नियंत्रण सिद्धांत में एच-अनंत विधियाँ

गारंटीकृत निष्पादन के साथ स्थिरीकरण प्राप्त करने के लिए नियंत्रकों को संश्लेषित करने के लिए नियंत्रण सिद्धांत में H_∞(अर्थात् H-अनंत) विधियों का उपयोग किया जाता है। H_∞ विधियों का उपयोग करने के लिए, एक नियंत्रण अभिकल्पक नियंत्रण समस्या को गणितीय अनुकूलन समस्या के रूप में व्यक्त करते है और फिर इस अनुकूलन को हल करने वाले नियंत्रक को ढूंढते है। H∞ तकनीकों का शास्त्रीय नियंत्रण तकनीकों पर लाभ है कि H_∞ तकनीक चैनलों के मध्य क्रॉस-युग्मन के साथ बहुभिन्नरूपी प्रणालियों से जुड़ी समस्याओं पर आसानी से उपयुक्त होती हैं; H_∞ तकनीको के हानि में उन्हें सफलतापूर्वक उपयुक्त करने के लिए आवश्यक गणितीय समझ का स्तर और नियंत्रित करने के लिए प्रणाली के यथोचित अच्छे प्रतिरूप की आवश्यकता सम्मिलित है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि परिणामी नियंत्रक निर्धारित लागत फलन के संबंध में केवल इष्टतम है और नियंत्रकों का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सामान्य निष्पादन उपायों के संदर्भ में आवश्यक रूप से सर्वोत्तम नियंत्रक का प्रतिनिधित्व नहीं करता है जैसे निःसादन समय, ऊर्जा व्यय, आदि। इसके अलावा, संतृप्ति जैसे गैर-रैखिक बाधाओं को सामान्यतः अच्छी तरह से नियंत्रित नहीं किया जाता है। इन विधियों को 1970 के दशक के अंत में 1980 के दशक के प्रारंभ में जॉर्ज जेम्स द्वारा (संवेदनशीलता न्यूनीकरण), जे. विलियम हेल्टन (ब्रॉडबैंड सुमेलन),और एलन टैननबौम (अतिरिक्त अनुकूलन लाभ) द्वारा नियंत्रण सिद्धांत में प्रस्तावित किया गया था।

वाक्यांश H∞ नियंत्रण गणितीय समष्टि के नाम से आता है जिस पर अनुकूलन होता है: H∞ आव्यूह (गणित)-मूल्यवान फलन का हार्डी समष्टि है जो विश्लेषणात्मक हैं और Re(s) > 0 द्वारा परिभाषित जटिल समष्टि के खुले दाहिने आधे भाग में घिरा हुआ है; H∞ मानदंड उस समष्टि पर फलन का अधिकतम एकवचन मान है। (इसे किसी भी दिशा में और किसी भी आवृत्ति पर अधिकतम लाभ के रूप में व्याख्या किया जा सकता है; SISO प्रणाली के लिए, यह प्रभावी रूप से आवृत्ति प्रतिक्रिया का अधिकतम परिमाण है।) H∞ तकनीकों का उपयोग क्षोभ के बंद लूप प्रभाव को कम करने के लिए किया जा सकता है: समस्या निर्माण के आधार पर, प्रभाव को या तो स्थिरीकरण या निष्पादन के संदर्भ में मापा जाएगा।

इसके साथ ही मजबूत निष्पादन और मजबूत स्थिरीकरण का अनुकूलन करना कठिन है। इसे प्राप्त करने के पास आने वाली एक विधि H∞ लूप-शेपिंग (पाश-आकार), जो नियंत्रण अभिकल्पक को अच्छा मजबूत प्रदर्शन प्राप्त करने के लिए शास्त्रीय लूप-शेपिंग अवधारणाओं को उपयुक्त करने की अनुमति देता और फिर अच्छे मजबूत स्थिरीकरण को प्राप्त करने के लिए प्रणाली बैंड विस्तार के पास प्रतिक्रिया को अनुकूलित करता है।

