पूर्ण निरंतरता: Difference between revisions

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{{Short description|Form of continuity for functions}}
{{Short description|Form of continuity for functions}}
कलन में, पूर्ण निरंतरता फलन (गणित) का एक [[चिकनाई (गणित)|सहज (गणित)]] गुण है जो [[निरंतर कार्य|निरंतरता]] और समान निरंतरता से अधिक मजबूत है। पूर्ण निरंतरता की धारणा किसी को कलन-व्युत्पन्न और [[अभिन्न]] के दो केंद्रीय कार्यों के बीच संबंधों के सामान्यीकरण को प्राप्त करने की अनुमति देती है। [[रीमैन एकीकरण]] की रूपरेखा में (कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा) चित्रित किया जाता है, लेकिन पूर्ण निरंतरता के साथ इसे [[लेबेसेग एकीकरण]] के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है। वास्तविक मूल्यांकित फलन के लिए [[वास्तविक रेखा]] पर, दो परस्पर संबंधित धारणाएँ फलन की पूर्ण निरंतरता और उपायों की पूर्ण निरंतरता दिखाई देती हैं। इन दो धारणाओं को अलग-अलग दिशाओं में सामान्यीकृत किया जाता है। फलन का सामान्य व्युत्पन्न एक माप के'' रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न '', या ''घनत्व '' से संबंधित है।हमारे पास वास्तविक रेखा के एक [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट]] उपसमुच्चय पर फलन के लिए निम्नलिखित अनुक्रम हैं:
कलन में, पूर्ण निरंतरता फलन (गणित) का एक [[चिकनाई (गणित)|सहज (गणित)]] गुण है जो [[निरंतर कार्य|निरंतरता]] और समान निरंतरता से अधिक मजबूत है। पूर्ण निरंतरता की धारणा किसी को कलन-व्युत्पन्न और [[अभिन्न]] के दो केंद्रीय फलन के बीच संबंधों के सामान्यीकरण को प्राप्त करने की अनुमति देती है। [[रीमैन एकीकरण]] की रूपरेखा में (कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा) चित्रित किया जाता है, लेकिन पूर्ण निरंतरता के साथ इसे [[लेबेसेग एकीकरण]] के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है। वास्तविक मूल्यांकित फलन के लिए [[वास्तविक रेखा]] पर, दो परस्पर संबंधित धारणाएँ फलन की पूर्ण निरंतरता और उपायों की पूर्ण निरंतरता दिखाई देती हैं। इन दो धारणाओं को अलग-अलग दिशाओं में सामान्यीकृत किया जाता है। फलन का सामान्य व्युत्पन्न एक माप के'' रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न '', या ''घनत्व '' से संबंधित है।हमारे पास वास्तविक रेखा के एक [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट]] उपसमुच्चय पर फलन के लिए निम्नलिखित अनुक्रम हैं:


: ''[[बिल्कुल निरंतर|पूर्णतः निरंतर]]'' ⊆ ''[[समान रूप से निरंतर]]'' <math>=</math> निरंतर कार्य
: ''[[बिल्कुल निरंतर|पूर्णतः निरंतर]]'' ⊆ ''[[समान रूप से निरंतर]]'' <math>=</math> निरंतर फलन
और, एक संक्षिप्त अंतराल के लिए,
और, एक संक्षिप्त अंतराल के लिए,


: निरंतर अवकलनीय ⊆ लिप्सचिट्ज़ निरंतर ⊆  पूर्णतः निरंतर ⊆ [[परिबद्ध भिन्नता]] ⊆ अवकलनीय फलन [[लगभग हर जगह]]।
: निरंतर अवकलनीय ⊆ लिप्सचिट्ज़ निरंतर ⊆  पूर्णतः निरंतर ⊆ [[परिबद्ध भिन्नता]] ⊆ अवकलनीय फलन [[लगभग हर जगह]]।


== कार्यों की पूर्ण निरंतरता ==
== फलन की पूर्ण निरंतरता ==


एक निरंतर कार्य पूरी तरह से निरंतर होने में विफल रहता है यदि यह समान रूप से निरंतर होने में विफल रहता है, जो तब हो सकता है जब फ़ंक्शन का डोमेन कॉम्पैक्ट न हो - उदाहरण हैं tan(x) over {{closed-open|0, ''π''/2}}, एक्स<sup>2</sup> संपूर्ण वास्तविक रेखा पर, और sin(1/x) ऊपर (0, 1]। लेकिन एक निरंतर कार्य f एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर भी पूरी तरह से निरंतर होने में विफल हो सकता है। यह लगभग हर जगह भिन्न नहीं हो सकता है ( [[वीयरस्ट्रैस समारोह]] की तरह, जो कहीं भी भिन्न नहीं है)। या यह लगभग हर जगह अलग-अलग कार्य हो सकता है और इसका व्युत्पन्न f ' Lebesgue एकीकरण हो सकता है, लेकिन f ' का अभिन्न अंग f की वृद्धि से भिन्न होता है (कितना f एक अंतराल पर बदलता है ) यह उदाहरण के लिए [[कैंटर समारोह]] के साथ होता है। सामान्यतः
एक निरंतर फलन पूरी तरह से निरंतर होने में विफल रहता है यदि यह समान रूप से निरंतर होने में विफल रहता है, जो तब हो सकता है जब फलन का डोमेन कॉम्पैक्ट न हो - उदाहरण हैं tan(x) over {{closed-open|0, ''π''/2}}, एक्स<sup>2</sup> संपूर्ण वास्तविक रेखा पर, और sin(1/x) ऊपर (0, 1]। लेकिन एक निरंतर फलन f एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर भी पूरी तरह से निरंतर होने में विफल हो सकता है। यह लगभग हर जगह भिन्न नहीं हो सकता है ( [[वीयरस्ट्रैस समारोह|वीयरस्ट्रैस फलन]] की तरह, जो कहीं भी भिन्न नहीं है)। या यह लगभग हर जगह अलग-अलग फलन हो सकता है और इसका व्युत्पन्न f ' Lebesgue एकीकरण हो सकता है, लेकिन f ' का अभिन्न अंग f की वृद्धि से भिन्न होता है (कितना f एक अंतराल पर बदलता है ) यह उदाहरण के लिए [[कैंटर समारोह|कैंटर फलन]] के साथ होता है।


