कुराटोव्स्की एम्बेडिंग

गणित में, कुराटोव्स्की एम्बेडिंग किसी भी मीट्रिक स्पेस को कुछ बनच स्पेस के उपसमुच्चय के रूप में देखने की अनुमति देता है। इसका नाम काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की के नाम पर है।

ह कथन स्पष्ट रूप से खाली स्पेस के लिए है।

यदि (X,d) एक मीट्रिक स्पेस है x₀ X में एक बिंदु है और C_b(X) सर्वोच्च मानदंड के साथ X पर सभी बाध्य निरंतर कार्य वास्तविक-मूल्यवान फलनो के बानाच स्पेस को दर्शाता है, तो माप

$\Phi :X\rightarrow C_{b}(X)$

द्वारा परिभाषित

$\Phi (x)(y)=d(x,y)-d(x_{0},y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in X$

आइसोमेट्री है।

उपरोक्त निर्माण को नुकीले स्पेस को बनच स्पेस में एम्बेड करने के रूप में देखा जा सकता है।

कुराटोव्स्की-वोज्दिस्लावस्की प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक घिरा हुआ मीट्रिक स्पेस X कुछ बनच स्पेस के उत्तल समुच्चय उपसमुच्चय के बंद समुच्चय के लिए सममितीय है। (एनबी इस एम्बेडिंग की छवि उत्तल उपसमुच्चय में बंद है, जरूरी नहीं कि बनच अंतरिक्ष में।) यहां हम आइसोमेट्री का उपयोग करते हैं

$\Psi :X\rightarrow C_{b}(X)$

द्वारा परिभाषित

$\Psi (x)(y)=d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in X$

ऊपर उल्लिखित उत्तल समुच्चय Ψ(X) का उत्तल समाधान है।

इन दोनों एम्बेडिंग प्रमेयों में, हम C_b(X) को बैनच स्पेस ℓ^∞(X) द्वारा सभी बंधे हुए फलनों X → 'R' से बदल सकते हैं, फिर से सर्वोच्च मानदंड के साथ, क्योंकि C_b(X) ℓ^∞(X) का एक बंद रैखिक उप-स्थान है।

ये एम्बेडिंग परिणाम उपयोगी होते हैं क्योंकि बैनच रिक्त स्पेस में कई उपयोगी गुण होते हैं जो सभी मीट्रिक रिक्त स्पेस द्वारा साझा नहीं किए जाते हैं: वे वेक्टर रिक्त स्पेस हैं जो किसी को बिंदुओं को जोड़ने और प्रारंभिक ज्यामिति को लाइनों और विमानों आदि से जोड़ने की अनुमति देते हैं; और वे पूर्ण स्पेस हैं। कोडोमेन एक्स के साथ फलन को देखते हुए, इस फलन को बड़े डोमेन में विस्तारित करने के लिए अधिकांश वांछनीय होता है, और इसके लिए अधिकांश कोडोमेन को एक्स युक्त बानाच स्पेस में साथ विस्तारित करने की आवश्यकता होती है।

इतिहास

औपचारिक रूप से, इस एम्बेडिंग को सबसे पहले काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की द्वारा प्रस्तुत किया गया था,

लेकिन मौरिस फ्रेचेट के पेपर में इस एम्बेडिंग का बहुत निकटतम बदलाव पहले से ही दिखाई देता है जहां उन्होंने सबसे पहले मेट्रिक स्पेस की धारणा का परिचय दिया।

यह भी देखें

• संक्षेप अवधि , किसी भी मीट्रिक स्पेस को इंजेक्शन मीट्रिक स्पेस में एम्बेड करना, कुराटोव्स्की एम्बेडिंग के समान परिभाषित किया गया है