तिरछी रेखाएँ: Difference between revisions

Revision as of 14:34, 4 March 2023

आयताकार समांतर चतुर्भुज। खंड AD के माध्यम से रेखा और खंड B के माध्यम से रेखा₁B तिरछी रेखाएँ हैं क्योंकि वे एक ही तल में नहीं हैं।

त्रि-आयामी ज्यामिति में, तिरछी दो रेखाएँ (ज्यामिति) होती हैं जो रेखा-रेखा प्रतिच्छेदन नहीं करती हैं और समानांतर (ज्यामिति) नहीं होती हैं। तिरछी रेखाओं की जोड़ी का सरल उदाहरण एक नियमित चतुर्पाश्वीय के विपरीत किनारों से होकर जाने वाली रेखाओं की जोड़ी है। दो रेखाएँ जो एक ही तल में स्थित हैं, या तो एक दूसरे को काटती होंगी या समानांतर होंगी, इसलिए तिरछी रेखाएँ केवल तीन या अधिक आयामों में उपस्थित हो सकती हैं। दो रेखाएँ टेढ़ी हैं और वे समतलीय नहीं हैं।

सामान्य स्थिति

यदि एक इकाई घन के अंदर यादृच्छिक समान वितरण (निरंतर) पर चार बिंदु चुने जाते हैं, तो वे लगभग निश्चित रूप से तिरछी रेखाओं की जोड़ी को परिभाषित करेंगे। पहले तीन बिंदुओं को चुने जाने के बाद, चौथा बिंदु एक गैर-तिरछी रेखा को परिभाषित करेगा यदि, यह पहले तीन बिंदुओं के साथ समतलीय है। चूंकि, पहले तीन बिंदुओं के माध्यम से विमान घन के माप शून्य का उपसमुच्चय बनाता है, और इस विमान पर चौथा बिंदु होने की संभावना शून्य है। यदि ऐसा नहीं होता है, तो बिंदुओं द्वारा परिभाषित रेखाएं टेढ़ी हो जाएंगी।

इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किन्हीं भी दो समानांतर या प्रतिच्छेदी रेखाओं का अधिक छोटा क्षोभ लगभग निश्चित रूप से उन्हें तिरछी रेखाओं में बदल देगा। इसलिए, सामान्य स्थिति में कोई भी चार बिंदु सदैव तिरछी रेखाएँ बनाते हैं।

इस अर्थ में, तिरछी रेखाएँ सामान्य स्थिति में हैं, और समानांतर या प्रतिच्छेदी रेखाएँ विशेष स्थितियाँ में हैं।

सूत्र

तिरछापन के लिए परीक्षण

यदि तिरछी रेखाओं की जोड़ी में प्रत्येक रेखा को दो बिंदुओं (ज्यामिति) द्वारा परिभाषित किया जाता है जिससे वह गुजरती है, तो ये चार बिंदु समतलीय नहीं होने चाहिए, इसलिए वे गैर-शून्य आयतन के चतुर्पाश्वीय के शीर्ष (ज्यामिति) होने चाहिए। इसके विपरीत, शून्येतर आयतन के चतुष्फलक को परिभाषित करने वाले बिंदुओं के कोई भी दो युग्म तिरछी रेखाओं के युग्म को भी परिभाषित करते हैं। इसलिए, यह परीक्षण कि क्या दो जोड़े बिंदु तिरछी रेखाओं को परिभाषित करते हैं, चतुष्फलक के आयतन के सूत्र को उसके चार शीर्षों के संदर्भ में प्रयुक्त करना है। 1×3 सदिश के रूप में बिंदु को नकारना $a$ जिसके तीन अवयव बिंदु के तीन समन्वय मान हैं, और इसी तरह निरूपित करते हैं $b$ , $c$ , और $d$ अन्य बिंदुओं के लिए, हम जांच कर सकते हैं कि रेखा के माध्यम से है या नहीं $a$ और $b$ रेखा के माध्यम से तिरछा है $c$ और $d$ यह देखकर कि क्या चतुर्पाश्वीय आयतन सूत्र गैर-शून्य परिणाम देता है:

V={\frac {1}{6}}\left|\det \left[{\begin{matrix}\mathbf {a} -\mathbf {b} \\\mathbf {b} -\mathbf {c} \\\mathbf {c} -\mathbf {d} \end{matrix}}\right]\right|.

