लारमोर फॉर्मूला

एक यागी-उदय एंटीना। एंटीना में इलेक्ट्रॉनों को गति देकर रेडियो तरंगों को एंटीना से विकीर्ण किया जा सकता है। यह एक जुटना (भौतिकी) प्रक्रिया है, इसलिए विकीर्ण की गई कुल शक्ति त्वरण करने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या के वर्ग के समानुपाती होती है।

Not to be confused with परमाणु चुंबकीय अनुनाद में घटना लार्मर प्रीसेशन के रूप में जाना जाता है.

वैद्युतगतिकी में, लार्मर सूत्र का उपयोग एक गैर-सापेक्ष बिंदु आवेश द्वारा विकीर्ण की गई कुल शक्ति (भौतिकी) की गणना करने के लिए किया जाता है क्योंकि यह त्वरित होता है। यह पहली बार 1897 में जे. जे. लार्मर द्वारा प्राप्त किया गया था, प्रकाश के तरंग सिद्धांत के संदर्भ में।

जब कोई आवेशित कण (जैसे इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, या आयन) त्वरित होता है, तो ऊर्जा विद्युत चुम्बकीय तरंगों के रूप में विकीर्ण होती है। एक कण के लिए जिसका वेग प्रकाश की गति के सापेक्ष छोटा है (अर्थात, गैर-सापेक्षवादी), कुल शक्ति जो कण विकीर्ण करती है (जब एक बिंदु आवेश के रूप में माना जाता है) की गणना लार्मर सूत्र द्वारा की जा सकती है:

$$P={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c}}\right)^{2}={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}=\mu _{0}{\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi c}}{\text{ (SI units)}}$$

$$P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\text{ (cgs units)}}$$

कहाँ ${\dot {v}}$ या $a$ — उचित त्वरण है, $q$ - चार्ज है, और $c$ - प्रकाश की गति है। एक सापेक्षवादी सामान्यीकरण लियानार्ड-विएचर्ट क्षमता द्वारा दिया गया है।

किसी भी इकाई प्रणाली में, एकल इलेक्ट्रॉन द्वारा विकीर्ण की गई शक्ति को शास्त्रीय इलेक्ट्रॉन त्रिज्या और इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$P={\frac {2}{3}}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}$$

एक निहितार्थ यह है कि बोहर मॉडल के रूप में एक नाभिक के चारों ओर परिक्रमा करने वाले एक इलेक्ट्रॉन को ऊर्जा खोनी चाहिए, नाभिक में गिरना चाहिए और परमाणु को ढह जाना चाहिए। क्वांटम यांत्रिकी पेश किए जाने तक यह पहेली हल नहीं हुई थी।

व्युत्पत्ति

व्युत्पत्ति 1: गणितीय दृष्टिकोण (सीजीएस इकाइयों का उपयोग करके)

हमें पहले विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के रूप को खोजने की जरूरत है। खेतों को लिखा जा सकता है (पूर्ण व्युत्पत्ति के लिए लियनार्ड-विचर्ट क्षमता देखें)

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}}\left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}$$

और

$$\mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,$$

कहाँ ${\boldsymbol {\beta }}$ चार्ज के वेग से विभाजित है $c$, ${\dot {\boldsymbol {\beta }}}$ चार्ज के त्वरण से विभाजित है c, $\mathbf {n}$ में एक इकाई वेक्टर है $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ दिशा, $R$ का परिमाण है $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$, $\mathbf {r} _{0}$ चार्ज का स्थान है, और $\gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}$. दाईं ओर की शर्तों का मूल्यांकन मंद समय पर किया जाता है $t_{\text{r}}=t-R/c$.

दाहिनी ओर आवेशित कण के वेग और त्वरण से जुड़े विद्युत क्षेत्रों का योग है। वेग क्षेत्र केवल पर निर्भर करता है ${\boldsymbol {\beta }}$ जबकि त्वरण क्षेत्र दोनों पर निर्भर करता है ${\boldsymbol {\beta }}$ और ${\dot {\boldsymbol {\beta }}}$ और दोनों के बीच कोणीय संबंध। चूंकि वेग क्षेत्र आनुपातिक है $1/R^{2}$, यह दूरी के साथ बहुत जल्दी गिर जाता है। दूसरी ओर, त्वरण क्षेत्र आनुपातिक है $1/R$, जिसका अर्थ है कि यह दूरी के साथ और धीरे-धीरे गिरता है। इस वजह से, त्वरण क्षेत्र विकिरण क्षेत्र का प्रतिनिधि है और अधिकांश ऊर्जा को चार्ज से दूर ले जाने के लिए जिम्मेदार है।

