संपूर्णत समतुल्य परत: Difference between revisions

Revision as of 13:04, 13 April 2023

प्रकाश प्रकीर्णन समस्या के लिए एफडीटीडी योजना। धारीदार सीमाएँ पूरी तरह से मेल खाने वाली परतों से मेल खाती हैं, जिनका उपयोग बाहरी तरंगों को अवशोषित करके खुली सीमाओं का अनुकरण करने के लिए किया जाता है।

पूरी तरह से मेल खाने वाली परत (पीएमएल) लहर समीकरणों के लिए कृत्रिम अवशोषित परत है, प्रायः खुली सीमाओं के साथ समस्याओं का अनुकरण करने के लिए संख्यात्मक तरीकों में संगणनात्मक क्षेत्रों को छोटा करने के लिए प्रायः उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से एफडीटीडी और एफई विधियों में।^[1]^[2] पीएमएल की प्रमुख अधिकार जो इसे सामान्य अवशोषित सामग्री से अलग करती है, वह यह है कि इसे इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि ताकि गैर-पीएमएल माध्यम से पीएमएल पर आने वाली तरंगें अंतरापृष्ठ पर परावर्तित न हों- यह अधिकार पीएमएल को बाहर जाने वाली तरंगों को दृढ़ता से अवशोषित करने की अनुमति देती है संगणनात्मक क्षेत्र के आंतरिक भाग को वापस आंतरिक भाग में परावर्तित किए बिना।

पीएमएल को मूल रूप से 1994 में बेरेंगर द्वारा तैयार किया गया था^[3] मैक्सवेल के समीकरणों के साथ उपयोग के लिए, और उस समय से मैक्सवेल के समीकरणों और अन्य तरंग-प्रकार के समीकरण के लिए पीएमएल के कई संबंधित सुधार किए गए हैं, जैसे प्रत्यास्थगतिकी रैखिक यूलर समीकरण, हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण और पोरोइलास्टिसिटी।^[4] बेरेंगर के मूल निरूपण को विभाजन-क्षेत्र पीएमएल कहा जाता है, क्योंकि यह पीएमएल क्षेत्र में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों को दो अभौतिक क्षेत्रों में विभाजित करता है। बाद का निरूपण जो अपनी सादगी और दक्षता के कारण अधिक लोकप्रिय हो गया है, उसे अक्षीय पीएमएल या यूपीएमएल कहा जाता है।^[5] जिसमें पीएमएल को कृत्रिम विषमदैशिक अवशोषक सामग्री के रूप में वर्णित किया गया है। यद्यपि बेरेंगर के निरूपण और यूपीएमएल दोनों को शुरू में नियमावली रूप से उन परिस्थितियों का निर्माण करके प्राप्त किया गया था, जिसके तहत सजातीय माध्यम से पीएमएल अंतरापृष्ठ से घटना विमान तरंगें परावर्तित नहीं होती हैं, दोनों निरूपण के बाद में अधिक सहज और सामान्य दृष्टिकोण के बराबर दिखाया गया तानित - पीएमएल का समकक्ष करें।^[6]^[7] विशेष रूप से, पीएमएल के समकक्ष परिवर्तन के अनुरूप दिखाया गया था जिसमें एक (या अधिक) निर्देशांक जटिल संख्याओं में मानचित्रित किए जाते हैं, अधिक तकनीकी रूप से, यह वास्तव में जटिल निर्देशांक में तरंग समीकरण का विश्लेषणात्मक निरंतरता है, जो तेजी से क्षय तरंगों द्वारा प्रसार (दोलन) तरंगों को प्रतिस्थापित करता है। यह दृष्टिकोण पीएमएल को विषम मीडिया जैसे वेवगाइड के साथ-साथ अन्य समकक्ष प्रणालियों और तरंग समीकरणों के लिए व्युत्पन्न करने की अनुमति देता है।^[8]^[9]

