ऑर्थोगोनलाइज़ेशन: Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 3: | Line 3: | ||
इसके अतिरिक्त , यदि हम चाहते हैं कि परिणामी सदिश सभी इकाई सदिश हों, तो हम प्रत्येक सदिश सामान्य करते हैं और प्रक्रिया को ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन कहा जाता है। | इसके अतिरिक्त , यदि हम चाहते हैं कि परिणामी सदिश सभी इकाई सदिश हों, तो हम प्रत्येक सदिश सामान्य करते हैं और प्रक्रिया को ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन कहा जाता है। | ||
ऑर्थोगोनलाइजेशन किसी भी [[सममित द्विरेखीय रूप]] के संबंध में भी संभव है (आवश्यक नहीं कि एक आंतरिक उत्पाद, आवश्यक नहीं कि [[वास्तविक संख्या]] से अधिक हो), परन्तु इस अधिक सामान्य | ऑर्थोगोनलाइजेशन किसी भी [[सममित द्विरेखीय रूप]] के संबंध में भी संभव है (आवश्यक नहीं कि एक आंतरिक उत्पाद, आवश्यक नहीं कि [[वास्तविक संख्या]] से अधिक हो), परन्तु इस अधिक सामान्य समुच्चयन में मानक एल्गोरिदम को [[शून्य से विभाजन]] का सामना करना पड़ सकता है। | ||
== ऑर्थोगोनलाइज़ेशन एल्गोरिदम == | == ऑर्थोगोनलाइज़ेशन एल्गोरिदम == | ||
ऑर्थोगोनलाइज़ेशन करने | ऑर्थोगोनलाइज़ेशन करने की विधियों में सम्मिलित हैं: | ||
*ग्राम-श्मिट प्रक्रिया, जो | *ग्राम-श्मिट प्रक्रिया, जो प्रक्षेप्य (रैखिक बीजगणित) का उपयोग करती है | ||
*[[गृहस्थ परिवर्तन]], जो परावर्तन (गणित) का उपयोग करता है | *[[गृहस्थ परिवर्तन]], जो परावर्तन (गणित) का उपयोग करता है | ||
* | *गिवेंस घूर्णन | ||
* सममित ऑर्थोगोनलाइजेशन, जो | * सममित ऑर्थोगोनलाइजेशन, जो विचित्र मान अपघटन का उपयोग करता है | ||
कंप्यूटर पर ऑर्थोगोनलाइज़ेशन करते समय, सामान्यतः ग्राम-श्मिट प्रक्रिया पर | कंप्यूटर पर ऑर्थोगोनलाइज़ेशन करते समय, सामान्यतः ग्राम-श्मिट प्रक्रिया पर गृहस्थ परिवर्तन को प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि यह अधिक [[संख्यात्मक स्थिरता]] है, अर्थात पूरक त्रुटियों का कम गंभीर प्रभाव होता है। | ||
दूसरी ओर, ग्राम-श्मिट प्रक्रिया jवें पुनरावृति के बाद | दूसरी ओर, ग्राम-श्मिट प्रक्रिया jवें पुनरावृति के बाद jवां ऑर्थोगोनलाइजन सदिश का उत्पादन करती है, जबकि गृहस्थ प्रतिबिंब का उपयोग करके ऑर्थोगोनलाइज़ेशन मात्र अंत में सभी सदिश उत्पन्न करता है। यह मात्र ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को पुनरावृत्त विधियों जैसे अर्नोल्डी पुनरावृत्ति के लिए लागू करता है। | ||
[[ घुमाव देता है | | गृहस्थ परिवर्तनों की तुलना में [[ घुमाव देता है |गिवेंस घूर्णन]] अधिक सरलता से [[समानांतर कंप्यूटिंग]] है। | ||
प्रति-ओलोव लोडिन द्वारा सममित ऑर्थोगोनलाइज़ेशन तैयार किया गया था।<ref>{{Cite book| publisher = Elsevier| volume = 5| pages = 185–199| last = Löwdin| first = Per-Olov| title = क्वांटम रसायन विज्ञान में अग्रिम| chapter = On the nonorthogonality problem| date = 1970|chapter-url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0065327608603391}}</ref> | प्रति-ओलोव लोडिन द्वारा सममित ऑर्थोगोनलाइज़ेशन तैयार किया गया था।<ref>{{Cite book| publisher = Elsevier| volume = 5| pages = 185–199| last = Löwdin| first = Per-Olov| title = क्वांटम रसायन विज्ञान में अग्रिम| chapter = On the nonorthogonality problem| date = 1970|chapter-url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0065327608603391}}</ref> | ||