निकटतम बिंदु

सदिश के रूप में दो पंक्तियों को व्यक्त करना:

{\text{Line 1:}}\;\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}}

{\text{Line 2:}}\;\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}}

का क्रॉस उत्पाद $\mathbf {d_{1}}$ और $\mathbf {d_{2}}$ रेखाओं के लंबवत है।

\mathbf {n} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {d_{2}}

लाइन 2 के साथ अनुवाद द्वारा गठित विमान $\mathbf {n}$ बिंदु सम्मिलित है $\mathbf {p_{2}}$ और लंबवत है

$\mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n}$ .

इसलिए, उपर्युक्त समतल के साथ रेखा 1 का प्रतिच्छेदन बिंदु, जो रेखा 1 पर भी बिंदु है जो रेखा 2 के निकटतम है, द्वारा दिया गया है

\mathbf {c_{1}} =\mathbf {p_{1}} +{\frac {(\mathbf {p_{2}} -\mathbf {p_{1}} )\cdot \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}}

इसी प्रकार, रेखा 2 पर रेखा 1 के निकटतम बिंदु द्वारा दिया गया है (जहाँ $\mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n}$ )

\mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}}

दूरी

निकटतम अंक $\mathbf {c_{1}}$ और $\mathbf {c_{2}}$ रेखा 1 और रेखा 2 को मिलाने वाला सबसे छोटा रेखाखंड बनाएं:

d=\Vert \mathbf {c_{1}} -\mathbf {c_{2}} \Vert .

दो तिरछी रेखाओं में निकटतम बिंदुओं के मध्य की दूरी को अन्य सदिशों का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है:

\mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} ;

\mathbf {y} =\mathbf {c} +\mu \mathbf {d} .

यहाँ 1×3 सदिश $x$ विशेष बिंदु के माध्यम से रेखा पर इच्छानुसार बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है $a$ साथ $b$ रेखा की दिशा और वास्तविक संख्या के मान का प्रतिनिधित्व करता है $\lambda$ यह निर्धारित करना कि बिंदु रेखा पर कहाँ है, और इसी तरह इच्छानुसार बिंदु के लिए $y$ विशेष बिंदु $c$ के माध्यम से लाइन पर $d$ दिशा में .

इकाई सदिश के रूप में b और d का क्रॉस उत्पाद लाइनों के लंबवत है

\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} }{|\mathbf {b} \times \mathbf {d} |}}

रेखाओं के मध्य लंबवत दूरी तब है^[1]

d=|\mathbf {n} \cdot (\mathbf {c} -\mathbf {a} )|.

(यदि |b × d| शून्य है तो रेखाएं समानांतर हैं और इस विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है)।

दो से अधिक पंक्तियाँ

कॉन्फ़िगरेशन

तिरछी रेखाओं का विन्यास रेखाओं का समुच्चय है जिसमें सभी जोड़े तिरछे होते हैं। दो विन्यासों को समस्थानिक कहा जाता है यदि एक विन्यास को लगातार दूसरे में परिवर्तित करना संभव है, परिवर्तन के समय अपरिवर्तनीय बनाए रखते हुए कि सभी जोड़ी रेखाएं तिरछी रहती हैं। दो रेखाओं के किन्हीं भी दो विन्यासों को आसानी से समस्थानिक के रूप में देखा जाता है, और तीन से अधिक आयामों में समान संख्या वाली रेखाओं के विन्यास सदैव समस्थानिक होते हैं, किन्तु तीन आयामों में तीन या अधिक रेखाओं के कई गैर-समस्थानिक विन्यास उपस्थित होते हैं।^[2] 'R³' में n रेखाओं के गैर समस्थानिक विन्यासों की संख्या, n = 1 से प्रारंभ होकर, है

1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... (sequence A110887 in the OEIS).

रूल्ड सतह

नेस्टेडअतिपरवलय पर तिरछी रेखाओं द्वारा प्रक्षेपी स्थान का एक फाइबर बंडल।

यदि कोई रेखा L को दूसरी रेखा M तिरछी रेखा के चारों ओर घुमाता है, किन्तु इसके लंबवत नहीं है, तो L द्वारा परिचालित परिवर्तन की सतह एक पत्रक का अतिपरवलय है। उदाहरण के लिए, चित्रण में दिखाई देने वाले तीन अतिपरवलय केंद्रीय सफेद ऊर्ध्वाधर रेखा M के चारों ओर रेखा L को घुमाकर इस तरह से बनाए जा सकते हैं। इस सतह के अंदर L की प्रतियां एक रेगुलस (ज्यामिति) बनाती हैं; अतिपरवलय में रेखाओं का एक दूसरा सम्बन्ध भी होता है जो M से उसी दूरी पर तिरछा होता है, जो L से समान दूरी पर होता है, किन्तु विपरीत कोण के साथ जो विपरीत रेगुलस बनाता है। दो रेगुली अतिपरवलय को रूल्ड सतह के रूप में प्रदर्शित करते हैं।