तकनीकी विवरण

2डी एफडीटीडी विधि में फैला हुआ समकक्ष पीएमएल के माध्यम से स्पंदित गोलाकार तरंग का अवशोषण। सफेद बॉर्डर सिमुलेशन सीमा को इंगित करता है।

विशेष रूप से, x दिशा में फैलने वाली तरंगों को अवशोषित करने के लिए डिज़ाइन किए गए पीएमएल के लिए, निम्न परिवर्तन तरंग समीकरण में शामिल है। जहां भी x व्युत्पन्न $\partial /\partial x$ तरंग समीकरण में प्रकट होता है, इसे इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है

{\frac {\partial }{\partial x}}\to {\frac {1}{1+{\frac {i\sigma (x)}{\omega }}}}{\frac {\partial }{\partial x}}

जहां $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $\sigma$ x का कुछ फलन है। जहां कहीं भी $\sigma$ सकारात्मक है, प्रसार तरंगें को दुर्बल किया जाता है क्योंकि

e^{i(kx-\omega t)}\to e^{i(kx-\omega t)-{\frac {k}{\omega }}\int ^{x}\sigma (x')dx'},

जहां हमने +x दिशा में प्रचार करने वाली समतल तरंग ली है ( $k>0$ के लिए) और जटिल निर्देशांक के लिए परिवर्तन (विश्लेषणात्मक निरंतरता) लागू किया $x\to x+{\frac {i}{\omega }}\int ^{x}\sigma (x')dx'$ , या समकक्ष $dx\to dx(1+i\sigma /\omega )$ . समान समकक्ष परिवर्तन के कारण तरंगें दुर्बल हो जाती हैं जब भी उनकी x निर्भरता रूप में होती है $e^{ikx}$ कुछ प्रसार स्थिरांक k के लिए इसमें x अक्ष के साथ कुछ कोण पर प्रसारित होने वाली समतल तरंगें और तरंगपथनिर्धारित्र के अनुप्रस्थ मोड भी शामिल हैं।

उपरोक्त समकक्ष परिवर्तन को रूपांतरित तरंग समीकरणों में छोड़ दिया जा सकता है, या यूपीएमएल विवरण बनाने के लिए भौतिक विवरण (जैसे मैक्सवेल के समीकरणों में विद्युतशीलता और पारगम्यता) के साथ जोड़ा जा सकता है। गुणांक σ/ω आवृत्ति पर निर्भर करता है- ऐसा इसलिए है कि संकीर्णता दर k/ω के समानुपाती होती है, जो ω और k के बीच विस्तार संबंध के कारण सजातीय सामग्री में आवृत्ति से स्वतंत्र होती है (भौतिक विस्तार शामिल नहीं है, उदाहरण निर्वात के लिए)। तथापि, इस आवृत्ति-निर्भरता का अर्थ है कि पीएमएल का समय डोमेन कार्यान्वयन, उदा एफडीटीडी विधि में, आवृत्ति-स्वतंत्र अवशोषक की तुलना में अधिक जटिल है, और इसमें सहायक अंतर समीकरण (एडीई) दृष्टिकोण शामिल है (समतुल्य, i/ω समय डोमेन मे अभिन्न या संवलन के रूप में प्रकट होता है)।

पूरी तरह से मेल खाने वाली परतें, अपने मूल रूप में, केवल प्रसार तरंगों को दुर्बल करती हैं, विशुद्ध रूप से अस्थायी तरंगें (घातीय रूप से क्षय वाले क्षेत्र) पीएमएल में दोलन करती हैं लेकिन अधिक तेज़ी से क्षय नहीं करती हैं। तथापि, पीएमएल मेंवास्तविक संख्या समकक्ष को शामिल करके वाष्पशील तरंगों के दुर्बल को भी तेज किया जा सकता है यह उपरोक्त अभिव्यक्ति में σ को जटिल संख्या बनाने के अनुरूप है, जहां काल्पनिक भाग वास्तविक समकक्ष खिंचाव उत्पन्न करता है जिससे वाष्पशील तरंगों का तेजी से अधिक क्षय होता हैं।

