समुच्चयों का बीजगणित

गणित में, समुच्चयों का बीजगणित, समुच्चयों के बीजगणित की गणितीय संरचना के साथ भ्रमित नहीं होने के लिए, समुच्चय के गुणों और नियमों को परिभाषित करता है, सर्वनिष्ठ (यूनियन), उभयनिष्ठ (इंटरसेक्शन), और पूरकीकरण के समुच्चय-सैद्धांतिक प्रचालन, और समानता और संबंधों को स्थापित करता है। यह इन परिचालनों और संबंधों को सम्मिलित करने वाले व्यंजको के मूल्यांकन और गणना के लिए व्यवस्थित प्रक्रियाएं भी प्रदान करता है।

समुच्चय सिद्धांतपरक प्रचालन के तहत बंद समुच्चय का कोई भी समुच्चय एक बूलीय बीजगणित बनाता है, जिसमें सम्मिलित होने वाला प्रचालक 'सर्वनिष्ठ' होता है, अवसंधि संकारक 'उभयनिष्ठ' होता है, पूरक प्रचालक 'समुच्चय पूरक' होता है, आधार $\varnothing$ होता है, और सबसे ऊपर समष्टीय समुच्चय विचाराधीन है।

मूल सिद्धान्त

समुच्चयों का बीजगणित संख्याओं के बीजगणित का समुच्चय-सैद्धांतिक अनुरूप है। जिस प्रकार अंकगणितीय योग और गुणन साहचर्यता और क्रमविनिमेयता हैं, उसी प्रकार समुच्चय सर्वनिष्ठऔर उभयनिष्ठ हैं, जिस तरह अंकगणितीय संबंध "इससे कम या बराबर" समतुल्य, प्रतिसममित और संक्रामक होता है, उसी तरह उपसमुच्चय का समुच्चय संबंध भी होता है।

यह सर्वनिष्ठ, उभयनिष्ठ और पूरकता, और समानता और समावेश संबंधों के समुच्चय-सैद्धांतिक संचालन का बीजगणित है। समुच्चयों के मूल परिचय के लिए समुच्चयों पर लेख देखें, संपूर्ण विवरण के लिए नैवे समुच्चय सिद्धांत देखें, और पूर्ण कठोर अभिगृहीतीय उपचार के लिए अभिगृहीतीय समुच्चय सिद्धांत देखें।

समुच्चय बीजगणित के मौलिक गुण

समुच्चय सर्वनिष्ठ के द्विआधारी संक्रिया ($\cup$) और उभयनिष्ठ (समुच्चय सिद्धांत) ($\cap$) कई सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करते हैं। इनमें से कई सर्वसमिकाओं या नियमो के प्रमाणित नाम हैं।

क्रमचयी गुणधर्म,

• $A\cup B=B\cup A$
• $A\cap B=B\cap A$

साहचर्य गुणधर्म,

• $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$
• $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

व्यष्टि गुणधर्म,

• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

समुच्चयों के सर्वनिष्ठऔर उभयनिष्ठ को संख्याओं के योग और गुणन के अनुरूप देखा जा सकता है। योग और गुणा की तरह, सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ के संचालन क्रमविनिमेय और साहचर्य होते हैं, और उभयनिष्ठ सर्वनिष्ठ पर वितरित होते हैं। हालाँकि, योग और गुणा के विपरीत, सर्वनिष्ठ भी उभयनिष्ठ पर वितरित करता है।

गुणों के दो अतिरिक्त जोड़े में विशिष्ट समुच्चय सम्मिलित होते हैं जिन्हें रिक्त समुच्चय Ø और समष्टीय समुच्चय $U$ कहा जाता है, पूरक सकारक के साथ ($A^{C}$, $A$ के पूरक को दर्शाता है। इसे $A'$के रूप में भी लिखा जा सकता है, और अभाज्य के रूप में पढ़ा जा सकता है)। रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, और समष्टीय समुच्चय में सभी संभावित अवयव हैं (एक विशेष संदर्भ में)।

सर्वसमिका,

• $A\cup \varnothing =A$
• $A\cap U=A$

पूरक ,

• $A\cup A^{C}=U$
• $A\cap A^{C}=\varnothing$

सर्वसमिका व्यंजक (क्रम विनिमय व्यंजकों के साथ) निर्देशित करते हैं कि, जैसे 0 और 1 जोड़ और गुणा के लिए, Ø और $U$ क्रमशः सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ के लिए तत्समक अवयव होते हैं।

जोड़ और गुणा के विपरीत, सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ में प्रतिलोम अवयव नहीं होते हैं। हालांकि पूरक नियम समुच्चय पूरकता के एकाधारी संक्रिया के कुछ व्युत्क्रम- जैसे मौलिक गुण प्रदान करते हैं।

सूत्रों के पूर्ववर्ती पांच जोड़े - क्रमविनिमेय, साहचर्य, वितरण, सर्वसमिका और पूरक सूत्र - सभी समुच्चय बीजगणित को सम्मिलित करते हैं, इस अर्थ में कि समुच्चय बीजगणित में प्रत्येक मान्य कथन उनसे प्राप्त किया जा सकता है।

ध्यान दें कि यदि नियम $(A^{C})^{C}=A$ द्वारा पूरक सूत्रों को कमजोर किया जाता है, तो यह बिल्कुल कथनात्मक रैखिक तर्क का बीजगणित है.

