola, New York|isbn=0486466248|page=[https://archive.org/details/axiomofchoice0000jech/page/45 45]}}</ref> इस प्रकार, कैनोनिकल स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत और [[ZFC|जेडएफसी]] के मानक प्रतिपाद्य उरेलमेंट का उल्लेख नहीं करते हैं। स्वयसिद्ध समुच्चय सिद्धांत की स्वयंसिद्धता में कृपके-प्लेटक समुच्चय सिद्धांत और मेंडेल्सन द्वारा वर्णित वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत सम्मिलित हैं।<ref name="Mendelson">{{cite book|last=Mendelson|first=Elliott|title=Introduction to Mathematical Logic|year=1997|publisher=Chapman & Hall|location=London|isbn=978-0412808302|pages=297–304|url=https://books.google.com/books?id=ZO1p4QGspoYC&pg=PT309|edition=4th|access-date=17 September 2012}}</ref> इस प्रकार के सिद्धांत में, टाइप 0 की एक वस्तु को उरेलमेंट कहा जा सकता है;इसलिए एनएफयू का उत्पादन करने के लिए प्रणाली [[नई नींव|नई बुनियाद]] में यूरेलमेंट जोड़ने के आश्चर्यजनक परिणाम हैं। विशेष रूप से, जेन्सेन ने परमाणु की निरन्तरता को प्रमाणित किया<ref name="Jensen">{{cite journal|last=Jensen|first=Ronald Björn|author-link=Ronald Jensen|title=On the Consistency of a Slight (?) Modification of Quine's 'New Foundations' |journal=Synthese |date=December 1968 |volume=19 |issue=1/2 |pages=250–264 |jstor=20114640 |publisher=Springer |issn=0039-7857|doi=10.1007/bf00568059 |s2cid=46960777}}</ref>अंकगणित के सापेक्ष एनएफयू की स्थिरता इस मध्य, किसी भी वस्तु के सापेक्ष एनएफ की स्थिरता एक खुली समस्या बनी हुई है,जो कि होम्स के जेडएफ के सापेक्ष इसकी स्थिरता के प्रमाण के लंबित सत्यापन है। इसके अतिरिक्त एनएफयू अनंत के स्वयंसिद्ध और विकल्प के साथ संवर्धित होने पर [[समानता]] बनी रहती है। इस बीच, वैकल्पिक स्वयंसिद्ध की उपेक्षा, उत्सुकता से एनएफ प्रमेय है। होम्स इन तथ्यों को इस बात के लिए प्रमाणित करता है कि एनएफयू एनएफ की तुलना में गणित के लिए अधिक सफल आधार है। होम्स आगे तर्क देते हैं कि समुच्चय सिद्धांत बिना किसी आग्रह के अधिक स्वाभाविक है, क्योंकि हम इसे किसी भी सिद्धांत या भौतिक [[ब्रह्मांड]] की वस्तुओं के रूप में ले सकते हैं।<ref name="Holmes">Holmes, Randall, 1998. ''[https://randall-holmes.github.io/head.pdf Elementary Set Theory with a Universal Set]''. Academia-Bruylant.</ref> फाइनिटिस्ट समुच्चय सिद्धांत में, यूरेलमेंट्स को लक्ष्य घटना के सबसे कम स्तर के घटकों, जैसे कि भौतिक वस्तु के परमाणु घटक या किसी संगठन के सदस्यों के लिए आरेखित किया जाता है। | |||
== | === क्वीन परमाणु === | ||