हम इसके पॉयंटिंग वेक्टर की गणना करके विकिरण क्षेत्र की ऊर्जा प्रवाह घनत्व पा सकते हैं:

$$\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}},$$

जहां 'ए' सबस्क्रिप्ट इस बात पर जोर देते हैं कि हम केवल त्वरण क्षेत्र ले रहे हैं। यह मानते हुए कि समय पर कण तुरंत आराम पर है, चुंबकीय और विद्युत क्षेत्रों के बीच संबंध में प्रतिस्थापन $t_{\text{r}}$ और सरलीकरण देता है

$$\mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .$$

यदि हम त्वरण और अवलोकन वेक्टर के बीच के कोण को बराबर होने दें $\theta$, और हम त्वरण का परिचय देते हैं $\mathbf {a} ={\dot {\boldsymbol {\beta }}}c$, तो प्रति इकाई ठोस कोण से निकलने वाली शक्ति है

$${\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a^{2}}{c^{2}}}.$$

इस मात्रा को सभी ठोस कोणों (अर्थात, ऊपर) पर एकीकृत करके विकीर्ण की गई कुल शक्ति पाई जाती है $\theta$ और $\phi$). यह देता है

$$P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},$$

जो गैर-सापेक्ष त्वरित चार्ज के लिए Larmor परिणाम है। यह कण द्वारा विकरित शक्ति को उसके त्वरण से संबंधित करता है। यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि चार्ज जितनी तेजी से बढ़ता है, विकिरण उतना ही अधिक होगा। हम इसकी अपेक्षा करेंगे क्योंकि विकिरण क्षेत्र त्वरण पर निर्भर है।

सापेक्षवादी सामान्यीकरण

सहपरिवर्ती रूप

गति के संदर्भ में लिखा गया है, p, असापेक्षतावादी Larmor सूत्र है (CGS इकाइयों में)

$$P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}.$$

शक्ति P को लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय दिखाया जा सकता है।लार्मर सूत्र के किसी भी सापेक्षवादी सामान्यीकरण को संबंधित होना चाहिए P कुछ अन्य लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय मात्रा में। मात्रा $|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}$ गैर-सापेक्षवादी सूत्र में प्रकट होने से पता चलता है कि सापेक्षतावादी रूप से सही सूत्र में चार-त्वरण के आंतरिक उत्पाद को ले कर पाया जाने वाला लोरेंट्ज़ स्केलर शामिल होना चाहिए a^μ = dp^μ/dτ खुद के साथ [यहाँ p^μ = (γmc, γmv) चार गति है]। Larmor सूत्र का सही आपेक्षिक सामान्यीकरण है (CGS इकाइयों में)

$P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}.$

यह दिखाया जा सकता है कि यह आंतरिक उत्पाद किसके द्वारा दिया गया है

$${\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac {dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\right)^{2},$$

और इसलिए सीमा में β ≪ 1, यह कम हो जाता है $-|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}$, इस प्रकार गैर-सापेक्षवादी मामले को पुन: प्रस्तुत करना।

गैर-सहसंयोजक रूप

उपरोक्त आंतरिक गुणनफल को के संदर्भ में भी लिखा जा सकता है β और इसका समय व्युत्पन्न। फिर Larmor सूत्र का सापेक्षिक सामान्यीकरण है (CGS इकाइयों में)

$P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left[({\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}\right].$

यह लियोनार्ड परिणाम है, जो पहली बार 1898 में प्राप्त हुआ था। $\gamma ^{6}$ h> का अर्थ है कि जब लोरेंत्ज़ कारक ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ शून्य के बहुत करीब है (यानी $\beta \ll 1$) कण द्वारा उत्सर्जित विकिरण नगण्य होने की संभावना है। हालाँकि, जैसा $\beta \rightarrow 1$ विकिरण की तरह बढ़ता है $\gamma ^{6}$ चूंकि कण ईएम तरंगों के रूप में अपनी ऊर्जा खोने की कोशिश करता है। इसके अलावा, जब त्वरण और वेग ओर्थोगोनल होते हैं तो शक्ति एक कारक से कम हो जाती है $1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}$, अर्थात् कारक $\gamma ^{6}$ बन जाता है $\gamma ^{4}$. गति जितनी तेज होती है, यह कमी उतनी ही अधिक होती जाती है।

विभिन्न प्रकार की गति में किस प्रकार के विकिरण नुकसान की उम्मीद की जा सकती है, इसका अनुमान लगाने के लिए हम लियोनार्ड के परिणाम का उपयोग कर सकते हैं।

कोणीय वितरण

विकिरणित शक्ति का कोणीय वितरण एक सामान्य सूत्र द्वारा दिया जाता है, चाहे कण सापेक्षवादी हो या नहीं। सीजीएस इकाइयों में, यह सूत्र है

$${\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {|\mathbf {\hat {n}} \times [(\mathbf {\hat {n}} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]|^{2}}{(1-\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\beta }})^{5}}},$$

कहाँ $\mathbf {\hat {n}}$ एक इकाई वेक्टर है जो कण से प्रेक्षक की ओर इशारा करता है। रैखिक गति (त्वरण के समानांतर वेग) के मामले में, यह सरल हो जाता है

$${\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}},$$

कहाँ $\theta$ पर्यवेक्षक और कण की गति के बीच का कोण है।