इस रूल्ड सतह का परिबद्ध परिवर्तन ऐसी सतह का निर्माण करता है जिसमें सामान्य रूप से L के चारों ओर L को घुमाकर निर्मित गोलाकार अनुप्रस्थ काट के बजाय अण्डाकार अनुप्रस्थ काट होता है; ऐसी सतहों को पत्रक के अतिपरवलय्स भी कहा जाता है, और फिर से परस्पर तिरछी रेखाओं के दो संबंध द्वारा नियंत्रित किया जाता है। एक तीसरे प्रकार की रूल्ड सतह अतिपरवलयिक परवलयज है। पत्रक के अतिपरवलयज की तरह, अतिपरवलयिक परवलयज में तिरछी रेखाओं के दो सम्बन्ध होते हैं; दो संबंध में से प्रत्येक में रेखाएँ एक सामान्य तल के समानांतर होती हैं, सामान्यतः एक दूसरे के लिए नहीं। 'R³' में कोई भी तीन तिरछी रेखाएँ इनमें से किसी एक प्रकार की ठीक एक रूल्ड सतह पर स्थित हैं।^[3]

गैलुची प्रमेय

यदि तीन तिरछी रेखाएं तीन अन्य तिरछी रेखाओं से s है।^[4]^[5]

उच्च आयामों में तिरछा खंड

उच्च-आयामी अंतरिक्ष में, आयाम के खंड (ज्यामिति) को k-खंड के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस प्रकार, रेखा को 1-खंड भी कहा जा सकता है।

d-आयाम स्पेस के लिए तिरछी रेखाओं की अवधारणा को सामान्य बनाना, एक i-खंड और J-खंड 'तिरछा' हो सकता है यदि

 $i + j < d$ . जैसा कि 3-स्पेस में रेखाओं के साथ होता है, तिरछे खंड वे होते हैं जो न तो समानांतर होते हैं और न ही एक दूसरे को काटते हैं।

एफ़िन ज्यामिति | एफ़िन d-स्पेस में, किसी भी आयाम के दो खंड समानांतर हो सकते हैं। चूंकि, प्रक्षेपी ज्यामिति में, समानता उपस्थित नहीं है; दो खंडों को या तो काटना चाहिए या तिरछा होना चाहिए। $I$ किसी i-खंड पर बिंदुओं का समुच्चय होने दें, और J को j-खंड पर बिंदुओं का समुच्चय हो। प्रोजेक्टिव d-स्पेस में, यदि $i + j \geq d$ प्रतिच्छेदन $I$ और $J$ में एक (i+j−d)-खंड होना चाहिए। (A 0-खंड एक बिंदु है।)

या तो ज्यामिति में, यदि $I$ और $J$ , k-खंड पर प्रतिच्छेद करता है, के लिए $k \geq 0$ , फिर के अंक $I \cup J$ a (i+j−k)-खंड निर्धारित करें।

या तो ज्यामिति में, यदि I और J, k ≥ 0 के लिए, k-खंड पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो I ∪ J के बिंदु a (i+j−k)-फ़्लैट निर्धारित करते हैं।

यह भी देखें

दो समानांतर रेखाओं के मध्य की दूरी
पीटरसन-मॉर्ले प्रमेय

संदर्भ

↑ Weisstein, Eric W., "Line-Line Distance", MathWorld
↑ Viro, Julia Drobotukhina; Viro, Oleg (1990), "Configurations of skew lines" (PDF), Leningrad Math. J. (in Russian), 1 (4): 1027–1050{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link). Revised version in English: arXiv:math.GT/0611374
↑ Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), Chelsea, pp. 13–17, ISBN 0-8284-1087-9
↑ Coxeter, H. S. M. (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), John Wiley & Sons, p. 257
↑ G. Gallucci (1906), "Studio della figura delle otto rette e sue applicazioni alla geometria del tetraedro ed alla teoria della configurazioni", Rendiconto dell'Accademia della Scienza Fisiche e Matematiche, 3rd series, 12: 49–79