पूरी तरह से मेल खाने वाली परतों की सीमाएं

पीएमएल का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और संगणनात्मक विद्युतचुम्बकत्व के बहुत से पसंद की अवशोषित सीमा तकनीक बन गई है।^[1] तथापि यह ज्यादातर मामलों में अच्छी तरह से काम करता है, कुछ महत्वपूर्ण मामले हैं जिनमें यह टूट जाता है, अपरिहार्य प्रतिबिंबों या यहां तक कि घातीय वृद्धि से पीड़ित होता है।

पूरी तरह से मेल खाने वाली परतों के साथ चेतावनी यह है कि वे केवल सटीक, निरंतर तरंग समीकरण के लिए परावर्तन रहित हैं। एक बार कंप्यूटर पर अनुकरण के लिए तरंग समीकरण का विवेचन हो जाने के बाद, कुछ छोटे संख्यात्मक प्रतिबिंब दिखाई देते हैं (जो बढ़ते संकल्प के साथ गायब हो जाते हैं)। इस कारण से, पीएमएल अवशोषण गुणांक σ प्रायः तरंग के तरंग दैर्ध्य के पैमाने पर कम दूरी पर शून्य (जैसे द्विघात रूप से) से धीरे-धीरे चालू होता है।^[1] सामान्य तौर पर, कोई भी अवशोषक, चाहे पीएमएल हो या नहीं, उस सीमा में प्रतिबिंब रहित होता है जहां यह पर्याप्त रूप से धीरे-धीरे चालू होता है (और अवशोषित परत मोटी हो जाती है), लेकिन विवेकाधीन प्रणाली में पीएमएल का लाभ परिमित-मोटाई "संक्रमण" को कम करना है। साधारण समदैशिक अवशोषण गुणांक की तुलना में परिमाण के कई आदेशों द्वारा प्रतिबिंब है।^[10]

कुछ अवयव में, "पश्च-तरंग" समाधान होते हैं जिसमें समूह और चरण वेग एक दूसरे के विपरीत होते हैं। यह विद्युतचुम्बकत्व के लिए और कुछ ठोस पदार्थों में ध्वनिक तरंगों के लिए "बाएं हाथ" के नकारात्मक सूचकांक मेटामटेरियल्स में होता है, और इन मामलों में मानक पीएमएल निरूपण अस्थिर होता है यह क्षय के बजाय घातीय वृद्धि की ओर जाता है, क्योंकि के(k) का संकेत उपरोक्त विश्लेषण में फ़्लिप किया जाता है।^[11] सौभाग्य से से, बाएं हाथ के माध्यम में सरल समाधान है (जिसके लिए सभी तरंगें पीछे की ओर हैं) केवल σ के चिह्न को फ़्लिप करें। तथापि, जटिलता यह है कि भौतिक बाएँ हाथ की अवयव फैलाने वाली होती है वे केवल निश्चित आवृत्ति सीमा के भीतर बाएँ हाथ की होती हैं, और इसलिए σ गुणांक को आवृत्ति-निर्भर बनाया जाना चाहिए।^[12]^[13] दुर्भाग्य से, विदेशी अवयवयों के बिना भी, कोई भी कुछ वेवगाइडिंग संरचनाओं (जैसे कि इसके केंद्र में उच्च-सूचकांक सिलेंडर के साथ एक खोखली धातु ट्यूब) को डिज़ाइन कर सकता है, जो एक ही आवृत्ति पर पीछे की ओर और आगे-तरंग दोनों समाधानों को प्रदर्शित करता है, जैसे कि कोई भी संकेत विकल्प σ के लिए घातीय वृद्धि होगी, और ऐसे मामलों में पीएमएल अपरिवर्तनीय रूप से अस्थिर प्रतीत होता है।^[14]