=== परिभाषा ===
=== परिभाषा ===
होने देना <math>I</math> वास्तविक रेखा में एक [[अंतराल (गणित)]] हो <math>\R</math>. एक समारोह <math>f\colon I \to \R</math> बिल्कुल चालू है <math>I</math> अगर हर सकारात्मक संख्या के लिए <math>\varepsilon</math>, एक सकारात्मक संख्या है <math>\delta</math> ऐसा कि जब भी जोड़ीदार का एक परिमित क्रम उप-अंतरालों को अलग करता है <math>(x_k, y_k)</math> का <math>I</math> साथ <math>x_k < y_k \in I</math> संतुष्ट<ref>{{harvnb|Royden|1988|loc=Sect. 5.4, page 108}}; {{harvnb|Nielsen|1997|loc=Definition 15.6 on page 251}}; {{harvnb|Athreya|Lahiri|2006|loc=Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128,129}}. The interval <math>I</math> is assumed to be bounded and closed in the former two books but not the latter book.</ref>
होने देना <math>I</math> वास्तविक रेखा में एक [[अंतराल (गणित)]] हो <math>\R</math>. एक फलन <math>f\colon I \to \R</math> बिल्कुल चालू है <math>I</math> अगर हर सकारात्मक संख्या के लिए <math>\varepsilon</math>, एक सकारात्मक संख्या है <math>\delta</math> ऐसा कि जब भी जोड़ीदार का एक परिमित क्रम उप-अंतरालों को अलग करता है <math>(x_k, y_k)</math> का <math>I</math> साथ <math>x_k < y_k \in I</math> संतुष्ट<ref>{{harvnb|Royden|1988|loc=Sect. 5.4, page 108}}; {{harvnb|Nielsen|1997|loc=Definition 15.6 on page 251}}; {{harvnb|Athreya|Lahiri|2006|loc=Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128,129}}. The interval <math>I</math> is assumed to be bounded and closed in the former two books but not the latter book.</ref>
:<math>\sum_k (y_k - x_k) < \delta </math>
:<math>\sum_k (y_k - x_k) < \delta </math>
तब
तब
:<math> \sum_k | f(y_k) - f(x_k) | < \varepsilon.</math>
:<math> \sum_k | f(y_k) - f(x_k) | < \varepsilon.</math>
पर सभी पूर्णतः निरंतर कार्यों का संग्रह <math>I</math> निरूपित किया जाता है <math>\operatorname{AC}(I)</math>.
पर सभी पूर्णतः निरंतर फलन का संग्रह <math>I</math> निरूपित किया जाता है <math>\operatorname{AC}(I)</math>.