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W., "Skew Lines", MathWorld

[mw-lld-1] Weisstein, Eric W., "Line-Line Distance", MathWorld

[viro-viro-2] Viro, Julia Drobotukhina; Viro, Oleg (1990), "Configurations of skew lines" (PDF), Leningrad Math. J. (in Russian), 1 (4): 1027–1050{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link). Revised version in English: arXiv:math.GT/0611374

[hilbert-cohn-vossen-3] Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), Chelsea, pp. 13–17, ISBN 0-8284-1087-9

[coxeter-4] Coxeter, H. S. M. (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), John Wiley & Sons, p. 257

[galluci-5] G. Gallucci (1906), "Studio della figura delle otto rette e sue applicazioni alla geometria del tetraedro ed alla teoria della configurazioni", Rendiconto dell'Accademia della Scienza Fisiche e Matematiche, 3rd series, 12: 49–79

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 {{Short description|Lines not in the same plane}}
-[[File:Rectangular parallelepiped.png|thumb|150px|[[आयताकार समांतर चतुर्भुज]]। खंड AD के माध्यम से रेखा और खंड B के माध्यम से रेखा<sub>1</sub>B तिरछी रेखाएँ हैं क्योंकि वे एक ही तल में नहीं हैं।]]त्रि-[[आयाम|आयामी]] ज्यामिति में, तिरछी दो रेखाएँ (ज्यामिति) होती हैं जो रेखा-रेखा प्रतिच्छेदन नहीं करती हैं और [[समानांतर (ज्यामिति)]] नहीं होती हैं। तिरछी रेखाओं की एक जोड़ी का एक सरल उदाहरण एक [[नियमित टेट्राहेड्रॉन|नियमित चतुर्पाश्वीय]] के विपरीत किनारों से होकर जाने वाली रेखाओं की जोड़ी है। दो रेखाएँ जो एक ही तल में स्थित हैं, या तो एक दूसरे को काटती होंगी या समानांतर होंगी, इसलिए तिरछी रेखाएँ केवल तीन या अधिक आयामों में उपस्थित हो सकती हैं। दो रेखाएँ टेढ़ी हैं और वे [[समतलीय]] नहीं हैं।
+[[File:Rectangular parallelepiped.png|thumb|150px|[[आयताकार समांतर चतुर्भुज]]। खंड AD के माध्यम से रेखा और खंड B के माध्यम से रेखा<sub>1</sub>B तिरछी रेखाएँ हैं क्योंकि वे एक ही तल में नहीं हैं।]]त्रि-[[आयाम|आयामी]] ज्यामिति में, तिरछी दो रेखाएँ (ज्यामिति) होती हैं जो रेखा-रेखा प्रतिच्छेदन नहीं करती हैं और [[समानांतर (ज्यामिति)]] नहीं होती हैं। तिरछी रेखाओं की जोड़ी का सरल उदाहरण एक [[नियमित टेट्राहेड्रॉन|नियमित चतुर्पाश्वीय]] के विपरीत किनारों से होकर जाने वाली रेखाओं की जोड़ी है। दो रेखाएँ जो एक ही तल में स्थित हैं, या तो एक दूसरे को काटती होंगी या समानांतर होंगी, इसलिए तिरछी रेखाएँ केवल तीन या अधिक आयामों में उपस्थित हो सकती हैं। दो रेखाएँ टेढ़ी हैं और वे [[समतलीय]] नहीं हैं।
 == [[सामान्य स्थिति]] ==
-यदि एक इकाई घन के अंदर यादृच्छिक [[समान वितरण (निरंतर)]] पर चार बिंदु चुने जाते हैं, तो वे [[लगभग निश्चित रूप से]] तिरछी रेखाओं की एक जोड़ी को परिभाषित करेंगे। पहले तीन बिंदुओं को चुने जाने के बाद, चौथा बिंदु एक गैर-तिरछी रेखा को परिभाषित करेगा यदि, यह पहले तीन बिंदुओं के साथ समतलीय है। चूंकि, पहले तीन बिंदुओं के माध्यम से विमान घन के माप शून्य का एक उपसमुच्चय बनाता है, और इस विमान पर चौथा बिंदु होने की संभावना शून्य है। यदि ऐसा नहीं होता है, तो बिंदुओं द्वारा परिभाषित रेखाएं टेढ़ी हो जाएंगी।
