रोटेशन ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी)

For other uses, see रोटेशन ऑपरेटर (बहुविकल्पी).

यह आलेख रोटेशन ऑपरेटर से संबंधित है क्योंकि यह क्वांटम यांत्रिकी में प्रकट होता है।

क्वांटम यांत्रिक घुमाव

हर भौतिक घुमाव के साथ $R$, हम क्वांटम यांत्रिक रोटेशन ऑपरेटर $D(R)$ को पोस्ट करते हैं जो क्वांटम यांत्रिक अवस्थाओं को घुमाता है।

$$|\alpha \rangle _{R}=D(R)|\alpha \rangle$$

रोटेशन के जनरेटर के संदर्भ में,

$$D(\mathbf {\hat {n}} ,\phi )=\exp \left(-i\phi {\frac {\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {J} }{\hbar }}\right),$$

जहाँ $\mathbf {\hat {n}}$ घूर्णन अक्ष है, $\mathbf {J}$ कोणीय गति ऑपरेटर है, और $\hbar$ प्लैंक स्थिरांक या मान है।

अनुवाद ऑपरेटर

Main article: अनुवाद संचालिका (क्वांटम यांत्रिकी)

रोटेशन ऑपरेटर (भौतिकी) $\operatorname {R} (z,\theta )$, पहले तर्क $z$ के साथ रोटेशन अक्ष को इंगित करता है और दूसरा $\theta$ रोटेशन कोण, विस्थापन ऑपरेटर $\operatorname {T} (a)$ के माध्यम से काम कर सकता है जैसा कि नीचे समझाया गया है, असीम घुमावों के लिए। यही कारण है कि, यह पहली बार दिखाया गया है कि अनुवाद ऑपरेटर स्थिति x पर कण पर कैसे कार्य कर रहा है (कण क्वांटम यांत्रिकी के अनुसार स्थिति $|x\rangle$ में है)।

स्थिति $x$ से स्थिति में कण का अनुवाद $x+a$: $\operatorname {T} (a)|x\rangle =|x+a\rangle$

क्योंकि 0 का अनुवाद हमारे पास उपस्थित कण की स्थिति को नहीं बदलता है, (1 अर्थ के साथ पहचान कार्य, जो कुछ भी नहीं करता है):

$$\operatorname {T} (0)=1$$

$$\operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)|x\rangle =\operatorname {T} (a)|x+da\rangle =|x+a+da\rangle =\operatorname {T} (a+da)|x\rangle \Rightarrow \operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a+da)$$

टेलर श्रृंखला विकास देता है:

$$\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (0)+{\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}da+\cdots =1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da$$

साथ

$$p_{x}=i\hbar {\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}$$

इससे निम्न है:

$$\operatorname {T} (a+da)=\operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a)\left(1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da\right)\Rightarrow {\frac {\operatorname {T} (a+da)-\operatorname {T} (a)}{da}}={\frac {d\operatorname {T} }{da}}=-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}\operatorname {T} (a)$$

यह हल के साथ अवकल समीकरण है

$$\operatorname {T} (a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}a\right).$$

इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि हैमिल्टनियन $H$ $x$ स्थिति से स्वतंत्र है क्योंकि अनुवाद ऑपरेटर के संदर्भ में लिखा जा सकता है $p_{x}$, और $[p_{x},H]=0$, हम वह जानते हैं $[H,\operatorname {T} (a)]=0.$ इस परिणाम का अर्थ है कि प्रणाली के लिए रैखिक गति संरक्षित है।

कक्षीय कोणीय गति के संबंध में

Further information: बलोच क्षेत्र या घूर्णन

कक्षीय कोणीय संवेग के संबंध में $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .$$\mathbf {r}$ और $\mathbf {p}$को ध्यान में रखते हुए यह क्वांटम यांत्रिकी में समान है। ऑपरेटरों। मौलिक रूप से, सदिश $\mathbf {r} =(x,y,z)$ $\mathbf {r} '=(x',y',z)$ के बारे में $z$ को छोड़कर एक अपरिमेय घूर्णन $dt$ अपरिवर्तित को निम्नलिखित अपरिमेय अनुवाद (टेलर सन्निकटन का उपयोग करके) द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}x'&=r\cos(t+dt)=x-y\,dt+\cdots \\y'&=r\sin(t+dt)=y+x\,dt+\cdots \end{aligned}}$$

इससे स्थिति लिए निम्नानुसार है:

$$\operatorname {R} (z,dt)|r\rangle =\operatorname {R} (z,dt)|x,y,z\rangle =|x-y\,dt,y+x\,dt,z\rangle =\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)|x,y,z\rangle =\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)|r\rangle$$

और इसके परिणामस्वरूप:

$$\operatorname {R} (z,dt)=\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)$$