=== समतुल्य परिभाषाएं ===
=== समतुल्य परिभाषाएं ===


एक कॉम्पैक्ट अंतराल [ए, बी] पर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन एफ पर निम्न स्थितियां समकक्ष हैं:<ref>{{harvnb|Nielsen|1997|loc=Theorem 20.8 on page 354}}; also {{harvnb|Royden|1988|loc=Sect. 5.4, page 110}} and {{harvnb|Athreya|Lahiri|2006|loc=Theorems 4.4.1, 4.4.2 on pages 129,130}}.</ref>
एक कॉम्पैक्ट अंतराल [ए, बी] पर वास्तविक-मूल्यवान फलन एफ पर निम्न स्थितियां समकक्ष हैं:<ref>{{harvnb|Nielsen|1997|loc=Theorem 20.8 on page 354}}; also {{harvnb|Royden|1988|loc=Sect. 5.4, page 110}} and {{harvnb|Athreya|Lahiri|2006|loc=Theorems 4.4.1, 4.4.2 on pages 129,130}}.</ref>
# f पूर्णतया सतत है;
# f पूर्णतया सतत है;
# f का व्युत्पन्न f ' लगभग हर जगह है, व्युत्पन्न Lebesgue पूर्णांक है, और <math display="block"> f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) \, dt </math> [ए, बी] पर सभी एक्स के लिए;
# f का व्युत्पन्न f ' लगभग हर जगह है, व्युत्पन्न Lebesgue पूर्णांक है, और <math display="block"> f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) \, dt </math> [ए, बी] पर सभी एक्स के लिए;
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=== गुण ===
=== गुण ===
* दो पूर्णतः सतत फलनों का योग और अंतर भी पूर्णतया सतत होता है। यदि दो फलन परिबद्ध संवृत्त अंतराल पर परिभाषित हैं, तो उनका गुणनफल भी पूर्णतः संतत होता है।<ref>{{harvnb |Royden|1988|loc=Problem 5.14(a,b) on page 111}}.</ref>
* दो पूर्णतः सतत फलनों का योग और अंतर भी पूर्णतया सतत होता है। यदि दो फलन परिबद्ध संवृत्त अंतराल पर परिभाषित हैं, तो उनका गुणनफल भी पूर्णतः संतत होता है।<ref>{{harvnb |Royden|1988|loc=Problem 5.14(a,b) on page 111}}.</ref>
* यदि एक परिबद्ध बंद अंतराल पर एक बिल्कुल निरंतर कार्य परिभाषित किया गया है और कहीं भी शून्य नहीं है तो इसका व्युत्क्रम बिल्कुल निरंतर है।<ref>{{harvnb |Royden|1988|loc=Problem 5.14(c) on page 111}}.</ref>
* यदि एक परिबद्ध बंद अंतराल पर एक बिल्कुल निरंतर फलन परिभाषित किया गया है और कहीं भी शून्य नहीं है तो इसका व्युत्क्रम बिल्कुल निरंतर है।<ref>{{harvnb |Royden|1988|loc=Problem 5.14(c) on page 111}}.</ref>
* हर पूर्णतया सतत कार्य (एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर) एकसमान निरंतरता है और इसलिए, सतत कार्य। प्रत्येक (विश्व स्तर पर) लिप्सचिट्ज़ निरंतरता | लिप्सचिट्ज़-निरंतर कार्य (गणित) बिल्कुल निरंतर है।<ref>{{harvnb |Royden|1988|loc=Problem 5.20(a) on page 112}}.</ref>
* हर पूर्णतया सतत फलन (एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर) एकसमान निरंतरता है और इसलिए, सतत फलन। प्रत्येक (विश्व स्तर पर) लिप्सचिट्ज़ निरंतरता | लिप्सचिट्ज़-निरंतर फलन (गणित) बिल्कुल निरंतर है।<ref>{{harvnb |Royden|1988|loc=Problem 5.20(a) on page 112}}.</ref>
* यदि f: [a,b] → 'R' बिल्कुल निरंतर है, तो यह [a,b] पर परिबद्ध भिन्नता का है।<ref>{{harvnb|Royden|1988|loc=Lemma 5.11 on page 108}}.</ref>
* यदि f: [a,b] → 'R' बिल्कुल निरंतर है, तो यह [a,b] पर परिबद्ध भिन्नता का है।<ref>{{harvnb|Royden|1988|loc=Lemma 5.11 on page 108}}.</ref>
* यदि f: [ए, बी] → 'आर' बिल्कुल निरंतर है, तो इसे [ए, बी] पर दो मोनोटोनिक गैर-घटते बिल्कुल निरंतर कार्यों के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है।
* यदि f: [ए, बी] → 'आर' बिल्कुल निरंतर है, तो इसे [ए, बी] पर दो मोनोटोनिक गैर-घटते बिल्कुल निरंतर फलन के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है।
* यदि f: [a,b] → 'R' बिल्कुल निरंतर है, तो इसमें लूज़िन एन गुण है (अर्थात, किसी के लिए भी) <math>N \subseteq [a,b]</math> ऐसा है कि <math>\lambda(N) = 0</math>, यह मानता है <math>\lambda(f(N)) = 0</math>, कहाँ <math>\lambda</math> R पर Lebesgue माप के लिए खड़ा है)।
* यदि f: [a,b] → 'R' बिल्कुल निरंतर है, तो इसमें लूज़िन एन गुण है (अर्थात, किसी के लिए भी) <math>N \subseteq [a,b]</math> ऐसा है कि <math>\lambda(N) = 0</math>, यह मानता है <math>\lambda(f(N)) = 0</math>, कहाँ <math>\lambda</math> R पर Lebesgue माप के लिए खड़ा है)।
* ''एफ'': ''आई'' → आर बिल्कुल निरंतर है अगर और केवल अगर यह निरंतर है, परिबद्ध विविधता का है और लुज़िन ''एन'' संपत्ति है। इस कथन को बनच-ज़ारेकी प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{harvnb |Bruckner|Bruckner|Thomson|1997|loc=Theorem 7.11}}.</ref>
* ''एफ'': ''आई'' → आर बिल्कुल निरंतर है अगर और केवल अगर यह निरंतर है, परिबद्ध विविधता का है और लुज़िन ''एन'' संपत्ति है। इस कथन को बनच-ज़ारेकी प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{harvnb |Bruckner|Bruckner|Thomson|1997|loc=Theorem 7.11}}.</ref>
* यदि f: I → 'R' बिल्कुल निरंतर है और g: 'R' → 'R' विश्व स्तर पर Lipschitz continuity|Lipschitz-continuity है, तो रचना g ∘ f बिल्कुल निरंतर है। इसके विपरीत, प्रत्येक फ़ंक्शन g के लिए जो विश्व स्तर पर लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं है, एक बिल्कुल निरंतर फ़ंक्शन f मौजूद है जैसे कि g∘ f बिल्कुल निरंतर नहीं है।<ref>{{harvnb |Fichtenholz|1923}}.</ref>
* यदि f: I → 'R' बिल्कुल निरंतर है और g: 'R' → 'R' विश्व स्तर पर Lipschitz continuity|Lipschitz-continuity है, तो रचना g ∘ f बिल्कुल निरंतर है। इसके विपरीत, प्रत्येक फलन g के लिए जो विश्व स्तर पर लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं है, एक बिल्कुल निरंतर फलन f मौजूद है जैसे कि g∘ f बिल्कुल निरंतर नहीं है।<ref>{{harvnb |Fichtenholz|1923}}.</ref>




=== उदाहरण ===
=== उदाहरण ===
निम्नलिखित कार्य समान रूप से निरंतर हैं लेकिन बिल्कुल निरंतर नहीं हैं:
निम्नलिखित फलन समान रूप से निरंतर हैं लेकिन बिल्कुल निरंतर नहीं हैं:
* कैंटर फ़ंक्शन [0, 1] पर (यह परिबद्ध भिन्नता का है लेकिन बिल्कुल निरंतर नहीं है);
* कैंटर फलन [0, 1] पर (यह परिबद्ध भिन्नता का है लेकिन बिल्कुल निरंतर नहीं है);
* कार्यक्रम <math display="block"> f(x) = \begin{cases}
* फलनक्रम <math display="block"> f(x) = \begin{cases}
0, & \text{if }x =0 \\
0, & \text{if }x =0 \\
x \sin(1/x), & \text{if } x \neq 0
x \sin(1/x), & \text{if } x \neq 0
\end{cases} </math> मूल युक्त एक परिमित अंतराल पर।
\end{cases} </math> मूल युक्त एक परिमित अंतराल पर।


निम्नलिखित कार्य बिल्कुल निरंतर हैं लेकिन α-होल्डर निरंतर नहीं हैं:
निम्नलिखित फलन बिल्कुल निरंतर हैं लेकिन α-होल्डर निरंतर नहीं हैं:
* फ़ंक्शन f(x) = x<sup>β</sup> [0, c] पर, किसी के लिए भी {{nowrap|0 < ''β'' < ''α'' < 1}}
* फलन f(x) = x<sup>β</sup> [0, c] पर, किसी के लिए भी {{nowrap|0 < ''β'' < ''α'' < 1}}