द्वैत का सिद्धांत

See also: द्वैत (कोटि सिद्धांत)

ऊपर दि गई प्रत्येक सर्वसमिका, सर्वसमिकाओं की एक जोड़ी में से एक है, जैसे कि प्रत्येक को ∪ और ∩, और Ø और U को बदलकर दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है।

ये समुच्चय बीजगणित के एक अत्यंत महत्वपूर्ण और घातीय गुण के उदाहरण हैं, अर्थात्, समुच्चय के लिए द्वैत का सिद्धांत, जो दावा करता है कि एक समुच्चय के बारे में किसी भी सत्य कथन के लिए, सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ को बदलने, U और Ø को बदलने और समावेश को उलटने से प्राप्त होने वाला दोहरा कथन भी सच है। एक कथन को स्व-द्वैत कहा जाता है यदि यह अपने स्वयं के द्वैत के बराबर है।

सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ के लिए कुछ अतिरिक्त नियम

निम्नलिखित कथन समुच्चय बीजगणित के छह और महत्वपूर्ण नियमो को बताता है, जिसमें सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ सम्मिलित हैं।

कथन 3, समष्टीय समुच्चय U के किसी भी उपसमुच्चय A और B के लिए, निम्नलिखित सर्वसमिकाएं मान्य हैं,

वर्गसम नियम,

• $A\cup A=A$
• $A\cap A=A$

प्रभाविता का नियम,

• $A\cup U=U$
• $A\cap \varnothing =\varnothing$

अवशोषण नियम,

• $A\cup (A\cap B)=A$
• $A\cap (A\cup B)=A$

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कि कथन 3 में वर्णित प्रत्येक नियम ऊपर वर्णित नियमो के पांच मौलिक जोड़े से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के तौर पर, सर्वनिष्ठ के लिए वर्गसम नियम के लिए एक प्रमाण नीचे दिया गया है।

प्रमाण,

$A\cup A$	$=(A\cup A)\cap U$	उभयनिष्ठ के तत्समक नियम द्वारा
	$=(A\cup A)\cap (A\cup A^{C})$	सर्वनिष्ठ के पूरक नियम द्वारा
	$=A\cup (A\cap A^{C})$	उभयनिष्ठ पर सर्वनिष्ठ के वितरण के नियम द्वारा
	$=A\cup \varnothing$	उभयनिष्ठ के लिए पूरक नियम द्वारा
	$=A$	सर्वनिष्ठ के लिए तत्समक नियम द्वारा

निम्नलिखित प्रमाण यह दर्शाता है कि उपरोक्त प्रमाण का द्वैत सर्वनिष्ठ के लिए वर्गसम नियम के द्वैत का प्रमाण है, अर्थात् उभयनिष्ठ के लिए वर्गसम नियम।

प्रमाण,

$A\cap A$	$=(A\cap A)\cup \varnothing$	सर्वनिष्ठ के लिए तत्समक नियम द्वारा
	$=(A\cap A)\cup (A\cap A^{C})$	उभयनिष्ठ के लिए पूरक नियम द्वारा
	$=A\cap (A\cup A^{C})$	सर्वनिष्ठ पर उभयनिष्ठ के वितरण नियम द्वारा
	$=A\cap U$	सर्वनिष्ठ के लिए पूरक नियम द्वारा
	$=A$	उभयनिष्ठ के लिए तत्समक नियम द्वारा

उभयनिष्ठ को समुच्चय अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,

$A\cap B=A\setminus (A\setminus B)$

पूरको के लिए कुछ अतिरिक्त नियम

निम्नलिखित कथन समुच्चय बीजगणित के पांच और महत्वपूर्ण नियमों को बताता है, जिसमें पूरक भी सम्मिलित हैं।

कथन 4, मान लीजिए कि A और B समष्टीय U के उपसमुच्चय हैं, तो,

डी मॉर्गन के नियम,

• $(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$
• $(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}$

दोहरा पूरक या अंतर्वलन नियम,

• ${(A^{C})}^{C}=A$

समष्टीय समुच्चय और रिक्त समुच्चय के लिए पूरक नियम,

• $\varnothing ^{C}=U$
• $U^{C}=\varnothing$

ध्यान दें कि दोहरा पूरक नियम स्व-द्वैत है।

अगला कथन, जो स्व-द्वैत भी है, बताता है कि एक समुच्चय का पूरक ही एकमात्र ऐसा समुच्चय है जो पूरक नियमों को संतुष्ट करता है। दूसरे शब्दों में, पूरकता की विशेषता पूरक नियमों द्वारा होती है।

