डोमेन का व्युत्क्रम

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के समरूपी उपसमुच्चय के बारे में संस्थित विज्ञान में डोमेन की एक प्रमेय है

अगर $U$ का एक खुला समूह $\mathbb {R} ^{n}$ है और $f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ एक अंतक्षेपण निरंतर नक्शा है फिर $V:=f(U)$ में खुला है तथा $\mathbb {R} ^{n}$ और $f$ के बीच एक समंलैंगिगता के प्रति प्रबल घृणा $U$ और $V$ है।

प्रमेय और इसका प्रमाण 1912 में प्रकाशित हुआ बीजगणितीय उपसमुच्चय के उपकरण का उपयोग ब्रौवर निश्चित बिंदु प्रमेय के रूप में प्रयोग करता है।

परिणाम

डोमेन इनवैरियंस प्रमेय का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि $\mathbb {R} ^{n}$ के लिए होमियोमॉर्फिक नहीं हो सकता $\mathbb {R} ^{m}$ अगर $m\neq n.$ दरअसल, का कोई गैर-रिक्त खुला उपसमुच्चय नहीं है $\mathbb {R} ^{n}$ के किसी भी खुले उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक हो सकता है $\mathbb {R} ^{m}$ इस मामले में।

सामान्यीकरण

डोमेन इनवैरियंस प्रमेय को कई गुना सामान्यीकृत किया जा सकता है: यदि $M$ और $N$ टोपोलॉजिकल हैं n-कई गुना सीमा के बिना और $f:M\to N$ एक सतत नक्शा है जो स्थानीय रूप से इंजेक्शन फ़ंक्शन है | स्थानीय रूप से एक-से-एक (जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु में $M$ एक नेबरहुड (टोपोलॉजी) ऐसा है $f$ इस पड़ोस तक सीमित इंजेक्शन है), फिर $f$ एक खुला नक्शा है (जिसका अर्थ है कि $f(U)$ में खुला है $N$ जब कभी भी $U$ का खुला उपसमुच्चय है $M$) और एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म।

कुछ प्रकार के निरंतर नक्शों के लिए एक बनच स्थान से स्वयं के लिए सामान्यीकरण भी हैं।

यह भी देखें

• Open mapping theorem अन्य शर्तों के लिए जो यह सुनिश्चित करती हैं कि दिया गया निरंतर नक्शा खुला है।

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• Mill, J. van (2001) [1994], "Domain invariance", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press