निम्नलिखित कार्य पूरी तरह से निरंतर हैं और होल्डर कंडीशन|α-होल्डर निरंतर लेकिन लिप्सचिट्ज़ निरंतरता नहीं:
निम्नलिखित फलन पूरी तरह से निरंतर हैं और होल्डर कंडीशन|α-होल्डर निरंतर लेकिन लिप्सचिट्ज़ निरंतरता नहीं:
* फलन f(x) ={{radic|''x''}} [0, c] पर, α ≤ 1/2 के लिए।
* फलन f(x) ={{radic|''x''}} [0, c] पर, α ≤ 1/2 के लिए।


=== सामान्यीकरण ===
=== सामान्यीकरण ===
चलो (एक्स, डी) एक [[मीट्रिक स्थान]] हो और मैं वास्तविक रेखा 'आर' में एक अंतराल (गणित) हो। एक समारोह f: I → X, I पर 'बिल्कुल निरंतर' है यदि प्रत्येक सकारात्मक संख्या के लिए <math>\epsilon</math>, एक सकारात्मक संख्या है <math>\delta</math> ऐसा है कि जब भी जोड़ीदार उप-अंतरालों का एक परिमित क्रम होता है [x<sub>''k''</sub>, और<sub>''k''</sub>] मैं संतुष्ट करता हूं
चलो (एक्स, डी) एक [[मीट्रिक स्थान]] हो और मैं वास्तविक रेखा 'आर' में एक अंतराल (गणित) हो। एक फलन f: I → X, I पर 'बिल्कुल निरंतर' है यदि प्रत्येक सकारात्मक संख्या के लिए <math>\epsilon</math>, एक सकारात्मक संख्या है <math>\delta</math> ऐसा है कि जब भी जोड़ीदार उप-अंतरालों का एक परिमित क्रम होता है [x<sub>''k''</sub>, और<sub>''k''</sub>] मैं संतुष्ट करता हूं


:<math>\sum_{k} \left| y_k - x_k \right| < \delta</math>
:<math>\sum_{k} \left| y_k - x_k \right| < \delta</math>
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:<math>\sum_{k} d \left( f(y_k), f(x_k) \right) < \epsilon.</math>
:<math>\sum_{k} d \left( f(y_k), f(x_k) \right) < \epsilon.</math>
I से X तक सभी पूर्ण निरंतर कार्यों का संग्रह एसी (I; X) को दर्शाता है।
I से X तक सभी पूर्ण निरंतर फलन का संग्रह एसी (I; X) को दर्शाता है।


एक और सामान्यीकरण अंतरिक्ष एसी है<sup>p</sup>(I; X) घटता f: I → X ऐसा है कि<ref>{{harvnb|Ambrosio|Gigli|Savaré|2005|loc=Definition 1.1.1 on page 23}}</ref>
एक और सामान्यीकरण अंतरिक्ष एसी है<sup>p</sup>(I; X) घटता f: I → X ऐसा है कि<ref>{{harvnb|Ambrosio|Gigli|Savaré|2005|loc=Definition 1.1.1 on page 23}}</ref>
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=== इन सामान्यीकरणों के गुण ===
=== इन सामान्यीकरणों के गुण ===
* हर पूर्णतया सतत कार्य (एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर) एकसमान निरंतरता है और इसलिए, सतत कार्य। प्रत्येक लिप्सचिट्ज़ निरंतरता | लिप्सचिट्ज़-निरंतर कार्य (गणित) बिल्कुल निरंतर है।
* हर पूर्णतया सतत फलन (एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर) एकसमान निरंतरता है और इसलिए, सतत फलन। प्रत्येक लिप्सचिट्ज़ निरंतरता | लिप्सचिट्ज़-निरंतर फलन (गणित) बिल्कुल निरंतर है।
* यदि f: [a,b] → X बिल्कुल निरंतर है, तो यह [a,b] पर परिबद्ध भिन्नता का है।
* यदि f: [a,b] → X बिल्कुल निरंतर है, तो यह [a,b] पर परिबद्ध भिन्नता का है।
* एफ ∈ एसी के लिए<sup>p</sup>(I; X), f का [[मीट्रिक व्युत्पन्न]] λ-लगभग हर समय I में मौजूद है, और मीट्रिक डेरिवेटिव सबसे छोटा m ∈ L है<sup>p</sup>(I; 'R') ऐसा कि<ref>{{harvnb |Ambrosio|Gigli|Savaré|2005|loc=Theorem 1.1.2 on page 24}}</ref><math display="block">d \left( f(s), f(t) \right) \leq \int_s^t m(\tau) \,d\tau \text{ for all } [s, t] \subseteq I.</math>
* एफ ∈ एसी के लिए<sup>p</sup>(I; X), f का [[मीट्रिक व्युत्पन्न]] λ-लगभग हर समय I में मौजूद है, और मीट्रिक डेरिवेटिव सबसे छोटा m ∈ L है<sup>p</sup>(I; 'R') ऐसा कि<ref>{{harvnb |Ambrosio|Gigli|Savaré|2005|loc=Theorem 1.1.2 on page 24}}</ref><math display="block">d \left( f(s), f(t) \right) \leq \int_s^t m(\tau) \,d\tau \text{ for all } [s, t] \subseteq I.</math>
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# <math>\mu</math> बिल्कुल निरंतर है;
# <math>\mu</math> बिल्कुल निरंतर है;
# हर सकारात्मक संख्या के लिए <math>\varepsilon</math> एक सकारात्मक संख्या है <math>\delta > 0</math> ऐसा है कि <math>\mu(A) < \varepsilon</math> सभी बोरेल सेट के लिए <math>A</math> Lebesgue माप से कम है <math>\delta;</math>
# हर सकारात्मक संख्या के लिए <math>\varepsilon</math> एक सकारात्मक संख्या है <math>\delta > 0</math> ऐसा है कि <math>\mu(A) < \varepsilon</math> सभी बोरेल सेट के लिए <math>A</math> Lebesgue माप से कम है <math>\delta;</math>
# एक Lebesgue पूर्णांक समारोह मौजूद है <math>g</math> वास्तविक रेखा पर ऐसा है <math display="block">\mu(A) = \int_A g \,d\lambda</math> सभी बोरेल सबसेट के लिए <math>A</math> वास्तविक रेखा का।
# एक Lebesgue पूर्णांक फलन मौजूद है <math>g</math> वास्तविक रेखा पर ऐसा है <math display="block">\mu(A) = \int_A g \,d\lambda</math> सभी बोरेल सबसेट के लिए <math>A</math> वास्तविक रेखा का।