+यदि एक इकाई घन के अंदर यादृच्छिक [[समान वितरण (निरंतर)]] पर चार बिंदु चुने जाते हैं, तो वे [[लगभग निश्चित रूप से]] तिरछी रेखाओं की जोड़ी को परिभाषित करेंगे। पहले तीन बिंदुओं को चुने जाने के बाद, चौथा बिंदु एक गैर-तिरछी रेखा को परिभाषित करेगा यदि, यह पहले तीन बिंदुओं के साथ समतलीय है। चूंकि, पहले तीन बिंदुओं के माध्यम से विमान घन के माप शून्य का उपसमुच्चय बनाता है, और इस विमान पर चौथा बिंदु होने की संभावना शून्य है। यदि ऐसा नहीं होता है, तो बिंदुओं द्वारा परिभाषित रेखाएं टेढ़ी हो जाएंगी।
-इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किन्हीं भी दो समानांतर या प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक अधिक छोटा क्षोभ लगभग निश्चित रूप से उन्हें तिरछी रेखाओं में बदल देगा। इसलिए, सामान्य स्थिति में कोई भी चार बिंदु सदैव तिरछी रेखाएँ बनाते हैं।
+इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किन्हीं भी दो समानांतर या प्रतिच्छेदी रेखाओं का अधिक छोटा क्षोभ लगभग निश्चित रूप से उन्हें तिरछी रेखाओं में बदल देगा। इसलिए, सामान्य स्थिति में कोई भी चार बिंदु सदैव तिरछी रेखाएँ बनाते हैं।
 इस अर्थ में, तिरछी रेखाएँ सामान्य स्थिति में हैं, और समानांतर या प्रतिच्छेदी रेखाएँ विशेष स्थितियाँ में हैं।
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 === तिरछापन के लिए परीक्षण ===
-यदि तिरछी रेखाओं की एक जोड़ी में प्रत्येक रेखा को दो बिंदुओं (ज्यामिति) द्वारा परिभाषित किया जाता है जिससे वह गुजरती है, तो ये चार बिंदु समतलीय नहीं होने चाहिए, इसलिए वे गैर-शून्य [[आयतन]] के [[चतुर्पाश्वीय]] के शीर्ष (ज्यामिति) होने चाहिए। इसके विपरीत, शून्येतर आयतन के चतुष्फलक को परिभाषित करने वाले बिंदुओं के कोई भी दो युग्म तिरछी रेखाओं के एक युग्म को भी परिभाषित करते हैं। इसलिए, यह परीक्षण कि क्या दो जोड़े बिंदु तिरछी रेखाओं को परिभाषित करते हैं, एक चतुष्फलक के आयतन के सूत्र को उसके चार शीर्षों के संदर्भ में प्रयुक्त करना है। 1×3 सदिश के रूप में एक बिंदु को नकारना {{math|'''a'''}} जिसके तीन अवयव बिंदु के तीन समन्वय मान हैं, और इसी तरह निरूपित करते हैं {{math|'''b'''}}, {{math|'''c'''}}, और {{math|'''d'''}} अन्य बिंदुओं के लिए, हम जांच कर सकते हैं कि रेखा के माध्यम से है या नहीं {{math|'''a'''}} और {{math|'''b'''}} रेखा के माध्यम से तिरछा है {{math|'''c'''}} और {{math|'''d'''}} यह देखकर कि क्या चतुर्पाश्वीय आयतन सूत्र गैर-शून्य परिणाम देता है:
+यदि तिरछी रेखाओं की जोड़ी में प्रत्येक रेखा को दो बिंदुओं (ज्यामिति) द्वारा परिभाषित किया जाता है जिससे वह गुजरती है, तो ये चार बिंदु समतलीय नहीं होने चाहिए, इसलिए वे गैर-शून्य [[आयतन]] के [[चतुर्पाश्वीय]] के शीर्ष (ज्यामिति) होने चाहिए। इसके विपरीत, शून्येतर आयतन के चतुष्फलक को परिभाषित करने वाले बिंदुओं के कोई भी दो युग्म तिरछी रेखाओं के युग्म को भी परिभाषित करते हैं। इसलिए, यह परीक्षण कि क्या दो जोड़े बिंदु तिरछी रेखाओं को परिभाषित करते हैं, चतुष्फलक के आयतन के सूत्र को उसके चार शीर्षों के संदर्भ में प्रयुक्त करना है। 