H_∞ नियंत्रक संश्लेषण का समर्थन करने के लिए वाणिज्यिक सॉफ्टवेयर उपलब्ध है।

समस्या सूत्रीकरण

सबसे पहले, प्रक्रिया को निम्नलिखित मानक विन्यास के अनुसार दर्शाया जाना चाहिए:

प्लांट (सयंत्र) P में दो निवेश हैं, बहिर्जात निवेश w, जिसमें निर्देश संकेत और विक्षोभ सम्मिलित हैं, और प्रकलित चर u हैं। दो निर्गम हैं, त्रुटि संकेत z जिसे हम न्यूनतम करना चाहते हैं, और मापित चर v, जिसका उपयोग हम प्रणाली को नियंत्रित करने के लिए करते हैं। v का उपयोग K में प्रकलित किए गए चर u की गणना करने के लिए किया जाता है। ध्यान दें कि ये सभी सामान्यतया सदिश हैं, जबकि 'P' और 'K' आव्यूह हैं।

सूत्र में, प्रणाली है:

${\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=\mathbf {P} (s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}$

$u=\mathbf {K} (s)\,v$

इसलिए w पर z की निर्भरता को व्यक्त करना संभव है:

$z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w$

निम्न रेखीय भिन्नात्मक परिवर्तन कहा जाता है, $F_{\ell }$ परिभाषित किया गया है (पादांकित निम्न से आता है):

$F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}$

इसलिए, ${\mathcal {H}}_{\infty }$नियंत्रण प्रारुप का उद्देश्य नियंत्रक $\mathbf {K}$ को प्राप्त करना है जैसे कि $F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )$ को ${\mathcal {H}}_{\infty }$ मानक के अनुसार न्यूनतम किया जाता है। यही परिभाषा ${\mathcal {H}}_{2}$ नियंत्रण प्रारुप पर उपयुक्त होती है। अंतरण फलन आव्यूह $F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )$ के अनंत मानदंड को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$||F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega ))$

जहां ${\bar {\sigma }}$ आव्यूह $F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega )$ का अधिकतम एकवचन मान है।

बंद लूप प्रणाली का प्राप्त करने योग्य H∞ मानदंड मुख्य रूप से आव्यूह D₁₁ के माध्यम से दिया जाता है (जब प्रणाली P को (A, B₁, B₂, C₁, C₂, D₁₁, D₁₂, D₂₂, D₂₁) के रूप में दिया जाता है)। H_∞ नियंत्रक में आने के कई प्रकार हैं:

• बंद लूप का यूला-कुचेरा प्राचलीकरण प्रायः बहुत उच्च-क्रम नियंत्रक की ओर जाता है।
• रिकाटी-आधारित दृष्टिकोण नियंत्रक को प्राप्त करने के लिए दो रिकाटी समीकरणों को हल करते हैं, लेकिन कई सरल धारणाओं की आवश्यकता होती है।
• रिकाटी समीकरण का एक अनुकूलन-आधारित सुधार रेखीय आव्यूह असमानता का उपयोग करता है और इसके लिए कम मान्यताओं की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

• हार्डी समष्टि
• H वर्ग
• H-अनंत लूप-शेपिंग
• रैखिक-द्विघात-गाऊसी नियंत्रण (एलक्यूजी)
• रोसेनब्रॉक प्रणाली आव्यूह

ग्रन्थसूची

• Barbu, V.; Sritharan, Sivaguru S. (1998), "H-infinity Control of Fluid Dynamics" (PDF), Proceedings of the Royal Society A, 545 (1979): 3009–3033, CiteSeerX 10.1.1.177.4397, doi:10.1098/rspa.1998.0289.

• Doyle, John; Francis, Bruce; Tannenbaum, Allen (1992), Feedback Control Theory, MacMillan.

• Green, M.; Limebeer, D. (1995), Linear Robust Control, Prentice Hall.

• Simon, Dan (2006), Optimal State Estimation: Kalman, H-infinity, and Nonlinear Approaches, Wiley.

• Skogestad, Sigurd; Postlethwaite, Ian (1996), Multivariable Feedback Control: Analysis and Design, Wiley, ISBN 978-0-471-94277-1.

• Skogestad, Sigurd; Postlethwaite, Ian (2005), Multivariable Feedback Control: Analysis and Design (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-470-01167-6.