प्रारंभिक मूल्य समस्या

बहुभिन्नरूपी कलन में, प्रारंभिक मूल्य समस्या (आईवीपी) एक प्रारंभिक स्थिति के साथ एक सामान्य अंतर समीकरण है जो किसी फलन के डोमेन में दिए गए बिंदु पर अज्ञात फलन (गणित) के मान को निर्दिष्ट करता है। भौतिकी या अन्य विज्ञानों में प्रणाली की मॉडलिंग अधिकांश प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान करने के बराबर होती है। उस संदर्भ में, विभेदक प्रारंभिक मूल्य समीकरण है जो निर्दिष्ट करता है कि प्रणाली समय विकास ने समस्या की प्रारंभिक स्थितियों को देखते हुए समय के साथ प्रणाली कैसे विकसित होती है।

परिभाषा

प्रारंभिक मूल्य समस्या एक अंतर समीकरण

$y'(t)=f(t,y(t))$ साथ $f\colon \Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ है जहाँ $\Omega$ का $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$ खुला सेट है,

साथ में $f$ के डोमेन में एक बिंदु के साथ

$(t_{0},y_{0})\in \Omega ,$

प्रारंभिक अवस्था कहते हैं।

प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान एक फ़ंक्शन $y$ है जो अंतर समीकरण का समाधान है और संतुष्ट करता है

$y(t_{0})=y_{0}.$

उच्च आयामों में, अवकल समीकरण को समीकरणों $y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc )$, के परिवार से बदल दिया जाता है और $y(t)$ वेक्टर $(y_{1}(t),\dotsc ,y_{n}(t))$ के रूप में देखा जाता है, सामान्यतः अंतरिक्ष में स्थिति से जुड़ा होता है। अधिक आम तौर पर, अज्ञात कार्य $y$ अनंत आयामी स्थानों पर मान ले सकते हैं, जैसे कि बनच स्थान या वितरण के स्थान (गणित)।

आरंभिक मूल्य की समस्याओं को स्वतंत्र कार्य के रूप में उसी तरह व्युत्पन्न का समाधान करके उच्च ऑर्डर तक बढ़ाया जाता है, उदा। $y''(t)=f(t,y(t),y'(t))$.

समाधान का अस्तित्व और विशिष्टता

पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय कुछ अंतराल पर t₀ वाले अद्वितीय समाधान की गारंटी देता है अगर एफ टी वाले क्षेत्र पर निरंतर है₀ और वाई₀ और वेरिएबल y पर Lipschitz सातत्य को संतुष्ट करता है। इस प्रमेय की उपपत्ति समतुल्य समाकल समीकरण के रूप में समस्या का पुनर्निर्धारण करके आगे बढ़ती है। इंटीग्रल को ऑपरेटर माना जा सकता है जो फलन को दूसरे में मैप करता है, जैसे समाधान ऑपरेटर का निश्चित बिंदु (गणित) है। बानाच निश्चित बिंदु प्रमेय को तब दिखाने के लिए लागू किया जाता है कि अद्वितीय निश्चित बिंदु मौजूद है, जो प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है।

पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय का पुराना प्रमाण उन कार्यों के अनुक्रम का निर्माण करता है जो अभिन्न समीकरण के समाधान में अभिसरण करते हैं, और इस प्रकार, प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान। इस तरह के निर्माण को कभी-कभी पिकार्ड की विधि या उत्तरोत्तर सन्निकटन की विधि कहा जाता है। यह संस्करण अनिवार्य रूप से बनच निश्चित बिंदु प्रमेय का विशेष मामला है।

हिरोशी ओकामुरा ने प्रारंभिक मूल्य समस्या के अद्वितीय होने के समाधान के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त प्राप्त की। इस स्थिति को प्रणाली के लिए लायपुनोव समारोह के अस्तित्व के साथ करना है।

कुछ स्थितियों में, फलन f, सरल फलन|वर्ग C का नहीं है¹, या यहां तक ​​कि लिपशिट्ज निरंतरता, इसलिए अद्वितीय समाधान के स्थानीय अस्तित्व की गारंटी देने वाला सामान्य परिणाम लागू नहीं होता है। पीआनो अस्तित्व प्रमेय हालांकि यह साबित करता है कि केवल निरंतर f के लिए भी, समाधान समय पर स्थानीय रूप से मौजूद होने की गारंटी है; समस्या यह है कि विशिष्टता की कोई गारंटी नहीं है। परिणाम कोडिंगटन और लेविंसन (1955, प्रमेय 1.3) या रॉबिन्सन (2001, प्रमेय 2.6) में पाया जा सकता है। और भी अधिक सामान्य परिणाम कैराथियोडोरी अस्तित्व प्रमेय है, जो कुछ असंतत कार्यों के अस्तित्व को सिद्ध करता है।

उदाहरण

सरल उदाहरण हल करना है $y'(t)=0.85y(t)$ और $y(0)=19$. हम इसका फॉर्मूला खोजने की कोशिश कर रहे हैं $y(t)$ जो इन दो समीकरणों को संतुष्ट करता है।

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि $y$ बाईं ओर है

${\frac {y'(t)}{y(t)}}=0.85$

अब दोनों पक्षों को के संबंध में एकीकृत करें $t$ (यह अज्ञात स्थिरांक का परिचय देता है $B$).

$\int {\frac {y'(t)}{y(t)}}\,dt=\int 0.85\,dt$

$\ln |y(t)|=0.85t+B$

दोनों पक्षों में घातांक के साथ लघुगणक को हटा दें

$|y(t)|=e^{B}e^{0.85t}$

होने देना $C$ नया अज्ञात स्थिरांक हो, $C=\pm e^{B}$, इसलिए

$y(t)=Ce^{0.85t}$

अब हमें इसके लिए मूल्य खोजने की जरूरत है $C$. उपयोग $y(0)=19$ जैसा कि प्रारंभ में दिया गया है और इसके लिए 0 प्रतिस्थापित करें $t$ और 19 के लिए $y$

$19=Ce^{0.85\cdot 0}$

$C=19$

यह का अंतिम समाधान देता है $y(t)=19e^{0.85t}$.

दूसरा उदाहरण

का समाधान

$y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3$

होना पाया जा सकता है

$y(t)=2e^{-3t}+2t+1.\,$

वास्तव में,

${\begin{aligned}y'+3y&={\tfrac {d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5.\end{aligned}}$

यह भी देखें

• सीमा मूल्य समस्या
• एकीकरण की निरंतरता
• अभिन्न वक्र

संदर्भ

• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of ordinary differential equations. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc.
• Hirsch, Morris W. and Smale, Stephen (1974). Differential equations, dynamical systems, and linear algebra. New York-London: Academic Press.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Okamura, Hirosi (1942). "Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano". Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A. (in French). 24: 21–28. MR 0031614.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
• Agarwal, Ravi P.; Lakshmikantham, V. (1993). Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations. Series in real analysis. Vol. 6. World Scientific. ISBN 978-981-02-1357-2.
• Polyanin, Andrei D.; Zaitsev, Valentin F. (2003). Handbook of exact solutions for ordinary differential equations (2nd ed.). Boca Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-297-2.
• Robinson, James C. (2001). Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63204-8.