1×3 सदिश के रूप में बिंदु को नकारना {{math|'''a'''}} जिसके तीन अवयव बिंदु के तीन समन्वय मान हैं, और इसी तरह निरूपित करते हैं {{math|'''b'''}}, {{math|'''c'''}}, और {{math|'''d'''}} अन्य बिंदुओं के लिए, हम जांच कर सकते हैं कि रेखा के माध्यम से है या नहीं {{math|'''a'''}} और {{math|'''b'''}} रेखा के माध्यम से तिरछा है {{math|'''c'''}} और {{math|'''d'''}} यह देखकर कि क्या चतुर्पाश्वीय आयतन सूत्र गैर-शून्य परिणाम देता है:
 :<math>V=\frac{1}{6}\left|\det\left[\begin{matrix}\mathbf{a}-\mathbf{b} \\ \mathbf{b}-\mathbf{c} \\ \mathbf{c}-\mathbf{d} \end{matrix}\right]\right|.</math>
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 : <math> \mathbf{x} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b};</math>
 : <math> \mathbf{y} = \mathbf{c} + \mu \mathbf{d}.</math>
-यहाँ 1×3 सदिश {{math|'''x'''}} विशेष बिंदु के माध्यम से रेखा पर एक इच्छानुसार बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है {{math|'''a'''}} साथ {{math|'''b'''}} रेखा की दिशा और वास्तविक संख्या के मान का प्रतिनिधित्व करता है <math>\lambda</math> यह निर्धारित करना कि बिंदु रेखा पर कहाँ है, और इसी तरह इच्छानुसार बिंदु के लिए {{math|'''y'''}} विशेष बिंदु {{math|'''c'''}} के माध्यम से लाइन पर {{math|'''d'''}} दिशा में .
+यहाँ 1×3 सदिश {{math|'''x'''}} विशेष बिंदु के माध्यम से रेखा पर इच्छानुसार बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है {{math|'''a'''}} साथ {{math|'''b'''}} रेखा की दिशा और वास्तविक संख्या के मान का प्रतिनिधित्व करता है <math>\lambda</math> यह निर्धारित करना कि बिंदु रेखा पर कहाँ है, और इसी तरह इच्छानुसार बिंदु के लिए {{math|'''y'''}} विशेष बिंदु {{math|'''c'''}} के माध्यम से लाइन पर {{math|'''d'''}} दिशा में .
 [[ इकाई वेक्टर | इकाई सदिश]] के रूप में b और d का क्रॉस उत्पाद लाइनों के लंबवत है
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 === कॉन्फ़िगरेशन ===
-तिरछी रेखाओं का विन्यास रेखाओं का एक समुच्चय है जिसमें सभी जोड़े तिरछे होते हैं। दो विन्यासों को समस्थानिक कहा जाता है यदि एक विन्यास को लगातार दूसरे में परिवर्तित करना संभव है, परिवर्तन के समय अपरिवर्तनीय बनाए रखते हुए कि सभी जोड़ी रेखाएं तिरछी रहती हैं। दो रेखाओं के किन्हीं भी दो विन्यासों को आसानी से समस्थानिक के रूप में देखा जाता है, और तीन से अधिक आयामों में समान संख्या वाली रेखाओं के विन्यास सदैव समस्थानिक होते हैं, किन्तु तीन आयामों में तीन या अधिक रेखाओं के कई गैर-समस्थानिक विन्यास उपस्थित होते हैं।{{r|viro-viro}} 'R<sup>3</sup>' में n रेखाओं के गैर समस्थानिक विन्यासों की संख्या, n = 1 से प्रारंभ होकर, है