पीएमएल की एक और महत्वपूर्ण सीमा यह है कि जटिल निर्देशांक (जटिल "समकक्ष खिंचाव") के समाधान की विश्लेषणात्मक निरंतरता का समर्थन करने के लिए माध्यम को सीमा के ओर्थोगोनल दिशा में अपरिवर्तनीय होना आवश्यक है। परिणामस्वरूप, आवधिक मीडिया (जैसे फोटोनिक क्रिस्टल या ध्वनिक मेटामटेरियल्स) ^[10] या केवल वेवगाइड जो तिरछे कोण पर सीमा में प्रवेश करता है, के मामले में पीएमएल दृष्टिकोण अब मान्य नहीं है (अनंत संकल्प पर दर्पण रहित नहीं है)।^[15]

यह भी देखें

कैग्नियार्ड-डी हूप विधि

संदर्भ

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बाहरी संबंध

Animation on the effects of PML (YouTube)

[Taflove05-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Allen Taflove and Susan C. Hagness (2005). Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, 3rd ed. Artech House Publishers. ISBN 978-1-58053-832-9.

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[13] Dong X. T., Rao X. S., Gan Y. B., Guo B., Yin W.-Y. (2004). "बाएं हाथ की सामग्री के लिए पूरी तरह से मेल खाने वाली परत-अवशोषित सीमा की स्थिति". IEEE Microwave Wireless Components Lett. 14 (6): 301–333. doi:10.1109/lmwc.2004.827104. S2CID 19568400.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[14] Loh P.-R., Oskooi A. F., Ibanescu M., Skorobogatiy M., Johnson S. G. (2009). "चरण और समूह वेग के बीच मौलिक संबंध, और पश्च-तरंग संरचनाओं में पूरी तरह से मेल खाने वाली परतों की विफलता के लिए आवेदन" (PDF). Phys. Rev. E. 79 (6): 065601. Bibcode:2009PhRvE..79f5601L. doi:10.1103/physreve.79.065601. hdl:1721.1/51780. PMID 19658556.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

