हाइजेनबर्ग चित्र

भौतिकी में, हाइजेनबर्ग चित्र या हाइजेनबर्ग प्रतिनिधित्व क्वांटम यांत्रिकी का एक सूत्रीकरण (1925 में वर्नर हाइजेनबर्ग के कारण) है जिसमें प्रचालक (अवलोकन और अन्य) समय पर निर्भरता सम्मिलित करते हैं, लेकिन सदिश स्थिति समय-निरपेक्ष हैं, एक स्वेच्छाचारी निश्चित आधार सिद्धांत को दृढ़ता से अंतर्निहित करता है।

यह श्रोडिंगर चित्र के विपरीत है जिसमें प्रचालक स्थिर हैं, इसके बदले, और स्थिति समय के साथ विकसित होती हैं। समय-निर्भरता के संबंध में दो चित्र केवल एक आधार परिवर्तन से भिन्न होते हैं, जो सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तनों के बीच के अंतर के सामान होता है। हाइजेनबर्ग चित्र एक स्वेच्छाचारी आधार पर मैट्रिक्स यांत्रिकी का सूत्रीकरण है, जिसमें हैमिल्टन आवश्यक रूप से विकर्ण नहीं है।

यह आगे एक तीसरे, मिश्रण, चित्र, अंतःक्रियात्मक चित्र को परिभाषित करने का कार्य करता है।

गणितीय विवरण

क्वांटम यांत्रिकी के हाइजेनबर्ग चित्र में अवस्था सदिश |ψ⟩ समय के साथ नहीं बदलते हैं, जबकि वेधशालाएँ A संतुष्ट करते हैं

${\frac {d}{dt}}A_{\text{H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H_{\text{H}},A_{\text{H}}(t)]+\left({\frac {\partial A_{\text{S}}}{\partial t}}\right)_{\text{H}},$

जहां हाइजेनबर्ग और श्रोडिंगर चित्र में क्रमशः "H" और "S" लेबल देखे जा सकते हैं, H हैमिल्टनियन है और [·,·] दो प्रचालकों (इस मामले में H और A) के दिक्परिवर्तक को दर्शाता है। अपेक्षा मान लेने से स्वचालित रूप से एरेनफेस्ट प्रमेय उत्पन्न होता है, जो संगति नियम में चित्रित किया गया है।

स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय द्वारा, हाइजेनबर्ग चित्र और श्रोडिंगर चित्र एकात्मक रूप से समतुल्य हैं, हिल्बर्ट स्थान में केवल एक परिवर्तन सिद्धांत। कुछ अर्थों में, वर्नर हाइजेनबर्ग चित्र समतुल्य श्रोडिंगर चित्र की तुलना में अधिक स्वाभाविक और सुविधाजनक है, विशेष रूप से सापेक्षतावादी सिद्धांतों के लिए है। हाइजेनबर्ग चित्र में लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस प्रकट होता है, क्योंकि अवस्था सदिश समय या स्थान को अलग नहीं करते हैं।

इस दृष्टिकोण में शास्त्रीय भौतिकी के साथ अधिक प्रत्यक्ष समानता भी है: प्वासों ब्रेकेट द्वारा उपरोक्त दिक्परिवर्तक को सरलता से बदलकर, हाइजेनबर्ग समीकरण हैमिल्टनियन यांत्रिकी में एक समीकरण को कम कर देता है।

श्रोडिंगर समीकरण के लिए हाइजेनबर्ग समीकरण की समानता

शिक्षाशास्त्र के लिए, हाइजेनबर्ग चित्र को बाद के, लेकिन अधिक सामान्य, श्रोडिंगर चित्र से यहाँ प्रस्तुत किया गया है।

दिए गए श्रोडिंगर स्थिति |ψ(t)⟩ के लिए, एक प्रेक्षण मूल्य A का प्रेक्षणीय मूल्य, जो एक हर्मिटियन रैखिक प्रचालक है, द्वारा दिया गया है

$$\langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A|\psi (t)\rangle .$$

श्रोडिंगर चित्र में, स्थिति |ψ(t)⟩ समय t स्थिति से संबंधित है |ψ(0)⟩ समय 0 पर एकात्मक समय-विकास प्रचालक, U(t) द्वारा,

$$|\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle .$$

हाइजेनबर्ग चित्र में, सभी अवस्था सदिश को उनके प्रारंभिक मूल्यों पर स्थिर माना जाता है |ψ(0)⟩, जबकि प्रचालक समय के अनुसार विकसित होते हैं

$$A(t):=U^{\dagger }(t)AU(t)\,.$$

समय-विकास प्रचालक के लिए श्रोडिंगर समीकरण है

$${\frac {d}{dt}}U(t)=-{\frac {iH}{\hbar }}U(t)$$

जहां H हैमिल्टनियन है और ħ समानीत हुई प्लैंक स्थिरांक है और i ${\sqrt {-1}}$ के समान है।

अब यह इस प्रकार है

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A(t)&={\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)HAU(t)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)U(t)+{\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)A(-H)U(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)HU(t)U^{\dagger }(t)AU(t)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)U(t)-{\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)AU(t)U^{\dagger }(t)HU(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(H(t)A(t)-A(t)H(t)\right)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)U(t),\end{aligned}}$$

जहां उत्पाद नियम के अनुसार भेदभाव किया गया था। ध्यान दें कि उपरोक्त अंतिम पंक्ति में दिखाई देने वाला हैमिल्टनियन हाइजेनबर्ग H(t) है, जो श्रोडिंगर हैमिल्टनियन से भिन्न हो सकता है।