एक विशेष प्रकार के समुच्चय के रूप में समुच्चय के अतिरिक्त किसी अन्य प्रकार की वस्तु के यूरेलेमेंट्स के लिए वैकल्पिक दृष्टिकोण है। ।<ref name="Forster2003">{{cite book|author=Thomas Forster|title=Logic, Induction and Sets|url=https://books.google.com/books?id=mVeTuaRwWssC&pg=PA199|year=2003|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-53361-4|page=199}}</ref> क्वीन परमाणु समुच्चय सिद्धांत की प्रणालियों में उपस्थित नहीं हो सकते हैं जिसमें [[नियमितता का स्वयंसिद्ध]] सम्मिलित है,परंतु वे गैर-स्थापित समुच्चय सिद्धांत में उपस्थित हो सकते हैं। नियमितता के स्वयंसिद्ध के साथ जेडएफ समुच्चय सिद्धांत यह प्रमाणित नहीं कर सकता है कि कोई भी गैर-स्थापित समुच्चय उपस्थित है जब तक कि यह असंगत नहीं है, जिस स्थिति में यह [[विस्फोट का सिद्धांत]] होगा परंतु यह क्वीन परमाणुओं के अस्तित्व के साथ संगत है। एजल के एंटी-फाउंडेशन स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि यह अद्वितीय क्वीन परमाणु अच्छी तरह से स्थापित सिद्धांत कई अलग-अलग क्विन परमाणुओं को स्वीकार कर सकते हैं; वर्ण क्रम के विपरीत छोर पर श्रेष्ट विश्वविद्यालय का बोफा स्वयंसिद्ध है, जिसका अर्थ है कि विशिष्ट क्विन परमाणुओ का [[उचित वर्ग]] बनाते हैं।<ref name="Aczel1988p57">{{citation|last= Aczel|first= Peter|title= Non-well-founded sets|series= CSLI Lecture Notes|volume= 14|publisher= Stanford University, Center for the Study of Language and Information|year= 1988|page= [https://archive.org/details/nonwellfoundedse0000acze/page/57 57]|isbn= 0-937073-22-9|url= https://archive.org/details/nonwellfoundedse0000acze/page/57|mr= 0940014|access-date= 2016-10-17}}.</ref> | |||
क्वीन परमाणु क्वीन की नई बुनियादों में भी दिखाई देते हैं, जो इस तरह के से अधिक समुच्चय की अनुमति देता है।<ref>{{citation | first1= Jon |last1= Barwise | first2 = Lawrence S. |last2 = Moss |title= Vicious circles. On the mathematics of non-wellfounded phenomena| series = CSLI Lecture Notes |volume = 60 |publisher = CSLI Publications | year= 1996| isbn= 1575860090 |page=306}}.</ref>क्वीन परमाणु एकमात्र समुच्चय हैं जिन्हें स्वतुल्य समुच्चय कहा जाता है। क्विन परमाणु एकमात्र समुच्चय हैं जिन्हें पीटर एक्ज़ेल द्वारा स्वतुल्य समुच्चय कहा गया, [8] यद्यपि अन्य लेखक जॉन बारवाइज और लॉरेंस मॉस x ∈ x गुण के साथ समुच्चय के बड़े वर्ग को निरूपित करने के लिए बाद वाले शब्द का उपयोग करते हैं | |||
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Latest revision as of 10:53, 24 February 2023
समुच्चय सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, यूरेलेमेंट या यूआर-एलिमेंट एक वस्तु है जो समुच्चय नहीं है, परंतु यह समुच्चय का एक तत्व हो सकता है। इसे परमाणु या वैयक्तिक रूप में भी जाना जाता है।
सिद्धांत
प्रथम-क्रम सिद्धांत में उरेलमेंट के अभ्यास के कई अलग-अलग अनिवार्य समकक्ष नियम हैं। एक नियम यह है कि प्रथम क्रम के सिद्धांत में दो प्रकार,के समुच्चय और यूरेलेमेंट के साथ काम किया जाए,जिसमें a e b केवल परिभाषित हो जब b एक समुच्चय हो,इस विषय में,यदि u उरेलमेंट है तो यह कहने का कोई उद्देश्य नहीं है की यह , यद्यपि पूरी तरह से वैध है।