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 [[File:FDTD TFSF (English).png|thumb|285px|[[बिखरने|प्रकाश प्रकीर्णन]] समस्या के लिए [[परिमित-अंतर समय-डोमेन विधि|एफडीटीडी]] योजना। धारीदार सीमाएँ पूरी तरह से मेल खाने वाली परतों से मेल खाती हैं, जिनका उपयोग बाहरी तरंगों को अवशोषित करके खुली सीमाओं का अनुकरण करने के लिए किया जाता है।]]'''पूरी तरह से मेल खाने वाली परत''' ('''पीएमएल''') लहर समीकरणों के लिए कृत्रिम अवशोषित परत है, प्रायः खुली सीमाओं के साथ समस्याओं का अनुकरण करने के लिए संख्यात्मक तरीकों में संगणनात्मक क्षेत्रों को छोटा करने के लिए प्रायः उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से एफडीटीडी और एफई विधियों में।<ref name=Taflove05>{{cite book | author=[[Allen Taflove]] and Susan C. Hagness | title=Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, 3rd ed. | publisher=Artech House Publishers | year=2005 | isbn=978-1-58053-832-9 }}</ref><ref>{{cite arXiv |last=Johnson |first=Steven G. |author-link=Steven G. Johnson |eprint=2108.05348 |title=पूरी तरह से मेल खाने वाली परतों (पीएमएल) पर नोट्स|class=physics.comp-ph |date=2021 }} Tutorial review based on online MIT course notes.</ref> पीएमएल की प्रमुख अधिकार जो इसे सामान्य अवशोषित सामग्री से अलग करती है, वह यह है कि इसे इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि ताकि गैर-पीएमएल माध्यम से पीएमएल पर आने वाली तरंगें अंतरापृष्ठ पर परावर्तित न हों- यह अधिकार पीएमएल को बाहर जाने वाली तरंगों को दृढ़ता से अवशोषित करने की अनुमति देती है संगणनात्मक क्षेत्र के आंतरिक भाग को वापस आंतरिक भाग में परावर्तित किए बिना।
-पीएमएल को मूल रूप से 1994 में बेरेंगर द्वारा तैयार किया गया था<ref>{{cite journal | author= J. Berenger | title= विद्युत चुम्बकीय तरंगों के अवशोषण के लिए एक पूरी तरह से मेल खाने वाली परत| journal= Journal of Computational Physics | year= 1994 | volume= 114 | pages= 185&ndash;200 | doi= 10.1006/jcph.1994.1159 | issue= 2 | bibcode=1994JCoPh.114..185B}}</ref> मैक्सवेल के समीकरणों के साथ उपयोग के लिए, और उस समय से मैक्सवेल के समीकरणों और अन्य तरंग-प्रकार के समीकरण के लिए पीएमएल के कई संबंधित सुधार किए गए हैं, जैसे प्रत्यास्थगतिकी रैखिक यूलर समीकरण, हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण और पोरोइलास्टिसिटी।<ref>{{cite journal |first1=Arash |last1=Fathi |first2=Babak |last2=Poursartip |first3=Loukas |last3=Kallivokas |title=Time‐domain hybrid formulations for wave simulations in three‐dimensional PML‐truncated heterogeneous media |journal=International Journal for Numerical Methods in Engineering |year=2015 |volume=101 |issue=3 |pages=165–198 |doi=10.1002/nme.4780|bibcode=2015IJNME.101..165F |s2cid=122812832 }}</ref> बेरेंगर के मूल निरूपण को '''विभाजन-क्षेत्र पीएमएल''' कहा जाता है, क्योंकि यह पीएमएल क्षेत्र में [[विद्युत चुम्बकीय]] क्षेत्रों को दो अभौतिक क्षेत्रों में विभाजित करता है। बाद का निरूपण जो अपनी सादगी और दक्षता के कारण अधिक लोकप्रिय हो गया है, उसे '''अक्षीय पीएमएल''' या '''यूपीएमएल''' कहा जाता है।