प्रारंभिक मूल्य समस्या

बहुभिन्नरूपी कलन में, प्रारंभिक मूल्य समस्या (आईवीपी) एक प्रारंभिक स्थिति के साथ एक सामान्य अंतर समीकरण है जो किसी फलन के डोमेन में दिए गए बिंदु पर अज्ञात फलन (गणित) के मान को निर्दिष्ट करता है। भौतिकी या अन्य विज्ञानों में प्रणाली की मॉडलिंग अधिकांश प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान करने के बराबर होती है। उस संदर्भ में, विभेदक प्रारंभिक मूल्य समीकरण है जो निर्दिष्ट करता है कि प्रणाली समय विकास ने समस्या की प्रारंभिक स्थितियों को देखते हुए समय के साथ प्रणाली कैसे विकसित होती है।

परिभाषा

प्रारंभिक मूल्य समस्या एक अंतर समीकरण

$y'(t)=f(t,y(t))$ साथ $f\colon \Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ है जहाँ $\Omega$ का $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$ खुला सेट है,

साथ में $f$ के डोमेन में एक बिंदु के साथ

$(t_{0},y_{0})\in \Omega ,$

प्रारंभिक अवस्था कहते हैं।

प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान एक फ़ंक्शन $y$ है जो अंतर समीकरण का समाधान है और संतुष्ट करता है

$y(t_{0})=y_{0}.$

उच्च आयामों में, अवकल समीकरण को समीकरणों $y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc )$, के परिवार से बदल दिया जाता है और $y(t)$ वेक्टर $(y_{1}(t),\dotsc ,y_{n}(t))$ के रूप में देखा जाता है, सामान्यतः अंतरिक्ष में स्थिति से जुड़ा होता है। अधिक आम तौर पर, अज्ञात कार्य $y$ अनंत आयामी स्थानों पर मान ले सकते हैं, जैसे कि बनच स्थान या वितरण के स्थान (गणित)।

आरंभिक मूल्य की समस्याओं को स्वतंत्र कार्य के रूप में उसी तरह व्युत्पन्न का समाधान करके उच्च ऑर्डर तक बढ़ाया जाता है, उदा। $y''(t)=f(t,y(t),y'(t))$.

समाधान का अस्तित्व और विशिष्टता

पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय कुछ अंतराल पर एक अद्वितीय समाधान की गारंटी देता है जिसमें t₀ होता है यदि f t₀ और y₀ वाले क्षेत्र पर निरंतर है और वेरिएबल y पर लिप्सचिट्ज़ की स्थिति को संतुष्ट करता है।

इस प्रमेय की उपपत्ति समतुल्य समाकल समीकरण के रूप में समस्या का पुनर्निर्धारण करके आगे बढ़ती है। इंटीग्रल को एक ऑपरेटर माना जा सकता है जो एक फ़ंक्शन को दूसरे में मैप करता है, जैसे कि समाधान ऑपरेटर का एक निश्चित बिंदु (गणित) है। बानाच निश्चित बिंदु प्रमेय को तब दिखाने के लिए लागू किया जाता है कि एक अद्वितीय निश्चित बिंदु उपस्थित है, जो प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है।

पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय का पुराना प्रमाण उन कार्यों के अनुक्रम का निर्माण करता है जो अभिन्न समीकरण के समाधान में अभिसरण करते हैं, और इस प्रकार, प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान होता हैं। इस तरह के निर्माण को कभी-कभी पिकार्ड की विधि या क्रमिक सन्निकटन की विधि कहा जाता है। यह संस्करण अनिवार्य रूप से बनच निश्चित बिंदु प्रमेय का विशेष स्थिति है।

हिरोशी ओकामुरा ने प्रारंभिक मूल्य समस्या के अद्वितीय होने के समाधान के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त प्राप्त किया था। इस स्थिति को प्रणाली के लिए लायपुनोव फलन के अस्तित्व के साथ करना है।

कुछ स्थितियों में, फ़ंक्शन f वर्ग C¹ या यहां तक कि लिप्सचिट्ज़ का नहीं है, इसलिए एक अद्वितीय समाधान के स्थानीय अस्तित्व की गारंटी देने वाला सामान्य परिणाम लागू नहीं होता है। पीआनो अस्तित्व प्रमेय हालांकि यह साबित करता है कि केवल निरंतर f के लिए भी, समाधान समय पर स्थानीय रूप से उपस्थित होने की गारंटी है; समस्या यह है कि विशिष्टता की कोई गारंटी नहीं है। परिणाम कोडिंगटन और लेविंसन (1955, प्रमेय 1.3) या रॉबिन्सन (2001, प्रमेय 2.6) में पाया जा सकता है। एक और भी अधिक सामान्य परिणाम कैराथियोडोरी अस्तित्व प्रमेय है, जो कुछ असंतत कार्यों के अस्तित्व को सिद्ध करता है।

उदाहरण

$y'(t)=0.85y(t)$ और $y(0)=19$ को हल करना एक सरल उदाहरण है। हम $y(t)$ के लिए एक सूत्र खोजने की कोशिश कर रहे हैं जो इन दो समीकरणों को संतुष्ट करता है।

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें जिससे $y$ बाईं ओर हो

${\frac {y'(t)}{y(t)}}=0.85$

अब दोनों पक्षों को $t$ (यह अज्ञात स्थिरांक का परिचय देता है $B$) के संबंध में एकीकृत करें।

$\int {\frac {y'(t)}{y(t)}}\,dt=\int 0.85\,dt$

$\ln |y(t)|=0.85t+B$

दोनों पक्षों में घातांक के साथ लघुगणक को हटा दें

$|y(t)|=e^{B}e^{0.85t}$

मान लीजिये $C$ नया अज्ञात स्थिरांक, $C=\pm e^{B}$ हो, इसलिए

$y(t)=Ce^{0.85t}$

अब हमें $C$ लिए एक मान खोजने की आवश्यकता है। $y(0)=19$ का उपयोग करें जैसा कि प्रारंभ में दिया गया है और $t$ के लिए 0 और $y$ के लिए 19 प्रतिस्थापित करें।

$19=Ce^{0.85\cdot 0}$

$C=19$

यह $y(t)=19e^{0.85t}$ का अंतिम समाधान देता है।

दूसरा उदाहरण

का समाधान

$y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3$

होना पाया जा सकता है

$y(t)=2e^{-3t}+2t+1.\,$

वास्तविक में,

${\begin{aligned}y'+3y&={\tfrac {d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5.\end{aligned}}$

यह भी देखें

• सीमा मूल्य समस्या
• एकीकरण की निरंतरता
• अभिन्न वक्र

संदर्भ

• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of ordinary differential equations. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc.
• Hirsch, Morris W. and Smale, Stephen (1974). Differential equations, dynamical systems, and linear algebra. New York-London: Academic Press.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Okamura, Hirosi (1942). "Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano". Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A. (in French). 24: 21–28. MR 0031614.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
• Agarwal, Ravi P.; Lakshmikantham, V. (1993). Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations. Series in real analysis. Vol. 6. World Scientific. ISBN 978-981-02-1357-2.
• Polyanin, Andrei D.; Zaitsev, Valentin F. (2003). Handbook of exact solutions for ordinary differential equations (2nd ed.). Boca Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-297-2.
• Robinson, James C. (2001). Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63204-8.