Revision as of 09:55, 26 April 2023
रैखिक बीजगणित में, ऑर्थोगोनलाइज़ेशन लांबिक सदिश का एक समुच्चय खोजने की प्रक्रिया है जो एक विशेष रैखिक उप-समष्टि (रैखिक बीजगणित) को फैलाता है। औपचारिक रूप से, एक आंतरगुणनसमष्टि (सामान्यतः यूक्लिडियन समष्टि Rn) में सदिश {v1, ... , vk} के रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय से प्रारंभ होकर, ऑर्थोगोनलाइज़ेशन के परिणामस्वरूप लांबिक सदिश {u1, ... , uk} का समुच्चय होता है जो सदिश v1, ... , vk के समान उप-समष्टि उत्पन्न करता है। नवीन समुच्चय में प्रत्येक सदिश नवीन समुच्चय में प्रत्येक दूसरे सदिश के लिए लांबिक है; और नवीन समुच्चय और प्राचीन समुच्चय का एक ही रैखिक विस्तार है।
इसके अतिरिक्त , यदि हम चाहते हैं कि परिणामी सदिश सभी इकाई सदिश हों, तो हम प्रत्येक सदिश सामान्य करते हैं और प्रक्रिया को ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन कहा जाता है।
ऑर्थोगोनलाइजेशन किसी भी सममित द्विरेखीय रूप के संबंध में भी संभव है (आवश्यक नहीं कि एक आंतरिक उत्पाद, आवश्यक नहीं कि वास्तविक संख्या से अधिक हो), परन्तु इस अधिक सामान्य समुच्चयन में मानक एल्गोरिदम को शून्य से विभाजन का सामना करना पड़ सकता है।
ऑर्थोगोनलाइज़ेशन एल्गोरिदम
ऑर्थोगोनलाइज़ेशन करने की विधियों में सम्मिलित हैं:
- ग्राम-श्मिट प्रक्रिया, जो प्रक्षेप्य (रैखिक बीजगणित) का उपयोग करती है
- गृहस्थ परिवर्तन, जो परावर्तन (गणित) का उपयोग करता है
- गिवेंस घूर्णन
- सममित ऑर्थोगोनलाइजेशन, जो विचित्र मान अपघटन का उपयोग करता है
कंप्यूटर पर ऑर्थोगोनलाइज़ेशन करते समय, सामान्यतः ग्राम-श्मिट प्रक्रिया पर गृहस्थ परिवर्तन को प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि यह अधिक संख्यात्मक स्थिरता है, अर्थात पूरक त्रुटियों का कम गंभीर प्रभाव होता है।
दूसरी ओर, ग्राम-श्मिट प्रक्रिया jवें पुनरावृति के बाद jवां ऑर्थोगोनलाइजन सदिश का उत्पादन करती है, जबकि गृहस्थ प्रतिबिंब का उपयोग करके ऑर्थोगोनलाइज़ेशन मात्र अंत में सभी सदिश उत्पन्न करता है। यह मात्र ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को पुनरावृत्त विधियों जैसे अर्नोल्डी पुनरावृत्ति के लिए लागू करता है।
गृहस्थ परिवर्तनों की तुलना में गिवेंस घूर्णन अधिक सरलता से समानांतर कंप्यूटिंग है।
प्रति-ओलोव लोडिन द्वारा सममित ऑर्थोगोनलाइज़ेशन तैयार किया गया था।[1]
स्थानीय ऑर्थोगोनलाइज़ेशन
पारंपरिक शोर क्षीणन दृष्टिकोणों में उपयोगी सिग्नल के नुकसान की भरपाई करने के लिए गलत पैरामीटर चयन या डीनोइजिंग धारणाओं की अपर्याप्तता के कारण, प्रारंभिक शोर अनुभाग से उपयोगी सिग्नल की पुनर्प्राप्ति के लिए आरंभिक खंड पर एक वेटिंग ऑपरेटर लगाया जा सकता है। नई denoising प्रक्रिया को सिग्नल और शोर के स्थानीय ऑर्थोगोनलाइजेशन के रूप में जाना जाता है।[2] इसमें कई सिग्नल प्रोसेसिंग और भूकंपीय अन्वेषण क्षेत्रों में अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला है।
यह भी देखें
- ऑर्थोगोनलिटी
- बायोर्थोगोनल प्रणाली
- लांबिकआधार
संदर्भ
- ↑ Löwdin, Per-Olov (1970). "On the nonorthogonality problem". क्वांटम रसायन विज्ञान में अग्रिम. Vol. 5. Elsevier. pp. 185–199.
- ↑ Chen, Yangkang; Fomel, Sergey (2015). "स्थानीय सिग्नल और शोर ऑर्थोगोनलाइजेशन का उपयोग करके यादृच्छिक शोर क्षीणन". Geophysics. 80 (6): WD1–WD9. doi:10.1190/GEO2014-0227.1.