<ref>{{cite journal | author= S.D. Gedney | title= FDTD लैटिस के ट्रंकेशन के लिए एक अनिसोट्रोपिक पूरी तरह से मेल खाने वाली परत अवशोषित मीडिया| journal= IEEE Transactions on Antennas and Propagation| year= 1996 | volume= 44 | pages= 1630&ndash;1639 | doi= 10.1109/8.546249 | issue= 12 | bibcode=1996ITAP...44.1630G}}</ref> जिसमें पीएमएल को कृत्रिम विषमदैशिक अवशोषक सामग्री के रूप में वर्णित किया गया है। यद्यपि बेरेंगर के निरूपण और यूपीएमएल दोनों को शुरू में नियमावली रूप से उन परिस्थितियों का निर्माण करके प्राप्त किया गया था, जिसके तहत सजातीय माध्यम से पीएमएल अंतरापृष्ठ से घटना विमान तरंगें परावर्तित नहीं होती हैं, दोनों निरूपण के बाद में अधिक सहज और सामान्य दृष्टिकोण के बराबर दिखाया गया '''तानित''' - '''पीएमएल का समकक्ष''' करें।<ref>{{cite journal | author= W. C. Chew and W. H. Weedon | title= A 3d perfectly matched medium from modified Maxwell's equations with stretched coordinates| journal= Microwave Optical Tech. Letters | year= 1994 | volume= 7 | pages= 599&ndash;604 | doi= 10.1002/mop.4650071304 | issue= 13 | bibcode= 1994MiOTL...7..599C }}</ref><ref>{{cite journal | author= F. L. Teixeira W. C. Chew | title= मनमाना बायनिसोट्रोपिक और फैलाने वाले रैखिक मीडिया से मेल खाने के लिए सामान्य बंद फॉर्म पीएमएल संवैधानिक टेंसर| journal= IEEE Microwave and Guided Wave Letters | year= 1998 | volume= 8 | pages= 223&ndash;225 | doi= 10.1109/75.678571 | issue= 6 }}</ref> विशेष रूप से, पीएमएल को [[समन्वय परिवर्तन|समकक्ष परिवर्तन]]  के अनुरूप दिखाया गया था जिसमें एक (या अधिक) निर्देशांक [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] में मानचित्रित किए जाते हैं, अधिक तकनीकी रूप से, यह वास्तव में जटिल निर्देशांक में तरंग समीकरण का [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] है, जो तेजी से क्षय तरंगों द्वारा प्रसार (दोलन) तरंगों को प्रतिस्थापित करता है। यह दृष्टिकोण PMLs को विषम मीडिया जैसे [[वेवगाइड]] के साथ-साथ अन्य समकक्ष प्रणालियों और तरंग समीकरणों के लिए व्युत्पन्न करने की अनुमति देता है।<ref>{{cite journal | author= V. Kalvin | title=अर्ध-बेलनाकार डोमेन में डिरिचलेट लाप्लासियन के लिए सीमित अवशोषण सिद्धांत और पूरी तरह से मेल खाने वाली परत विधि| journal=SIAM J. Math. Anal. | year= 2012 | volume= 44 | pages= 355&ndash;382 | doi= 10.1137/110834287  | arxiv=1110.4912| s2cid=2625082}}</ref><ref>{{cite journal | author= V. Kalvin | title=क्वैसिलिंड्रिकल सिरों के साथ मैनिफोल्ड पर ध्वनिक बिखरने के लिए पूरी तरह से मेल खाने वाले परत ऑपरेटरों का विश्लेषण| journal= J. Math. Pures Appl. | year= 2013 | volume=100  | issue=2| pages= 204&ndash;219 | doi= 10.1016/j.matpur.2012.12.001| arxiv=1212.5707| s2cid=119315209}}</ref>
+पीएमएल को मूल रूप से 1994 में बेरेंगर द्वारा तैयार किया गया था<ref>{{cite journal | author= J. Berenger | title= विद्युत चुम्बकीय तरंगों के अवशोषण के लिए एक पूरी तरह से मेल खाने वाली परत| journal= Journal of Computational Physics | year= 1994 | volume= 114 | pages= 185&ndash;200 | doi= 10.1006/jcph.1994.1159 | issue= 2 | bibcode=1994JCoPh.114..185B}}</ref> मैक्सवेल के समीकरणों के साथ उपयोग के लिए, और उस समय से मैक्सवेल के समीकरणों और अन्य तरंग-प्रकार के समीकरण के लिए पीएमएल के कई संबंधित सुधार किए गए हैं, जैसे प्रत्यास्थगतिकी रैखिक यूलर समीकरण, हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण और पोरोइलास्टिसिटी।