उपरोक्त समीकरण का एक महत्वपूर्ण विशेष प्रकरण प्राप्त होता है यदि हैमिल्टनियन समय के साथ भिन्न नहीं होता है। तब समय-विकास संचालक को इस रूप में लिखा जा सकता है

$$U(t)=e^{-iHt/\hbar },$$

इसलिए,

$$\langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{+iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .$$

और,

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A(t)&={\frac {i}{\hbar }}He^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }+e^{+iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }+{\frac {i}{\hbar }}e^{+iHt/\hbar }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hbar }\\&={\frac {i}{\hbar }}e^{iHt/\hbar }\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar }+e^{+iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(HA(t)-A(t)H\right)+e^{+iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }.\end{aligned}}$$

यहाँ ∂A/∂t प्रारंभिक A का समय अवकलज है, परिभाषित A(t) प्रचालक नहीं। अंतिम समीकरण मान्य है क्योंकि exp(−i H t/ħ) H के साथ आवागमन करता है।

उपरोक्त परिभाषित A(t) द्वारा समीकरण हल किया गया है, जैसा मानक प्रचालक तत्समक के उपयोग से स्पष्ट है,

$${e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots \,,$$

जिसका तात्पर्य है

$$A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{2}[H,[H,A]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{3}[H,[H,[H,A]]]+\cdots$$

यह संबंध शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए भी है, उपरोक्त की शास्त्रीय सीमा, पॉसों कोष्ठक और दिक्परिवर्तक के मध्य समानता को देखते हुए,

$$[A,H]\quad \longleftrightarrow \quad i\hbar \{A,H\}$$

शास्त्रीय यांत्रिकी में, ए के लिए कोई स्पष्ट समय निर्भरता नहीं है,

$$\{A,H\}={\frac {dA}{dt}}~,$$

तो फिर से ए (टी) के लिए अभिव्यक्ति टी = 0 के आसपास टेलर विस्तार है।

वास्तव में, मनमाने ढंग से कठोर हिल्बर्ट अंतरिक्ष आधार |ψ(0)⟩ दृश्य से पीछे हट गया है, और केवल विशिष्ट अपेक्षाओं के मूल्यों या वेधशालाओं के मैट्रिक्स तत्वों को लेने के अंतिम चरण पर विचार किया जाता है।

दिक्परिवर्तक संबंध

प्रचालकों की समय पर निर्भरता के कारण दिक्परिवर्तक संबंध श्रोडिंगर चित्र से भिन्न दिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्रचालकों पर विचार करें x(t₁), x(t₂), p(t₁) और p(t₂). उन प्रचालकों का समय विकास प्रणाली के हैमिल्टनियन पर निर्भर करता है। एक आयामी हार्मोनिक ऑसीलेटर को ध्यान में रखते हुए,

$$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}},$$

स्थिति और संवेग संचालकों का विकास इसके द्वारा दिया गया है:

$${\frac {d}{dt}}x(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,x(t)]={\frac {p}{m}},$$

$${\frac {d}{dt}}p(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x.$$

दोनों समीकरणों का एक बार फिर अवकलन करना और उन्हें उचित प्रारंभिक शर्तों के साथ हल करना,

$${\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0},$$

$${\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}},$$

ओर जाता है

$$x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t),$$

$$p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega x_{0}\sin(\omega t).$$

प्रत्यक्ष संगणना अधिक सामान्य दिक्परिवर्तक संबंध उत्पन्न करती है,

$$[x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right),$$

$$[p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right),$$

$$[x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right).$$

के लिए $t_{1}=t_{2}$, सभी चित्रों में मान्य मानक विहित रूपांतरण संबंधों को आसानी से पुनर्प्राप्त करता है।

सभी चित्रों में विकास की सारांश तुलना

एक समय-स्वतंत्र हैमिल्टनियन एच_S, जहां एच_0,S मुक्त हैमिल्टनियन है,

Evolution	Picture ()
of:	Schrödinger (S)	Heisenberg (H)	Interaction (I)
Ket state	$|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle$	constant	$|\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle$
Observable	constant	$A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	$A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$
Density matrix	$\rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	constant	$\rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$

यह भी देखें

• ब्रा-केट नोटेशन
• सहभागिता चित्र
• श्रोडिंगर चित्र
• हाइजेनबर्ग-लैंगविन समीकरण
• चरण अंतरिक्ष सूत्रीकरण

संदर्भ

• Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. pp. 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
• Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E., Quantum Mechanics (3rd ed., John Wiley 1998) p. 430-1 ISBN 0-471-88702-1
• L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1. Online copy
• R. Shankar (1994); Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, ISBN 978-0306447907.
• J. J. Sakurai (1993); Modern Quantum Mechanics (Revised Edition), ISBN 978-0201539295.

बाहरी संबंध

• Pedagogic Aides to Quantum Field Theory Click on the link for Chap. 2 to find an extensive, simplified introduction to the Heisenberg picture.
• Some expanded derivations and an example of the harmonic oscillator in the Heisenberg picture [1]
• The original Heisenberg paper translated (although difficult to read, it contains an example for the anharmonic oscillator): Sources of Quantum mechanics B.L. Van Der Waerden [2]
• The computations for the hydrogen atom in the Heisenberg representation originally from a paper of Pauli [3]