कार्यों के संदर्भ में समकक्ष परिभाषा के लिए पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच अनुभाग #Relation देखें।
फलन के संदर्भ में समकक्ष परिभाषा के लिए पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच अनुभाग #Relation देखें।


कोई अन्य फलन जो संतुष्ट करता है (3) के बराबर है <math>g</math> लगभग हर जगह। इस तरह के एक समारोह को बिल्कुल निरंतर माप के रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न या घनत्व कहा जाता है <math>\mu.</math>
कोई अन्य फलन जो संतुष्ट करता है (3) के बराबर है <math>g</math> लगभग हर जगह। इस तरह के एक फलन को बिल्कुल निरंतर माप के रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न या घनत्व कहा जाता है <math>\mu.</math>
(1), (2) और (3) के बीच समानता भी लागू होती है <math>\R^n</math> सभी के लिए <math>n = 1, 2, 3, \ldots.</math>
(1), (2) और (3) के बीच समानता भी लागू होती है <math>\R^n</math> सभी के लिए <math>n = 1, 2, 3, \ldots.</math>
इस प्रकार, बिल्कुल निरंतर उपाय <math>\R^n</math> ठीक वही हैं जिनमें घनत्व है; एक विशेष मामले के रूप में, पूरी तरह से निरंतर संभाव्यता उपाय ठीक वही होते हैं जिनमें प्रायिकता घनत्व कार्य होते हैं।
इस प्रकार, बिल्कुल निरंतर उपाय <math>\R^n</math> ठीक वही हैं जिनमें घनत्व है; एक विशेष मामले के रूप में, पूरी तरह से निरंतर संभाव्यता उपाय ठीक वही होते हैं जिनमें प्रायिकता घनत्व फलन होते हैं।


=== सामान्यीकरण ===
=== सामान्यीकरण ===
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अगर <math>\mu</math> एक हस्ताक्षरित माप या [[जटिल उपाय]] है, ऐसा कहा जाता है <math>\mu</math> के संबंध में बिल्कुल निरंतर है <math>\nu</math> अगर इसकी भिन्नता है <math>|\mu|</math> संतुष्ट <math>|\mu| \ll \nu;</math> समकक्ष, अगर हर सेट <math>A</math> जिसके लिए <math>\nu(A) = 0</math> है <math>\mu</math>-[[शून्य सेट]]।
अगर <math>\mu</math> एक हस्ताक्षरित माप या [[जटिल उपाय]] है, ऐसा कहा जाता है <math>\mu</math> के संबंध में बिल्कुल निरंतर है <math>\nu</math> अगर इसकी भिन्नता है <math>|\mu|</math> संतुष्ट <math>|\mu| \ll \nu;</math> समकक्ष, अगर हर सेट <math>A</math> जिसके लिए <math>\nu(A) = 0</math> है <math>\mu</math>-[[शून्य सेट]]।


रैडॉन-निकोडिम प्रमेय<ref>{{harvnb|Royden|1988|loc=Theorem 11.23 on page 276}}; {{harvnb|Nielsen|1997|loc=Theorem 15.4 on page 251}}; {{harvnb|Athreya|Lahiri|2006|loc=Item (ii) of Theorem 4.1.1 on page 115}}.</ref> बताता है कि अगर <math>\mu</math> के संबंध में बिल्कुल निरंतर है <math>\nu,</math> और दोनों माप σ-परिमित हैं, तब <math>\mu</math> के संबंध में घनत्व, या रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न है <math>\nu,</math> जिसका अर्थ है कि एक मौजूद है <math>\nu</math>-मापने योग्य समारोह <math>f</math> मान लेना <math>[0, +\infty),</math> द्वारा चिह्नित <math>f = d\mu / d\nu,</math> ऐसा कि किसी के लिए <math>\nu</math>-मापने योग्य सेट <math>A</math> अपने पास
रैडॉन-निकोडिम प्रमेय<ref>{{harvnb|Royden|1988|loc=Theorem 11.23 on page 276}}; {{harvnb|Nielsen|1997|loc=Theorem 15.4 on page 251}}; {{harvnb|Athreya|Lahiri|2006|loc=Item (ii) of Theorem 4.1.1 on page 115}}.</ref> बताता है कि अगर <math>\mu</math> के संबंध में बिल्कुल निरंतर है <math>\nu,</math> और दोनों माप σ-परिमित हैं, तब <math>\mu</math> के संबंध में घनत्व, या रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न है <math>\nu,</math> जिसका अर्थ है कि एक मौजूद है <math>\nu</math>-मापने योग्य फलन <math>f</math> मान लेना <math>[0, +\infty),</math> द्वारा चिह्नित <math>f = d\mu / d\nu,</math> ऐसा कि किसी के लिए <math>\nu</math>-मापने योग्य सेट <math>A</math> अपने पास
<math display=block>\mu(A) = \int_A f \,d\nu.</math>
<math display=block>\mu(A) = \int_A f \,d\nu.</math>


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== पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच संबंध ==
== पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच संबंध ==
वास्तविक रेखा के बोरेल सेट पर एक परिमित माप μ Lebesgue माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है यदि और केवल यदि बिंदु कार्य करता है
वास्तविक रेखा के बोरेल सेट पर एक परिमित माप μ Lebesgue माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है यदि और केवल यदि बिंदु फलन करता है
:<math>F(x)=\mu((-\infty,x])</math>
:<math>F(x)=\mu((-\infty,x])</math>
एक बिल्कुल निरंतर वास्तविक कार्य है।
एक बिल्कुल निरंतर वास्तविक फलन है।
अधिक आम तौर पर, एक फ़ंक्शन स्थानीय रूप से होता है (अर्थात् हर बाध्य अंतराल पर) बिल्कुल निरंतर अगर और केवल अगर इसका [[वितरण व्युत्पन्न]] एक उपाय है जो लेबेस्गु माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है।
अधिक आम तौर पर, एक फलन स्थानीय रूप से होता है (अर्थात् हर बाध्य अंतराल पर) बिल्कुल निरंतर अगर और केवल अगर इसका [[वितरण व्युत्पन्न]] एक उपाय है जो लेबेस्गु माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है।