<ref>{{cite journal |first1=Arash |last1=Fathi |first2=Babak |last2=Poursartip |first3=Loukas |last3=Kallivokas |title=Time‐domain hybrid formulations for wave simulations in three‐dimensional PML‐truncated heterogeneous media |journal=International Journal for Numerical Methods in Engineering |year=2015 |volume=101 |issue=3 |pages=165–198 |doi=10.1002/nme.4780|bibcode=2015IJNME.101..165F |s2cid=122812832 }}</ref> बेरेंगर के मूल निरूपण को '''विभाजन-क्षेत्र पीएमएल''' कहा जाता है, क्योंकि यह पीएमएल क्षेत्र में [[विद्युत चुम्बकीय]] क्षेत्रों को दो अभौतिक क्षेत्रों में विभाजित करता है। बाद का निरूपण जो अपनी सादगी और दक्षता के कारण अधिक लोकप्रिय हो गया है, उसे '''अक्षीय पीएमएल''' या '''यूपीएमएल''' कहा जाता है।<ref>{{cite journal | author= S.D. Gedney | title= FDTD लैटिस के ट्रंकेशन के लिए एक अनिसोट्रोपिक पूरी तरह से मेल खाने वाली परत अवशोषित मीडिया| journal= IEEE Transactions on Antennas and Propagation| year= 1996 | volume= 44 | pages= 1630&ndash;1639 | doi= 10.1109/8.546249 | issue= 12 | bibcode=1996ITAP...44.1630G}}</ref> जिसमें पीएमएल को कृत्रिम विषमदैशिक अवशोषक सामग्री के रूप में वर्णित किया गया है। यद्यपि बेरेंगर के निरूपण और यूपीएमएल दोनों को शुरू में नियमावली रूप से उन परिस्थितियों का निर्माण करके प्राप्त किया गया था, जिसके तहत सजातीय माध्यम से पीएमएल अंतरापृष्ठ से घटना विमान तरंगें परावर्तित नहीं होती हैं, दोनों निरूपण के बाद में अधिक सहज और सामान्य दृष्टिकोण के बराबर दिखाया गया '''तानित''' - '''पीएमएल का समकक्ष''' करें।<ref>{{cite journal | author= W. C. Chew and W. H. Weedon | title= A 3d perfectly matched medium from modified Maxwell's equations with stretched coordinates| journal= Microwave Optical Tech. Letters | year= 1994 | volume= 7 | pages= 599&ndash;604 | doi= 10.1002/mop.4650071304 | issue= 13 | bibcode= 1994MiOTL...7..599C }}</ref><ref>{{cite journal | author= F. L. Teixeira W. C. Chew | title= मनमाना बायनिसोट्रोपिक और फैलाने वाले रैखिक मीडिया से मेल खाने के लिए सामान्य बंद फॉर्म पीएमएल संवैधानिक टेंसर| journal= IEEE Microwave and Guided Wave Letters | year= 1998 | volume= 8 | pages= 223&ndash;225 | doi= 10.1109/75.678571 | issue= 6 }}</ref> विशेष रूप से, पीएमएल के [[समन्वय परिवर्तन|समकक्ष परिवर्तन]]  के अनुरूप दिखाया गया था जिसमें एक (या अधिक) निर्देशांक [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] में मानचित्रित किए जाते हैं, अधिक तकनीकी रूप से, यह वास्तव में जटिल निर्देशांक में तरंग समीकरण का [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] है, जो तेजी से क्षय तरंगों द्वारा प्रसार (दोलन) तरंगों को प्रतिस्थापित करता है। यह दृष्टिकोण पीएमएल को विषम मीडिया जैसे [[वेवगाइड]] के साथ-साथ अन्य समकक्ष प्रणालियों और तरंग समीकरणों के लिए व्युत्पन्न करने की अनुमति देता है।<ref>{{cite journal | author= V. Kalvin | title=अर्ध-बेलनाकार डोमेन में डिरिचलेट लाप्लासियन के लिए सीमित अवशोषण सिद्धांत और पूरी तरह से मेल खाने वाली परत विधि| journal=SIAM J. Math. Anal. | year= 2012 | volume= 44 | pages= 355&ndash;382 | doi= 10.1137/110834287  | arxiv=1110.4912| s2cid=2625082}}</ref><ref>{{cite journal | author= V. Kalvin | title=क्वैसिलिंड्रिकल सिरों के साथ मैनिफोल्ड पर ध्वनिक बिखरने के लिए पूरी तरह से मेल खाने वाले परत ऑपरेटरों का विश्लेषण| journal= J. Math. Pures Appl. | year= 2013 | volume=100  | issue=2| pages= 204&ndash;219 | doi= 10.1016/j.matpur.2012.12.001| arxiv=1212.5707| s2cid=119315209}}</ref>