+तिरछी रेखाओं का विन्यास रेखाओं का समुच्चय है जिसमें सभी जोड़े तिरछे होते हैं। दो विन्यासों को समस्थानिक कहा जाता है यदि एक विन्यास को लगातार दूसरे में परिवर्तित करना संभव है, परिवर्तन के समय अपरिवर्तनीय बनाए रखते हुए कि सभी जोड़ी रेखाएं तिरछी रहती हैं। दो रेखाओं के किन्हीं भी दो विन्यासों को आसानी से समस्थानिक के रूप में देखा जाता है, और तीन से अधिक आयामों में समान संख्या वाली रेखाओं के विन्यास सदैव समस्थानिक होते हैं, किन्तु तीन आयामों में तीन या अधिक रेखाओं के कई गैर-समस्थानिक विन्यास उपस्थित होते हैं।{{r|viro-viro}} 'R<sup>3</sup>' में n रेखाओं के गैर समस्थानिक विन्यासों की संख्या, n = 1 से प्रारंभ होकर, है
 :1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... {{OEIS|id=A110887}}.
 ===रूल्ड सतह===
-[[File:Nested hyperboloids.png|thumb|300px|नेस्टेडअतिपरवलय पर तिरछी रेखाओं द्वारा प्रक्षेपी स्थान का एक [[फाइबर बंडल]]।]]यदि कोई एक रेखा L को दूसरी रेखा M तिरछी रेखा के चारों ओर घुमाता है, किन्तु इसके लंबवत नहीं है, तो L द्वारा परिचालित [[क्रांति की सतह]] एक पत्रक का अतिपरवलय है। उदाहरण के लिए, चित्रण में दिखाई देने वाले तीन अतिपरवलय केंद्रीय सफेद ऊर्ध्वाधर रेखा M के चारों ओर एक रेखा L को घुमाकर इस तरह से बनाए जा सकते हैं। इस सतह के अंदर L की प्रतियां एक [[रेगुलस (ज्यामिति)]] बनाती हैं; अतिपरवलय में रेखाओं का एक दूसरा परिवार भी होता है जो M से उसी दूरी पर तिरछा होता है, जो L से समान दूरी पर होता है, किन्तु विपरीत कोण के साथ जो विपरीत रेगुलस बनाता है। दो रेगुली अतिपरवलय को एक [[शासित सतह|रूल्ड सतह]] के रूप में प्रदर्शित करते हैं।
+[[File:Nested hyperboloids.png|thumb|300px|नेस्टेडअतिपरवलय पर तिरछी रेखाओं द्वारा प्रक्षेपी स्थान का एक [[फाइबर बंडल]]।]]यदि कोई रेखा L को दूसरी रेखा M तिरछी रेखा के चारों ओर घुमाता है, किन्तु इसके लंबवत नहीं है, तो L द्वारा परिचालित [[क्रांति की सतह|परिवर्तन की सतह]] एक पत्रक का अतिपरवलय है। उदाहरण के लिए, चित्रण में दिखाई देने वाले तीन अतिपरवलय केंद्रीय सफेद ऊर्ध्वाधर रेखा M के चारों ओर रेखा L को घुमाकर इस तरह से बनाए जा सकते हैं। इस सतह के अंदर L की प्रतियां एक [[रेगुलस (ज्यामिति)]] बनाती हैं; अतिपरवलय में रेखाओं का एक दूसरा सम्बन्ध भी होता है जो M से उसी दूरी पर तिरछा होता है, जो L से समान दूरी पर होता है, किन्तु विपरीत कोण के साथ जो विपरीत रेगुलस बनाता है। दो रेगुली अतिपरवलय को [[शासित सतह|रूल्ड सतह]] के रूप में प्रदर्शित करते हैं।
-इस रूल्ड सतह का एक परिबद्ध परिवर्तन एक ऐसी सतह का निर्माण करता है जिसमें सामान्य रूप से L के चारों ओर L को घुमाकर निर्मित गोलाकार अनुप्रस्थ काट के बजाय एक अण्डाकार अनुप्रस्थ काट होता है; ऐसी सतहों को एक पत्रक के अतिपरवलय्स भी कहा जाता है, और फिर से परस्पर तिरछी रेखाओं के दो संबंध द्वारा नियंत्रित किया जाता है। एक तीसरे प्रकार की रूल्ड सतह अतिपरवलयिक परवलयज है। एक पत्रक के अतिपरवलयज की तरह, अतिपरवलयिक परवलयज में तिरछी रेखाओं के दो परिवार होते हैं; दो संबंध में से प्रत्येक में रेखाएँ एक सामान्य तल के समानांतर होती हैं, सामान्यतः एक दूसरे के लिए नहीं। 'R<sup>3</sup>' में कोई भी तीन तिरछी रेखाएँ इनमें से किसी एक प्रकार की ठीक एक रूल्ड सतह पर स्थित हैं।{{r|hilbert-cohn-vossen}}