यदि पूर्ण निरंतरता बनी रहती है तो μ का रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न एफ के व्युत्पन्न के लगभग हर जगह बराबर होता है।<ref>{{harvnb|Royden|1988|loc=Problem 12.17(b) on page 303}}.</ref>
यदि पूर्ण निरंतरता बनी रहती है तो μ का रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न एफ के व्युत्पन्न के लगभग हर जगह बराबर होता है।<ref>{{harvnb|Royden|1988|loc=Problem 12.17(b) on page 303}}.</ref>

Revision as of 12:56, 29 March 2023

कलन में, पूर्ण निरंतरता फलन (गणित) का एक सहज (गणित) गुण है जो निरंतरता और समान निरंतरता से अधिक मजबूत है। पूर्ण निरंतरता की धारणा किसी को कलन-व्युत्पन्न और अभिन्न के दो केंद्रीय फलन के बीच संबंधों के सामान्यीकरण को प्राप्त करने की अनुमति देती है। रीमैन एकीकरण की रूपरेखा में (कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा) चित्रित किया जाता है, लेकिन पूर्ण निरंतरता के साथ इसे लेबेसेग एकीकरण के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है। वास्तविक मूल्यांकित फलन के लिए वास्तविक रेखा पर, दो परस्पर संबंधित धारणाएँ फलन की पूर्ण निरंतरता और उपायों की पूर्ण निरंतरता दिखाई देती हैं। इन दो धारणाओं को अलग-अलग दिशाओं में सामान्यीकृत किया जाता है। फलन का सामान्य व्युत्पन्न एक माप के रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न , या घनत्व से संबंधित है।हमारे पास वास्तविक रेखा के एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर फलन के लिए निम्नलिखित अनुक्रम हैं:

पूर्णतः निरंतरसमान रूप से निरंतर निरंतर फलन

और, एक संक्षिप्त अंतराल के लिए,

निरंतर अवकलनीय ⊆ लिप्सचिट्ज़ निरंतर ⊆ पूर्णतः निरंतर ⊆ परिबद्ध भिन्नता ⊆ अवकलनीय फलन लगभग हर जगह

फलन की पूर्ण निरंतरता

एक निरंतर फलन पूरी तरह से निरंतर होने में विफल रहता है यदि यह समान रूप से निरंतर होने में विफल रहता है, जो तब हो सकता है जब फलन का डोमेन कॉम्पैक्ट न हो - उदाहरण हैं tan(x) over [0, π/2), एक्स2 संपूर्ण वास्तविक रेखा पर, और sin(1/x) ऊपर (0, 1]। लेकिन एक निरंतर फलन f एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर भी पूरी तरह से निरंतर होने में विफल हो सकता है। यह लगभग हर जगह भिन्न नहीं हो सकता है ( वीयरस्ट्रैस फलन की तरह, जो कहीं भी भिन्न नहीं है)। या यह लगभग हर जगह अलग-अलग फलन हो सकता है और इसका व्युत्पन्न f ' Lebesgue एकीकरण हो सकता है, लेकिन f ' का अभिन्न अंग f की वृद्धि से भिन्न होता है (कितना f एक अंतराल पर बदलता है ) यह उदाहरण के लिए कैंटर फलन के साथ होता है।

परिभाषा

होने देना वास्तविक रेखा में एक अंतराल (गणित) हो . एक फलन बिल्कुल चालू है अगर हर सकारात्मक संख्या के लिए , एक सकारात्मक संख्या है ऐसा कि जब भी जोड़ीदार का एक परिमित क्रम उप-अंतरालों को अलग करता है का साथ संतुष्ट[1]

तब

पर सभी पूर्णतः निरंतर फलन का संग्रह निरूपित किया जाता है .

समतुल्य परिभाषाएं

एक कॉम्पैक्ट अंतराल [ए, बी] पर वास्तविक-मूल्यवान फलन एफ पर निम्न स्थितियां समकक्ष हैं:[2]

  1. f पूर्णतया सतत है;
  2. f का व्युत्पन्न f ' लगभग हर जगह है, व्युत्पन्न Lebesgue पूर्णांक है, और
    [ए, बी] पर सभी एक्स के लिए;
  3. [a,b] पर एक Lebesgue integrable function g मौजूद है जैसे कि
    [ए, बी] में सभी एक्स के लिए।

यदि ये समतुल्य शर्तें पूरी होती हैं तो अनिवार्य रूप से g = f ' लगभग हर जगह।

(1) और (3) के बीच समानता को लेबेसेग के कारण 'लेबेस्ग इंटीग्रल कैलकुस के मौलिक प्रमेय' के रूप में जाना जाता है।[3] उपायों के संदर्भ में समतुल्य परिभाषा के लिए खंड देखें #संबंध पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच।