दूसरा तरीका क्रमबद्ध सिद्धांत का उपयोग करना है, जिसमें समुच्चय और यूरेलेमेंट्स को विभेदित करने के लिए एकल सम्बन्ध का प्रयोग किया जाता है। चूंकि गैर-रिक्त समुच्चय में सदस्य होते हैं लेकिन उरेलमेंट मे कोई भी सदस्य नहीं होते हैं, एकल संबंध केवल रिक्त समुच्चय को उरेलमेंट से अलग करने के लिए आवश्यक है, कि इस सम्बन्ध में,विस्तारण के स्वयंसिद्ध को सिर्फ उन वस्तुओं पर लागू करने के लिए तैयार किया जाना चाहिए जो उरेलमेंट नहीं हैं।
यह स्थिति समुच्चय और वर्ग के सिद्धांतों के उपचार के अनुरूप है। वास्तव में,उरेलमेंट कुछ अर्थों में उचित वर्गों के लिए दोगुने हैं: उरेलमेंट में उचित वर्ग सदस्य नहीं हो सकते। उरेलमेंट अलग -अलग तरीके से न्यूनतम तत्व वस्तु हैं, जबकि उचित वर्ग सदस्यता संबंध द्वारा अधिकतम वस्तुएं हैं जो निश्चित रूप से,एक आदेश संबंध नहीं है, इसलिए इस सादृश्य को शाब्दिक रूप से नहीं लिया जाता है।
समुच्चय सिद्धांत में उरेलमेंट
ज़र्मेलो के1908 के समुच्चय सिद्धांत में उरेलमेंट सम्मिलित थे,और इसलिए यह एक संस्करण है जिसे अब जेडएफए या जेडएफसीए कहा जाता है।[1] जल्द ही यह अनुभव किया गया कि इससे संबंधित स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांतों के संदर्भ में, यूरेलेमेंट्स की आवश्यकता नहीं थी क्योंकि यूरेलेमेंट्स के बिना उन्हें सरलता से सिद्धांत प्रारूप में संदर्भित किया जा सकता है।[2] इस प्रकार, कैनोनिकल स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत और जेडएफसी के मानक प्रतिपाद्य उरेलमेंट का उल्लेख नहीं करते हैं। स्वयसिद्ध समुच्चय सिद्धांत की स्वयंसिद्धता में कृपके-प्लेटक समुच्चय सिद्धांत और मेंडेल्सन द्वारा वर्णित वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत सम्मिलित हैं।[3] इस प्रकार के सिद्धांत में, टाइप 0 की एक वस्तु को उरेलमेंट कहा जा सकता है;इसलिए एनएफयू का उत्पादन करने के लिए प्रणाली नई बुनियाद में यूरेलमेंट जोड़ने के आश्चर्यजनक परिणाम हैं। विशेष रूप से, जेन्सेन ने परमाणु की निरन्तरता को प्रमाणित किया[4]अंकगणित के सापेक्ष एनएफयू की स्थिरता इस मध्य, किसी भी वस्तु के सापेक्ष एनएफ की स्थिरता एक खुली समस्या बनी हुई है,जो कि होम्स के जेडएफ के सापेक्ष इसकी स्थिरता के प्रमाण के लंबित सत्यापन है। इसके अतिरिक्त एनएफयू अनंत के स्वयंसिद्ध और विकल्प के साथ संवर्धित होने पर समानता बनी रहती है। इस बीच, वैकल्पिक स्वयंसिद्ध की उपेक्षा, उत्सुकता से एनएफ प्रमेय है। होम्स इन तथ्यों को इस बात के लिए प्रमाणित करता है कि एनएफयू एनएफ की तुलना में गणित के लिए अधिक सफल आधार है। होम्स आगे तर्क देते हैं कि समुच्चय सिद्धांत बिना किसी आग्रह के अधिक स्वाभाविक है, क्योंकि हम इसे किसी भी सिद्धांत या भौतिक ब्रह्मांड की वस्तुओं के रूप में ले सकते हैं।[5] फाइनिटिस्ट समुच्चय सिद्धांत में, यूरेलमेंट्स को लक्ष्य घटना के सबसे कम स्तर के घटकों, जैसे कि भौतिक वस्तु के परमाणु घटक या किसी संगठन के सदस्यों के लिए आरेखित किया जाता है।