का उपयोग करते हुए

$$T_{k}(a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{k}a\right)$$

ऊपर से साथ $k=x,y$ और टेलर विस्तार हमें मिलता है:

$$\operatorname {R} (z,dt)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(xp_{y}-yp_{x}\right)dt\right]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt\right)=1-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt+\cdots$$

साथ $L_{z}=xp_{y}-yp_{x}$ मौलिक क्रॉस उत्पाद के अनुसार कोणीय गति का $z$ घटक है।

कोण $t$ के लिए रोटेशन प्राप्त करने के लिए , हम स्थिति का उपयोग करके निम्नलिखित अंतर समीकरण $\operatorname {R} (z,0)=1$का निर्माण करते हैं :

$${\begin{aligned}&\operatorname {R} (z,t+dt)=\operatorname {R} (z,t)\operatorname {R} (z,dt)\\[1.1ex]\Rightarrow {}&{\frac {d\operatorname {R} }{dt}}={\frac {\operatorname {R} (z,t+dt)-\operatorname {R} (z,t)}{dt}}=\operatorname {R} (z,t){\frac {\operatorname {R} (z,dt)-1}{dt}}=-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}\operatorname {R} (z,t)\\[1.1ex]\Rightarrow {}&\operatorname {R} (z,t)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\,t\,L_{z}\right)\end{aligned}}$$

अनुवाद ऑपरेटर के समान, अगर हमें हैमिल्टनियन दिया जाता है $H$ जो घूर्णी रूप से सममित है $z$-एक्सिस, $[L_{z},H]=0$ तात्पर्य $[\operatorname {R} (z,t),H]=0$. इस परिणाम का अर्थ है कि कोणीय संवेग संरक्षित है।

स्पिन कोणीय गति के बारे में उदाहरण के लिए $y$-अक्ष हम अभी बदलते हैं $L_{z}$ साथ ${\textstyle S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}}$ (जहाँ $\sigma _{y}$ पॉल मैट्रिसेस है) और हमें स्पिन (भौतिकी) रोटेशन ऑपरेटर मिलता है

$$\operatorname {D} (y,t)=\exp \left(-i{\frac {t}{2}}\sigma _{y}\right).$$

स्पिन ऑपरेटर और क्वांटम स्थितियों पर प्रभाव

Main article: स्पिन (भौतिकी) या घूर्णन

See also: रोटेशन ग्रुप एसओ (3) या झूठ बीजगणित पर एक नोट and आधार परिवर्तन या एंडोमोर्फिज्म

ऑपरेटरों को आव्यूह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। रैखिक बीजगणित से कोई जानता है कि निश्चित आव्यूह $A$ परिवर्तन के माध्यम से दूसरे आधार (रैखिक बीजगणित) में प्रदर्शित किया जा सकता है

$$A'=PAP^{-1}$$

जहाँ $P$ आधार परिवर्तन आव्यूह है। यदि वैक्टर $b$ क्रमश: $c$ आधार पर क्रमशः z-अक्ष हैं y-अक्ष के लंबवत हैं उनके बीच एक निश्चित कोण $t$ है। पहले आधार में स्पिन ऑपरेटर $S_{b}$ को फिर निम्नलिखित परिवर्तन के माध्यम से दूसरे आधार के स्पिन ऑपरेटर $S_{c}$ में रूपांतरित किया जा सकता है:

$$S_{c}=\operatorname {D} (y,t)S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)$$

मानक क्वांटम यांत्रिकी से हमारे पास ज्ञात परिणाम हैं ${\textstyle S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ और ${\textstyle S_{c}|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle }$ जहाँ $|b+\rangle$ और $|c+\rangle$ उनके संबंधित आधारों में शीर्ष स्पिन हैं। तो हमारे पास:

$${\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle =S_{c}|c+\rangle =\operatorname {D} (y,t)S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle \Rightarrow$$

$$S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle$$

इसके साथ तुलना ${\textstyle S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ उपज $|b+\rangle =D^{-1}(y,t)|c+\rangle$.

इसका अर्थ है कि यदि स्थिति $|c+\rangle$ को के बारे में घुमाया जाता है $y$-अक्ष के बारे में एक कोण से $t$,से घुमाया जाता है यह स्थिति बन जाता है $|b+\rangle$,बन जाती है, एक परिणाम जिसे इच्छानुसार अक्षों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

यह भी देखें

• क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता
• गोलाकार आधार
• ऑप्टिकल चरण अंतरिक्ष

संदर्भ

• L.D. Landau and E.M. Lifshitz: Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, Pergamon Press, 1985
• P.A.M. Dirac: The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, 1958
• R.P. Feynman, R.B. Leighton and M. Sands: The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley, 1965