कुराटोव्स्की एम्बेडिंग: Difference between revisions

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गणित में, Kuratowski एम्बेडिंग किसी भी [[मीट्रिक स्थान]] को कुछ Banach स्थान के सबसेट के रूप में देखने की अनुमति देता है। इसका नाम [[काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की]] के नाम पर है।
गणित में, कुराटोव्स्की एम्बेडिंग किसी भी [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक स्पेस]] को कुछ बनच स्पेस के उपसमुच्चय के रूप में देखने की अनुमति देता है। इसका नाम [[काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की]] के नाम पर है।


बयान स्पष्ट रूप से खाली जगह के लिए है।
ह कथन स्पष्ट रूप से खाली स्पेस के लिए है।
यदि (''X'',''d'') मीट्रिक स्थान है, ''x''<sub>0</sub> X और C में बिंदु है<sub>b</sub>(एक्स) [[समान मानदंड]] के साथ एक्स पर सभी बंधे हुए [[निरंतर कार्य]] वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के बानाच स्थान को दर्शाता है, फिर नक्शा
 
यदि (''X'',''d'') एक मीट्रिक स्पेस है x<sub>0</sub> X में एक बिंदु है और ''C<sub>b</sub>''(''X'') [[समान मानदंड|सर्वोच्च मानदंड]] के साथ X पर सभी बाध्य [[निरंतर कार्य]] वास्तविक-मूल्यवान फलनो के बानाच स्पेस को दर्शाता है, तो माप


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[[आइसोमेट्री]] है।<ref>{{citation|title=Geometric embeddings of metric spaces|url=http://www.math.jyu.fi/research/reports/rep90.ps|author=Juha Heinonen|date=January 2003|accessdate=6 January 2009}}</ref>
[[आइसोमेट्री]] है।<ref>{{citation|title=Geometric embeddings of metric spaces|url=http://www.math.jyu.fi/research/reports/rep90.ps|author=Juha Heinonen|date=January 2003|accessdate=6 January 2009}}</ref>
उपरोक्त निर्माण को नुकीले स्थान को बनच स्थान में एम्बेड करने के रूप में देखा जा सकता है।


Kuratowski-Wojdyslawski प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक घिरा हुआ मीट्रिक स्थान ''X'' कुछ Banach स्थान के [[उत्तल सेट]] उपसमुच्चय के [[बंद सेट]] के लिए सममितीय है।<ref>{{citation|author=[[Karol Borsuk]]|title=Theory of retracts|year=1967|place=Warsaw}}. Theorem III.8.1</ref> (एनबी इस एम्बेडिंग की छवि उत्तल उपसमुच्चय में बंद है, जरूरी नहीं कि बनच अंतरिक्ष में।) यहां हम आइसोमेट्री का उपयोग करते हैं
उपरोक्त निर्माण को नुकीले स्पेस को बनच स्पेस में एम्बेड करने के रूप में देखा जा सकता है।
 
कुराटोव्स्की-वोज्दिस्लावस्की प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक घिरा हुआ मीट्रिक स्पेस ''X'' कुछ बनच स्पेस के [[उत्तल सेट|उत्तल समुच्चय]] उपसमुच्चय के [[बंद सेट|बंद समुच्चय]] के लिए सममितीय है।<ref>{{citation|author=[[Karol Borsuk]]|title=Theory of retracts|year=1967|place=Warsaw}}. Theorem III.8.1</ref> (एनबी इस एम्बेडिंग की छवि उत्तल उपसमुच्चय में बंद है, जरूरी नहीं कि बनच अंतरिक्ष में।) यहां हम आइसोमेट्री का उपयोग करते हैं


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ऊपर उल्लिखित उत्तल सेट Ψ(X) का उत्तल हल है।
ऊपर उल्लिखित उत्तल समुच्चय Ψ(X) का उत्तल समाधान है।


