भागफल नियम: Difference between revisions

Revision as of 22:39, 18 April 2023

कलन में, भागफल नियम एक ऐसे फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करने की एक विधि है जो दो अवकलन फलनों का अनुपात है।^[1]^[2]^[3] अनुमान $h(x)=f(x)/g(x),$ जहां $f$ और $g$ दोनों अवकलनीय और $g(x)\neq 0$ है। भागफल नियम बताता है कि $h (x)$ का व्युत्पन्न है।

h'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}

अन्य व्युत्पन्न नियमों का प्रयोग करके इसे कई प्रकार से सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण

उदाहरण 1: मूल उदाहरण

विशेष $h(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}}}$ , अनुमान $f(x)=e^{x},g(x)=x^{2}$ , फिर भागफल नियम का प्रयोग करके:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {e^{x}}{x^{2}}}\right)&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}}}\\&={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}}}\\&={\frac {x^{2}e^{x}-2xe^{x}}{x^{4}}}\\&={\frac {xe^{x}-2e^{x}}{x^{3}}}\\&={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}}}.\end{aligned}}

उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का व्युत्पन्न

भागफल नियम का प्रयोग $\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$ का व्युत्पन्न इस प्रकार ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)\\&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\frac {d}{dx}}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}

पारस्परिक नियम

पारस्परिक नियम भागफल नियम का एक विशेष प्रकरण है जिसमें अंश $f(x)=1$ है। भागफल नियम प्रयुक्त करने से देता है।

h'(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.

प्रमाण

व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुणों से प्रमाण

अनुमान $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$ व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमाओं के गुणों को प्रयुक्त करने से निम्नलिखित प्रमाण मिलता है, शब्द $f(x)g(x)$ के साथ मूल्य को प्रभावित किए बिना बाद के चरणों में विभाजन और कारक की अनुमति देने के लिए जोड़ा और घटाया गया है:

\lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x+k)g(x)}}={\frac {1}{g(x)^{2}}}

[1] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.

[2] Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). गणना (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-547-16702-2.

[3] Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-58876-0.

[1]

[2]

