हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन: Difference between revisions

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== कमजोर सूत्रीकरण ==
== कमजोर सूत्रीकरण ==
हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन को भी नियमितता मान्यताओं (मजबूत डेरिवेटिव के अस्तित्व की आवश्यकता) को कम करके सामान्यीकृत किया जा सकता है। कल्पना करना {{math|Ω}} एक सीमित, आसानी से जुड़ा हुआ, [[लिपशिट्ज डोमेन]] है। प्रत्येक वर्ग-पूर्णांक सदिश क्षेत्र {{math|'''u''' ∈ (''L''<sup>2</sup>(Ω))<sup>3</sup>}} में [[ओर्थोगोनालिटी]] अपघटन है:
हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन को भी नियमितता मान्यताओं (प्रबल व्युत्पन्न के अस्तित्व की आवश्यकता) को कम करके सामान्यीकृत किया जा सकता है। मान लीजिये {{math|Ω}} एक परिबद्ध, एक परिबद्ध, सरलता से जुड़ा हुआ, [[लिपशिट्ज डोमेन]] है। प्रत्येक वर्ग-पूर्णांक सदिश क्षेत्र {{math|'''u''' ∈ (''L''<sup>2</sup>(Ω))<sup>3</sup>}} में [[ओर्थोगोनालिटी]] अपघटन होता है:


<math display="block">\mathbf{u}=\nabla\varphi+\nabla \times \mathbf{A}</math>
<math display="block">\mathbf{u}=\nabla\varphi+\nabla \times \mathbf{A}</math>
कहाँ {{mvar|φ}} सोबोलेव अंतरिक्ष में है {{math|''H''<sup>1</sup>(Ω)}} स्क्वायर-इंटीग्रेबल फलन पर {{math|Ω}} जिसका आंशिक डेरिवेटिव [[वितरण (गणित)]] अर्थ में परिभाषित वर्ग पूर्णांक हैं, और {{math|'''A''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, वर्ग समाकलनीय कर्ल के साथ वर्ग समाकलनीय सदिश क्षेत्रों से युक्त सदिश क्षेत्रों का सोबोलेव स्थान।
जहाँ {{mvar|φ}} पर स्क्वायर-इंटीग्रेबल फलन केसोबोलेफ समष्टि  {{math|''H''<sup>1</sup>(Ω)}}   जिसका आंशिक डेरिवेटिव डिस्ट्रीब्यूशन सेंस में परिभाषित किया गया है, और {{math|'''A''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, वर्ग समाकलनीय कर्ल के साथ वर्ग समाकलनीय सदिश क्षेत्रों से युक्त सदिश क्षेत्रों का सोबोलेव स्थान होता है।


थोड़े समतल सदिश क्षेत्र के लिए {{math|'''u''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, एक समान अपघटन धारण करता है:
थोड़े समतल सदिश क्षेत्र के लिए {{math|'''u''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, एक समान अपघटन धारण करता है:

Revision as of 09:23, 11 April 2023

भौतिकी और गणित में, सदिश कलन के क्षेत्र में, हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत,[1][2] जिसे वेक्टर कैलकुलस के मौलिक सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है,[3][4][5][6][7][8][9] बताता है कि तीन आयामों में किसी भी पर्याप्त रूप से चिकनी, सड़ने वाले वेक्टर क्षेत्र को एक अघूर्णन सदिश क्षेत्र (कर्ल -फ्री) वेक्टर क्षेत्र और परिनालिकीय क्षेत्र (विचलन -फ्री) वेक्टर क्षेत्र के योग में हल किया जा सकता है; इसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन या हेल्महोल्ट्ज़ प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है। इसका नाम हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ के नाम पर रखा गया है।[10]

जैसा कि एक अघूर्णी सदिश क्षेत्र में एक अदिश क्षमता होती है और एक सोलनॉइडल सदिश क्षेत्र में एक सदिश क्षमता होती है, हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन बताता है कि एक सदिश क्षेत्र (उचित समतल और क्षय की स्थिति को संतुष्ट करते हुए) को रूप के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है ,

जहाँ एक अदिश क्षेत्र है जिसे अदिश विभव कहा जाता है, और A एक सदिश क्षेत्र है, जिसे सदिश विभव कहा जाता है।

सिद्धांत का कथन

लेट एक बंधे हुए डोमेन पर एक वेक्टर क्षेत्र पर , जो अंदर से दो बार लगातार भिन्न होता है , और जाने वह सतह हो जो डोमेन को घेरती है . तब कर्ल-मुक्त घटक और विचलन-मुक्त घटक में विघटित किया जा सकता है:[11]

कहाँ
और के संबंध में नाबला संचालिका होता है , नहीं .

अगर और इसलिए असीमित है, और कम से कम उतनी ही तेजी से लुप्‍त हो जाता है जैसा , तो एक है[12]

यह विशेष रूप से अगर है में दो बार लगातार अवकलनीय है और सीमित समर्थन का।

व्युत्पत्ति

मान लीजिए हमारे पास एक वेक्टर फलन है जिनमें से हम कर्ल जानते हैं, , और विचलन, , सीमा पर डोमेन और क्षेत्र में। प्रपत्र में डेल्टा फलन का उपयोग करके फलन लिखना

कहाँ लाप्लास ऑपरेटर है, हमारे पास है

जहाँ हमने सदिश लाप्लासियन की परिभाषा का उपयोग किया है:
भेदभाव/एकीकरण के संबंध में द्वारा और अंतिम पंक्ति में, फलन तर्कों की रैखिकता:
फिर सदिश पहचान का उपयोग करना

हम पाते हैं
विचलन सिद्धांत के लिए धन्यवाद समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है