क्वीन परमाणु
एक विशेष प्रकार के समुच्चय के रूप में समुच्चय के अतिरिक्त किसी अन्य प्रकार की वस्तु के यूरेलेमेंट्स के लिए वैकल्पिक दृष्टिकोण है। ।[6] क्वीन परमाणु समुच्चय सिद्धांत की प्रणालियों में उपस्थित नहीं हो सकते हैं जिसमें नियमितता का स्वयंसिद्ध सम्मिलित है,परंतु वे गैर-स्थापित समुच्चय सिद्धांत में उपस्थित हो सकते हैं। नियमितता के स्वयंसिद्ध के साथ जेडएफ समुच्चय सिद्धांत यह प्रमाणित नहीं कर सकता है कि कोई भी गैर-स्थापित समुच्चय उपस्थित है जब तक कि यह असंगत नहीं है, जिस स्थिति में यह विस्फोट का सिद्धांत होगा परंतु यह क्वीन परमाणुओं के अस्तित्व के साथ संगत है। एजल के एंटी-फाउंडेशन स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि यह अद्वितीय क्वीन परमाणु अच्छी तरह से स्थापित सिद्धांत कई अलग-अलग क्विन परमाणुओं को स्वीकार कर सकते हैं; वर्ण क्रम के विपरीत छोर पर श्रेष्ट विश्वविद्यालय का बोफा स्वयंसिद्ध है, जिसका अर्थ है कि विशिष्ट क्विन परमाणुओ का उचित वर्ग बनाते हैं।[7]
क्वीन परमाणु क्वीन की नई बुनियादों में भी दिखाई देते हैं, जो इस तरह के से अधिक समुच्चय की अनुमति देता है।[8]क्वीन परमाणु एकमात्र समुच्चय हैं जिन्हें स्वतुल्य समुच्चय कहा जाता है। क्विन परमाणु एकमात्र समुच्चय हैं जिन्हें पीटर एक्ज़ेल द्वारा स्वतुल्य समुच्चय कहा गया, [8] यद्यपि अन्य लेखक जॉन बारवाइज और लॉरेंस मॉस x ∈ x गुण के साथ समुच्चय के बड़े वर्ग को निरूपित करने के लिए बाद वाले शब्द का उपयोग करते हैं
संदर्भ
- ↑ Dexter Chua et al.: ZFA: Zermelo–Fraenkel set theory with atoms, on: ncatlab.org: nLab, revised on July 16, 2016.
- ↑ Jech, Thomas J. (1973). The Axiom of Choice. Mineola, New York: Dover Publ. p. 45. ISBN 0486466248.
- ↑ Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic (4th ed.). London: Chapman & Hall. pp. 297–304. ISBN 978-0412808302. Retrieved 17 September 2012.
- ↑ Jensen, Ronald Björn (December 1968). "On the Consistency of a Slight (?) Modification of Quine's 'New Foundations'". Synthese. Springer. 19 (1/2): 250–264. doi:10.1007/bf00568059. ISSN 0039-7857. JSTOR 20114640. S2CID 46960777.
- ↑ Holmes, Randall, 1998. Elementary Set Theory with a Universal Set. Academia-Bruylant.
- ↑ Thomas Forster (2003). Logic, Induction and Sets. Cambridge University Press. p. 199. ISBN 978-0-521-53361-4.
- ↑ Aczel, Peter (1988), Non-well-founded sets, CSLI Lecture Notes, vol. 14, Stanford University, Center for the Study of Language and Information, p. 57, ISBN 0-937073-22-9, MR 0940014, retrieved 2016-10-17.
- ↑ Barwise, Jon; Moss, Lawrence S. (1996), Vicious circles. On the mathematics of non-wellfounded phenomena, CSLI Lecture Notes, vol. 60, CSLI Publications, p. 306, ISBN 1575860090.