[3]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Calculus |Differential}}
 {{short description|Formula for the derivative of a ratio of functions}}
-कलन में, भागफल नियम एक ऐसे फलन का अवकलज ज्ञात करने की एक विधि है जो दो अलग-अलग फलनों का अनुपात है।<ref>{{cite book | last=Stewart | first=James | author-link=James Stewart (mathematician) | title=Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=6th | year=2008 | isbn=978-0-495-01166-8 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 }}</ref><ref>{{cite book | last1=Larson | first1=Ron | author-link=Ron Larson (mathematician)| last2=Edwards | first2=Bruce H. | title=गणना| publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=9th | year=2009 | isbn=978-0-547-16702-2}}</ref><ref>{{cite book | last1 = Thomas | first1 = George B. | last2=Weir | first2= Maurice D. | last3=Hass | first3=Joel | author3-link = Joel Hass | author-link=George B. Thomas | title=Thomas' Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Addison-Wesley]] | year=2010 | edition=12th | isbn=978-0-321-58876-0}}</ref> अनुमान  <math>h(x)=f(x)/g(x),</math> जहां {{mvar|f}} और {{mvar|g}} दोनों अवकलनीय और <math>g(x)\neq 0</math> है। भागफल नियम बताता है कि {{math|''h''(''x'')}} का व्युत्पन्न है
+कलन में, भागफल नियम एक ऐसे फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करने की एक विधि है जो दो अवकलन फलनों का अनुपात है।<ref>{{cite book | last=Stewart | first=James | author-link=James Stewart (mathematician) | title=Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=6th | year=2008 | isbn=978-0-495-01166-8 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 }}</ref><ref>{{cite book | last1=Larson | first1=Ron | author-link=Ron Larson (mathematician)| last2=Edwards | first2=Bruce H. | title=गणना| publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=9th | year=2009 | isbn=978-0-547-16702-2}}</ref><ref>{{cite book | last1 = Thomas | first1 = George B. | last2=Weir | first2= Maurice D. | last3=Hass | first3=Joel | author3-link = Joel Hass | author-link=George B. Thomas | title=Thomas' Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Addison-Wesley]] | year=2010 | edition=12th | isbn=978-0-321-58876-0}}</ref> अनुमान  <math>h(x)=f(x)/g(x),</math> जहां {{mvar|f}} और {{mvar|g}} दोनों अवकलनीय और <math>g(x)\neq 0</math> है। भागफल नियम बताता है कि {{math|''h''(''x'')}} का व्युत्पन्न है।
 :<math>h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}</math>
 अन्य व्युत्पन्न नियमों का प्रयोग करके इसे कई प्रकार से सिद्ध किया जा सकता है।
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 === उदाहरण 1: मूल उदाहरण ===
-दिया हुआ <math>h(x)=\frac{e^x}{x^2}</math>, अनुमान <math>f(x)=e^x, g(x)=x^2</math>, फिर भागफल नियम का प्रयोग करके:<math display="block">\begin{align}
+विशेष <math>h(x)=\frac{e^x}{x^2}</math>, अनुमान <math>f(x)=e^x, g(x)=x^2</math>, फिर भागफल नियम का प्रयोग करके:<math display="block">\begin{align}
      \frac{d}{dx} \left(\frac{e^x}{x^2}\right) &= \frac{\left(\frac{d}{dx}e^x\right)(x^2) - (e^x)\left(\frac{d}{dx} x^2\right)}{(x^2)^2} \\
       &= \frac{(e^x)(x^2) - (e^x)(2x)}{x^4} \\
@@ Line 18: / Line 18: @@
 === उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का व्युत्पन्न ===
-भागफल नियम का प्रयोग <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math> का अवकलज इस प्रकार ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है:
+भागफल नियम का प्रयोग <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math> का व्युत्पन्न इस प्रकार ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है:
 <math display="block">\begin{align}
      \frac{d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \\
@@ Line 33: / Line 33: @@
 === व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुणों से प्रमाण ===
-अनुमान <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमाओं के गुणों को प्रयुक्त करने से निम्नलिखित प्रमाण मिलता है, शब्द <math>f(x) g(x)</math> के साथ मूल्य को प्रभावित किए बिना बाद के चरणों में विभाजन और कारक की अनुमति देने के लिए जोड़ा और घटाया गया:<math display="block">\begin{align}
+अनुमान <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमाओं के गुणों को प्रयुक्त करने से निम्नलिखित प्रमाण मिलता है, शब्द <math>f(x) g(x)</math> के साथ मूल्य को प्रभावित किए बिना बाद के चरणों में विभाजन और कारक की अनुमति देने के लिए जोड़ा और घटाया गया है:<math display="block">\begin{align}
     h'(x) &= \lim_{k\to 0} \frac{h(x+k) - h(x)}{k} \\
     &= \lim_{k\to 0} \frac{\frac{f(x+k)}{g(x+k)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{k} \\
@@ Line 42: / Line 42: @@
     &= \left[\lim_{k\to 0} \frac{f(x+k) - f(x)}{k} \cdot g(x) - f(x) \cdot \lim_{k\to 0}\frac{g(x+k) - g(x)}{k} \right] \cdot \frac{1}{g(x)^2} \\
     &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}.
-  \end{align}</math>सीमा मूल्यांकन <math>\lim_{k \to 0}\frac{1}{g(x+k)g(x)}=\frac{1}{g(x)^2}</math> <math>g(x)</math> की अवकलनीयता द्वारा द्वारा उचित है, निरंतरता का अर्थ है, जिसे <math>\lim_{k \to 0}g(x+k) = g(x)</math> के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+  \end{align}</math>सीमा मूल्यांकन <math>\lim_{k \to 0}\frac{1}{g(x+k)g(x)}=\frac{1}{g(x)^2}</math> <math>g(x)</math> की अवकलनीयता द्वारा उचित है, निरंतरता का अर्थ है, जिसे <math>\lim_{k \to 0}g(x+k) = g(x)</math> के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
-===अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग करके सबूत ===
+===अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग करके प्रमाण ===
-अनुमान <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)},</math> इसलिए <math>f(x) = g(x)h(x)</math> उत्पाद नियम तब <math>f'(x)=g'(x)h(x) + g(x)h'(x)</math> देता है। <math>h'(x)</math> के लिए हल करना और <math>h(x)</math> के लिए वापस प्रतिस्थापित करने देता है:
+अनुमान <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)},</math> इसलिए <math>f(x) = g(x)h(x)</math> उत्पाद नियम तब <math>f'(x)=g'(x)h(x) + g(x)h'(x)</math> देता है। <math>h'(x)</math> के लिए समाधान करने और <math>h(x)</math> के लिए वापस प्रतिस्थापित करने देता है:
 ==== <math display="block">\begin{align}
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 === लघुगणक अवकलन द्वारा प्रमाण ===
-अनुमान <math>h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}</math> समीकरण के दोनों पक्षों का निरपेक्ष मान और [[प्राकृतिक]] लघुगणक लेने पर प्राप्त होता है<math display="block">\ln|h(x)|=\ln\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|</math>निरपेक्ष मान और लघुगणक के गुणों को प्रयुक्त करना,<math display="block">\ln|h(x)|=\ln|f(x)|-\ln|g(x)|</math>दोनों पक्षों का [[लघुगणक व्युत्पन्न]] लेने पर, <math display="block">\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}</math><math>h'(x)</math> के लिए हल करना और <math>h(x)</math> के लिए <math>f(x)/g(x)</math> को वापस प्रतिस्थापित करना देता है:<math display="block">\begin{align}
+अनुमान <math>h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}</math> समीकरण के दोनों पक्षों का निरपेक्ष मान और [[प्राकृतिक]] लघुगणक लेने पर प्राप्त होता है<math display="block">\ln|h(x)|=\ln\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|</math>निरपेक्ष मान और लघुगणक के गुणों को प्रयुक्त करना,<math display="block">\ln|h(x)|=\ln|f(x)|-\ln|g(x)|</math>दोनों पक्षों का [[लघुगणक व्युत्पन्न]] लेने पर, <math display="block">\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}</math><math>h'(x)</math> के लिए समाधान करने और <math>h(x)</math> के लिए <math>f(x)/g(x)</math> को वापस प्रतिस्थापित करने देता है:<math display="block">\begin{align}
 h'(x)&=h(x)\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\
 &=\frac{f(x)}{g(x)}\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\
 &=\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2}\\
 &=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}
-\end{align}</math>नोट: फलनो के पूर्ण मूल्य को लेना आवश्यक है ताकि फलनो के [[लॉगरिदमिक भेदभाव|लघुगणकीय अवकलन]] को नकारात्मक मान हो सकें, क्योंकि लॉगरिदम केवल सकारात्मक तर्कों के लिए परिभाषित किए जाते हैं। यह काम करता है क्योंकि <math>\tfrac{d}{dx}(\ln|u|)=\tfrac{u'}{u}</math>, जो लघुगणकीय अवकलन के लिए फलनो का पूर्ण मूल्य लेने का उचित ठहराता है।
+\end{align}</math>नोट: फलनो के पूर्ण मूल्य को लेना आवश्यक है इसलिए फलनो के [[लॉगरिदमिक भेदभाव|लघुगणकीय अवकलन]] का नकारात्मक मान हो सकें, क्योंकि लघुगणक केवल सकारात्मक तर्कों के लिए परिभाषित किए जाते हैं। यह काम करता है क्योंकि <math>\tfrac{d}{dx}(\ln|u|)=\tfrac{u'}{u}</math>, जो लघुगणकीय अवकलन के लिए फलनो को पूर्ण मूल्य लेने को उचित सिद्ध करता है।
 == उच्च क्रम व्युत्पन्न ==
-एक भागफल (आंशिक रूप से इसके पहले {{math|''n'' &minus; 1}} व्युत्पन्न के संदर्भ में) के n वें व्युत्पन्न की गणना करने के लिए अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भेद करना <math>f=gh</math> को दो बार अवकलित करना (जिसके परिणामस्वरूप <math>f'' = g''h + 2g'h' + gh''</math>) और फिर <math>h''</math> के लिए हल करने पर प्राप्त होता है<math display="block">h'' = \left(\frac{f}{g}\right)'' = \frac{f''-g''h-2g'h'}{g}</math>
+एक भागफल (आंशिक रूप से इसके पहले {{math|''n'' &minus; 1}} व्युत्पन्न के संदर्भ में) के n वें व्युत्पन्न की गणना करने के लिए अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भेद करना <math>f=gh</math> को दो बार अवकलित करना (जिसके परिणामस्वरूप <math>f'' = g''h + 2g'h' + gh''</math>) और फिर <math>h''</math> के लिए समाधान करने पर प्राप्त होता है।<math display="block">h'' = \left(\frac{f}{g}\right)'' = \frac{f''-g''h-2g'h'}{g}</math>
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|श्रृंखला नियम}}
+*[[श्रृंखला नियम]] – समाहित फलनों के व्युत्पन्न के लिए
 * {{annotated link|अभिन्न का अवकलन }}
-* {{annotated link|अवकलन नियम}}
+* {{annotated link|अवकलन नियम}} – फलनों के व्युत्पन्न की गणना के लिए नियम
-* {{annotated link|सामान्य लीबनिज नियम}}
+* {{annotated link|सामान्य लीबनिज नियम}} – कलन में उत्पाद नियम का सामान्यीकरण
-* {{annotated link|व्युत्क्रम फलन और अवकलन }}
+* {{annotated link|व्युत्क्रम फलन और अवकलन }}–गणना की पहचान
-* {{annotated link|अवकलन की रैखिकता}}
+* {{annotated link|अवकलन की रैखिकता}} – गणना के गुण
-* {{annotated link|उत्पाद नियम}}
+* {{annotated link|उत्पाद नियम}} – किसी उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्र
-* {{annotated link|पारस्परिक नियम}}
+* {{annotated link|पारस्परिक नियम}} – अवकलन नियम
-* {{annotated link|व्युत्पन्न की तालिका}}
+* {{annotated link|व्युत्पन्न की तालिका}} – फलनों के व्युत्पन्न की गणना के लिए नियम
-* {{annotated link|सदिश कलन पहचान}}
+* {{annotated link|सदिश कलन पहचान}} – गणितीय पहचान
 ==संदर्भ==

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

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Contents

उदाहरण

उदाहरण 1: मूल उदाहरण

उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का व्युत्पन्न

पारस्परिक नियम

प्रमाण

व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुणों से प्रमाण

अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग करके प्रमाण

लघुगणक अवकलन द्वारा प्रमाण

उच्च क्रम व्युत्पन्न

यह भी देखें

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Revision as of 22:39, 18 April 2023

उदाहरण

उदाहरण 1: मूल उदाहरण

उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का व्युत्पन्न

पारस्परिक नियम

प्रमाण

व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुणों से प्रमाण

अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग करके प्रमाण

लघुगणक अवकलन द्वारा प्रमाण

उच्च क्रम व्युत्पन्न

यह भी देखें

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