कथन 5, मान लीजिए A और B समष्टीय U के उपसमुच्चय हैं, तो,

पूरक की विशिष्टता,

• अगर $A\cup B=U$, और $A\cap B=\varnothing$, तब $B=A^{C}$

बीजगणितीय समावेश

निम्नलिखित कथन में कहा गया है कि समावेश, जो कि एक समुच्चय का दूसरे का उपसमुच्चय होने का द्विआधारी संबंध है, एक आंशिक क्रम है।

कथन 6, यदि A, B और C समुच्चय हैं तो निम्नलिखित मान्य है,

प्रतिवर्त संबंध,

• $A\subseteq A$

विषम संबंध,

• $A\subseteq B$ और $B\subseteq A$ तो केवल $A=B$

सकर्मक संबंध:

• अगर $A\subseteq B$ और $B\subseteq C$, तब $A\subseteq C$

निम्नलिखित कथन में कहा गया है कि किसी भी समुच्चय S के लिए, समावेश द्वारा सुव्यवस्थित S का घात समुच्चय, एक बोउंडेड लैटिस है, और इसलिए उपरोक्त वितरण और पूरक नियमों के साथ, यह दर्शाता है कि यह एक बूलियन बीजगणित है।

'कथन 7', यदि A, B और C एक समुच्चय S के उपसमुच्चय हैं तो निम्नलिखित मान्य है,

एक न्यूनतम अवयव और एक महत्तम अवयव का अस्तित्व,

• $\varnothing \subseteq A\subseteq S$

ज्वाइन का अस्तित्व,

• $A\subseteq A\cup B$
• अगर $A\subseteq C$ और $B\subseteq C$, तब $A\cup B\subseteq C$

मीट्स का अस्तित्व (आदेश):

• $A\cap B\subseteq A$
• अगर $C\subseteq A$ और $C\subseteq B$, तब $C\subseteq A\cap B$

निम्नलिखित कथन कहता है कि कथन $A\subseteq B$ सर्वनिष्ठ, उभयनिष्ठ और पूरक से जुड़े कई अन्य कथनो के बराबर है।

कथन 8, किसी भी दो समुच्चय A और B के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं,

• $A\subseteq B$
• $A\cap B=A$
• $A\cup B=B$
• $A\setminus B=\varnothing$
• $B^{C}\subseteq A^{C}$

उपरोक्त कथन से पता चलता है कि समुच्चय समावेश के संबंध को समुच्चय सर्वनिष्ठ या समुच्चय उभयनिष्ठ के संचालन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि समुच्चय समावेश की धारणा अभिगृहीतीय रूप से अनावश्यक है।

सापेक्ष पूरक का बीजगणित

निम्नलिखित कथन सापेक्ष पूरक और समुच्चय-सैद्धांतिक मतभेदों से संबंधित कई सर्वसमिकाओ को सूचीबद्ध करता है।

कथन 9, किसी भी समष्टीय U और U के उपसमुच्चय A, B और C के लिए, निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ मान्य हैं,

• $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$
• $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$
• $C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)$
• $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$
• $(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$
• $(B\setminus A)\setminus C=B\setminus (A\cup C)$
• $A\setminus A=\varnothing$
• $\varnothing \setminus A=\varnothing$
• $A\setminus \varnothing =A$
• $B\setminus A=A^{C}\cap B$
• $(B\setminus A)^{C}=A\cup B^{C}$
• $U\setminus A=A^{C}$
• $A\setminus U=\varnothing$

यह भी देखें

• एक σ-बीजगणित समुच्चयों का एक बीजगणित है, जो अपरिमित रूप से कई संक्रियाओं को सम्मिलित करने के लिए पूरा किया गया है।
• अभिगृहीतीय समुच्चय सिद्धांत
• प्रतिबिम्ब (गणित) # गुण
• समुच्चयो का क्षेत्र
• समुच्चय सर्वसमिकाए और संबंधों की सूची
• नैवे समुच्चय सिद्धांत
• समुच्चय (गणित)
• सांस्थितिक समष्टि - $\wp (X)$ का एक सबसमुच्चय, $X$ का घात समुच्चय, स्वेच्छ सर्वनिष्ठ, परिमित उभयनिष्ठ और $\emptyset$ और $X$ के संबंध में बंद।

संदर्भ

• Stoll, Robert R.; Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16—23.
• Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, What is mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press US, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3. "SUPPLEMENT TO CHAPTER II THE ALGEBRA OF SETS".

बाहरी संबंध

• Operations on Sets at ProvenMath