इन दोनों एम्बेडिंग प्रमेयों में, हम C को प्रतिस्थापित कर सकते हैं<sub>b</sub>(एक्स) बानाच अंतरिक्ष ℓ द्वारा<sup>∞</sup>(X) सभी बंधे हुए कार्यों का X → 'R', फिर से सर्वोच्च मानदंड के साथ, C के बाद से<sub>b</sub>(X) ℓ की बंद रैखिक उपसमष्टि है<sup>∞</sup>(एक्स).
इन दोनों एम्बेडिंग प्रमेयों में, हम C<sub>b</sub>(X) को बैनच स्पेस ℓ<sup>∞</sup>(X) द्वारा सभी बंधे हुए फलनों X → 'R' से बदल सकते हैं, फिर से सर्वोच्च मानदंड के साथ, क्योंकि C<sub>b</sub>(X) ℓ<sup>∞</sup>(X) का एक बंद रैखिक उप-स्थान है।


ये एम्बेडिंग परिणाम उपयोगी होते हैं क्योंकि बैनच रिक्त स्थान में कई उपयोगी गुण होते हैं जो सभी मीट्रिक रिक्त स्थान द्वारा साझा नहीं किए जाते हैं: वे वेक्टर रिक्त स्थान हैं जो किसी को बिंदुओं को जोड़ने और प्रारंभिक ज्यामिति को लाइनों और विमानों आदि से जोड़ने की अनुमति देते हैं; और वे पूर्ण स्थान हैं। [[कोडोमेन]] एक्स के साथ फ़ंक्शन को देखते हुए, इस फ़ंक्शन को बड़े डोमेन में विस्तारित करने के लिए अक्सर वांछनीय होता है, और इसके लिए अक्सर कोडोमेन को एक्स युक्त बानाच स्पेस में साथ विस्तारित करने की आवश्यकता होती है।
ये एम्बेडिंग परिणाम उपयोगी होते हैं क्योंकि बैनच रिक्त स्पेस में कई उपयोगी गुण होते हैं जो सभी मीट्रिक रिक्त स्पेस द्वारा साझा नहीं किए जाते हैं: वे वेक्टर रिक्त स्पेस हैं जो किसी को बिंदुओं को जोड़ने और प्रारंभिक ज्यामिति को लाइनों और विमानों आदि से जोड़ने की अनुमति देते हैं; और वे पूर्ण स्पेस हैं। [[कोडोमेन]] एक्स के साथ फलन को देखते हुए, इस फलन को बड़े डोमेन में विस्तारित करने के लिए अधिकांश वांछनीय होता है, और इसके लिए अधिकांश कोडोमेन को एक्स युक्त बानाच स्पेस में साथ विस्तारित करने की आवश्यकता होती है।


== इतिहास ==
== इतिहास ==


औपचारिक रूप से, इस एम्बेडिंग को सबसे पहले काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की द्वारा पेश किया गया था,<ref>Kuratowski, C. (1935) "Quelques problèmes concernant les espaces métriques non-separables" (Some problems concerning non-separable metric spaces), Fundamenta Mathematicae 25: pp. 534–545.</ref>
औपचारिक रूप से, इस एम्बेडिंग को सबसे पहले काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की द्वारा प्रस्तुत किया गया था,<ref>Kuratowski, C. (1935) "Quelques problèmes concernant les espaces métriques non-separables" (Some problems concerning non-separable metric spaces), Fundamenta Mathematicae 25: pp. 534–545.</ref>
लेकिन मौरिस फ्रेचेट|फ्रेचेट के पेपर में इस एम्बेडिंग का बहुत करीबी बदलाव पहले से ही दिखाई देता है<ref>''Fréchet M.'' (1906) "Sur quelques points du calcul fonctionnel", [[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]] 22: 1–74.</ref> जहां उन्होंने सबसे पहले मेट्रिक स्पेस की धारणा का परिचय दिया।
 
लेकिन मौरिस फ्रेचेट के पेपर में इस एम्बेडिंग का बहुत निकटतम बदलाव पहले से ही दिखाई देता है<ref>''Fréchet M.'' (1906) "Sur quelques points du calcul fonctionnel", [[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]] 22: 1–74.</ref> जहां उन्होंने सबसे पहले मेट्रिक स्पेस की धारणा का परिचय दिया।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[ तंग अवधि ]], किसी भी मीट्रिक स्पेस को [[ इंजेक्शन मीट्रिक स्थान |इंजेक्शन मीट्रिक स्थान]] में एम्बेड करना, कुराटोव्स्की एम्बेडिंग के समान परिभाषित किया गया है
* [[ तंग अवधि | संक्षेप अवधि]] , किसी भी मीट्रिक स्पेस को [[ इंजेक्शन मीट्रिक स्थान |इंजेक्शन मीट्रिक स्पेस]] में एम्बेड करना, कुराटोव्स्की एम्बेडिंग के समान परिभाषित किया गया है


