ऑर्थोगोनल आधार

गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित, आंतरिक उत्पाद स्थान के लिए एक ऑर्थोगोनल आधार $V$ के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) है $V$ जिनके वैक्टर परस्पर ओर्थोगोनल हैं। यदि ऑर्थोगोनल आधार के वैक्टर सामान्यीकृत (रैखिक बीजगणित) हैं, तो परिणामी आधार एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है।

निर्देशांक के रूप में

ऑर्थोगोनल निर्देशांक की एक प्रणाली को परिभाषित करने के लिए किसी भी ऑर्थोगोनल आधार का उपयोग किया जा सकता है $V.$ ऑर्थोगोनल (जरूरी नहीं कि ऑर्थोनॉर्मल) आधार यूक्लिडियन अंतरिक्ष स्थान में कर्विलिनियर निर्देशांक ऑर्थोगोनल निर्देशांक से उनकी उपस्थिति के कारण महत्वपूर्ण हैं, साथ ही रीमैनियन कई गुना और छद्म-रिमानियन कई गुना में।

कार्यात्मक विश्लेषण में

कार्यात्मक विश्लेषण में, एक ओर्थोगोनल आधार कोई भी आधार है जो गैर-शून्य स्केलर (गणित) द्वारा गुणन का उपयोग करके ऑर्थोनॉर्मल आधार (या हिल्बर्ट आधार) से प्राप्त किया जाता है।

एक्सटेंशन

सममित द्विरेखीय रूप

ऑर्थोगोनल आधार की अवधारणा एक सदिश स्थान पर लागू होती है $V$ (किसी भी क्षेत्र में (गणित)) एक सममित द्विरेखीय रूप से सुसज्जित है $\langle \cdot ,\cdot \rangle ,$ जहां दो वैक्टर की ओर्थोगोनालिटी $v$ और $w$ साधन $\langle v,w\rangle =0.$ एक ऑर्थोगोनल आधार के लिए $\left\{e_{k}\right\}:$

$$\langle e_{j},e_{k}\rangle ={\begin{cases}q(e_{k})&j=k\\0&j\neq k,\end{cases}}$$

कहां $q$ से जुड़ा द्विघात रूप है $\langle \cdot ,\cdot \rangle :$ $q(v)=\langle v,v\rangle$ (आंतरिक उत्पाद स्थान में, $q(v)=\|v\|^{2}.$).

इसलिए एक ऑर्थोगोनल आधार के लिए $\left\{e_{k}\right\},$

$$\langle v,w\rangle =\sum _{k}q(e_{k})v^{k}w^{k},$$

कहां $v_{k}$ और $w_{k}$ के घटक हैं $v$ और $w$ आधार में।

द्विघात रूप

ऑर्थोगोनलिटी की अवधारणा को द्विघात रूप से लैस एक वेक्टर स्पेस (किसी भी क्षेत्र में) तक बढ़ाया जा सकता है $q(v)$. अवलोकन से शुरू करते हुए, जब अंतर्निहित क्षेत्र की विशेषता 2 नहीं है, तो संबंधित सममित द्विरेखीय रूप $\langle v,w\rangle ={\tfrac {1}{2}}(q(v+w)-q(v)-q(w))$ वैक्टर की अनुमति देता है $v$ और $w$ के संबंध में ओर्थोगोनल होने के रूप में परिभाषित किया जाना है $q$ कब $q(v+w)-q(v)-q(w)=0.$

यह भी देखें

• Basis (linear algebra)
• Orthonormal basis
• Orthonormal frame
• Schauder basis
• Total set

संदर्भ

• Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 572–585, ISBN 978-0-387-95385-4
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 73. Springer-Verlag. p. 6. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.

बाहरी कड़ियाँ

• Weisstein, Eric W. "Orthogonal Basis". MathWorld.