गुण

  • दो पूर्णतः सतत फलनों का योग और अंतर भी पूर्णतया सतत होता है। यदि दो फलन परिबद्ध संवृत्त अंतराल पर परिभाषित हैं, तो उनका गुणनफल भी पूर्णतः संतत होता है।[4]
  • यदि एक परिबद्ध बंद अंतराल पर एक बिल्कुल निरंतर फलन परिभाषित किया गया है और कहीं भी शून्य नहीं है तो इसका व्युत्क्रम बिल्कुल निरंतर है।[5]
  • हर पूर्णतया सतत फलन (एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर) एकसमान निरंतरता है और इसलिए, सतत फलन। प्रत्येक (विश्व स्तर पर) लिप्सचिट्ज़ निरंतरता | लिप्सचिट्ज़-निरंतर फलन (गणित) बिल्कुल निरंतर है।[6]
  • यदि f: [a,b] → 'R' बिल्कुल निरंतर है, तो यह [a,b] पर परिबद्ध भिन्नता का है।[7]
  • यदि f: [ए, बी] → 'आर' बिल्कुल निरंतर है, तो इसे [ए, बी] पर दो मोनोटोनिक गैर-घटते बिल्कुल निरंतर फलन के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है।
  • यदि f: [a,b] → 'R' बिल्कुल निरंतर है, तो इसमें लूज़िन एन गुण है (अर्थात, किसी के लिए भी) ऐसा है कि , यह मानता है , कहाँ R पर Lebesgue माप के लिए खड़ा है)।
  • एफ: आई → आर बिल्कुल निरंतर है अगर और केवल अगर यह निरंतर है, परिबद्ध विविधता का है और लुज़िन एन संपत्ति है। इस कथन को बनच-ज़ारेकी प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।[8]
  • यदि f: I → 'R' बिल्कुल निरंतर है और g: 'R' → 'R' विश्व स्तर पर Lipschitz continuity|Lipschitz-continuity है, तो रचना g ∘ f बिल्कुल निरंतर है। इसके विपरीत, प्रत्येक फलन g के लिए जो विश्व स्तर पर लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं है, एक बिल्कुल निरंतर फलन f मौजूद है जैसे कि g∘ f बिल्कुल निरंतर नहीं है।[9]


उदाहरण

निम्नलिखित फलन समान रूप से निरंतर हैं लेकिन बिल्कुल निरंतर नहीं हैं:

  • कैंटर फलन [0, 1] पर (यह परिबद्ध भिन्नता का है लेकिन बिल्कुल निरंतर नहीं है);
  • फलनक्रम
    मूल युक्त एक परिमित अंतराल पर।

निम्नलिखित फलन बिल्कुल निरंतर हैं लेकिन α-होल्डर निरंतर नहीं हैं:

  • फलन f(x) = xβ [0, c] पर, किसी के लिए भी 0 < β < α < 1

निम्नलिखित फलन पूरी तरह से निरंतर हैं और होल्डर कंडीशन|α-होल्डर निरंतर लेकिन लिप्सचिट्ज़ निरंतरता नहीं:

  • फलन f(x) =x [0, c] पर, α ≤ 1/2 के लिए।

सामान्यीकरण

चलो (एक्स, डी) एक मीट्रिक स्थान हो और मैं वास्तविक रेखा 'आर' में एक अंतराल (गणित) हो। एक फलन f: I → X, I पर 'बिल्कुल निरंतर' है यदि प्रत्येक सकारात्मक संख्या के लिए , एक सकारात्मक संख्या है ऐसा है कि जब भी जोड़ीदार उप-अंतरालों का एक परिमित क्रम होता है [xk, औरk] मैं संतुष्ट करता हूं

तब

I से X तक सभी पूर्ण निरंतर फलन का संग्रह एसी (I; X) को दर्शाता है।

एक और सामान्यीकरण अंतरिक्ष एसी हैp(I; X) घटता f: I → X ऐसा है कि[10]

एलपी स्पेस में कुछ मीटर के लिए | एलपी</सुप> स्पेस एलपी(आई).

इन सामान्यीकरणों के गुण

  • हर पूर्णतया सतत फलन (एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर) एकसमान निरंतरता है और इसलिए, सतत फलन। प्रत्येक लिप्सचिट्ज़ निरंतरता | लिप्सचिट्ज़-निरंतर फलन (गणित) बिल्कुल निरंतर है।
  • यदि f: [a,b] → X बिल्कुल निरंतर है, तो यह [a,b] पर परिबद्ध भिन्नता का है।
  • एफ ∈ एसी के लिएp(I; X), f का मीट्रिक व्युत्पन्न λ-लगभग हर समय I में मौजूद है, और मीट्रिक डेरिवेटिव सबसे छोटा m ∈ L हैp(I; 'R') ऐसा कि[11]


उपायों की पूर्ण निरंतरता

परिभाषा

एक उपाय (गणित) वास्तविक रेखा के बोरेल सेट पर Lebesgue माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है यदि प्रत्येक के लिए -मापने योग्य सेट तात्पर्य इसे इस प्रकार लिखा जाता है हम कहते हैं का बोलबाला है अधिकांश अनुप्रयोगों में, यदि वास्तविक रेखा पर एक माप को पूरी तरह से निरंतर कहा जाता है - यह निर्दिष्ट किए बिना कि यह किस अन्य उपाय के संबंध में बिल्कुल निरंतर है - तो लेबेसेग माप के संबंध में पूर्ण निरंतरता का मतलब है।

के बोरेल सबसेट पर उपायों के लिए भी यही सिद्धांत लागू होता है


समतुल्य परिभाषाएं

परिमित माप पर निम्नलिखित शर्तें वास्तविक रेखा के बोरेल उपसमुच्चय समतुल्य हैं:[12]

  1. बिल्कुल निरंतर है;
  2. हर सकारात्मक संख्या के लिए एक सकारात्मक संख्या है ऐसा है कि सभी बोरेल सेट के लिए Lebesgue माप से कम है
  3. एक Lebesgue पूर्णांक फलन मौजूद है वास्तविक रेखा पर ऐसा है
    सभी बोरेल सबसेट के लिए वास्तविक रेखा का।

फलन के संदर्भ में समकक्ष परिभाषा के लिए पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच अनुभाग #Relation देखें।

कोई अन्य फलन जो संतुष्ट करता है (3) के बराबर है लगभग हर जगह। इस तरह के एक फलन को बिल्कुल निरंतर माप के रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न या घनत्व कहा जाता है (1), (2) और (3) के बीच समानता भी लागू होती है सभी के लिए इस प्रकार, बिल्कुल निरंतर उपाय ठीक वही हैं जिनमें घनत्व है; एक विशेष मामले के रूप में, पूरी तरह से निरंतर संभाव्यता उपाय ठीक वही होते हैं जिनमें प्रायिकता घनत्व फलन होते हैं।

सामान्यीकरण

अगर और एक ही मापने योग्य स्थान पर दो माप (गणित) हैं बताया गयाabsolutely continuous इसके संबंध में अगर हर सेट के लिए जिसके लिए [13] इसे इस प्रकार लिखा जाता है. वह है:

कब तब बताया गयाdominating उपायों की पूर्ण निरंतरता रिफ्लेक्टिव संबंध और सकर्मक संबंध है, लेकिन एंटीसिमेट्रिक संबंध नहीं है, इसलिए यह आंशिक आदेश के बजाय एक पूर्व आदेश है। इसके बजाय, अगर और उपाय और तुल्यता (माप सिद्धांत) कहा जाता है। इस प्रकार पूर्ण निरंतरता ऐसे तुल्यता वर्गों के आंशिक क्रम को प्रेरित करती है।

अगर एक हस्ताक्षरित माप या जटिल उपाय है, ऐसा कहा जाता है के संबंध में बिल्कुल निरंतर है अगर इसकी भिन्नता है संतुष्ट समकक्ष, अगर हर सेट जिसके लिए है -शून्य सेट

रैडॉन-निकोडिम प्रमेय[14] बताता है कि अगर के संबंध में बिल्कुल निरंतर है और दोनों माप σ-परिमित हैं, तब के संबंध में घनत्व, या रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न है जिसका अर्थ है कि एक मौजूद है -मापने योग्य फलन मान लेना द्वारा चिह्नित ऐसा कि किसी के लिए -मापने योग्य सेट अपने पास


एकवचन उपाय

लेबेस्ग अपघटन प्रमेय के लिए,[15] प्रत्येक σ-परिमित माप को एक पूर्णतया सतत माप और एक अन्य σ-सीमित माप के संबंध में एक विलक्षण माप के योग में विघटित किया जा सकता है। उन मापों के उदाहरणों के लिए एकवचन माप देखें जो बिल्कुल निरंतर नहीं हैं।

पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच संबंध

वास्तविक रेखा के बोरेल सेट पर एक परिमित माप μ Lebesgue माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है यदि और केवल यदि बिंदु फलन करता है

एक बिल्कुल निरंतर वास्तविक फलन है। अधिक आम तौर पर, एक फलन स्थानीय रूप से होता है (अर्थात् हर बाध्य अंतराल पर) बिल्कुल निरंतर अगर और केवल अगर इसका वितरण व्युत्पन्न एक उपाय है जो लेबेस्गु माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है।

यदि पूर्ण निरंतरता बनी रहती है तो μ का रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न एफ के व्युत्पन्न के लगभग हर जगह बराबर होता है।[16] अधिक आम तौर पर, माप μ को स्थानीय रूप से परिमित (परिमित के बजाय) माना जाता है और F(x) को μ((0,x]) के रूप में परिभाषित किया जाता है x > 0, 0 के लिए x = 0, और -μ((x,0]) के लिए x < 0. इस मामले में μ Lebesgue-Stieltjes एकीकरण है | Lebesgue-Stiltjes उपाय F द्वारा उत्पन्न किया गया है।[17] पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच संबंध अभी भी कायम है।[18]


टिप्पणियाँ

  1. Royden 1988, Sect. 5.4, page 108; Nielsen 1997, Definition 15.6 on page 251; Athreya & Lahiri 2006, Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128,129. The interval is assumed to be bounded and closed in the former two books but not the latter book.
  2. Nielsen 1997, Theorem 20.8 on page 354; also Royden 1988, Sect. 5.4, page 110 and Athreya & Lahiri 2006, Theorems 4.4.1, 4.4.2 on pages 129,130.
  3. Athreya & Lahiri 2006, before Theorem 4.4.1 on page 129.
  4. Royden 1988, Problem 5.14(a,b) on page 111.
  5. Royden 1988, Problem 5.14(c) on page 111.
  6. Royden 1988, Problem 5.20(a) on page 112.
  7. Royden 1988, Lemma 5.11 on page 108.
  8. Bruckner, Bruckner & Thomson 1997, Theorem 7.11.
  9. Fichtenholz 1923.
  10. Ambrosio, Gigli & Savaré 2005, Definition 1.1.1 on page 23
  11. Ambrosio, Gigli & Savaré 2005, Theorem 1.1.2 on page 24
  12. Equivalence between (1) and (2) is a special case of Nielsen 1997, Proposition 15.5 on page 251 (fails for σ-finite measures); equivalence between (1) and (3) is a special case of the Radon–Nikodym theorem, see Nielsen 1997, Theorem 15.4 on page 251 or Athreya & Lahiri 2006, Item (ii) of Theorem 4.1.1 on page 115 (still holds for σ-finite measures).
  13. Nielsen 1997, Definition 15.3 on page 250; Royden 1988, Sect. 11.6, page 276; Athreya & Lahiri 2006, Definition 4.1.1 on page 113.
  14. Royden 1988, Theorem 11.23 on page 276; Nielsen 1997, Theorem 15.4 on page 251; Athreya & Lahiri 2006, Item (ii) of Theorem 4.1.1 on page 115.
  15. Royden 1988, Proposition 11.24 on page 278; Nielsen 1997, Theorem 15.14 on page 262; Athreya & Lahiri 2006, Item (i) of Theorem 4.1.1 on page 115.
  16. Royden 1988, Problem 12.17(b) on page 303.
  17. Athreya & Lahiri 2006, Sect. 1.3.2, page 26.
  18. Nielsen 1997, Proposition 15.7 on page 252; Athreya & Lahiri 2006, Theorem 4.4.3 on page 131; Royden 1988, Problem 12.17(a) on page 303.


संदर्भ

  • Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola; Savaré, Giuseppe (2005), Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN 3-7643-2428-7
  • Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Measure theory and probability theory, Springer, ISBN 0-387-32903-X
  • Bruckner, A. M.; Bruckner, J. B.; Thomson, B. S. (1997), Real Analysis, Prentice Hall, ISBN 0-134-58886-X
  • Fichtenholz, Grigorii (1923). "Note sur les fonctions absolument continues". Matematicheskii Sbornik. 31 (2): 286–295.
  • Leoni, Giovanni (2009), A First Course in Sobolev Spaces, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, pp. xvi+607 ISBN 978-0-8218-4768-8, MR2527916, Zbl 1180.46001, MAA
  • Nielsen, Ole A. (1997), An introduction to integration and measure theory, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
  • Royden, H.L. (1988), Real Analysis (third ed.), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3


बाहरी संबंध