==संदर्भ==
==संदर्भ==

Revision as of 19:41, 27 April 2023

गणित में, कुराटोव्स्की एम्बेडिंग किसी भी मीट्रिक स्पेस को कुछ बनच स्पेस के उपसमुच्चय के रूप में देखने की अनुमति देता है। इसका नाम काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की के नाम पर है।

ह कथन स्पष्ट रूप से खाली स्पेस के लिए है।

यदि (X,d) एक मीट्रिक स्पेस है x0 X में एक बिंदु है और Cb(X) सर्वोच्च मानदंड के साथ X पर सभी बाध्य निरंतर कार्य वास्तविक-मूल्यवान फलनो के बानाच स्पेस को दर्शाता है, तो माप

द्वारा परिभाषित

आइसोमेट्री है।[1]

उपरोक्त निर्माण को नुकीले स्पेस को बनच स्पेस में एम्बेड करने के रूप में देखा जा सकता है।

कुराटोव्स्की-वोज्दिस्लावस्की प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक घिरा हुआ मीट्रिक स्पेस X कुछ बनच स्पेस के उत्तल समुच्चय उपसमुच्चय के बंद समुच्चय के लिए सममितीय है।[2] (एनबी इस एम्बेडिंग की छवि उत्तल उपसमुच्चय में बंद है, जरूरी नहीं कि बनच अंतरिक्ष में।) यहां हम आइसोमेट्री का उपयोग करते हैं

द्वारा परिभाषित

ऊपर उल्लिखित उत्तल समुच्चय Ψ(X) का उत्तल समाधान है।

इन दोनों एम्बेडिंग प्रमेयों में, हम Cb(X) को बैनच स्पेस ℓ∞(X) द्वारा सभी बंधे हुए फलनों X → 'R' से बदल सकते हैं, फिर से सर्वोच्च मानदंड के साथ, क्योंकि Cb(X) ℓ∞(X) का एक बंद रैखिक उप-स्थान है।

ये एम्बेडिंग परिणाम उपयोगी होते हैं क्योंकि बैनच रिक्त स्पेस में कई उपयोगी गुण होते हैं जो सभी मीट्रिक रिक्त स्पेस द्वारा साझा नहीं किए जाते हैं: वे वेक्टर रिक्त स्पेस हैं जो किसी को बिंदुओं को जोड़ने और प्रारंभिक ज्यामिति को लाइनों और विमानों आदि से जोड़ने की अनुमति देते हैं; और वे पूर्ण स्पेस हैं। कोडोमेन एक्स के साथ फलन को देखते हुए, इस फलन को बड़े डोमेन में विस्तारित करने के लिए अधिकांश वांछनीय होता है, और इसके लिए अधिकांश कोडोमेन को एक्स युक्त बानाच स्पेस में साथ विस्तारित करने की आवश्यकता होती है।

इतिहास

औपचारिक रूप से, इस एम्बेडिंग को सबसे पहले काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की द्वारा प्रस्तुत किया गया था,[3]

लेकिन मौरिस फ्रेचेट के पेपर में इस एम्बेडिंग का बहुत निकटतम बदलाव पहले से ही दिखाई देता है[4] जहां उन्होंने सबसे पहले मेट्रिक स्पेस की धारणा का परिचय दिया।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Juha Heinonen (January 2003), Geometric embeddings of metric spaces, retrieved 6 January 2009
  2. ↑ Karol Borsuk (1967), Theory of retracts, Warsaw{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link). Theorem III.8.1
  3. ↑ Kuratowski, C. (1935) "Quelques problèmes concernant les espaces métriques non-separables" (Some problems concerning non-separable metric spaces), Fundamenta Mathematicae 25: pp. 534–545.
  4. ↑ Fréchet M. (1906) "Sur quelques points du calcul fonctionnel", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 22: 1–74.
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