 == तकनीकी विवरण ==
 [[File:Stretched coordinate PML absorption.ogg|thumb|250px|2डी एफडीटीडी विधि में फैला हुआ समकक्ष पीएमएल के माध्यम से स्पंदित गोलाकार तरंग का अवशोषण। सफेद बॉर्डर सिमुलेशन सीमा को इंगित करता है।]]विशेष रूप से, x दिशा में फैलने वाली तरंगों को अवशोषित करने के लिए डिज़ाइन किए गए पीएमएल के लिए, निम्न परिवर्तन तरंग समीकरण में शामिल है। जहां भी x व्युत्पन्न <math>\partial/\partial x</math> तरंग समीकरण में प्रकट होता है, इसे इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है
 :<math>\frac{\partial}{\partial x} \to \frac{1}{1 + \frac{i\sigma(x)}{\omega}} \frac{\partial}{\partial x}</math>
-कहाँ <math>\omega</math> [[कोणीय आवृत्ति]] है और <math>\sigma</math> x का कुछ फलन है। जहां कहीं भी <math>\sigma</math> सकारात्मक है, प्रसार तरंगें को दुर्बल किया जाता है क्योंकि
+जहां <math>\omega</math> [[कोणीय आवृत्ति]] है और <math>\sigma</math> x का कुछ फलन है। जहां कहीं भी <math>\sigma</math> सकारात्मक है, प्रसार तरंगें को दुर्बल किया जाता है क्योंकि
 :<math>e^{i(kx - \omega t)} \to e^{i(kx - \omega t) -  \frac{k}{\omega} \int^x \sigma(x') dx'} ,</math>
-जहां हमने +x दिशा में प्रचार करने वाली समतल तरंग ली है (<math>k > 0</math> के लिए) और जटिल निर्देशांक के लिए परिवर्तन (विश्लेषणात्मक निरंतरता) लागू किया <math>x \to x + \frac{i}{\omega} \int^x \sigma(x') dx'</math>, या समकक्ष <math>dx \to dx (1 + i\sigma/\omega)</math>. समान समकक्ष परिवर्तन के कारण तरंगें दुर्बल हो जाती हैं जब भी उनकी x निर्भरता <math>e^{ikx}</math> रूप में होती है कुछ [[प्रसार स्थिरांक]] k के लिए इसमें x अक्ष के साथ कुछ कोण पर प्रसारित होने वाली समतल तरंगें और वेवगाइड के [[अनुप्रस्थ मोड]] भी शामिल हैं।
+जहां हमने +x दिशा में प्रचार करने वाली समतल तरंग ली है (<math>k > 0</math> के लिए) और जटिल निर्देशांक के लिए परिवर्तन (विश्लेषणात्मक निरंतरता) लागू किया <math>x \to x + \frac{i}{\omega} \int^x \sigma(x') dx'</math>, या समकक्ष <math>dx \to dx (1 + i\sigma/\omega)</math>. समान समकक्ष परिवर्तन के कारण तरंगें दुर्बल हो जाती हैं जब भी उनकी x निर्भरता रूप में होती है <math>e^{ikx}</math> कुछ [[प्रसार स्थिरांक]] k के लिए इसमें x अक्ष के साथ कुछ कोण पर प्रसारित होने वाली समतल तरंगें और तरंगपथनिर्धारित्र के [[अनुप्रस्थ मोड]] भी शामिल हैं।
 उपरोक्त समकक्ष परिवर्तन को रूपांतरित तरंग समीकरणों में छोड़ दिया जा सकता है, या यूपीएमएल विवरण बनाने के लिए भौतिक विवरण (जैसे मैक्सवेल के समीकरणों में विद्युतशीलता और [[पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व)|पारगम्यता]]) के साथ जोड़ा जा सकता है। गुणांक σ/ω आवृत्ति पर निर्भर करता है- ऐसा इसलिए है कि संकीर्णता दर k/ω के समानुपाती होती है, जो ω और k के बीच [[फैलाव संबंध|विस्तार संबंध]] के कारण सजातीय सामग्री में आवृत्ति से स्वतंत्र होती है (भौतिक विस्तार शामिल नहीं है, उदाहरण [[ खालीपन |निर्वात]] के लिए)। तथापि, इस आवृत्ति-निर्भरता का अर्थ है कि पीएमएल का समय डोमेन कार्यान्वयन, उदा [[FDTD|एफडीटीडी]] विधि में, आवृत्ति-स्वतंत्र अवशोषक की तुलना में अधिक जटिल है, और इसमें [[सहायक अंतर समीकरण]] (एडीई) दृष्टिकोण शामिल है (समतुल्य, i/ω समय डोमेन मे [[अभिन्न]] या [[कनवल्शन|संवलन]] के रूप में प्रकट होता है)।

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