+इस रूल्ड सतह का परिबद्ध परिवर्तन ऐसी सतह का निर्माण करता है जिसमें सामान्य रूप से L के चारों ओर L को घुमाकर निर्मित गोलाकार अनुप्रस्थ काट के बजाय अण्डाकार अनुप्रस्थ काट होता है; ऐसी सतहों को पत्रक के अतिपरवलय्स भी कहा जाता है, और फिर से परस्पर तिरछी रेखाओं के दो संबंध द्वारा नियंत्रित किया जाता है। एक तीसरे प्रकार की रूल्ड सतह अतिपरवलयिक परवलयज है। पत्रक के अतिपरवलयज की तरह, अतिपरवलयिक परवलयज में तिरछी रेखाओं के दो सम्बन्ध होते हैं; दो संबंध में से प्रत्येक में रेखाएँ एक सामान्य तल के समानांतर होती हैं, सामान्यतः एक दूसरे के लिए नहीं। 'R<sup>3</sup>' में कोई भी तीन तिरछी रेखाएँ इनमें से किसी एक प्रकार की ठीक एक रूल्ड सतह पर स्थित हैं।{{r|hilbert-cohn-vossen}}
 === गैलुची प्रमेय ===
-यदि तीन तिरछी रेखाएं तीन अन्य तिरछी रेखाओं से मिलती हैं, और तीन के पहले समुच्चय का अनुप्रस्थ दूसरे समुच्चय के किसी तिर्यक रेखा से मिलता है।{{r|coxeter|galluci}}
+यदि तीन तिरछी रेखाएं तीन अन्य तिरछी रेखाओं से s है।{{r|coxeter|galluci}}
 == उच्च आयामों में तिरछा खंड ==
-उच्च-आयामी अंतरिक्ष में, आयाम के एक खंड (ज्यामिति) को k-खंड के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस प्रकार, एक रेखा को 1-खंड भी कहा जा सकता है।
+उच्च-आयामी अंतरिक्ष में, आयाम के खंड (ज्यामिति) को k-खंड के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस प्रकार, रेखा को 1-खंड भी कहा जा सकता है।
-d-आयाम स्पेस के लिए तिरछी रेखाओं की अवधारणा को सामान्य बनाना, एक i-खंड और एक J-खंड 'तिरछा' हो सकता है यदि
+d-आयाम स्पेस के लिए तिरछी रेखाओं की अवधारणा को सामान्य बनाना, एक i-खंड और J-खंड 'तिरछा' हो सकता है यदि
   {{math|''i'' + ''j'' &lt; ''d''}}. जैसा कि 3-स्पेस में रेखाओं के साथ होता है, तिरछे खंड वे होते हैं जो न तो समानांतर होते हैं और न ही एक दूसरे को काटते हैं।
-एफ़िन ज्यामिति | एफ़िन d-स्पेस में, किसी भी आयाम के दो खंड समानांतर हो सकते हैं। चूंकि, [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] में, समानता उपस्थित नहीं है; दो खंडों को या तो काटना चाहिए या तिरछा होना चाहिए।  {{math|''I''}} किसी i-खंड पर बिंदुओं का समुच्चय होने दें, और J को j-खंड पर बिंदुओं का समुच्चय हो। प्रोजेक्टिव d-स्पेस में, यदि {{math|''i'' + ''j'' ≥ ''d''}}  प्रतिच्छेदन  {{math|''I''}} और {{math|''J''}} में एक (i+j−d)-खंड होना चाहिए। (A ''0''-खंड एक बिंदु है।)
+एफ़िन ज्यामिति | एफ़िन d-स्पेस में, किसी भी आयाम के दो खंड समानांतर हो सकते हैं। चूंकि, [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] में, समानता उपस्थित नहीं है; दो खंडों को या तो काटना चाहिए या तिरछा होना चाहिए। {{math|''I''}} किसी i-खंड पर बिंदुओं का समुच्चय होने दें, और J को j-खंड पर बिंदुओं का समुच्चय हो। प्रोजेक्टिव d-स्पेस में, यदि {{math|''i'' + ''j'' ≥ ''d''}} प्रतिच्छेदन {{math|''I''}} और {{math|''J''}} में एक (i+j−d)-खंड होना चाहिए। (A ''0''-खंड एक बिंदु है।)
 या तो ज्यामिति में, यदि {{math|''I''}} और {{math|''J''}}, k-खंड पर प्रतिच्छेद करता है, के लिए {{math|''k'' ≥ 0}}, फिर के अंक {{math|''I'' ∪ ''J''}} a (i+j−k)-खंड निर्धारित करें।

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